函数表达式
【教学目标】
1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法
2. 学生能够独立解题
【重点难点】求函数表达式的方法 【教学内容】求函数解析式的常用方法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
b
ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2
)()()]([
∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩
⎨⎧⎩⎨⎧
=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
1．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且2
12)()1(x
x g x g x ⋅=-++, 求)(x f 与)(x g .
变式训练．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.
二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式
容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知22
1
)1
(x
x x
x f +
=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2
)1()1(2-+=+x x x x f ， 21
≥+x
x 2
)(2
-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与
配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x
x
x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(2
2-=-+-=t t t t f
1
)(2
-=∴x x f )1(≥x x
x x x f 21)1()1(2
2+=-+=+∴ )0(≥x 1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
变式训练．若x
x
x f -=1)1(,求)(x f .
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)
(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32
22y y x
x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64
，
点),(y x M
'''在)(x g y =上 x
x y '+'='∴2 把⎩⎨
⎧-='--='y
y x x 64
代入得：
)
4()4(62
--+--=-x x y 整理得6
72
---=x x y ∴67)(2
---=x x x g
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构
造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f 解 x x
f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成
x
1
，得： x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：
x x x f 323)(-
-=
1．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
x x f x f 4)1
(2)(3=+,求)(x f 的解析式.
变式训练．若x
x
x f x f +=-+1)1
()(,求)(x f .
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1
)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又1
1
)()(-=
+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：1
1
)()(+-=-+-x x g x f 即1
1
)()(+-
=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得
11)(2-=
x x f ， x
x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”
的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解
对于任意实数x 、y ，等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1
)(2
++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设)(x f 是定义在+
N
上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有
a
b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，， ∴不妨令1,==
b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，
