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单纯形法的矩阵描述ppt课件

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单纯性法的矩阵描述.ppt

单纯性法的矩阵描述.ppt

记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，

《单纯形方法》课件

《单纯形方法》课件
结论：单纯形方法在资源分配问题中具有广泛的应用前景，可以帮助企业实现资源的合理分配和优化利用，提 高生产效率和市场竞争力。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
添加标题
目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。

运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)

运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0

单纯形法的矩阵描述

单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
上页 下页 返回
典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
上页 下页 返回
初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量

第1节 单纯形法的矩阵描述

第1节 单纯形法的矩阵描述

XS1 XS2
基变量 非基变量
7
线性规划问题可表示为：
目标函数 maxzCBXB CNXN
CBXB CN1XN1 CS2 XS2 (21) 约束条件 BXBNXN BXB N1XN1 S2XS2 b
(22)
非负条件 XB,XN 0
(32)
8
将（2-2）式移项及整理后：
BX B b N1 X N1 S2 X S2 ; X B B 1b B 1N 1 X N1 B 1S2 X s2 ; 目标函数： z C B B 1b ( C N1 C B B 1N 1 ) X N1
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法(略) 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
1
第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题 :
目标函数 max z = CX； 约束条件 AX ≤ b； 非负条件 X ≥ 0
2
给这线性规划问题的约束条件加入松弛 变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs ； AX+IXs=b ；X, X s≥0 这里 I 是 m×m 单位矩阵。
I
1
0
0 1
3
若以Xs为基变量，并标记成XB
这时将系数矩阵（A，I）分为（B，N）两 块。B是基变量的系数矩阵，N是非基变量 的系数矩阵。
11
（2）单纯形表与矩阵表示的关系
矩阵关系式：
0 1
I 0
B1N1 CN CBB1N1
z
CBBB1 1XXXN NB12

3.1单纯形法的矩阵描述

3.1单纯形法的矩阵描述
0 0 σj7 x115 x2来自0 x30 x4
0 x5 0 0 1
二、单纯形法矩阵描述 Page 9 bi 6 θi 6/1 8/2 3/1 0 3 3/1 2/1 — 45 的应用
1 检查计算是否正确
x3
x4 x5
1
1 0 7
1
2 1 15
1
0 0 0
0
1 0 0
8 3
0
-1 -2 1 -15 1 -2 1
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 11 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 x1 x2 σj 解：
0
0
1 0 0 0
1
-1 1 0 -7
1 -2 1 -1
1 2 3
松弛变量的价值系数为0 x1、x2的价值系数设为c1、c2
1 0 0
0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 B ( B ) 0 1 2 0 1 2 p3 0 0 1 0 0 1
p1
p2
0 − c1 = −7
c1 = 7
0 +2c1−c2 = −1
故：
c2 = 15
目标函数值：
常数项：
1 1 1 6 1 1 X B B b 0 1 2 8 2 0 0 1 3 3
z C B B 1b 1 0 7 15 2 59 3
运筹学
( Operations Research )
( Duality Theory )

单纯形法的矩阵描述

单纯形法的矩阵描述

σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。

Chapter 2.7 单纯形法的矩阵描述

Chapter 2.7 单纯形法的矩阵描述

x6 0 0 1
0
j
0
4
0
-3
5
故此单纯形表不是最优表，下面我们利用矩阵的 关系分析一下。
从前面的分析知道，在初始单纯形表中的(B,N) 矩阵最后我们会化为矩阵(I, B 1 N )
由于给定基变量为x3,x2,x5，因此表格中 x3,x2,x5的列向量分别为
1 0 , 0
2.7 单纯形法的矩阵描述
一、为什么要研究单纯形法的矩阵描述？
& 进一步讨论改进单纯形法 & 便于理论推导（如对偶定理的证明）
二、怎样进行矩阵描述？
关键——写出两个基本的表达式。
1、准备工作：
（1）标准型的矩阵形式—— MaxZ CX
AX b s.t. X 0 （2）将式中矩阵写成分块矩阵形式
b
B-1b -CBB-1bXBI 0 NhomakorabeaXN
B-1N CN-CBB-1 N
XS
B-1 -CBB-1
单纯形法的矩阵描述
XB CB B-1b x1 x2 x3 x4 x5
ɵ
90
40 30 30.8 20 100
x3
x4 x5 x3 x4 x2
0
0 0 0 0 12
360
200 300 240 50 30
9
C (C B C N )
X ( X B X N )T

A ( P , P2 ,, Pn ) ( B N ) 1
2、将分块形式代入矩阵形式标准 型，得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
XB AX ( B N ) BX B NX N b X N
CB ( B 1b B 1 NX N ) C N X N CB B 1b CB B 1 NX N C N X N CB B b (C N CB B N ) X N Z CB B 1b N X N

单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件

单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件
或确定无界解。
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法

11单纯形法(new)PPT精品文档151页

11单纯形法(new)PPT精品文档151页
主要内容
1.1 线性规划概述 1.2 线性规划问题及其数学模型 1.3 线性规划的图解法及其几何意义 1.4 线性规划单纯形法与单纯形表 1.5 单纯形法的矩阵描述 1.6 人造基下的单纯形法 1.7 线性规划典型例题及应用
1
1.1 线性规划概述
线性规划是是运筹学中研究较早、发展较快、 应用广泛、方法较成熟的一个重要分支 。1947年丹 捷格提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯 形法。
x1 2x2 30
st
3
x1
2x2 2x2
60 24
x1 , x2 0
17
▪ 在各不等式中分别加上一个松弛变量 x3, x4, x5，使不等式 变为等式，便得到标准型。
ma x 4x 1 0 5x2 0
▪ 线性规划定义：对于求取一组变量Xj（j＝1，2，3…n) 使得它满足线性约束条件的目标函数取得极值的一类 最优化问题。
8
▪ 特征
➢ 每个问题都用一组决策变量（x1， x2 ，…， xn ）表 示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。 一般这些变量取值是非负的。
➢ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 等式或线性不等式来表示。
2
1.2 线性规划问题及其数学模型
1.2.1 问题提出
例1【经典例题】:某企业在计划期内要安排生产甲、乙两种 产品，已知其生产利润及原材料的消耗量如表 1-1。问应如 何安排生产计划使该企业获得的利润最大？
表1-1
甲
乙 资源限量/吨
原材料A/吨
1
2
30
原材料B/吨
3
2
60
原材料C/吨
0
2
24
产品利润 千元/吨 40

单纯形法的矩阵描述课件PPT

单纯形法的矩阵描述课件PPT

单纯形法的基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的 算法。
它通过迭代的方法，不断寻找最优解 ，直到找到最优解或确定无解为止。
单纯形法的步骤
01
初始化
设置初始单纯形表格，选择一个初始基可行解。
02 03
迭代
通过迭代的方式，不断寻找最优解。在每次迭代中，根据单纯形表格进 行相应的操作，包括进基、离基、换基等步骤，直到找到最优解或确定 无解。
初始解选择
选择合适的初始解，避免 陷入循环的可能性。
算法终止条件
设置合适的终止条件，在 循环发生之前提前结束算 法。
启发式搜索策略
引入启发式搜索策略，指 导算法跳过可能导致循环 的解。
处理特殊情况的方法
异常处理
针对特殊情况，如输入数据错误、 矩阵奇异等情况，设计异常处理 机制。
边界情况处理
对算法边界情况进行特殊处理，确 保算法的正确性和稳定性。
生产调度
通过单纯形法，企业可以优化生 产调度，合理安排生产任务，提
高生产线的协同作业能力。
在金融投资组合中的应用
投资组合优化
单纯形法可用于优化金融投资组合，帮助投资者 选择最佳的投资组合方案，降低投资风险。
风险控制
在金融投资中，单纯形法可以帮助投资者控制风 险，通过分散投资降低资产波动。
收益最大化
单纯形法的矩阵描述课件
目 录
• 单纯形法简介 • 单纯形法的矩阵描述 • 单纯形法的实现 • 单纯形法的改进与优化 • 单纯形法的应用 • 总结与展望
01 单纯形法简介
线性规划问题
01
线性规划问题是在一组线性不等 式约束下，最大化或最小化一个 线性目标函数的问题。
02
线性规划问题在运筹学、经济学 、管理学等领域有广泛的应用。

2.1单纯形法的矩阵描述

2.1单纯形法的矩阵描述

单纯形法计算时，总选取I为初始基，对应基变量为X S
初始单纯形表
项目
非基变量 XB XN
基变量 XS
0 XS b
B
N
I
Cj-zj
CB
CN
0
迭代若干步后，基变量为XB , XB在初始单纯形表中的系数矩阵为B.
项目
CB XB B-1b Cj-zj
基变量 XB
I=B-1B
0
非基变量
XN
XS
B-1N
B-1I
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
Max Z CX
考虑线性规划问题：(
LP)
S
.T
.
AX X
0
b
则 A=(B,N)，X＝(XB,XN)T，C＝(CB,CN)
目标函数
Z
CX
(CB , C N
)
XB XN
CB XB
CN XN
约束条件
AX
(
B,
N
)
X X
(LP)
S.T
.
X X
B B
B1b ,X N
0
B1
NX
N
由上述模型可看出，当XB=B-1b,XN=0, 满足AX=b条件
当XB=B-1b≥0XN=0时，B是可行基，X是基本可行解
再当CN－CBB-1N 0时，B是最优基，X是最优解
单纯形法的矩阵描述
最优基判别定理 设B是(LP)的一个基,若基B满足:
则对应于基B的基础可行解x就是基础最优解，此时的可 行基就是最优基。
σ=C - CB B-1A为检验数。 基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
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min
i
B1Pj i

B 1 Pj
0 i
偶
问 题
价值系数
0 CB CN
基变量的 基变量 等式
价值系数
右边
上页
RHS
XB XN XS
下页 CB X B B1b I B1N B1
返回
z0检 C验B B数1b
0 CN CBB1N CB B1
当前基可行解
偶
问 题

X
B

B 1b
上页
N B1N
下页

N
CN
CB B1N
返回

z0

CB B1b
9
9
单纯形法计算的矩阵描述
对 偶
线性规划问题
问
max z CX
题
AX b
上页
s.t.
X 0
下页 化为标准型，引入松弛变量 X s
返回
max z CX 0X s
b1

b2
下页
基.矩..阵.... ......非基阵

返回 0
1 amm1...amn bm
1 c1 cC02.B.. cm
cm1CN cn
0

8
8
当出矩已B阵知1 描一，个述再线用时性这的规些划常运的算用可公公行式基式可B得时到，单先纯求
对 形法所要求的结果。
X B B1b
4
单纯形法的矩阵描述
对 偶
目标函数
问 题
z (CB
CN
)

X X
B N


CB
X
B

CN
X
N
CBB1b (CN CBB1N )X N
令 XN 0 得
非基变量的 检验数
z0 CB B1b
当前目标值
5
单纯形法的矩阵描述
对 偶
检验数
问 题
当前检验数
15
对
偶 问
下一节
题
对偶问题的提出
上页
——掌握如何写出对偶问题
下页
返回
16
16
1 c1 cC2.B.. cm
cm1CN cn
0

3
3
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
约束方程组
AX b (B
N
)

X X
B N

BX B NX N b X B B1(b NX N ) B1b B1NX N
令 XN 0 得
当前基可行解
对
偶 问
第一节
题
单纯形法的矩阵描述
上页
单纯形法的矩阵描述
下页
单纯形法计算的矩阵描述
返回
1
1
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问
设线性规划问题
max z CX
题
AX b
s.t

X

0
上页
不妨设基为
下页
B P1 P2 Pm
返回
则 A (P1 P2 Pn) (B N) X (XB X N ) C (CB CN )
价值系数
0 CB CN
基变量 基变量 等式
的价值
上页
系数
右边 X B X N X S
RHS
下页 0 X S b B N I
返回
检验数
CB CN 0
12
初始单纯形表 迭代成基变量
对
偶
问 题
价值系数
0 CB CN
基变量 基变量 等式
的价值
上页
系数
右边 RHS
XB XN XS
下页 0 X S b B N I
返回
检验数
CB CN 0
初始基变量 13
迭代后单纯形表
对
偶
问 题
价值系数
0 CB CN
基变量 基变量 等式
的价值
上页
系数
右边 RHS
XB XN XS
b I B N 下页 CB X B B1 B1 B1 B1
返回
检验数
0 CN CBB1N CB B1
14
对
迭代后单纯形表 B1b
N CN CB B1N
(Cm1， ，Cn ) CB (B1Pm1， ，B1Pn )

m1

Cm1

CB
Bห้องสมุดไป่ตู้
P 1 m1
当前检验数
n Cn CB B1Pn
其中 B1Pj
当前x j 对应的系数列
6
线性规划问题可以等价单纯写形成乘子：
对
偶
问 题
max z CB B1b (CN CB B1N ) X N
s.t.
AX IX X 0, X
s s

b 0
10
10
标准型
对
偶 问 题
max z CB X B CN X N 0 X S
上页 下页
s.t.

BX B NX XB, XN, X
N S
IX S 0

b
返回
列初始单纯形表
11
11
初始单纯形表
对
偶
问 题
基变量
非基变量
2
2
单纯形表
对
偶 问
-Z x1 基x变2.量..XxBm
xm非基1.变..量. xXNn
b
题
0 1
上页

0
1B
a1m1 ...a1n a2m1N ...a2n
b1

b2
下页
基.矩..阵.... ......非基阵

返回 0
1 amm1...amn bm
s.t.
X B B1NX N B1b
上页
X B 0, X N 0
下页
返回 此形式为线性规划对应于基B的
典则形式（典式）。
7
7
单纯形表
对
偶 问
-Z x1基x变2.量..XxBm xm非1基..变..量xXnN
b
题
0 1
上页

0
1B
a1m1 ...a1n a2m1N ...a2n