名校真题精讲(共7讲)_第05讲_应用题专题-学生版

专题2.5 新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，12）＝ ，f （5，3）＝ ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）．【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】解：（1）f （4，12）=12÷12÷12÷12=4，f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为：4；127．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（1a）n ﹣2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）=127×9×（−18）×16 =−23．1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．32D ．−322．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2B ．5C ．﹣6D ．103．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣9C ．−12D ．04．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4B ．3C ．2D ．15．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611） D ．（6，713）6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2k；（其中k 是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68B ．78C ．88D ．987．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|abcd|=ad ﹣bc ．则|−4−231|的值为 ．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形表示﹣x +y ﹣z ，则+的值为 ．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =a+1b ，则（13*12）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−23)△(−3)= ．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y1，x =y−2xy ，x ＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−12)]+[(−2)Θ194]= ．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|2．（1）计算：（﹣6）☆5＝．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[2⨂（−32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b +1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−34=124−34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）；（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣3）＝ ，d （1）＝ ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （mn ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性质，填空：d(a 3)d(a)= ；（a 为正数）（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，a−c 2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，﹣2，3的“分差”为−53．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排 1 2第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。

第6讲 计数和组合专题一、 计数问题1、枚举法枚举法就是把所有也许得状况一一列举出来，然后数一下总共有多种状况．2、加乘原理（1）加法原理——分类假如完毕一件事有几类措施，在每一类措施中又有不同样措施，那么把每类措施数相加就得到所有措施数．（2）乘法原理——分步假如完毕一件事有多种环节，在每一种环节中又有不同样措施，那么把每步措施数相乘就得到所有措施数．3、排列组合（1）排列从m 个不同样元素中取出n 个（n m ≤），并根据一定次序排成一列，其措施数叫做从m 个不同样元素中取出n 个排列数，记作n m A .其计算措施为： ()()11n m A m m m n =⨯-⨯⨯-+即从m 开始递减地连乘n 个数从m个不同样元素中取出n m个不同样元素中取出n其计算措施为：(m n⨯-4、分类法和排除法（1）分类法：分来法处理问题基础思想是通过度类拆解把一种复杂问题转化成多种相对简朴小问题来处理．（2）排除法：当题目中满足规定状况较多，分类法不好处理时，可以尝试用排除法，把不符合规定状况去掉，剩余就是符合．5、容斥原理（1）理解简朴容斥原理（两个之间重叠）和复杂容斥原理（三个之间重叠）（2）用文氏图协助解题6、递推措施（1）上楼梯模型（2）传球法——列表写出每一步中详细措施数（3）几何图形分平面——增量分析用于求解“把m个相似球放到n个不同样盒子中”此类问题（1）注意：球必需是相似，盒子必需是不同样．（2n-1个板插到m-1个空隙中）（3n个球，然后根据每个盒子至少1个去放，最终从每个盒子中拿出1个还回去）（4n个球放到3个盒子中，每个盒子至少1个）（5n个球放到3个盒子中，每个盒子可以为空）8、和旋转、翻转有关计数此类问题要想清晰与否有反复，反复了多少．一般求解时，要先固定部分对象，使其不能旋转或翻转．二、统筹计划1、安排工序问题2、最短路线或最短时间问题3、排队等待问题4、集合问题5、货品调度问题三、游戏对策（1）必胜方略往往是考虑“怎样让对方输”，即必胜方行动时怎样进行一次合适操作，把必输状态留给对方．（2）游戏对策中往往会运用对称性来处理问题，如桌子上放硬币问题（轮番在圆桌上放硬币，到谁放时候放不下了她就输了．先手方把第一种硬币用来占领圆桌中心点即可，后来后手方再怎么放，先手方所有能在桌上找到一种对称空位点可以放置硬币）四、逻辑推理解答推理问题常见措施有：排除法、假设法、反证法．一般可以从如下几方面考虑：1.选准突破口，分析时综合多种条件进行鉴定；2.根据题中条件，在推理过程中，不停排除不也许状况，从而得出规定结论；3.对也许出现状况作出假设，然后再根据条件推理，假如得到结论和条件不矛盾，阐明假设对的；4.碰到比较复杂推理问题，可以借助图表进行分析．常见题型：去伪存真题：有人说真话有人说假话，有人说真话；或每人说一部分对，一部分错．注意合适选择假设等措施协助解题．条件分析题：用列表或作图措施，对条件进行归纳整顿．体育比赛类问题：要注意弄清比赛规则，尤其是积分规则，对阵措施．若是画对阵关系图，注意箭头表胜败，虚线表达平局．例如：若是2分赛制，则获胜队2分，平局各1分，失败不得分，那么总得分为3分赛制时，获胜队得3分，平局各得1分，失败不得分．那么此时总分为“”五、抽屉原理1、最不利原则2、抽屉原理六、最值问题常见结论：（1）两数和一定，差越小，积越大（2）当多种数和一定是，越靠近乘积越大（3）两点之间线段最短（4）在周长一定封闭图形中，圆面积最大；在面积一定封闭图形中，圆周长最小七、构造论证1、构造往往用于阐明“能”，即给出也许状况；论证往往用于阐明“否”，即为何不行2、常见题型：（1）构造或论证：此类题目中一般会以“能否”等词汇发问．解答时，假如是“能”，就要构造出可行状况；假如是答“不能”，要论证为何．（2）构造和论证：常见于求最值问题，以求最大值问题，得出最大值后要先论证不能得更大值了，然后构造最大值对应可行状况，阐明这个最大值可以达到．一、枚举法例1.在所有三位数中，各位数字之和不超过4共有______个．二、加乘原理和排列组合例2.将1、2、3、4、5这五个数字填入下面五个方格中，使得阴影方格中填入数不小于相邻方格中数，共有_____种填法．例3.用0、1、2、3、4这五个数字能构成______个没有反复数字四位偶数．例4.从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填数，上面比下面大，那么符合规定共_______种．三、容斥原理例5.图，数一数，图中共有多少个长方体？四、概率初步例6.某军官参与射击比赛，她射击命中率是80%．那么她连打3枪，恰好有2枪命中概率是________．例7.甲、乙两人玩掷硬币，出现正面甲得1分，背面乙得1分．先得10分者为胜．比赛进行一段时间后，甲得9分，乙得6分，那么甲获胜概率是_______五、递推计数例8.在一种平面上画3个三角形、1个圆、1条直线，最多可以把平面提成______个部分．例9.在世界杯一场小组赛中，巴西队以7:5击败南非队，假如巴西队在比赛中从未落后过，那么这场比赛共有_____种不同样进球次序．六、对应计数例10.（1）中关村一小六年级A班30名同学投票选举优秀少先队员，投票采用不记名措施，每人只能投1票且不能投弃权票（谁所有不选）．假如候选人共3人，那么投票共_____种不同样也许．（2）假如这30名学生可以投弃权票，那么投票成果共______种不同样也许七、和翻转、旋转有关计数问题例11.用7种颜色为一种正方体6个面染色，规定每个面只能用1种颜色，且6个面颜色互不相似．那么共有______种不同样染色措施．八、统筹计划例12.北京、上海、杭州三地同步研制成了大型电子计算机若干台，除当地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台．目前决定给武汉6台，重庆8台，深圳6台．若每台计算机运费如下表，表中运费单位是“百元”．上海、北京和杭州制造机器完全相似，应当怎样调运，才能使总运费最省？最省运费是________万元．九、游戏对策例13.根火柴，甲、乙轮番取，规定每次只可以取1、3、4根．假如以取完火柴人为胜，甲先取，那么谁有必胜方略？方略是什么？十、逻辑推理例14.老师在3个盒子里各放了一种彩色球，让小明、小亮、小强、小佳四人猜一下各个盒子里放是什么颜色球．小明说：“1号盒里是黄球，2号盒里是黑球，3号盒里是红球”小亮说：“1号盒里是橙球，2号盒里是黑球，3号盒里是绿球”小强说：“1号盒里是紫球，2号盒里是黄球，3号盒里是蓝球”小佳说：“1号盒里是橙球，2号盒里是绿球，3号盒里是紫球”老师说：“你们中有一人恰好猜对了两个，其他三人每人猜对一种．”那么第三个箱子中放是______球．例15.在一列国际列车上，有A、B、C、D四位不同样国籍旅客，她们分别穿蓝、黑、灰、褐色大衣，每边两个人面对面地坐在同一张桌子上．已知：（1）英国人坐B先生左侧；（2）A先生穿褐色大衣；（3）穿黑色大衣坐在德国人右侧；（4）D先生对面坐着美国旅客；（5）俄国旅客穿着灰色大衣．那么A、B、C、D分别是哪国人？分别穿什么颜色衣服？例16.5支球队进行单循环比赛，每两队之间比一场，获胜者得3分，负者0分，平手各得1分．最终5支球队积分各不相似，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队得分从高到低依次是多少？十一、抽屉原理例17.有一种不透明魔法口袋，里面装有大小、形状完全相似小球，分为红、黄、蓝、白、黑五种颜色，每种颜色小球所有有足够多种．n个人在口袋里取球，每人随意取3个，不管怎么取，所有一定有5个人取到球种类完全相似，那么n至少是______．十二、最值问题例18.将1、2、3、4、5、6分别填在正方体6个表面上，计算具有公共棱两个面上数乘积，这样乘积共有12个，这12个乘积和最大是_______十三、构造论证例19.把图中圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上红圈个数所有是奇数？例20.有3堆小石子，每次许可进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中某一石子数是偶数堆中二分之一石子移入此外一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子所有取光？(2)3堆中所有石子所有被取走？作业1.在所有三位数中，可以被9整除，并且三个数字恰好能构成等差数列（可以变化次序，如567、756）共有______个作业2.在4000~7000内有______个没有反复数字5倍数．作业3.有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必需有一人把船划回来接剩余人．那么四人过河有______措施．作业4.图，图中只含一种☆长方形有______个？作业5.一次吃自助餐，有10道菜，每人有4个盘子可以选菜，规定每个盘子只能装1种菜，不过可以反复选菜（例如某道菜很好吃，我可以把2个盘子所有装这1种菜），那么共有_____种选菜方案．作业6.（第六届高思杯六年级，参与了高思杯不过当时没做出来同学，看看自己目前与否会做了）正方体八个顶点分别标识为A、B、C、D、E、F、G、H．目前用四种颜色给顶点染色，规定有棱相连两个顶点颜色不同样，一共有_______不同样染色措施．（旋转或翻转后相似算不同样染法）作业7.把23表达到若干个互不相似自然数之和，那么这些自然数乘积最大是______．作业8.：一种新建5层楼房一种单元每层有东西两套房；各层房号图所示，现已经有赵、钱、孙、李、周五个人入住．一天她们在小区花园里聊天：赵说：“我家是第3个入住，第1个入住就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．”孙说：“我家入住时，我家同侧上一层和下一层所有已经有人入住了．”李说：“我家是五家中最终一种入住，我家楼下那层全空着．”周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”她们说就是真话，设第1、2、3、4、5家入住房号个位数字依次为A、B、C、D、E，那么五位数．作业9.六个足球队进行单循环比赛，每两队所有要赛一场．假如踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分．目前比赛已进行了四轮(每队所有已和4个队比胜过)，各队4场得分之和互不相似．已知总得分居第三位队共得7分，并且有4场球赛踢成平局，那么总得分居第五位队最多可得分，至少可得分．作业10.(大数减小数)，直到黑板上剩余一种数为止．问黑板上剩余数是奇数还是偶数？为何？。

名校真题（比例百分数篇）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1 （清华附中考题）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元.2 （101中学考题）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？3（实验中学考题）有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是升。

4 （三帆中学考题）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。

如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。

这两堆煤共重（）吨。

5 （人大附中考题）一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？小升初专项训练 比例百分数篇一、小升初考试热点及命题方向分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块，分百应用题；比和比例；经济浓度问题；三块的地位是均等的，在考试中都有可能出现，希望同学们全面复习，而不要厚此薄彼。

二、考点预测出题方式依然是大题中必然出现一道或者两道和本章内容相关的题目，占的分值权重较大，只要认真复习，掌握解题规律，则可以顺利的拿下这部分分值。

三、知识要点分数百分数应用题分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．比和比例这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。

七年级数学试题
一、选择题
1.下列各数中，是负数的是（）[单选题]*
A、-2*
B、0
C、0.5
D、3
2.下列具有相反意义的量的是（）[单选题]*
A、上升与下降
B、体重减少
C、胜2局与负3局*
D、气温为气温
3.以下说法正确的是（）[单选题]*
A、正整数和负整数统称整数
B、整数和分数统称有理数*
C、正有理数和负有理数统称有理数
D、有理数包括整数、零、分数
4.一袋面粉的包装袋上标有“净含量：千克”字样，下面不可能是这袋面粉的质量的是（）、[单选题]*
A、24.8千克
B、24.9千克
C、25.2千克
D、25.5千克*
5.下列结论中正确的是（）[单选题]*
A、0既是正数，又是负数
B、0是最小的正数
C、0是最大的负数
D、0既不是正数，也不是负数*
6.下列叙述正确的是（）[单选题]*
A、1是最小的正数
B、整数只包含零和正整数
C、比3小的自然数只有1和2
D、0.3不是负整数*
7.把12只鸽子放进7个鸽巢，至少有一个鸽巢分到（）只鸽子、[单选题]*
A、1
B、2*
C、3
D、58.数轴上原点以及原点左边的点所表示的数是（）[单选题]*
A、负数
B、正数
C、非正数*
D、非负数
9.下面各对数中互为相反数的是（）[单选题]*
A、2与-(-2)
B、2与-2*
C、-2的绝对值和2的绝对值
D、2和-2的绝对值
10.若以下列各数为x的值，则可使成立的是（）[单选题]*
A、0
B、1
C、2
D、3*。

北师大版七年级数学上册第五章列一元一次方程解应用题专题练习题1、某校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．（1）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？（2）在（1）的条件下，某公司给员工发福利，在该商场促销钱购买了20件该品牌的衬衫发给员工，后因为有新员工加入，又要购买5件该衬衫，购买这5件衬衫时恰好赶上该商场进行促销活动，求该公司购买这25件衬衫的平均价格．2、采摘茶叶是茶农一项很繁重的劳动，利用单人便携式采茶机能大大提高生产效率．实践证明，一台采茶机每天可采茶60公斤，是人手工采摘的5倍，购买一台采茶机需2400元．茶园雇人采摘茶叶，按每采摘1公斤茶叶m元的标准支付雇工工资，一个雇工手工采摘茶叶20天获得的全部工钱正好购买一台采茶机．（1）求m的值；（2）有两家茶叶种植户王家和顾家均雇人采摘茶叶，王家雇用的人数是顾家的2倍．王家所雇的人中有的人自带采茶机采摘，的人手工采摘，顾家所雇的人全部自带采茶机采摘．某一天，王家付给雇工的工资总额比顾家付给雇工的工资总额少600元．问顾家当天采摘了多少公斤茶叶？3、某市城市居民用电收费方式有以下两种：（甲）普通电价：全天0.53元/度；（乙）峰谷电价：峰时（早8：00﹣晚21：00）0.56元/度；谷时（晚21：00﹣早8：00）0.36元/度．估计小明家下月总用电量为200度．（1）若其中峰时电量为50度，则小明家按照哪种方式付电费比较合适？能省多少元？（2）到下月付费时，小明发现那月总用电量为200度，用峰谷电费付费方式比普通电价付费方式省了14元，求那月的峰时电量为多少度？4、在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）七年级2班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底相同．5、盈盈超市第一次用6000元购进甲，乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲，乙两种商品的进价和零售价如下表（注：获利=售价﹣进价）：甲乙进价（件/元）2230售价（件/元）2940（1）第一次进货时甲，乙两种商品各购进多少件？（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲，乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完后盈利2130元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的．6、国庆期间，某公园门票规定如下表：购票人数1﹣50张51～100张100张以上每人门票价13元11元9元某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，如果以班为单位购票，共付1240元，其中（1）班人数大于40人小于50人，试问：（1）这两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票最省钱？7、某租赁公司拥有100辆轿车，当每辆轿车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆轿车的月租金每增加50元时，未租出的轿车将会增加一辆，租出的轿车每辆每月公司需要保养费150元，未租出的轿车每辆每月公司需要保养费50元．（1）已知10月份每辆轿车的月租金为3600元时，能租出多少辆轿车？（2）已知11月份的保养费开支为12900元，问该月租出了多少辆轿车？（3）比较10、11两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？8、为了进行资源的再利用，学校准备针对库存的桌椅进行维修，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳14套，乙每天比甲多7套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天．学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）请问学校库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你选哪种方案，为什么？9、请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．10、某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A、B两家家具公司了解到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元．A公司的优惠政策为：每买一张办公桌赠送一把椅子；B公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行八折优惠．（1）若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付多少钱？（2）若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况下到任意一家公司购买付款一样多？（3）如果添置的20张办公桌和30把椅子，可到一家公司购买或A、B公司分开购买，请你设计一种购买方案，使所付款额最少，最少付款额是多少？（可不说明理由）11、现在，某商场进行元旦促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？12、某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．13、一队学生从学校出发去骑行，整个队伍以30千米/时的速度前进．（1）骑行了半小时，突然发现有东西遗忘在学校，一名队员马上以50千米/时的速度返回学校，取到东西后仍以50千米/时的速度追赶队伍，求这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了多长时间？（取东西的时间忽略不计）（2）突然前方有事需要接应，派出一名队员前往，如果这名队员以40千米/时的速度独自行进7千米，接应后掉转车头，仍以40千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．问这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？（接应时间忽略不计）．解：设这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了x小时，根据题意，可得方程．（本小题只需要列出方程，不用解）14、某公司要把240吨白砂糖运往A、B两地，用大、小两种货车共20辆，恰好一次可以运完．已知大、小货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A 地的运费为大货车630元/辆，小货车420元/辆，运往B地的运费为大货车750元/辆，小货车550元/辆．（1）求两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往A地，剩下的货车前往B地，那么当前往A地的大货车有多少辆时，总运费为11350元．15、为赴某地考察学习，小颖的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆轿车（平均速度为60千米/小时）从家里出发赶往距家45千米的某机场，此时距规定到达机场的时间仅剩90分钟，7点30分小颖发现爸爸忘了带身份证，急忙通知爸爸返回，同时她乘坐出租车以40千米/小时的平均速度直奔机场，与此同时，爸爸接到通知后继续往机场方向行驶了5分钟后返回，结果不到30分钟就遇上小颖（打电话，拿身份证及上出租车的时间忽略不计），并立即按原速赶往机场，请问：（1）设小颖从7点30分出发经过x小时与爸爸相遇，则与爸爸相遇时小颖行驶了千米，爸爸返回了千米（均用含x的代数式表示）；（2）求小颖从7点30分出发经过多少时间与爸爸相遇；（3）小颖的爸爸能否在规定的时间内赶到机场？16、某中学举行数学竞赛，计划用A，B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？17、A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t．探究若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时y2的値．发现设点C是A城与B城的中点，（1）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？（2）若两车扣相距100千米时，求时间t．决策己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案：方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）；方案二：乘坐客车返回城．试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？35．甲、乙两地的路程为600km，一辆客车从甲地开往乙地．从甲地到乙地的最高速度是每小时120km，最低速度是每小时60km．（1）这辆客车从甲地开往乙地的最短时间是h，最长时间是h．（2）一辆货车从乙地出发前往甲地，与客车同时出发，客车比货车平均每小时多行驶20km，3h两车相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达目的地停止．求两车各自的平均速度．（3）在（2）的条件下，甲、乙两地间有两个加油站A、B，加油站A、B相距200km，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与加油站B的路程．参考答案1、某校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．（1）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？（2）在（1）的条件下，某公司给员工发福利，在该商场促销钱购买了20件该品牌的衬衫发给员工，后因为有新员工加入，又要购买5件该衬衫，购买这5件衬衫时恰好赶上该商场进行促销活动，求该公司购买这25件衬衫的平均价格．【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，根据题意可得：（120﹣80）×400+（500﹣400）（120﹣x﹣80）=80×500×45%，解得：x=20，答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标；（2）由题意可得：[20×120+5×（120﹣20）]÷25=116（元），答：该公司购买这25件衬衫的平均价格是116元．2、采摘茶叶是茶农一项很繁重的劳动，利用单人便携式采茶机能大大提高生产效率．实践证明，一台采茶机每天可采茶60公斤，是人手工采摘的5倍，购买一台采茶机需2400元．茶园雇人采摘茶叶，按每采摘1公斤茶叶m元的标准支付雇工工资，一个雇工手工采摘茶叶20天获得的全部工钱正好购买一台采茶机．（1）求m的值；（2）有两家茶叶种植户王家和顾家均雇人采摘茶叶，王家雇用的人数是顾家的2倍．王家所雇的人中有的人自带采茶机采摘，的人手工采摘，顾家所雇的人全部自带采茶机采摘．某一天，王家付给雇工的工资总额比顾家付给雇工的工资总额少600元．问顾家当天采摘了多少公斤茶叶？【解答】解：（1）由题意：×20×m=2400，解得：m=10；（2）设顾家雇了x人，则王家雇了2x人，其中：人自带采茶机采摘，人人手工采摘，由题意得：60x×10=×x×10+60×x×10+600解得：x=15 （人）所以，顾家当天采摘了共采摘了15×60=900（公斤），答：顾家当天采摘了900公斤茶叶．3、某市城市居民用电收费方式有以下两种：（甲）普通电价：全天0.53元/度；（乙）峰谷电价：峰时（早8：00﹣晚21：00）0.56元/度；谷时（晚21：00﹣早8：00）0.36元/度．估计小明家下月总用电量为200度．（1）若其中峰时电量为50度，则小明家按照哪种方式付电费比较合适？能省多少元？（2）到下月付费时，小明发现那月总用电量为200度，用峰谷电费付费方式比普通电价付费方式省了14元，求那月的峰时电量为多少度？【解答】解：（1）按普通电价付费：200×0.53=106元，按峰谷电价付费：50×0.56+150×0.36=82元．所以按峰谷电价付电费合算，能省106﹣82=24元；（2）设那月的峰时电量为x度，根据题意得：0.53×200﹣[0.56x+0.36（200﹣x）]=14，解得x=100．答：那月的峰时电量为100度．4、在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）七年级2班有男生、女生各多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底相同．【解答】解：（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：x+x+2=50，解得：x=24，女生：24+2=26（人），答：七年级2班有男生有24人，则女生有26人；（2）男生剪筒底的数量：24×120=2880（个），女生剪筒身的数量：26×40=1040（个），因为一个筒身配两个筒底，1880：1040≠2：1，所以原计划男生负责箭筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，设男生应向女生支援y人，由题意得：120（24﹣y）=（26+y）×40×2，解得：y=4，答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底相同．5、盈盈超市第一次用6000元购进甲，乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲，乙两种商品的进价和零售价如下表（注：获利=售价﹣进价）：甲乙进价（件/元）2230售价（件/元）2940（1）第一次进货时甲，乙两种商品各购进多少件？（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲，乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完后盈利2130元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的．【解答】解：（1）设第一次甲种商品购进x件，依题意：22x+30（x+15）=6000，解此方程：x=150；（x+15）=90，答：第一次甲，乙两种商品分别购进150件和90件；（2）设第二次乙种商品按打y折销售，依题意：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3=2130，解此方程：y=8.5，答：第二次乙种商品是按原价打8.5折销售的．6、国庆期间，某公园门票规定如下表：购票人数1﹣50张51～100张100张以上每人门票价13元11元9元某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，如果以班为单位购票，共付1240元，其中（1）班人数大于40人小于50人，试问：（1）这两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票最省钱？【解答】解：（1）设（1）班有x人，则（1）班有（104﹣x）人，根据题意得13x+11（104﹣x）=1240，解得x=48，104﹣x=104﹣48=56．答：（1）班有48人，（2）班有56人；（2）104×9=936（元），1240﹣936=304（元）．答：两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元；（3）13×48=624（元），11×51=561（元）．答：（1）班买51张票最省钱．7、某租赁公司拥有100辆轿车，当每辆轿车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆轿车的月租金每增加50元时，未租出的轿车将会增加一辆，租出的轿车每辆每月公司需要保养费150元，未租出的轿车每辆每月公司需要保养费50元．（1）已知10月份每辆轿车的月租金为3600元时，能租出多少辆轿车？（2）已知11月份的保养费开支为12900元，问该月租出了多少辆轿车？（3）比较10、11两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？【解答】解：（1）设10月份未租出x辆轿车，依题意得，50x=3600﹣3000，解得x=12．所以，租出的轿车为100﹣12=88（辆）．答：10月份能租出88辆轿车；（2）设11月份租出y辆轿车，依题意得：150y+50（100﹣y）=12900解得y=79．答：11月份租出79辆轿车；（3）10月份收益：（3600﹣150）×88﹣50×12=303000（元）．11月份收益：[3000+50（100﹣79）]×79﹣12900=307050（元）．因为307050﹣303000=4050（元），所以11月份收益多，多4050元．8、为了进行资源的再利用，学校准备针对库存的桌椅进行维修，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳14套，乙每天比甲多7套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天．学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）请问学校库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你选哪种方案，为什么？【解答】解：（1）设乙单独做需要x天完成，则甲单独做需要（x+20）天，由题意可得：14（x+20）=21x，解得：x=40，总数：21×40=840（套），答：乙单独做需要40天完成，甲单独做需要60天，一共有840套桌椅；（2）方案一：甲单独完成：60×80+60×10=5400（元），方案二：乙单独完成：40×120+40×10=5200（元），方案三：甲、乙合作完成：840÷（14+21）=24（天），则一共需要：24×（120+80）+24×10=5040（元），故选择方案三合算．9、请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．【解答】解：（1）设一个暖瓶x元，则一个水杯（38﹣x）元，根据题意得：2x+3（38﹣x）=84．解得：x=30．一个水杯=38﹣30=8．故一个暖瓶30元，一个水杯8元；（2）若到甲商场购买，则所需的钱数为：（4×30+15×8）×90%=216元．若到乙商场购买，则所需的钱数为：4×30+（15﹣4）×8=208元．因为208＜216．所以到乙家商场购买更合算．10、某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A、B两家家具公司了解到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元．A公司的优惠政策为：每买一张办公桌赠送一把椅子；B公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行八折优惠．（1）若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付多少钱？（2）若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况下到任意一家公司购买付款一样多？（3）如果添置的20张办公桌和30把椅子，可到一家公司购买或A、B公司分开购买，请你设计一种购买方案，使所付款额最少，最少付款额是多少？（可不说明理由）【解答】解：（1）210×20+70×（m﹣20）=70m+2800（元）．答：若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付（70m+2800）元钱．（2）设买x把椅子，到任意一家公司购买付款一样多，根据题意得：210×20+70（x﹣20）=80%（210×20+70x），解得：x=40．答：买40把椅子时，到任意一家公司购买付款一样多．（3）购买方案为：到A公司购买20张办公桌，A公司赠送20把椅子，再到B 公司购买10把椅子．最少付款额为210×20+80%×70×10=4760元．11、现在，某商场进行元旦促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？【解答】解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得300+0.8x=x，解得x=1500，所以，顾客购买1500元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等；（2）小张买卡合算，3500﹣（300+3500×0.8）=400，所以，小张能节省400元钱；（3）设进价为y元，根据题意，得（300+3500×0.8）﹣y=25%y，解得y=2480答：这台冰箱的进价是2480元．12、某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．（1）求该店有客房多少间？房客多少人？（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．【解答】解：（1）设客房有x间，则根据题意可得：7x+7=9x﹣9，解得x=8；即客人有7×8+7=63（人）；答：客人有63人．（2）如果每4人一个房间，需要63÷4=15，需要16间客房，总费用为16×20=320（钱），如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用=18×20×0.8=288（钱）＜320钱，所以他们再次入住定18间房时更合算．答：他们再次入住定18间房时更合算．13、一队学生从学校出发去骑行，整个队伍以30千米/时的速度前进．（1）骑行了半小时，突然发现有东西遗忘在学校，一名队员马上以50千米/时的速度返回学校，取到东西后仍以50千米/时的速度追赶队伍，求这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了多长时间？（取东西的时间忽略不计）（2）突然前方有事需要接应，派出一名队员前往，如果这名队员以40千米/时的速度独自行进7千米，接应后掉转车头，仍以40千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．问这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？（接应时间忽略不计）．解：设这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了x小时，根据题意，可得方程40x+30x=7×2．（本小题只需要列出方程，不用解）【解答】解：（1）设这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了y小时，根据题意得：50y﹣30y=30××2，解得：y=1.5．答：这名队员从掉头返校到追上队伍，经过了1.5小时．（2）设这名队员从离队开始到与队员重新会合，经过了x小时，根据题意得：40x+30x=7×2．故答案为：40x+30x=7×2．14、某公司要把240吨白砂糖运往A、B两地，用大、小两种货车共20辆，恰好一次可以运完．已知大、小货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A 地的运费为大货车630元/辆，小货车420元/辆，运往B地的运费为大货车750元/辆，小货车550元/辆．（1）求两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往A地，剩下的货车前往B地，那么当前往A地的大货车有多少辆时，总运费为11350元．【解答】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，根据题意得：15x+10（20﹣x）=240，解得：x=8，∴20﹣x=20﹣8=12．答：大货车用8辆．小货车用12辆．（2）设前往A地的大货车有a辆，那么到A地的小货车有（10﹣a）辆，到B 地的大货车（8﹣a）辆，到B的小货车有12﹣（10﹣a）=a+2辆，根据题意得：630a+420（10﹣a）+750（8﹣a）+550（2+a）=11350，即10a+11300=11350，解得：a=5．答：当前往A地的大货车有5辆时，总运费为11350元．15、为赴某地考察学习，小颖的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆轿车（平均速度为60千米/小时）从家里出发赶往距家45千米的某机场，此时距规定到达机。

专题4.4 其他应用问题【典例1】用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面，现有38张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？【思路点拨】由x 张用A 方法，就有(38−x )张用B 方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x 的值，求出侧面的总数就可以求出结论．【解题过程】解：设裁剪时x 张用A 方法，则裁剪时（38−x ）张用B 方法． ∴侧面的个数为：6x +4(38−x )=(2x +152)个， 底面的个数为：5(38−x )=(190−5x )个； 由题意，得2x+1523=190−5x2，解得：x =14，38−x =24（张）用B 方法，∴盒子的个数为：(2×14+152)÷3=60（个）．答：14张用A 方法，24张用B 方法，裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子．一、配套问题1．（2022·天津·耀华中学七年级期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人．每个工人平均每天可以生产螺丝50个或螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝．2．（2022·全国·七年级专题练习）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）3．（2022·全国·七年级专题练习）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．(1)七年级2班有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗?如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？4．（2022·全国·七年级专题练习）小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？5．（2022·全国·七年级专题练习）一套精密仪器由一个A部件和两个B部件构成，用1m3钢材可以做40个A部件或240个B部件，现在要用4m3钢材制作这种仪器．(1)请问用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，可以恰好制成整套的仪器？(2)可以制成仪器套．(3)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择：方案一：当a不超过50套时，每套支付租金100元；当a超过50套时，超过的套数每套支付租金打八折；方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元．当a＞50时，请回答下列问题：①若按照方案一租赁，公司每天需支付租金元（用含a代数式表示）；若按照方案二租赁，公司每天需支付租金元（用含a代数式表示）．②假如你是公司负责人，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？并说明理由．二、工程问题6．（2022·全国·七年级专题练习）为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？7．（2022·全国·七年级专题练习）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）8．（2022·全国·七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多1．2(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？9．（2022·全国·七年级单元测试）2023年某校为顺利开展课后服务的电子琴项目，急需采购一批电子琴，现有光明工厂和希望工厂都想制作这批电子琴，已知光明厂单独制作这批电子琴比希望工厂单独制作这批电子琴多用20天，光明工厂每天可制作16架电子琴，希望厂每天可制作24架电子琴，经核算，学校每天需付给光明厂800元制作费，每天需付给希望厂1200元制作费．(1)这个学校需要采购多少架电子琴？(2)在制作过程中，学校需派一名职工每天到工厂进行监督，并为该职工提供20元的午餐补助，学校制定了电子琴加工方案如下：可由一个工厂单独完成，也可由两个工厂合作完成．请你帮助学校选择一种既省钱又省时的制作方案．10．（2022·全国·七年级专题练习）某工程交由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队单独完成需要60天，乙工程队单独完成需要40天．(1)若甲工程队先做20天，乙工程队再参加，两个工程队一起来完成剩余的工程，求共需多少天完成该工程任务？(2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的工作效率提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共工作了多少天？11．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级开学考试）有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40 m2墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷30 m2的墙面．(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(2)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷比全部请师傅粉刷少付300元工钱，求一名徒弟一天的工钱是多少？12．（2022·江苏常州·七年级期末）甲、乙两个工程队第一次合作完成6000米的公路修建工程，两队的修建速度及每天所需工程费的情况如表所示，最终甲队的工作天数比乙队的工作天数的2倍少20天．（1（2）甲、乙两个工程队第二次又合作完成某项公路修建工程，其中乙队分到的工作量是它的第一次的2倍，同时由于乙队减少了人员和设备，修建速度比它的第一次减少了25%，每天所需工程费也因此而打折．完成该项任务后，乙队所需工程费比它的第一次多了38000元，求乙队第二次每天所需工程费是它的第一次的几折？13．（2022·吉林·长春南湖实验中学七年级阶段练习）一项工程，甲单独做要18小时完成，乙单独做要12小时完成．若甲先做1小时，然后由乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作．问完成任务时，共用了多长时间？三、比赛积分问题14．（2022·福建漳州·七年级期末）篮球赛单循环赛一般按积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．某次篮球联赛中，太阳队目前的战绩是7胜5负，后面还要比赛13场．若太阳队的最终得分为40分，求太阳队一共胜了几场？15．（2022·北京·清华附中七年级期末）如表是某次篮球联赛积分榜的一部分(1)观察积分榜，胜一场积分，负一场积分；(2)设某队胜x场，则胜场总积分为分，负场总积分为分（用含x的整式填空）；(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的n倍，其中n为正整数，请直接写出n的值．16．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期中）某次篮球联赛积分榜如下表所示：(1)通过观察积分表，填空：胜一场得分，负一场得分．(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．四、数字问题17．（2022·河南洛阳·七年级期中）一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．18．（2022·湖北·京山市教学研究室七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题．(1)十字框中的五个数的和等于；(2)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和是；(3)在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于2020，求这五个数；(4)框住的五个数的和能等于2022吗？请说明理由．五、分段收费问题19．（2022·全国·七年级课时练习）北京冬奥会速滑项目某场次门票价格为110元/人，若购买团体票有如下优惠：购票人数不超过50人的部分超过50人，但不超过100人的部分超过100人的部分优惠方案无优惠每张票价优惠20% 每张票价优惠50%票，则应付票款10175元．请列一元一次方程解决下列问题：(1)已知两个班总人数超过100人，求两个班总人数；(2)在（1）条件下，若一班人数多于50人，二班人数不足50人，但至少25人，如果两个班单独购票，一共应付票款11374元．求两个班分别有多少人？20．（2022·浙江绍兴·七年级期末）A市出租车收费标准如下：行程（千米）3千米以内满3千米但不超过8千米的部分8千米以上的部分收费标准（元）10元 2.4元/千米3元/千米(2)某人从火车站乘出租车到旅馆，下车时计费表显示19.6元，请你帮忙算一算从火车站到旅馆的距离有多远？(3)小明乘飞机来到A市，小刚从旅馆乘出租车到机场去接小明，到达机场时计费表显示73元，接完小明，立即沿原路返回旅馆（接人时间忽略不计），请帮小刚算一下乘原车返回和换乘另外的出租车，哪种更便宜？21．（2022·江苏盐城·七年级期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表：(1)实施“44元？(2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？22．（2022·浙江·七年级专题练习）为了平衡电力负荷，减少用电高峰时段用电和不必要的能源消耗，浙江省居民生活用电可申请“峰谷电”，两种收费标准如下：未申请峰谷电即阶梯电价收员标准：200千瓦时．如果不申请峰谷电则需费用0.54×230+0.59×(300−230)；若申请峰谷电则需费用0.57×100+0.29×200+0.05×(300−230)．(1)小明家5月份用电总量为400千瓦时，其中峰时用电量为150千瓦时，低谷时间段用电量为250千瓦时，如不申请峰谷电，应付电费______元；若申请峰谷电，应付电费______元；(2)小强家未申请峰谷电，8月份一共交电费308.5元，求小强家8月份的用电总量；(3)小强听小朋介绍峰谷电节能且收费便宜，于是9月份就申请了峰谷电，9月份用电总量是330千瓦时，经计算申请峰谷电后比申请前节约了54.5元，求小强家9月份的峰时用电量为多少?23．（2022·江苏无锡·七年级期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．二档上限增加60立方米、120立方米）．(1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为元，调整后气费为元；(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？。

第4讲工程与行程专题一、工程问题中的基本量与基本公式1．工程问题的三个基本量（1）工作时间（2）工作总量（3）工作效率2．基本公式：工作时间×工作效率=工作总量二、工程问题的常见类型1．基本效率计算关键在于计算效率2．中途离开或加入型算清楚每个人工作的时间或合作时间3．来回帮忙型先明确每件工作的工作量和每个人的工作效率，再利用所有人都在同时干活，总工作量除以总工作效率等于总时间，然后可以根据总时间算出每个人具体的工作安排4．具有周期性的工程问题（1）轮流工作型：先处理合作部分，再处理剩余工作量（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理5．水管问题和牛吃草问题（1）水管问题：注意是否有“帮倒忙”的水管（2）牛吃草问题：设效率，比较总量三、行程问题的基本公式速度×时间=路程1．相遇问题：速度和×相遇时间=路程和2．追及问题：速度差×追及时间=路程差四、钟表问题1．钟表问题求解钟面上分针和时针的相遇与追及2．钟表问题中的路程通常用“度”或“格”表示3．不论采用哪种单位来度量，分针的速度都是时针速度的12倍4．常见题型（1）追及型：分针、时针同向走到某特殊位置，如“成直角”“重合”等（2）相遇型：“时针和分针恰好调换位置”等，例如上某节课，课前看了一下表，下课时又看表，发现恰好和上课前比时针、分针对调了位置，而这节课大约2小时，那么时针和分针路程和就是2圈，视为钟面上的相遇问题（3）快慢钟：先算出钟的速度比，然后注意条件中给的时间过程是哪个钟的五、火车问题1．火车过桥路程=车长+桥长2．火车过人（1）人站立不动，过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长（2）人迎向火车，过人的速度为火车与人的速度之和，路程为火车的车长（3）人背向火车，过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长3．火车错车问题（1）快车追上并超过慢车，路程差等于两车的车长之和（2）两车相遇并错车，路程和等于两车的车长之和六、流水行船问题1．基本公式（1）顺水速度＝船速＋水速；（2）逆水速度＝船速—水速；（3）船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；（4）水速＝（顺水速度—逆水速度）÷2．※注意：在流水行船的问题中，一般船会有三种速度——静水速度、顺水速度、逆水速度，在解题时，要特别注意船的航行方向，不要算错速度．2．重要结论：（1）在一个相遇过程中，甲、乙两船的速度和就是两船的静水速度和；（2）在一个追及过程中，甲、乙两船的速度差就是两船的静水速度差；（3）如果在行船过程中掉落一个无动力的漂浮物，且船静水速度不变，那么从丢失到发现的时间等于从发现到追回的时间，即“离开多久，追回多久”七、环形路线问题1．环形路线中的相遇与追及环形路线中的相遇与追及和直线上的相遇与追及类似．相向而行2．环形路线中的周期性从同一点出发，第N次相遇时，两人所走的路程和是N个周长；从同一点出发，第N次追上时，两人所走的路程差是N个周长．3．较复杂的环形路线问题由于在环形路线上可以回到起点，与直线上的行程问题相比，环形路线上的行程问题会更加复杂．做题的时候要注意．八、行程综合问题多次往返、变速问题、扶梯问题、间隔发车等一、工程问题例1.（2012年，西城区）一件工程，甲5小时完成了工作的15，乙6小时完成了剩下的12，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要_____小时．例2.（2011年，海淀区）甲、乙两位老师一起批改试卷，甲单独批改需要20小时，乙单独批改需要15小时．现在两个人一起批改，由于批改时会相互影响，每小时共少批改30张试卷，结果用9小时批改完．那么这批试卷共_______张．例3.（2012年，西城区）一件工作，小明单独做要20天，小强单独做需要30天，小强工作几天后，小明才加入来一起做．这件工作最后一共用了15天完成，那么小明与小强合作了______天例4.（2011年，海淀区）有A、B两项工程，A工程的工作量是B工程的2倍，甲单独完成A工程需要20天，乙单独完成B工程需要24天，丙单独完成B工程需要40天．现在甲、乙、丙三个人同时开始工作，甲一直做A工程，乙一直做B工程，丙先帮甲做了一段时间，后来又帮乙做，最后两个工程同时完成，则丙帮乙做_______天．例5.（2012年，海淀区）一项工程，甲单独做需6小时，乙单独做需10小时，若甲先做1小时，然后乙解题甲做1小时，再由甲解题乙做1小时……两个人如此交替工作，那么完成任务共用时______小时．例6.（2011年，西城区）有甲、乙两个工程队，甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天．一项工程，甲队单独做需经104天完成，乙队单独做需经82天，如果两队合作，需要____天可以完成整个工程．例7.（2012年，海淀区）一个水池装有两个相同的进水管和一个排水管．如果只开一个排水管，则6小时可以将一个池子排空；如果开一个进水管和一个排水管，3小时可以将空池灌满．现在将两个进水管和一个排水管同时打开，那么_______小时能将空池灌满．例8.（2009年，海淀）牧场上的草每天都匀速生长．这片草可供27头牛吃6周，或23头牛吃9周．那么，这片草可供21头牛吃_______周．例9.李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，若他再买3头牛，则会提前两天将草吃完；若他卖出3头牛，则会推迟4天才吃完草，那么这片草放养原先那群牛，会用多少天将草吃完？二、行程问题例10.（2011年，海淀）在双轨的铁道上，速度为54千米/小时的货车，10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥．后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒完全超过在前面行驶的货车．那么货车长_______米，列车长______米，铁桥长_______米．例11.（2012年，西城）A、B两地相距100千米，A在上游，水流速度为5千米/小时，甲、乙两船同时从A、B两地出发相向而行，在A、B两地之间不断往返．甲船的静水速度是15千米/小时，乙船的静水速度也是15千米/小时，那么________小时后两船第二次相遇，相遇地点距离B地________千米．例12.（2010年，海淀）如图，两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每秒行驶4米．甲、乙两车同时从相距90米的A、B两地背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B地，甲车过B地后恰好又回到A地．此时甲车立即返回（乙车过B地继续行驶），再过_________分钟与乙车相遇．例13.如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？例14.如下图所示，大圈是400米跑道，由A到B沿大圈走跑道长是200米，直线距离是50米．父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线回到A．父亲每100米用时20秒，儿子每100米用时19秒．如果按这样的速度一直跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？B例15.（2012年，海淀区）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地之间的距离是_______千米．例16.（2005年，海淀区）A、B两个港口，A在上游，B在下游，水速4千米/小时．甲、乙两船同时分别从由A、B出发，各自不停地在A、B间往返，甲的静水速度是28千米/小时，乙的静水速度是12千米/小时．已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时在A的那次）的地点相距40千米，那么A、B两个港口间距离是_______千米．例17.（2012年，海淀区）自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一个男孩和一个女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的速度的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶端，而女孩走了18级达到顶端，问：扶梯露在外面的部分有_______级．例18.（2012年，海淀区）小明放学回家，他沿11路公交的路线不行，他发现每隔6分钟，有一辆11路公交迎面开来，每隔12分钟，有一辆11路公交从背后开来．已知每辆公交都按相同的速度行驶，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么11路公交每______分钟发车一辆．例19.（2012年，海淀区）4辆越野车组成的车队被困在沙漠中的一个绿洲，他们打算穿越沙漠，到达救援点．每辆越野车现在都装满了油，最多能行100千米，且他们没有多余的油了．由于沙漠太大，他们无法到达救援点，所以他们希望能让其中的一辆车到达救援点去求援，然后其他3辆车都返回绿洲等待救援，那么求援点距离绿洲最远是_______千米．作业1. （2010年，海淀）一件工作，甲单独做需要18天，乙单独做需要30天．现在甲做若干天后由乙接着做，共用24天，那么甲工作了_______天．作业2. （2010年，西城）甲、乙、丙三个人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每个人一天轮流去做，恰好整数天做完，并且结束工作的是乙；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序去做，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需要13天，那么甲、乙、丙三个人一起做这件工作，需要______天才能完成．作业3. （2010年，西城）如图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B ，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．如果打开A 孔、关闭B 孔，则经过20分钟可将水箱注满；如果关闭A 孔，打开B 孔，则经过22分钟可将水箱注满．如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是_______分钟．作业4. 一片草地，草每天生长量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛24天可将草吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天将草吃完．原来有________头牛．作业5.A城在一条河的上游，B城在这条河的下游．A、B两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B城开往A城，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B城开．已知河水的速度为每小时6千米．两船在距离A城180千米的地方相遇．巡逻艇一到达B城就得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城？作业6.（2013年，海淀区）甲、乙、丙三个人在400米跑道上跑步锻炼，三个人同时从同一出发点出发同向而行，甲的速度是5米/秒，乙的速度是7米/秒，丙的速度是1米/秒．请问：（1）三人什么时候第一次同时回到出发点？（2）三人什么时候第一次相遇？作业7.（2012年，海淀区）甲从A地骑车前往B地，乙从B地骑车前往A地，如果甲、乙两人同时出发，那么两个人第一次在距离A地20千米处相遇，相遇后，甲继续往B地走，到B地后立刻返回，乙继续往A地走，到A地后立刻返回，然后两人第二次在距离B地10千米处相遇．作业8.A、B两地分别在一条河的上下游，甲乙两条船同时从A地出发，行到B地立即返回．如果甲乙两船在静水中的速度分别是每小时21千米和每小时15千米，水速为每小时3千米，两船从出发到第二次相遇，所用的时间是甲船从A到B所用时间的________倍．作业9.（2011年，海淀）两个孩子逆着自动扶梯的方向行走．20秒内男孩可以走28级，女孩可以走24级，按此速度，男孩共用2分钟到达另一端，而女孩用3分钟才能到达，则扶梯静止时共_______级．作业10.（2012年，海淀）如图跑道，沿ACBEA走一大圈是400米，沿ACBDA走一小圈是275米，其中从A到B的直线距离是75米．甲、乙两人同时从A点出发练长跑，甲沿ACBDA跑小圈，每100米用时24秒，乙沿ACBEA跑大圈，每100米用时21秒．问（1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？（2）出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇？作业11.圆形跑道的40%是平地，60%则设置了跨栏（图中粗线部分）．甲、乙两人的平均速度分别为5米/秒和6米/秒，跨栏速度分别4米/秒和3米/秒．第一次两人从A点出发逆时针跑，甲先跑了5秒，之后乙再出发．结果两人在第一圈相遇了两次，且两次相遇的间隔为18秒．问：（1）跑道总长为多少米？（2）如果两人从A点出发顺时针跑，而且在跑第一圈时也相遇了两次，且两次相遇时间间隔为45秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？11。

第一讲分.百应用题知识点1 单位1被平均分：已知一个数，求它的几分之几（或百分之几）是多少，通常用乘法做：单位“1”的量×分率=对应分量；2 单位一是分体：求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），用除法做：对应分量÷单位“1”的量=分率；3 单位1 = 量÷分率已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数，用除法：对应分量÷分率=单位“1”的量4单位”1”:“是”，“占”，“比”，“相当于”的后面的量；“的”字前面的量。

例如：甲是乙的45%；单位“1”是乙。

女生占全班人数的55%；单位“1”是全班人数。

故事书比科技书多25%：单位“1”是科技书。

一. 单位1相同时，量率对应就可以知识点：已知整体求部分用乘法已知一个数，求它的几分之几（或百分之几）是多少，通常用乘法做：单位“1”的量×分率=对应分量；例1：一本故事书共有120页，小明第一天看了30页，第二天看了全书的25%，第三天应从第几页开始看？例2：有一本故事书，小明第一天看了30页，第二天到第五天每天看15页，还有40%没有看完，问这本故事书有多少页？例3：已知六年级一班，男生比全班人数的59少4人，女生比全班人数的40%多6人，问男生比女生少多少人？用X表示全班人数，男生和女生的人数用含有X的式子表示出来，然后翻译成一个等式例4：王师傅运一袋大米，第一天运走总数的1/5多60袋，第二天运走总数的1/4少60袋，还剩下220袋没有运走。

问大米有多少袋？例5：一项工程,由甲先做a小时后甲乙两人合作,完成时甲做了这项工程的4/5。

如果由乙先做a 小时后甲乙二人合作,完成时甲能做这项工程的2/5,这项工程由甲单独做需20小时完成。

由甲乙二人同时开工合作需几小时完成?12设这项工程乙单独做需要x小时完成由甲先做A小时后甲乙二人合作干了T1小时T1=x/5 1式A+T1=20*4/5A+T1=16小时2式如果由乙先做A小时后甲乙二人合作干了T2小时T2=20*2/5 =8 小时A+T2=3x/5 ，A=3x/5-T2A=3x/5-8 3式1式3式代入2式：3x/5-8 + x/5=16x=30甲乙二人合作1小时完成工程的：1/20 +1/30=5/60=1/12答：这项工程由甲乙二人同时开工合作需12小时完成.二单位1不同时或者转换或者方程例1：一班有40人，已知一班人数是二班人数的4/3,二班人数是三班人数的3/4,问2班和班各有多少人？例2：一套西服的价格是250元，其中上衣价钱的1/6正好与裤子价钱的1/4相等。

名校试卷精选答案五年级专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种行为是合作学习的表现？A. 分组讨论B. 独立完成作业C. 互相抄袭D. 在课堂上大声喧哗2. 以下哪个是数学中的基本运算法则？A. 加法交换律B. 减法交换律C. 乘法结合律D. 除法结合律3. 地球上的水循环过程中，以下哪个环节不属于蒸发？A. 液态水变为水蒸气B. 水蒸气上升形成云C. 云中的水蒸气凝结成水滴D. 水滴从云中落下成为降水4. 在科学实验中，以下哪个步骤是实验设计的关键？A. 确定实验目的B. 选择实验材料C. 制定实验步骤D. 分析实验结果5. 以下哪个是化学反应的基本类型？A. 合成反应B. 分解反应C. 置换反应D. 复分解反应二、判断题（每题1分，共5分）1. 地球是太阳系中最大的行星。

（）2. 动物细胞和植物细胞都有细胞膜、细胞质和细胞核。

（）3. 物质的三态变化过程中，固态变为液态称为融化。

（）4. 电流的方向是由正电荷向负电荷流动的。

（）5. 在光合作用中，植物通过吸收阳光能量将水和二氧化碳转化为葡萄糖和氧气。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 地球的自转周期是______天。

2. 在化学反应中，酸和碱反应______和______。

3. 人体内最大的消化腺是______。

4. 电阻的单位是______。

5. 光的三原色是红、绿、______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述地球公转的周期和方向。

2. 解释物质的三态变化及其特点。

3. 描述植物的光合作用过程。

4. 解释电流的形成及其作用。

5. 简述消化系统的组成和功能。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是10cm、6cm、4cm，求其体积。

2. 如果一辆汽车以60km/h的速度行驶，需要多长时间才能行驶100km？3. 在一个实验中，有50g的水和50g的酒精混合，求混合后的总体积。

4. 一个班级有30名学生，其中有18名女生，求女生所占的比例。