函数解析式的七种求法(讲解)之令狐文艳创作

求函数解析式常用的方法：
1）待定系数法
根据已知条件设出一个含有待定系数的代数式或函数式或方程，然后利用恒等式的性质，或将已知条件带入，建立起方程组，通过方程组而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，找出原来已知系数间存在的关系，这种方法叫做待定系数法。

2）换元法
换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、换繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的，常见的换元法是多种多样的，诸如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均换元等等，它的应用极为广泛。

3）配凑法
根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式。

1）消元法
此法的实质是解函数方程
5）赋值法
此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律。

二次函数综合题型精讲精练令狐文艳主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为．方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。

同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。

应用的定理是：两点之间线段最短。

A AB BM 或者 MA’B’例2：已知抛物线1C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。

（1）求抛物线1C 的顶点坐标.（2）已知实数0x >，请证明：1x x+≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2C 上的两个不同点，且满足：090AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b=+=++=++第二章 函数与基本初等函数映射的定义：两个非空集合A 、B ，按照某一确定的对应关系f ，对于A 中的任一个元素x ，在B 中总有唯一的一个元素y 与它对应，这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A→B。

其中，b 称为元素a 在映射f 下的象，记作：b=f(a)。

a 称为b 关于映射f 的原象。

函数的定义：两个非空数集A 、B ，按照某一确定的对应关系f ，而且对于A 中的任一个元素x ，在B 中总有有唯一的一个元素f(x)与它对应，这种对应为从A 到B 函数，记作f ：A→B，记作：b=f(a)。

集合A 中所有元素的集合称为函数的定义域，x A ∈ 集合A 中所有元素的象的集合称为函数的的值域，记作f(A)。

函数解析式的七种求法归纳一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．解：设b ax x f +=)()0(≠a，则 ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+xx ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． Q x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)()(2x g y x x x f =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x f y =上 ， x x y '+'='∴2．把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ． 解 Θx xf x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得：xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--=． 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．例6 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．解,Q 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ．再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f ．七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．例7 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f ．解Θ +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--=L L ，，， 将上述各式相加得：n f n f Λ++=-32)1()(，(1)()1232n n f n n +∴=+++=L ， +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2．。

函数解析式的罕有几种求 法之五兆芳芳创作一、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，经常使用配凑法.但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域.例2 已知221)1(x x x x f +=+，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x二、 待定系数法：在已知函数解析式的机关时，可用待定系数法. 例1设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则三、代入法：求已知函数关于某点或某条直线的对称函数时，一般用代入法.例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：整理得672---=x x y四、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式.与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变更. 例3已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x五、机关方程组法：若已知的函数关系较为抽象繁复，则可以对变量进行置换，设法机关方程组，通过解方程组求得函数解析式. 例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f解 x x f x f =-)1(2)(①显然,0≠x 将x 换成x1，得：x x f x f 1)(2)1(=-② 解①②联立的方程组，得：例6设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ②解①②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， x x x g -=21)(六、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或迭代等运算求得函数解析式.例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴无妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故①辨别令①式中的1,21x n =- 得：将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，七、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、复杂化，从而求得解析式.例7已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 无妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f。

七 种 求 法 求函 数 解 析 式一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

求函数解析式的常用方法一．配凑法：根据具体解析式配凑出复合变量的形式，从而求出解析式。

1．已知221)1(xx x x f +=+，求函数)(x f 的解析式。

2．若()3232+-=+x x x f ，求函数()x f 的表达式。

3．已知11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x f ，求()12-f 的值。

4．已知()x x f lg 3=，求()2f 的值。

二．换元法：就是通过引入一个或几个新的变量来代替原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、化繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。

使用换元法解题时，要注意换元后变元的范围。

5．已知x xf lg )12(=+，求函数)(x f 的解析式。

6．设()1322++=-x x x f ，求函数()x f 的解析式。

7．已知221111x x x x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则()x f 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B. 212x x +- C. 212x x + D. 21xx +- 8．已知()x x f 2sin cos 1=-，求函数()x f 的解析式。

三．待定系数法：已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有待定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，从而使问题得以解决。

9．已知函数)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。

10．已知()13-=x x f ，()[]32+=x x h f ，()x h 为x 的一次函数，求()x h 。

11．已知函数()()()x g x f x +=ϕ，其中()x f 是x 的正比例函数，()x g 是x 的反比例函数，且1631=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ，()81=ϕ，求函数()x ϕ的表达式。

求函数解析式的基本方法函数解析式是指用代数式表示一个函数的方法。

基本上，我们可以通过以下几种方法来求解一个函数的解析式：1. 直接根据函数的定义求解：有些函数的定义可以直接给出解析式，比如常见的线性函数、二次函数、三角函数等。

例如，一次函数的解析式一般为 y=ax+b，其中 a 和 b 为常数。

2.根据已知函数的性质和关系求解：有时候我们已经知道了一些函数的性质和关系，可以通过利用这些已知信息来求解未知函数的解析式。

例如，如果已知函数f(x)和g(x)满足f(x)+g(x)=x^2，我们可以通过分析并联两个函数的和的性质来求解f(x)和g(x)的解析式。

3.根据函数的图象求解：函数的图象可以提供一些有用的信息，可以通过观察函数的图象来求解函数的解析式。

例如，可以通过观察二次函数的图象的顶点、开口方向等特征来求解函数的解析式。

4.利用已知的函数的运算性质和函数间的关系推导出未知函数的解析式：在代数学中有许多函数间的运算性质和关系，可以利用这些性质和关系来求解未知函数的解析式。

例如，如果已知函数f(x)的导数是f'(x)，我们可以通过求解f(x)的导函数来求解f(x)的解析式。

需要注意的是，求解函数的解析式是一个复杂而多变的过程，除了上述基本方法外，还可能需要运用代数、微积分、函数极限等数学知识来辅助求解。

另外，对于一些复杂的函数，可能不存在显式的解析式，只能通过数值逼近的方法得到函数的近似解析式。

举例说明求解函数解析式的方法：1. 求解线性函数：如果已知函数 f(x) 是一个线性函数，并且已知通过点 P(1,2)，Q(3,6)，则可以通过求解函数的斜率来得到函数的解析式。

设 f(x)=ax+b，则根据点斜式公式可得到斜率 a = (6-2)/(3-1) = 2、代入点 P(1,2) 可得到 2 = a*1+b，代入点 Q(3,6) 可得到 6 = a*3+b，解此方程组可得到 a = 2，b = 0，因此函数的解析式为 f(x) = 2x。

一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,就是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式就是y ＝f(x),不能把它写成f(x,y)＝0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y 。

(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数f ［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式时可以令t ＝g(x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x)与f(－x),或f(x)与f(1/x)的一个方程,则可以x 代换－x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(－x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。

(二)求函数定义域1、函数定义域就是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型就是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数y ＝f ［g(x)］的定义域的求解,应先由y ＝f(u)求出u 的范围,即g(x)的范围,再从中解出x 的范围I1;再由g(x)求出y ＝g(x)的定义域I2,I1与I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域就是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域与对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f:A→B 中,集合B 未必就就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C 就是B 的子集;若C ＝B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;3、分段函数的值域就是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。

一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y ＝f （x ），不能把它写成f （x ，y ）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f ：A→B 中，集合B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C ，则C 是B 的子集；若C ＝B ，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。

例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法（方程组法）例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x 1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足，求的解析式。

函数解析式的罕见几种求 法之阿布丰王创作二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,经常使用配凑法.但要注意所求函数()f x 的界说域不是原复合函数的界说域,而是()g x 的值域.例2 已知221)1(x x x x f +=+,求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+x x x x f , 21≥+x x三、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f解：设b ax x f +=)()0(≠a ,则三、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法.例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ,解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ,点),(y x M '''在)(x g y =上把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：整理得672---=x x y 四、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配凑法一样,要注意所换元的界说域的变动. 例3已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f解：令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x五、构造方程组法：若已知的函数关系较为笼统简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f解 x x f x f =-)1(2)(①显然,0≠x 将x 换成x1,得：x x f x f 1)(2)1(=-② 解①②联立的方程组,得：例6设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又11)()(-=+x x g x f ① ,用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ②解①②联立的方程组,得11)(2-=x x f , x x x g -=21)(六、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式.例8 设)(x f 是界说在+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，,∴无妨令1,==b x a ,得：x x f f x f -+=+)1()1()(,又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故①分别令①式中的1,21x n =- 得：将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(,七、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式.例7已知：1)0(=f ,对任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f 解对任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,无妨令0x =,则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f。

函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。

这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。

例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。

对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。

例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。

对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。

例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。

四、利用已知函数的级数展开求解析式。

对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。

例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。

五、利用已知函数的导数和积分求解析式。

对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。

例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。

六、基于已知函数的函数逼近求解析式。

对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。

例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。

七、利用差分方程或微分方程求解析式。

对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。

例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。

以上是七种常用的求解函数解析式的方法。

不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。

1、“拼凑变量”法（将原复合函数解析式右边拼凑了变量，看成整体替换成变量x ，从而得到)(x f 解析式）例1已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 解：21)1(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x f ，将x x 1-看成变量x 2)(+=∴2x x f 2、换元法(解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法)例2 若函数)(x f 满足12)1(2+=-x x f ,求)(x f 的解析式解：令t x =-1则1+=t x ， ∴3421)1(2)(22++=++=t t t t f ，∴342)(2++=x x x f 3、待定系数法(我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。

)例3求实系数的一次函数)(x f ，使[]34)(+=x x f f解：设一次函数b kx x f +=)( )0(≠k[]b kb x k b b kx k x f f ++=++=∴2)()(， 又[]34)(+=x x f f比较对应系数，得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=32123)1(42b k b k k b k 或，故)(x f 的解析式为()12+=x x f 或()32--x x f4、解方程组法（消参法） (若已知式是由两个互为倒数的变量的函数关系式组成，，常常采用“消参法”解决，即依据倒数的关系，重新产生一个关于两个互为倒数的变量的等式，再联立消去而得。

)例4已知()213x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛-，求)(x f 的解析式 解：将()213x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛- ① 中的所有x 换为x1，得()2113⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f x f ②， 由 ①② 消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1得()222123xx x f += 5、赋值法(在求函数解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋予特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解。

函数解析式的求解方法一、通过观察函数的性质和特点推导出函数的解析式。

这种方法适用于一些常见函数，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。

对于这些函数，我们可以通过观察函数的图像、性质和特点来推导出函数的解析式。

例如，对于二次多项式函数 y = ax^2 + bx + c，可以通过观察函数的性质来求解函数的解析式。

二次多项式函数的图像是一个抛物线，而且它的对称轴是直线 x = -b/2a。

根据这些性质，我们可以得到函数的一般形式为 y = a(x - p)(x - q)，其中 p 和 q 是抛物线的两个零点。

二、通过已知点求解函数的解析式。

当我们知道函数过一些特定点时，可以通过这些点来求解函数的解析式。

通常我们需要至少知道函数过两个不同的点来确定函数的解析式。

例如，已知函数过点 (1, 2) 和 (3, 4)，我们可以设函数的解析式为 y = ax + b，并将这两个点的坐标代入方程求解 a 和 b 的值。

代入第一个点可以得到 2 = a(1) + b，代入第二个点可以得到 4 = a(3) + b。

求解这个方程组可以得到 a = 1 和 b = 1，因此函数的解析式为 y = x+ 1三、通过函数的导数求解函数的解析式。

对于一些函数，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的解析式。

这种方法通常适用于一些特殊的函数，比如三角函数、指数函数等。

例如，对于函数 y = e^x，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的解析式。

函数的导数是 dy/dx = e^x，所以函数的解析式就是 y = e^x。

四、通过求解函数的积分来确定函数的解析式。

对于一些函数，我们可以通过求解函数的积分来确定函数的解析式。

这种方法通常适用于一些特殊的函数，比如多项式函数、三角函数等。

例如，对于函数 y = x^2，我们可以通过求解函数的积分来确定函数的解析式。

函数的积分是∫y dx = ∫x^2 dx = x^3/3 + C，其中 C 是一个常数。

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

求函数解析式的六种常用方法精编版一、直接构造法直接构造法适用于已知函数的性质和条件的情况下，可通过组合各种基本函数形式来构造出所需的函数形式。

例如，已知函数在区间[0，1]上的表达式为f(x)=x^2，并且我们想要构造一个在同一区间上的连续函数，且在x=0和x=1处与f(x)相等。

我们可以构造出一个函数解析式为：g(x)=(1-x)f(x)+x(x-1)f(1)这里，g(x)在[0,1]上连续，并且在x=0和x=1处分别等于f(x)。

二、数列法数列法适用于问题可以抽象为数列的情况下，可通过观察数列特点找到函数的解析式。

例如，已知数列{an}的前n项和为Sn = n(n + 1)，我们希望求解出数列{an}的通项公式。

我们可以观察得到，Sn - Sn-1 = n，即{an}是一个等差数列，公差为1、因此，{an}的通项公式为an = an-1 + 1三、变量代换法变量代换法适用于已知函数的变量可以通过代换转化为已知函数形式的情况下，可通过变量代换求解出函数的解析式。

例如，已知函数的解析式为f(t) = sin(t)，现在我们想要求解出函数的解析式f(x)。

我们可以通过将变量t用x表示，并使用三角函数的关系sin(t) = sin(x)来代换，得到f(x) = sin(x)。

四、变量插值法变量插值法适用于已知函数在离散点上的取值情况下，可通过连接各个离散点并找到插值函数的形式来求解函数的解析式。

例如，已知函数在离散点(0,1)，(1,2)，(2,3)上的取值，我们可以通过连接这三个点得到插值函数，形式为f(x)=x+1五、递推法递推法适用于问题可以通过递推关系来求解的情况下，可通过观察得到递推关系，从而求解出函数的解析式。

例如，已知递推关系为an = an-1 + n，其中a0 = 1、我们可以通过观察到an - an-1 = n，得到an = 1 + 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2六、级数展开法级数展开法适用于问题可以通过级数展开来求解的情况下，可通过展开级数并进行合并化简，从而求解出函数的解析式。

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式二、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 三、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

函数解析式的求法湖北枣阳一中 刘安锋函数的解析式是函数内容的一个主要的组成部分。

现把函数解析式的求法归纳如下：一、 换元法例１．2(1)25f x x x +=-+，求()f x解：令1,1,t x x t t R =+=-∈则 22()(1)2(1)5412f t t t t t =---+=--2()412f x x x ∴=--注：(),()f t f x 都是同一个对应法则f ，只是用不同变量去实施，从数学角度看没有区别二、 配凑法例2．2211()3f x x xx+=+-，求()f x 解：222111()(2)5()5f x x x x x x+=++-=+- 令1(,2][2,)t x x=+∈-∞-+∞U 2()5f t t ∴=- 2()5,(,2][2,)f x x x ∴=-∈-∞-+∞U注:这里要注意函数的定义域的变化.三、待定系数法（已知函数类型，先设出解析式，然后根据条件求解） 例3．一次函数()f x 满足[()]21f f x x =+，求()f x解：令()(0)f x kx b k =+≠[()]()()21f f x f kx b k kx b b x =+=++=+22,1k kb b ∴=+=11k b k b ====或()1()1f x f x ∴==或四、消元法 （取倒消元或取反消元）例4．()f x 在0x =处没有意义，但对于所有非零实数，有1()2()3f x f x x +=，求()f x 解：在1()2()3f x f x x +=中，以1x代x ：13()2()f f x x x+= 两式消去1()f x ：222()(0)x f x x x -=≠ 五、赋值法例5．设()f x 是R 上的函数，且(0)1f =，对任意,x y 有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x解法一：取y x =，(0)()(21)f f x x x x =--+，而(0)1f =2()1f x x x ∴=++解法二：取0x =，()(0)(01),()1(1)f y f y y f y y y -=--+∴-=--+ 用x 代换y -：2()1(1)1f x x x x x =++=++练习：1.2()()32f x f x x +-=+，求()f x ；2.()f x 为二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x 。

求函数解析式的方法要求函数解析式的方法，首先需要了解什么是函数解析式。

函数解析式是指表示函数数学关系的表达式，通常使用字母表示自变量和因变量，并使用数学符号和运算表示函数关系。

函数解析式在数学中起到非常重要的作用，它可以描述和表示函数的特性、性质和变化规律，并且可以用来求函数的值、图像和导数等。

下面给出几种常见的求函数解析式的方法。

一、通过观察和总结法观察函数的数列、图像和表格等信息，总结函数的特点和性质，然后利用已知的数学知识和方法进行推导和求解。

这种方法一般适用于简单函数和常见函数。

例如，对于一次函数y = kx + b，我们可以通过给定的两个点的坐标，利用直线的斜率公式和截距公式求解k和b。

二、通过已知函数的基本性质和运算规则对于已知的函数，如果知道其基本性质和运算规则，可以利用这些规则和性质进行组合和计算，得到新的函数解析式。

例如，对于两个已知函数f(x)和g(x)，我们可以通过函数的加减乘除运算规则，将两个函数相加、相减、相乘或相除得到新的函数解析式。

三、通过已知函数的导数和微分对于已知的函数，如果知道其导数和微分，可以通过求导和微分的运算法则来推导新的函数的解析式。

导数和微分可以描述函数的变化率和曲线的斜率，因此对于一些需要描述变化规律和趋势的函数，求导和微分方法非常有效。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求导得到它的导函数y' = 2ax + b。

四、通过已知函数的级数展开对于已知函数，如果知道其级数展开式，可以通过级数展开来求解函数的解析式。

级数展开可以将函数表示为无穷级数的形式，适用于解析式不容易求得的情况。

例如，对于指数函数e^x，我们可以通过级数展开得到级数表示式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...。

五、通过已知函数的积分对于已知函数，如果知道其积分，可以通过积分和反函数的关系来求解函数的解析式。

积分可以描述函数的累积变化和曲线下方的面积，因此对于需要求函数原函数和面积的情况，积分方法非常有效。