图的连通性与矩阵表示

若回路中除起点和终点 相同外，其余顶点互不 相同， 则称其为初级（基本） 回路。
有边重复出现的通路， 称为复杂通路。 有边重复出现的回路， 称为复杂回路。
初级通（回）路一定是 简单通（回）路。
3
如右图所示：
v1e 2 v 3 e 3 v 2就是v1到v 2
v2
v1的一条初级通路e4来自e3 e5v3
e2
4
定 理7.2.1： 在 一 个 图 中 ， 若 从点 顶v i 到 顶 点 v j (v i v j ) 存在通路， 则 从v i 到v j 存 在 初 级 通 路 。
定 理7.2.2： 在 一 个 n阶 图 中 ， (1) 任 何 初 级 通 路 的 长 度 不 均大 于 n 1。 ( 2) 任 何 初 级 回 路 的 长 度 不 均大 于 n。
1,
vi为ej的终点，
称M(D) = (mij)nm为D的关联矩阵。
v1
e2 v3 e3 e1 e4 v2 e5 v4
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 M ( D) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
20
21
1
给定无向图G V , E ，设G中顶点和边的交替序列 为
v1e1v 2e2 ek v k 1，若满足：v i 和v i 1是ei的端点，
i 1,2, , k，则称为顶点v1到顶点v k 1的通路。
中边的数目k称为的长度。当v1 v k 1时，称为回路。
如右图所示：
e1
v4
当然也是一条简单通路
v1e2v3e5v5e7 v4e6v3e3v2
e6
v5
e7
也是v1到v2的一条简单通路，但却 不是初级通路
v1e2 v 3 e3 v 2 e4 v 5 e7 v 4 e1v1 是一条初级回路，也是 简单回路。
v1e 2 v 3 e 3 v 2 e4 v 5 e5 v 3 e6 v 4 e1v1 是一条简单回路, 但不是初级回路
5
判断题
1、五阶图中，任意初级 回路的长度都不大于 4。
√
2、六阶图中，任意初级 通路的长度都不大于 5。
3、六阶图中，存在长度 为7的通路。
√ 4、六阶图中，存在长度 为6的回路。 √
√ 6、六阶完全图中，存在 长度为6的回路。 √
6
5、六阶完全图中，存在 长度为5的通路。
一个图称为是连通的， 当且仅当从任一个顶点 出发， 如有必要经过一个或多 个中间顶点， 能够到达其余的任意顶 点。
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例11 写出下图所示无向图G的关联矩阵M(G)：
1 1 M (G ) 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
19
4、有向图的关联矩阵
设D = <V, E>，V ={v1, v2, …, vn}，E ={e1, e2, …, em}， 1, vi为ej的始点， 令 m ij 0, vi与ej不关联，
但注意这里A 不一定是对称的。
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3.无向图的关联矩阵
定义
设无向图G =〈V,E〉的结点集为
V {v1 , v2 ,, vn } ， 边集为 E {e1 , e2 ,, em }，
则矩阵 M (G) (mij )nm 称为G的关联矩阵，
其中
mij表示顶点 vi 与边e j 的关联次数。
则称vi 可达vj 。
规定：vi 到自身总是可达的。
v1 e2 v3 e4 e1 e3 v2 e6 v4
v1可达v2, v4不可达v1
e5
11
若有向图D略去所有有向边的方向后所得的无向图是连 通图，则称D是(弱)连通图。 特别地，若D中任意两顶点至少一个可达另一个， 则称D是单向连通图。 若D中任意两顶点都是相互可达的， 则称D是强连通图。
则矩阵 A(G) (aij )nn 称为G的邻接矩阵，
其中
1 aij 0
((vi , v j ) E ) ((vi , v j ) E )
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例2 写出下图所示无向图G的邻接矩阵A(G)：
0 1 A(G ) 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
v2 e4 e2
v1 e1 v4
2
v1e2v3e4v2就是v1到v2的一条通路 v1e1v4e3v3e4v2也是v1到v2的一条通路 v1e1v4e3v3e2v1是一条回路
v3
e3
若通路中的所有边互不 相同，则称其为简单通 路。 若回路中的所有边互不 相同，则称其为简单回 路。
若 通 路 中 的 所 有 顶 点不 互相 同 ， 则 称 其 为 初级（基本）通路。
即：任意两个不同顶点 间都存在通路。
例如下图就是连通的 v2 v1 而下图就不是连通的 v2 v1
e4
e2
e1 v4
e2
e1 v4
7
v3
e3
v3
对非连通图，可以把它分成几部分，使每一部分 都是连通的，且各部分之间无公共结点。这样分 成的每一部分成为该非连通图的连通分枝。
8
2、有向图的连通性
定义2 在一个有向图D中，若从顶点vi 到vj 存在通路,
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如图7.3.1所示的图G， 求其邻接矩阵A
0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
图7.3.1 G
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2.有向图的邻接矩阵
与无向图一样， 有向图也能用相 应的邻接矩阵表示.
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, (1) e2, …, em}, 令 aij 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数， (1) 称( a ij )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
结论： 由定义可知，若图G是单向连通的，则必是弱连通的； 若图G是强连通的，则必是单向连通的，且也是弱连通的。 但反之不真。
12
a)
b)
c)
强连通
单向连通
弱连通
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图的矩阵表示
1.无向图的邻接矩阵
定义
设无向图G =〈V,E〉的结点集为
V {v1 , v2 ,, vn } ， 边集为 E {e1 , e2 ,, em }，