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第3章_弹性地基梁理论解析

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3、弹性地基梁理论解析

3、弹性地基梁理论解析

3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。
3.1 概述
一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x) 的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所 示。由微段平衡条件得： 根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力 p(x)与该点梁酌挠度成正比，即
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得
由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—3)代入公式(5—2)， 并利用公式(5—4) 后， 得弹性地基梁的挠度曲线微分方程
式中 α——弹性地基梁的弹性特征值(1／厘米） E——梁材料的弹性模量(公斤／厘米2) I——梁截面惯性矩(厘米4)。
当利用分部积分
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似 为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
将C1l—C4 代入公式(5—10)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：

3、弹性地基梁理论解析

3、弹性地基梁理论解析

它的四个根是两对共轭复数
因此，齐次方程式(5—5a)的四个线性无关的解为，
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即
这四个解可写为
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
这样齐次方程式(5—5a)的通解为
式中C1~C4为积分常数 由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx 代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分关系后得
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
因此：
式中
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有 任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中 心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。 分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力 偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边 缘受拉为正，剪力： q(x)使微段反时针转为 正。挠度(沉陷) y(x)向下为正，角变位⊙x反 时针转为正。地基反力p(x)向上为正。
3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。

弹性地基梁理论课件

弹性地基梁理论课件

假设梁为连续的一维 弹性体，且忽略梁的 轴向变形。
弹性地基梁的研究目的和意义
研究目的
通过分析弹性地基梁的振动特性，为工程实践提供理论根据和设计指点，以提高结构的稳定性和安全 性。
研究意义
弹性地基梁理论有助于揭示地基与梁之间的相互作用机制，预测结构的振动响应，从而优化结构设计 ，减少地震等自然灾害的影响。此外，该理论还为研究其他复杂结构（如高层建筑、大跨度桥梁等） 的地基基础问题提供了基础和借鉴。
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弹性地基梁理论课件
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目 录
• 弹性地基梁理论概述 • 弹性地基梁的力学模型 • 弹性地基梁的数值模拟 • 弹性地基梁的实验研究 • 弹性地基梁的应用案例 • 弹性地基梁的未来研究方向 • 参考文献
PART 01
弹性地基梁理论概述
利用边界积分方程求解弹 性问题，适用于处理无界 问题等。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
边界条件
束缚梁的位移、转角等物理量， 如在支撑处的位移束缚、固定束 缚等。
初始条件
指定梁的初始状态，如初始应力 、初始位移等。
弹性地基梁的求解方法
解析法
利用数学解析方法求解方程，适 用于简单边界条件和初始条件的
情况。
数值法
采用数值计算方法求解方程，如有 限元法、有限差分法等，适用于复 杂边界条件和初始条件的情况。

弹性地基梁理论

弹性地基梁理论

地下建筑结构第3章弹性地基梁理论
崔振东副教授IAEG, FICDM, FICCE cuizhendong@
中国矿业大学岩土工程研究所
3.3 按温克尔假定计算短梁z3.3.2 荷载引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（1）集中荷载P 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（2）力矩荷载M 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项
（3）分布荷载q 引起的附加项
如视x 为常数，则d(x-u)=-d u
代入
a. 梁上有一段均布荷载的附加项
,0==du
dq q q
b. 梁上有一段三角形分布荷载的附加项
()3
4334,x x q du dq x u x x q q −Δ−=−−Δ=
c. 梁的全跨布满均布荷载的附加项
布满梁的全跨时，
当均布荷载q
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于x4。

d. 梁的全跨布满三角形荷载的附加项
当三角形荷载
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于
= =
（1）查双曲线三角函数K
=。

第3章 弹性地基梁理论

第3章 弹性地基梁理论

3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。

弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dx
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数

M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2

地下建筑结构-第03章-弹性地基梁-精品文档

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弹性地基梁理论
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
p y k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
二阶
y p y qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
ห้องสมุดไป่ตู้
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
( n ) ( n 1 ) y p y p y p y 0 (8) 1 n 1 n
图3.3 弹性地基梁的微元分析

弹性地基梁理论

弹性地基梁理论
（3）地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用 材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、 宽度b为单位宽度1的等截面直梁，在荷载 及Q作用下，梁和地基的沉陷为 ，梁与地 q x 基之间的反力为 。 在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉 y x 陷函数 作为基本未知量，地基梁在外荷 x 载 、 Q作用下产生变形，最终处于平衡 状态，选取坐标系xoy，外荷载，地基反力， 梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。 y x
K EI
4
或
K cos i sin EI
4
由复数开方根公式得：
rk 4
令
K 2k 2k i sin COS k 0,1,2,3 EI 4 4
， 若地基梁宽度为b，则有
4
kb 4 EI
（3.8） （3.9）
地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以 是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁 是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有 限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹 性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。 弹性地基梁是无穷多次超静定结构。超静定次数是无限还是有限， 这是它们的一个主要区别。 普通梁的支座通常看作刚性支座，弹性地基梁则必须同时考虑 地基的变形。一方面梁给地基以压力，使地基沉陷，反过来， 地基给梁以相反的压力，限制梁的位移。而梁的位移与地基的 沉陷在每一点又必须彼此相等，才能满足变形连续条件。

弹性地基梁

弹性地基梁
y = C1e3x + C2e2x.
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
此方程有二重实根
r1

r2

3. 2
故所求通解为
3x
y (C1 C2 x)e 2 .
例9. 求解方程 y''6y'+13y=0. 解：特征方程是

B2

1 2
o

1 4 3EI

Qo

B3

1 2
o

1 4 3EI
Qo

B4


1 2 3EI
Mo

（3.14）
再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 4 kb ，则有
4EI
y

yo1
o
1 2
2

Mo
2 2 bk
✓优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直 线分布假设中的缺点。
✓缺点：
没有反映地基的变形连续性，故温克尔假设 不能全面反映地基梁的实际情况。
2. 半无限体弹性地基模型 假设：
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面 是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即

弹性地基梁理论

弹性地基梁理论

缺点
• 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； • 均质假设没有反映土壤的不均匀性；
• 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。
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弹性地基梁的受力和变形
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与 地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的 挠度处处相等；
q
q
m i i(x-xm )22 343l 4
Q b 2 0k 2 b 2 y 2 0 k 3 M 0 4 Q 0 1 P i1 ( x - x p )
q q
m i 4(x-xm )2 222l 3
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3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
b qk (11)b qk (x l-2 1 2)
y 04012b 3 M 0 k 22b 2 Q 0 k 32 b2k pi 3 (x-xp)2b 3m k i 2(x-xm )
b2qk4bqk(l1-1)
M b 2 2 0k 3 b 4 y 3 0 k 4 M 0 1 2 Q 0 2 2 P i2 ( x - x p )
局部弹性地基模型
缺点： 没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际
情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石， 这时将得出比较满意的结果。
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半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹性的 半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从几 何上、物理上对地基进行了简化。
yq
q k(xb -
xa )

弹性地基梁.

弹性地基梁.

图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 y x 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段 的平衡有： Y 0, 得：
Q (Q dQ) kydx q( x) d x 0
dQ 化简得： ky q( x) dx
（3-2）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为 寻找四个线性无关的特解，令 y e rx 并代入上式有：
K EI
4
或
K cos i sin EI
4
由复数开方根公式得：
rk 4
令
4
K 2k 2k i sin COS k 0,1,2,3 EI 4 4 Kb K ， 若地基梁宽度为b，则有 4 EI EI
二阶
(8)
y py qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
优点：
1、地基的连续整体性；2、几何物理上简化模型
缺点：
1、地基土非连续；2、地基土非均质；
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程 式及其初参数解
基本假设：
除局部弹性地基模型假设外，还需作假设： （1）地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基 表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；

地下建筑结构-第03章-弹性地基梁

地下建筑结构-第03章-弹性地基梁

故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论
(i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
则 y1 er1x , y2 er2x是(9)的二个线性无关的解 ,
(9)的通解为
y
C er1x 1
C er2x 2
(ii) = 0, r1= r2( = r)
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，是有限个 未知力 ,弹性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个 未知反力。 超静定次数是无限还是有限，这是它们的一个主要区别 普通梁的支座通常看作刚性支座，即可以略去地基 的变形，只考虑梁的变形，弹性地基梁则必须同时 考虑地基的变形。 地基的变形是考虑还是略去，这是它们的另一个 主要区别。
在局部弹性地基梁的计算中， 通常以沉陷函数 作y为x 基本未知 量，地基梁在外荷载 、qxQ 作 用下产生变形，最终处于平衡状 态，选取坐标系xoy，外荷载，地 基反力，梁截面内力及变形正负 号规定如右图所示。
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 yx 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段
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梁是无穷多次超静定结构。 普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
p 温克尔假设： y k 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
其中： 4
kb 4 EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
1 2 2 y y01 0 2 M0 3 Q0 4 2 bk bk 2 3 2 2 y0 4 01 M 0 4 Q0 3 bk bk bk bk 1 M y0 3 0 3 4 M 01 Q0 2 2 2 4 2 bk bk Q y0 2 0 2 3 M 0 4 Q01 2 2
实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 自 由 端 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
M0=0 Q0=0 MA=0 QA=0
θ0 y0 θ0 y0
M0=-m Q0=-P1 M0=0 y0=0
MA=0 QA=P2 MA=0 yA=0
简 支 端
θ0 Q0 θ0 Q0
M0=m1 y0=0
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数

M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
dM d3y Q EI 3 dx dx
代入化简得到挠曲微分方程：
d y EI 4 ky q( x ) dx
4
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x ) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
d4y EI 4 ky 0 dx
y e ax A1 cosx A2 sinx e ax A3 cosx A4 sinx
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• • • • 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 弹性地基梁的受力和变形 均质假设没有反映土壤的不均匀性； 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； 数学处理上比较复杂。
初参数解
初参数法
y B1chaxcosax B2chaxsinax B3 shax cosax B4 shax sinax
a[ B1 (chaxsinax shax cosax) B2 (chaxcosax shax sinax)
B3 ( shax sinax chaxcosax) B4 ( shax cosax chaxsinax)]

弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dx
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
e ax chax shax, e ax chax shax 利用双曲函数关系：
1 1 ( B1 B2 ), A2 ( B2 B3 ) 2 且令： 2 1 1 A3 ( B1 B2 ), A4 ( B2 B4 ) 2 2 A1
得到另一通解：
y B1chaxcosax B2chaxsinax B3 sha cosax B4 shax sinax
M 2EI 2 ( B1shax sinax B2 shax cosax B3chaxsina2EI 3[ B1(chaxsinax shax cosax) B2 (chaxcosax shax sinax)
B3 (chaxcosax shax sinax) B4 (chaxsinax shax cosax)
其中： 1 chaxcosax
2 chaxsinax shax cosax 3 shax sinax 4 chaxsinax shax cosax
微分关系为：
d 1 4 d d 2 2 1 d d 3 2 d d 4 2 3 d
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0