2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第2讲+命题及其关系、充分条件和必要条件及答案

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件2019考纲考题考情1. 命题 (1) 命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命 题。

其中判断为真的语句叫做真命题， 判断为假的语句叫做假命 题。

(2) 四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系① 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；② 两个命题互为逆命题或互为否命题， 它们的真假性没有关 系。

2. 充分条件、必要条件与充要条件的概念若p? q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件考壤要求考羁举例考向标签[.理解侖昭的枉念囂了榊“若户•姻b 怡戎的命题的逆命题‘柠 命題耳逆否命理•会沪析四种命题的相乩M 陛解充分箱件、电、薑细件与充藍条件的警丈 20W •天津高着-T,(充汙杲件与必翌雄件〉 20IB•北京皓等• '1；(充分荼件与鶴望衆件〉 2017& 1 "TH 命题他事槪判晰｝如全同卷11 *1；(命题的戌皑判断】冷角度:1. 四种命题及苑关乘2. 充分条件匀誉轻糸件的判定 出充分条件、必耍亲件的竝用 檢心南养；也制推理紀材I 叫扣哇础鬥测%微知识•小题练*—基础微梳理一JICHUWEISHUL]知识必备•固按基•常记结论•1. 否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论。

2 .区别A是B的充分不必要条件(A? B且B? A)，与A的充分不必要条件是B(B? A且A? B)两者的不同。

3. A是B的充分不必要条件？綈B是綈A的充分不必要条件。

4. 充要关系与集合的子集之间的关系，设A={x|p(x)} , B= {x|q(x)},(1) 若A? B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

(2) 若A B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。

⑶若A= B,则p是q的充要条件。

厂题组殺热身门小题演鲸*提知能TIZUWE：IRE?>Hfc：.N一、走进教材1. （选修2 - 1P8A组T2改编）命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是（）A .“若x<y,则x2vy2”B .“若x>y,则x2>y2”C. “若x<y,则x2w y2”D•“若x>y,则x2>y2”解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x1 2>y2，贝y x>y”的逆否命题是“若x w y,则x2< y2”。

第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.2．【2018届浙江省嘉兴市高三上期末】已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为11x y <,所以0{ 0x y x yxy xy >->⇒>或{ 0x y xy << ,所以x y >是“11x y<”的既不充分也不必要条件,选D3.【2018届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期9+1联考】“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A4.【2018届浙江省嵊州市高三上期末】已知α， β是两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由线面垂直的判定定理可知， l α⊂时， l β⊥能推出αβ⊥，而αβ⊥不能推出l β⊥，故“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选A.5.【2018届安徽省安庆市第一中学热身】“为假”是“为假”的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可． 详解：当“为假”时，则都为假，故“为假”；反之，当“为假”时，则中至少有一个为假，此时“为假”不一定成立． 所以“为假”是“为假”的充分不必要条件．故选A ．6.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为21a =-≤,但1142a a ++-=≠;112a a ++-= 111a a ⇒-≤≤⇒≤ 所以“1a ≤”是“112a a ++-=”的必要不充分条件,选B.7.【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知：不等式的解集为，：，则是的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A8.【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知函数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】分析：先研究函数f(x)的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性研究充要条件. 详解：由题得函数的定义域为R., 所以函数f(x)是奇函数.当x≥0时，是增函数，是增函数.所以函数f(x)在上是增函数.因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数.所以所以“”是“”的充要条件.故答案为：C9.【2018届浙江省台州中学高三模拟】设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果. 详解：对于A ，根据函数的单调性可知，，是充要条件；对于B ，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件； 对于C ，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C ，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.10．【2018年北京卷理】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系. 详解：，因为a ，b均为单位向量，所以 a ⊥b ，即“”是“a ⊥b ”的充分必要条件.选C.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11．已知命题“若1x >，则21x >” ，其逆命题为__________． 【答案】21,1x x >>若则【解析】逆命题为：“若21x >，则1x >”. 12.【2018年文北京卷】能说明“若a ﹥b ，则”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）13．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）． 【答案】 假 真14．“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】分析：直接利用必要不充分条件的定义判断. 详解：因为不能推出，但是，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.15．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(],0-∞【解析】条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，∴a ⩽0. 则实数a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为：(−∞,0]. 16.有下列命题： ①在函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31x y x +=-的图象关于点()1,1-对称；③“ 5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的必要不充分条件；④已知命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则p ⌝是：存在x R ∈，使得sin 1x >；⑤在ABC 中，若3sin 4cos 6A B +=， 4sin 3cos 1B A +=，则角C 等于30︒或150︒.其中所有真命题的个数是__________． 【答案】1【解析】由于()2211cos sin cos222y x x x =-=，其相邻两对称中心的距离22222T d ππ===⨯，故答案①不正确；又因为144111x y x x -+==+--，所以函数的对称中心为()1,1，故答案②不正确；由于若“5a ≠且5b ≠-”，则“0a b +≠”不一定成立，如“1a =-且1b =”，但仍有“0a b +=”，故“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的不充分条件；反之若“0a b +≠” ，则“5a ≠且5b ≠-”是正确的，故是必要条件，则答案③正确；由于命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤是真命题，故该命题的否定是假命题，即答案④也是错误的；对于答案⑤，由于3cos 14sin 1A B =-<，所以11cos 32A <<，则60A >，故若150C =，则三角形的内角和大于180，即答案⑤也是错误的.应填答案1. 17.已知下列命题： ①函数()2222f x x x=+++有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”； ③函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是__________． 【答案】③三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.【2017届浙江省温州中学3月高考模拟】已知命题方程有两个不等的负实根，命题方程无实根，（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题和命题一真一假，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或.【解析】【试题分析】（1）依据命题真假建立不等式组求解；（2）借助命题的真假建立不等式组分析探求：（Ⅰ）（Ⅱ）命题成立：，真假：假真：或.19.设命题实数满足，其中，命题实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）当时，．．据此可得的取值范围是．（2）由题意可知q是p的充分不必要条件，其中，, 且，故．详解：（1）当时，由，得．由，得，所以．由p∧q为真，即p，q均为真命题，因此的取值范围是．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得，,所以，因此且，解得．20．已知函数,(1)求函数的最小值； (2)已知,关于的不等式对任意恒成立； 函数是增函数.若“p 或q”为真,“且”为假,求实数的取值范围. 【答案】（1）1（2）.【解析】分析：（1）作出函数f （x ）的图象，借助于单调性以及图象即可求最小值；（2）运用（1）中求出的f （x ）的最小值代入不等式f （x ）≥m 2+2m ﹣2，求出对任意x ∈R 恒成立的m 的范围，根据复合命题“p 或q”为真，“p 且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m 的取值范围．详解：(1,作出图像可知,(2)，或“或”为真,“且”为假, 当真, 假时,则，解得当假, 真时,则，解得或, 故实数的取值范围是.21．已知命题p ：对数()2log 275(0,1)a t t a a -+->≠有意义；命题q ：实数t 满足不等式()()2320t a t a -+++<.(Ⅰ)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(Ⅱ)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <；（2）1<t <是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集，方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>，解得a >. 试题解析：解：(1)由对数式有意义得－2t 2＋7t－5>0， 解得1<t <，即实数t 的取值范围是.(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．22.设命题:p 实数x 满足：03422<+-a ax x ，其中0>a .命题:q 实数x 满足121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x ，其中()2,1∈m （1）若41=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x ；（2）11[,]32． 【解析】试题分析：：（1）先解出p q ，下的不等式，然后由p q ∧为真知p q ，都为真，由此可求得实数x 的取值范围；（2）由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件便可得到1231a a ⎧=⎪⎨⎪>⎩或1231a a ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解该不等式组即得实数a 的取值范围．试题解析：（1）()03:><<a a x a p 121:<<x q ……………………………………2分 41=a 时 4341:<<x p p q ∧为真 p ∴真且q 真……………………………………………………3分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x 得4321<<x 即q p ∧为真时，实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x…………………………5分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝且p q ⌝⇒⌝ 等价于p q ⇒且q p ⇒ 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x xA {}0,3><<=a a x a xB 则A B 是的真子集………8分 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a 得2131≤≤a ………………………………………10分。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是( )A．若x≤0，则x≤1B．若x≤0，则x＞1C．若x＞0，则x≤1D．若x＜0，则x＜1解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.2．原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.由题意可知，否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，其为真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D.3．(2019·兰州市高考实战模拟)设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－12，所以x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－12，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件，故选B.4．(2018·石家庄市教学质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A>sin B”是“a>b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A>sin B，则2R sin A>2R sin B，即a>b；若a>b，则a2R >b2R，即sin A>sin B，所以在△ABC中，“sin A>sin B”是“a>b”的充要条件，5．已知命题：“若a>2，则a2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2>4，则a>2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．6．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．7．下列命题中正确的个数是( )①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；③一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.A．0 B．3C．2 D．1解析：选C.对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x ＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f(x)＝kx，所以f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.8．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0 B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1解析：选A.因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，ab>1.9．(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但是a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，选A.10．(2018·高考北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.11．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D. 12．(2019·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D.因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________． 解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 答案：215．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：m －3<f (x )<m ＋3.若p是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1，2]， 又因为p 是q 的充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －3<1，m ＋3>2，解得－1<m <4，即m 的取值范围是(－1，4)． 答案：(－1，4)1．(2019·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x<16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－∞，－4) C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析：选B.由14<2x<16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意． 综上可得a <－4，故选B.2．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么“φ(a ，b )＝0”是“a 与b 互补”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若φ(a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方得ab ＝0，故具备充分性．若a ≥0，b ≥0，ab ＝0，则不妨设a ＝0，φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝b 2－b ＝0，故具备必要性．3．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. 答案：m ≥1或m ≤－7 4．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 答案：①②③5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：因为ac <0，所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． 6．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使¬p 是¬q 的充分不必要条件？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解：由题意知，p ：3≤x ≤4，q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为¬p 是¬q 的充分不必要条件， 所以¬p ⇒¬q ，且¬q ⇒/¬p ， 所以q ⇒p ，且p ⇒/q ， 即q 是p 的充分不必要条件， 故{x |a ≤x ≤a ＋1}{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解， 所以不存在实数a ，使¬p 是¬q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．。

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·深圳市第二次调研)设A ，B 是两个集合，则“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为x ∈A ∩B ⇒x ∈A 且x ∈B ⇒x ∈A .但x ∈A ≠> x ∈A ∩B .所以“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为(C) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4将条件和结论分别否定后作为结论和条件即得到逆否命题．3．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立，故“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．4．(2018·广东肇庆一模)原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个因为当c ＝0时，由a >b ≠> ac 2>bc 2，所以原命题为假，从而逆否命题为假．又ac 2>bc 2⇒a >b ，所以逆命题为真，从而否命题为真．故真命题共有2个．5．(2018·湖北新联考四模)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是(D)A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.6．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为 若a ≤b ，则2a ≤2b －1 .7．(2018·北京卷)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1，－1(答案不唯一) .只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b. 只要取满足上述条件的a ，b 值即可，如a ＝1，b ＝－1(答案不唯一)．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的(C)A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)分别判断x >y ⇒x >|y |与x >|y |⇒x >y 是否成立，从而得到答案．当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立；若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y .所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．10．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋S 6＞2S 5”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(方法一)因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，所以S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d .若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ，所以d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．(方法二)因为S 4＋S 6>2S 5S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5a 6>a 5a 5＋d >a 5d >0，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．11．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c 2，条件q ：A ≤B ＋C 2，那么条件p 是条件q 成立的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C 2A ≤π－A 2A ≤π3. 条件p ：a ≤b ＋c 2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥b 2＋c 2－(b ＋c 2)22bc ＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3. 所以p ⇒q ，但q ≠>p .如∠A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c 2. 所以p 是q 的充分而不必要条件．12．(2018·江西赣中南五校二模)“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的 充分不必要 条件．当a >0时，y ＝a (x ＋12a )2＋1－14a ，在(－12a，＋∞)上单调递增， 因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，y ＝x ＋1，在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立． 综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识点一命题及四种命题1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是(D) A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A 不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C不正确．2．“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为若ab不是偶数，则a，b不都是偶数．解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．3．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3.解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.知识点二充分条件与必要条件1．若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件，q也是p的充分必要条件．2．若A、B为两个集合，满足A B，则A是B的充分不必要条件，B 是A的必要不充分条件；若A＝B，则A是B的充分必要条件．4．(2018·天津卷)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2.故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件，故选A.5．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a2R>b2R，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p 是r的充分(必要)条件．3．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．考向一四种命题及其关系【例1】(1)已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”【解析】(1)命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，所以C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，所以D不正确．故选B.【答案】(1)C(2)B(1)四种命题在书写时，要注意词语的否定形式，如“都是”的否定应为“不都是”，“大于”的否定为“不大于”等．(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．(1)命题“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题为(D)A．若x2＝4，则x≠2且x≠－2B．若x2≠4，则x＝2且x＝－2C．若x2≠4，则x＝2或x＝－2D．若x2＝4，则x＝2或x＝－2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(B)A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D ．若a ≥b ，则ac 2≥bc 2解析：(1)“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”的否命题是“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”．故选D.(2)选项A ，“若x >2，则(x －2)(x ＋1)>0”的逆命题为“若(x －2)(x ＋1)>0，则x >2”，因为由(x －2)(x ＋1)>0得到x >2或x <－1，所以是假命题；选项B ，“若x 2＋y 2≥4，则xy ＝2”的逆命题为“若xy ＝2，则x 2＋y 2≥4”是真命题；选项C ，“若x ＋y ＝2，则xy ≤1”的逆命题为“若xy ≤1，则x ＋y ＝2”；因为x ＝2，y ＝12，满足xy ≤1，但不满足x ＋y ＝2，所以是假命题；选项D ，“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”的逆命题为“若ac 2≥bc 2，则a ≥b ”，因为若c ＝0，a ＝1，b ＝2，满足ac 2≥bc 2，但不满足a ≥b ，所以是假命题．故选B.考向二 充分条件与必要条件的判断【例2】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)若集合A ＝{x |x －x 2>0}，B ＝{x |(x ＋1)(m －x )>0}，则“m >1”是“A ∩B ≠∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)·(q2＋2)＝0，解得q＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选C.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)(0，＋∞)，故选A.【答案】(1)C(2)A(3)A充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C.(2)当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.(3)因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p⇒/綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．考向三 充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 【解析】 (1)∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.故选A.(2)由4x －1≤－1，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x－a 2＋a ，其大致图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤3，－1≤a ≤2，解得－1≤a ≤2.故选C. 【答案】 (1)A (2)C(1)求解充分、必要条件的应用问题时，一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误.(1)下面四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分条件是( B )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( C )A ．－1≤k <3B ．－1≤k ≤3C．0<k<3D．k<－1或k>3解析：(1)“a>b”不能推出“a－1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a＋1>b”，但“a＋1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意．故选B.(2)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|<2，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，2故充分不必要条件可以是“0<k<3”．。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cos π6＞cos π3，而π6＜π3.故选D. 3．设a ，b 是向量，则命题“若a ＝－b ，则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |，则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( )A ．若a 2＞b 2，则a ≤bB ．若a 2≤b 2，则a ≤bC ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2解析：选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故綈p 为a 2≤b 2，綈q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .2．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2－3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2－3x －4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2－3x －4＝0，所以x ＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二 充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a ＞－1”是“x 2＋ax ＋14＞0(x ∈R )”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R)，则a2－1＜0，即－1＜a＜1，所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*)，所以当k＞2时，a n＋1－a n＝k＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝k＞0即可，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a＞0，b＞0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＋1＞0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要条件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1.显然，若a2＋b2≥a2b2＋1，则必有a2＋b2≥1，反之则不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分条件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是() A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4解析：选D对选项A，若a＝b＝2，则|a|＋|b|＝2＋2≥4，不能推出|a|＋|b|＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，所以腰AD ，BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l 垂直于两腰AD ，BC 时，l 垂直于ABCD 所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，所以B ⊆A . ①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43； ②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ；③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2，可得x ＞1或x ＜－3，所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b，故充分性成立；当1a ＞1b时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A.3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0，则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1，则x ＜1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1，则x 2＜1.∵p ：x 2＜1，则－1＜x ＜1.∴p 真，当x ＜1时，x 2＜1不一定成立，∴q 假，故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1.∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1. ∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件，故选A. 5．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a ＞4C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”．若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立．故否命题为真命题．答案：真7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确；②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确．答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件． 解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1] 解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.2．在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋k ，n ∈Z ，k ＝0,1,2,3，则m ∈[k ]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋k ，b ＝4n ＋k ，m ，n ∈Z ，且k ＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋k 1，b ＝4n ＋k 2，m ，n ∈Z ，k 1＝0,1,2,3，k 2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2)，若a －b ∈[0]，则k 1－k 2＝0，即k 1＝k 2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围；(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2＜x ＜37}，B ＝{x |12＜x ＜146}，因为p 真q 假．所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12}，所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}， 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； 当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13； 综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( )A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：选B∵全集为R，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝() A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：选C∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1命题点二充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1， 则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________．解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b. 答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0.因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c .答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a 属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件. 题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q 的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是( )A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思](1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题(1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题(1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( )A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思]充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题(1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是( )A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析]①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析]①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析]以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析]取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析]“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析]“对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.7.[-3,0] [解析]由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析]①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析]依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析](1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析](1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨](1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析](1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a ⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件.(2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析](1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨]直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析]方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒ ⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒ ⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析](1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析]当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用][2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是( )A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析]D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．知识梳理1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题.(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题.2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同.5．充分条件与必要条件(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．(2)如果p?q，但q p，则p是q的充分必要条件．(3)如果p?q，且q?p，则称p是q的充要条件．(4)如果q?p，且p q，则p是q的必要不充分条件．(5)如果p q，但q p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的必要不充分条件．2．若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集合分别为P，Q，一般地有，若P?Q，则p是q的充分条件；若Q?P，则p是q的必要条件；若P Q，则p是q的充分不必要条件；若P Q，则p是q的必要不充分条件；若P＝Q，则p是q的充要条件．热身练习1．下列语句中，不能构成命题的是(C)A．5>12 B．若1x＝1y，则x＝yC．x>0 D．若x<y，则x2<y2一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x>0无法判断真假，因此不能构成命题．2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x －m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.3．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A．0 B．2C．3 D．4原命题：若x＝－1，向量a＝(1，－1)，b＝(1，－1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝－1.当a与b共线时，x(x＋2)＝x，解得x＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为 2.4．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件因为x＞1，y＞1，所以x＋y＞2，即p?q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q p.故p是q的充分不必要条件．5．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(C)A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．四种命题及其真假判断原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件 的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必 要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C　命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A　因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C　当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D　x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D　①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒]　(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析]　(1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案]　(1)A　(2)B　(3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判 直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断 即可解决充分必要性的问题利用等价转 化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D　a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析]　(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案]　(1)C　(2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A　因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1， 故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A　由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c　B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A　“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C　①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反 数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C　若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C　根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B　∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B　若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B　∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件【选题明细表】知识点、方法题号四种命题及真假1,4,9,11,12充分、必要条件的判断2,3,6,7,12充分、必要条件的应用5,10,14,15充分、必要条件的探求8,13基础巩固(时间:30分钟)1.“若x,y∈R,x2+y2=0,则x,y全为0”的逆否命题是( C )(A)若x,y∈R,x,y全不为0,则x2+y2≠0(B)若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2=0(C)若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2≠0(D)若x,y∈R,x,y全为0,则x2+y2≠0解析:依题意得,原命题的题设为若x2+y2=0,结论为x,y全为零.逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,故选C.2.导学号 38486012(2018·湖南岳阳月考)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充要条件是( B )(A)a=-b (B)a∥b且方向相同(C)a=2b (D)a∥b且|a|=|b|解析:若非零向量a,b使=成立⇔a=b⇔a与b共线且方向相同,故选B.3.(2017·安徽蚌埠一模)已知函数f(x)定义域为R,命题p:f(x)为奇函数,q:f(x)dx=0,则p是q的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析: 由f(x)为奇函数,得f(x)dx=0,p是q的充分条件,反之不成立,p不是q的必要条件,故选A.4.(2017·广东肇庆一模)原命题:“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)4个解析:原命题:若c=0则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题:由ac2>bc2知c2>0,由不等式的基本性质得a>b,所以逆命题为真,则其否命题也为真,所以有2个真命题.5.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,1](C)[-3,+∞) (D)(-∞,-3)解析:法一设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a},因为q是p的充分不必要条件,所以Q P,因此a≥1.法二令a=-3,则q:x>-3,则由命题q推不出命题p,此时q不是p的充分条件,排除B,C;同理,取a=-4,排除D.故选A.6.(2017·湖南衡阳一模)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( B )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件解析:直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直的充要条件为a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.7.(2017·广东佛山一模)设等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,则“|q|=1”是“S6=3S2”的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若q=1时,S6=6a1=3S2=3·2a1=6a1,q=-1时,S6=3S2=0,符合题意,是充分条件;反之也成立,故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件,故选C.8.(2017·湖南张家界二模)设集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( D )(A)-1<x≤1 (B)x≤1(C)x>-1 (D)-1<x<1解析:因为集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},则A⫌B,“x∈A且x∉B”,则x∈∁A B,即x∈(-1,1).故选D.9.(2017 ·江西赣州期中)命题“若x≥1,则x2-4x+2≥-1”的否命题为.解析:命题“若x≥1,则x2-4x+2≥-1”的否命题为:若x<1,则x2-4x+2<-1.答案:若x<1,则x2-4x+2<-110.已知条件p:log2(1-x)<0,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:条件p:log2(1-x)<0,所以0<1-x<1,解得0<x<1.条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a≤0.则实数a的取值范围是(-∞,0].答案:(-∞,0]能力提升(时间:15分钟)11.导学号 38486013(2017·陕西咸阳三模)下列命题中真命题的个数是( D )①函数y=sin x,其导函数是偶函数;②“若x=y,则x2=y2”的逆否命题为真命题;③“x≥2”是“x2-x-2≥0”成立的充要条件;④命题p:“∃x0∈R,-x0+1<0”,则命题p的否定为:“∀x∈R,x2-x+(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:对于①,函数y=sin x,其导函数是y=cos x,为偶函数,①正确;对于②,“若x=y,则x2=y2”是真命题,则它的逆否命题也为真命题,②正确;对于③,“x≥2”时,不等式“x2-x-2≥0”成立,即充分性成立;“x2-x-2≥0”时,x≤-1或x≥2,必要性不成立,所以是充分不必要条件,③错误;对于④,命题p:“∃x0∈R,-x0+1<0”,命题p的否定为:“∀x∈R,x2-x+1≥0”,④正确.综上,正确命题的序号是①②④,共3个.故选D.12.(2017·西安质检)下列命题错误的是( B )(A)命题“若lg x=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则lg x≠0”(B)若p且q为假命题,则p,q均为假命题(C)命题p:存在实数x,使得sin x>1,则 p:对任意的实数x,均有 sin x≤1(D)“x>2”是“<”的充分不必要条件解析:选项B:若p且q为假命题,则p,q全假或p,q一真一假,B错误;选项D: <,则-=<0,解得x<0或x>2,所以“x>2”是“<”的充分不必要条件.选项A,C显然正确.故选B.13.函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是( A )(A)a<0 (B)0<a<(C) <a<1 (D)a≤0或a>1解析:因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.观察选项,根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1},选A.14.导学号 38486014设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.解析:因为p是q的必要不充分条件,即q⇒p但p q,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B A,又B=(2,3],当a>0时,A=(a,3a);当a<0时,A=(3a,a),所以当a>0时,有解得1<a≤2;当a<0时,显然A∩B=∅,不合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,2].答案:(1,2]15.(2017 ·海南海门市期中)已知p:-4<x-a<4,q:(x-1)(2-x)>0,若⌝p是⌝q的充分条件,则实数a的取值范围是.解析:由-4<x-a<4得,a-4<x<a+4,即p:a-4<x<a+4.因为(x-1)(2-x)>0,所以1<x<2,即q:1<x<2,若⌝p是⌝q的充分条件,则q是p的充分条件,则解得-2≤a≤5,所以实数a的取值范围是[-2,5],答案:[-2,5]。