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图的连通性与矩阵表示

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(图论)图的基本概念--第一章

(图论)图的基本概念--第一章

证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？

离散数学-图的矩阵表示

离散数学-图的矩阵表示
设有向图G的结点集合 ，它的邻接矩阵 为 ，现在我们想计算从结点 到 结点 的 长度为2的路的数目
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。

九章节图

九章节图

a 8
c 30 5
d 6
32
13 b
97
g
2
f 17
e
13 8 30 32


9 7

5




w 6


2


17

LT’(x)=min{LT(x), LT(t1)+W({t1,x})}。 把T’代为T,把P’代为P,把LT’(x)代为LT(x)， 重复步骤(2)。
例 求图9.9中从a到z的最短通路的长
b
1
a
2
4
c
7
d
2
5
3
z
6
1
e
b
1
a
2
4
d 2
3T(x)
abcdez
T={a}
1 4 ∞∞∞
T={a,b}
带权图中的最短通路
设G=(V,E,W)是一个带权图， 其W是边集E 到R+={x∊R│x>0} 的一个函数。 通常称 W(e)为边e的长度， 图G中一个通路的长度定义为通路中所经过的边的 长度之和。 设 v0,z∊V， 要求从 v0到z的最短通路的长。
Dijkstra算法的基本思想
先把V分成两个子集，
a b c d e fg L 13 8 13 19 21 20
狄克斯瑞 （Edsger Wybe Dijkstra， 1930-2002.08.02）
计算机编程艺术与科学创建人之一. 1930年出生在荷兰鹿特丹市，于 2002年8月6日在荷兰家中与世长辞 。他在欧洲和美国曾从事首次航空 和结构计算机模拟的工作。曾是开 发Algol的委员会成员。他编写了第 一个Algol 60编译器。 1972年，荣获 美国计算机协会的图灵奖。

图论常考知识点总结

图论常考知识点总结

图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。

顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。

若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。

图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。

2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。

强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。

弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。

3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。

广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。

4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。

5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。

6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。

以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。

当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。

图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。

第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e

2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)

图的连通性和矩阵表示及计算幻灯片PPT

图的连通性和矩阵表示及计算幻灯片PPT
2) 检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的 距离，并设置：
dj=min［dj, dk+lkj］
式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。 3) 选取下一个点。从所有未标记的结点中，选取dj 中最
小的一个i：
di=min［dj, 所有未标记的点j］
点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。 4) 找到点i的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i
1.Dijkstra求最短路径算法的根本思想 利用Dijkstra算法可以求解从某个源点到其他各结点间的最短路 径. 把结点分成两组,第一组是已确定最短路径的结点的集合,第二组 是尚未确定最短路径的结点的集合,按路径长度递增的次序逐个 把第二组的结点放到第一组中.设求从u0到其他各结点间的最短 路径,那么在任意时刻,从u0到第一组各结点间的最短路径都不 大于从u0到第二组各结点间的最短路径. 求无向网洛最短路径的Dijkstra算法可以推广到有向网洛最短路 径. 2.Dijkstra算法 假定图G中边的权均为正的.假设某条边的权为0,那么可使其端 点重合.假设(u,v) E(G),那么规定w(u,v)=+∞.实际计算时,可 以用一个足够大的数来代替+∞.
的点j*，作为前一点,设置：
i=j*
5) 标记点i。如果所有点已标记，那么算法完全推出，否 那么，记k=i，转到2) 再继续。
谢谢大家
见例5
规定:完全图Kn的点连通度为n,n≥1. 非连通图的点连通度为0. 假设k(G)≥k,那么称G为k-连通图. 显然,点连通度k(G)是产生一个不连通图所需要删除的点的最少 数目. 见例6
是G的一个边割集.假设某个边构成一个边割集,那么称 该边为割边(或桥). 见例7
规定:非连通图的边连通度为0. 假设λ(G)≥k,那么称G为k边-连通图. 显然,边连通度λ(G)是产生一个不连通图所需要删除的 边的最少数目.

离散数学第七章图的基本概念


4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.

CH7 图的基本概念 2 3 通路、回路、图的连通性

{e6},{e5},{e2,e3},{e1,e2},{e3 ,e4},{e1,e4},{e1,e3},{e2,e4} 都是割集， e6,e5是桥。
有向图的连通性
定义 设D＝<V,E>为一个有向图。vi,vj∈V，若从 vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vi→vj， 规定vi总是可达自身的，即vi→vi。 若vi→vj且vj→vi，则称vi与vj是相互可达的，记 作vi vj。 规定vivi。
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn},E={e1,e2,· ,em}, · · · ·
令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为G的 关联矩阵，记为M(G)。
性质：P163
2.有向图的关联矩阵
设简单有向图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, 则称 ·,v ·,e (mij)n×m为G的关联矩阵，记为M(G)。其中，
性质：P164
3. 图的邻接矩阵
设图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, ·,v ·,e 则称(aij)n×m为G的邻接矩阵，记为A(G)。 其中， aij为vi邻接(到)vj的边的条数.
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
7.3 图的矩阵表示
图的表示：
数学定义 图形表示 矩阵表示 便于用代数知识来研究图的性质 便于用计算机处理 矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之 前，必须将图的顶点和边（如果需要）编号。 本节学习： • 图的关联矩阵 • 图的邻接矩阵 • 有向图的可达矩阵

离散数学第讲7


无向图 <V,E> (2) 若|V(G)| 、|E(G)|均为有限数，则称G为有限图。
一个 为A与B的无序积，记作A&B.
是一个有序的二元组
，记作G， 其中
1 , vi可达vj
第十四章 图的(基1本)概念V≠φ称为顶点集，其元素称为顶点或结点。
第十四章 图的基本概念
第十四章 图的(基2本)概念E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为
所有边互不相同），则称此回路为基本回路或者初级 则V1∪ V2 =V, V1∩V2= φ,由握手定理知
若回路中的所有边e1，e2，…，ek互不相同，则称此回路为简单回路或一条闭迹；
回路、圈。 26 设有向图D=<V,E>中无环, V={v1,v2,…,vn}, E={e1,e2,…,em}, 令aij(1)为顶点vi与邻接到顶点vj边的条数，称(aij(1))n×n为D的邻接矩
第十四章 图的基本概念
例14.1 画出下列 图形。
v1。
。v2
(1) G=<V,E>,其中
V={v1,v2,v3,v4,v5},
v3
。
(1)
E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3),
v4 。
。v5
(v2,v3), (v1,v5),
(v2,v5), (v4,v5)}。
(2) D=<V,E>,其中
顶点的度数均小于3,问G中至少有多少个顶点?
第十四章 图的基本概念
定义14.5完全图
1. 设G＝<V,E>为一个具有n个结点的无向简单图，如 果G中任一个结点都与其余n-1个结点相邻接，则称 G为无向完全图，简称G为完全图，记为Kn。

图的连通性和图的矩阵表示41页PPT


END
图的连通性和图的矩阵表示
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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若回路中除起点和终点 相同外，其余顶点互不 相同， 则称其为初级（基本） 回路。
有边重复出现的通路， 称为复杂通路。 有边重复出现的回路， 称为复杂回路。
初级通（回）路一定是 简单通（回）路。
3
如右图所示：
v1e 2 v 3 e 3 v 2就是v1到v 2
v2
v1的一条初级通路e4来自e3 e5v3
e2
4
定 理7.2.1： 在 一 个 图 中 ， 若 从点 顶v i 到 顶 点 v j (v i v j ) 存在通路， 则 从v i 到v j 存 在 初 级 通 路 。
定 理7.2.2： 在 一 个 n阶 图 中 ， (1) 任 何 初 级 通 路 的 长 度 不 均大 于 n 1。 ( 2) 任 何 初 级 回 路 的 长 度 不 均大 于 n。
1,
vi为ej的终点，
称M(D) = (mij)nm为D的关联矩阵。
v1
e2 v3 e3 e1 e4 v2 e5 v4
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 M ( D) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
20
21
1
给定无向图G V , E ，设G中顶点和边的交替序列 为
v1e1v 2e2 ek v k 1，若满足：v i 和v i 1是ei的端点，
i 1,2, , k，则称为顶点v1到顶点v k 1的通路。
中边的数目k称为的长度。当v1 v k 1时，称为回路。
如右图所示：
e1
v4
当然也是一条简单通路
v1e2v3e5v5e7 v4e6v3e3v2
e6
v5
e7
也是v1到v2的一条简单通路，但却 不是初级通路
v1e2 v 3 e3 v 2 e4 v 5 e7 v 4 e1v1 是一条初级回路，也是 简单回路。
v1e 2 v 3 e 3 v 2 e4 v 5 e5 v 3 e6 v 4 e1v1 是一条简单回路, 但不是初级回路
5
判断题
1、五阶图中，任意初级 回路的长度都不大于 4。
√
2、六阶图中，任意初级 通路的长度都不大于 5。
3、六阶图中，存在长度 为7的通路。
√ 4、六阶图中，存在长度 为6的回路。 √
√ 6、六阶完全图中，存在 长度为6的回路。 √
6
5、六阶完全图中，存在 长度为5的通路。
一个图称为是连通的， 当且仅当从任一个顶点 出发， 如有必要经过一个或多 个中间顶点， 能够到达其余的任意顶 点。
18
例11 写出下图所示无向图G的关联矩阵M(G)：
1 1 M (G ) 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
19
4、有向图的关联矩阵
设D = <V, E>，V ={v1, v2, …, vn}，E ={e1, e2, …, em}， 1, vi为ej的始点， 令 m ij 0, vi与ej不关联，
但注意这里A 不一定是对称的。
17
3.无向图的关联矩阵
定义
设无向图G =〈V,E〉的结点集为
V {v1 , v2 ,, vn } ， 边集为 E {e1 , e2 ,, em }，
则矩阵 M (G) (mij )nm 称为G的关联矩阵，
其中
mij表示顶点 vi 与边e j 的关联次数。
则称vi 可达vj 。
规定：vi 到自身总是可达的。
v1 e2 v3 e4 e1 e3 v2 e6 v4
v1可达v2, v4不可达v1
e5
11
若有向图D略去所有有向边的方向后所得的无向图是连 通图，则称D是(弱)连通图。 特别地，若D中任意两顶点至少一个可达另一个， 则称D是单向连通图。 若D中任意两顶点都是相互可达的， 则称D是强连通图。
则矩阵 A(G) (aij )nn 称为G的邻接矩阵，
其中
1 aij 0
((vi , v j ) E ) ((vi , v j ) E )
14
例2 写出下图所示无向图G的邻接矩阵A(G)：
0 1 A(G ) 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
v2 e4 e2
v1 e1 v4
2
v1e2v3e4v2就是v1到v2的一条通路 v1e1v4e3v3e4v2也是v1到v2的一条通路 v1e1v4e3v3e2v1是一条回路
v3
e3
若通路中的所有边互不 相同，则称其为简单通 路。 若回路中的所有边互不 相同，则称其为简单回 路。
若 通 路 中 的 所 有 顶 点不 互相 同 ， 则 称 其 为 初级（基本）通路。
即：任意两个不同顶点 间都存在通路。
例如下图就是连通的 v2 v1 而下图就不是连通的 v2 v1
e4
e2
e1 v4
e2
e1 v4
7
v3
e3
v3
对非连通图，可以把它分成几部分，使每一部分 都是连通的，且各部分之间无公共结点。这样分 成的每一部分成为该非连通图的连通分枝。
8
2、有向图的连通性
定义2 在一个有向图D中，若从顶点vi 到vj 存在通路,
15
如图7.3.1所示的图G， 求其邻接矩阵A
0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
图7.3.1 G
16
2.有向图的邻接矩阵
与无向图一样， 有向图也能用相 应的邻接矩阵表示.
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, (1) e2, …, em}, 令 aij 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数， (1) 称( a ij )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
结论： 由定义可知，若图G是单向连通的，则必是弱连通的； 若图G是强连通的，则必是单向连通的，且也是弱连通的。 但反之不真。
12
a)
b)
c)
强连通
单向连通
弱连通
13
图的矩阵表示
1.无向图的邻接矩阵
定义
设无向图G =〈V,E〉的结点集为
V {v1 , v2 ,, vn } ， 边集为 E {e1 , e2 ,, em }，