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自动检测技术与仪表控制系统-误差传递法则

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测绘学中的误差传播与控制方法

测绘学中的误差传播与控制方法

测绘学中的误差传播与控制方法测绘学作为一门关键科学，对于各个领域的测量和地理信息管理都具有重要意义。

然而，测绘学中的误差传播一直是一个关键问题，因为测量本质上是一个不可避免的不确定过程。

本文将探讨测绘学中误差的传播机制以及控制方法。

一、误差传播的机制在测绘学中，误差的传播是指由测量仪器、环境条件、测量者等各种因素引起的误差从测量过程中传递到最终测量结果中的过程。

误差的传播机制通常可以从以下几个方面进行分析。

首先，仪器误差是测量误差传播的重要来源。

测量仪器的精度和稳定性直接影响了测量结果的准确性。

例如，在全球定位系统（GPS）测量中，GPS接收器的精度和误差传播有密切关系。

其次，环境误差也是误差传播的常见来源。

环境的变化会导致测量结果不确定性的增加。

例如，在大气层中存在的湿度、气压等环境因素都会对测量结果产生一定的影响。

此外，人为误差也是测量误差的传播因素之一。

测量者的技术能力、经验水平以及人为操作失误都可能引入额外的误差。

因此，培训和维护测量人员的技能是必不可少的，以减少人为误差的传播。

最后，数据处理过程中的误差也会对测量结果产生影响。

数据的收集、存储和分析都可能引入额外的误差。

因此，采用适当的数据处理方法和算法，以减少误差传播是非常重要的。

二、误差控制的方法在测绘学中，为了确保测量结果的可靠性，可以采用一些误差控制方法进行误差的控制和修正。

首先，选择合适的测量仪器和设备是误差控制的关键一步。

仪器的精度和稳定性直接决定了误差的大小和传播程度。

因此，在选择测量仪器时，应根据具体的测量任务和要求来选择。

其次，定期校准和维护测量设备也是控制误差的重要措施。

定期校准可以确保测量仪器的精度和稳定性，及时发现和修复仪器可能存在的问题。

此外，采用适当的测量方法和技术也可以有效控制误差。

例如，在GPS测量中，采用差分GPS方法可以减小大气层带来的误差。

在地形测量中，采用遥感技术可以减少人为误差的传播。

最后，数据处理的方法也是误差控制的重要措施。

仪表基础的检测及误差

仪表基础的检测及误差

仪表的测量及误差检测系统检测：检测即测量，是为准确获取表征被测对象特征的某些参数的定量信息，利用专门的技术工具，运用适当的实验方法，将被测量与同种性质的标准量(即单位量)进行比较，确定被测量对标准量的倍数，找到被测量数值大小的过程。

检测的基本方法：检测方法是实现检测过程所采用的具体方法。

根据检测仪表与被测对象的特点，检测方法主要有以下几种： (1)接触式与非接触式; (2)直接、间接与组合测量； (3)偏差式、零位式与微差式测量。

(4)还有其他的分类(如根据物理量、检测原理)。

理想的检测系统：检测系统希望具有良好的频率特性、适当高的灵敏度、快速响应和较小的时间滞后，实现输出波形无失真的复现输入波形。

其中，线性系统最为理想。

检测系统的基本特性：测量系统的基本特性：指测量系统的输出与输入的关系，分为静态特性和动态特性。

测量系统的静态特性：指测量系统的输入为不随时间变化的恒定信号时，测量系统的输入与输出之间的关系。

衡量指标：灵敏度、线性度、滞后度。

1.1 灵敏度和分辨率：灵敏度是检测系统静态特性的一个基本参数。

它表示检测系统对输入信号变化的一种反应能力，其定义是输出增量⊿y 与引起输出增量⊿y 的相应输入增量⊿x 之比。

dy dx1.2 线性度：线性度是度量测试系统输出、输入间线性程度的指标。

测量系统输入和输出之间的关系曲线称为定度曲线。

定度曲线和理想曲线的最大偏差B 与测试系统标称全量程输出范围A 之比称为系统的线性度。

线性度=B/A×100%Y+_图1.5 定度曲线线性度的求取方法：最小二乘直线法、两点连线法、最大偏差比较法。

dxdys x y s =∆∆=或y max max1.3 滞后度：滞后度也称为回程误差或变差，用来评价实际测试系统的特性与理想测试系统特性差别的一项指标。

定义：在全量程范围内，当输入量由小增大和由大减小时，对于同一个输入量所得到的两个数字不同的输出量之差的最大值为滞后量，它与全量程A 的比值称为滞后度。

检测仪表误差分配原则

检测仪表误差分配原则

检测仪表误差分配原则
检测仪表误差分配原则是指在进行测量时，由于检测仪表的误差会对测量结果产生影响，因此需要将误差分配到各个测量结果中，以保证测量结果的准确性和可靠性。

下面将从误差来源、误差分配原则和误差分配方法三个方面进行阐述。

一、误差来源
检测仪表的误差来源主要包括系统误差和随机误差两种。

系统误差是指由于检测仪表本身的结构、材料、制造工艺等因素引起的误差，具有一定的规律性和可预测性；随机误差是指由于环境、操作人员、测量对象等因素引起的误差，具有不规律性和不可预测性。

二、误差分配原则
误差分配原则是指在进行测量时，根据误差来源和测量要求，将误差分配到各个测量结果中的原则。

常用的误差分配原则有以下几种：
1.等分误差分配原则：将总误差平均分配到每个测量结果中，适用于误差分布均匀的情况。

2.最大误差分配原则：将总误差分配到最大误差的测量结果中，适用于误差分布不均匀的情况。

3.加权平均误差分配原则：根据各个测量结果的重要性和误差大小，对误差进行加权平均分配，适用于测量结果有不同的重要性和误差大小
不同的情况。

三、误差分配方法
误差分配方法是指具体的计算方法和步骤，常用的误差分配方法有以
下几种：
1.直接法：将检测仪表的误差直接加减到测量结果中，适用于误差较小的情况。

2.间接法：通过对多个测量结果进行运算，得到最终的测量结果，适用于误差较大的情况。

3.综合法：将直接法和间接法相结合，综合考虑误差的大小和分布情况，适用于误差较复杂的情况。

总之，正确的误差分配原则和方法对于保证测量结果的准确性和可靠
性至关重要，需要根据具体的测量要求和误差来源进行选择和应用。

测绘工程中的误差传递与控制方法

测绘工程中的误差传递与控制方法

测绘工程中的误差传递与控制方法在测绘工程中，准确测量地理位置和空间数据对于各种工程项目都至关重要。

然而，在实际测绘过程中，由于各种原因，误差的存在不可避免。

这些误差若不加以控制和修正，可能会对工程项目产生负面影响，因此误差传递与控制成为测绘工程中的重要问题之一。

误差传递是指测量中的误差在测绘过程中逐步传递并累积造成测绘结果的失真。

误差的传递通常是由于测量设备的限制，对地理环境的影响以及人为操作等因素导致的。

为了减小误差的传递，首先需要了解和分析误差的来源和特点。

常见的误差来源包括仪器误差、观测误差、环境误差、人为误差等。

每个误差来源都有其独特的特点和影响程度，因此需要针对性地制定相应的控制和修正方法。

在控制误差的过程中，首先要选择合适的测量设备。

高精度、稳定性好的仪器可以有效降低测量误差的产生，并提高测绘结果的准确度。

其次，要合理安排测量的步骤和方法。

对于同一测量点，可以使用多次观测的方法，通过取平均值或加权平均值的方式来减小观测误差。

此外，还可以采用一些复位和校正的操作来修正仪器可能存在的零位误差和系统误差。

在测绘过程中，环境因素也是影响误差传递的一个重要原因。

例如，气象条件的变化、地形起伏等都会对测量结果产生一定的影响。

为了降低环境误差的影响，可以选择合适的时间段进行测量，避免恶劣的气象条件。

同时，对于特殊地貌区域的测量，还可以通过采用附加控制点等方法来减小地形起伏对测绘结果的影响。

此外，人为因素也是误差传递的重要来源之一。

人在进行测量过程中容易受到主观因素的影响，例如眼睛疲劳、操作不当等。

为了降低人为误差的影响，可以进行双人作业、交叉验收等方式，确保数据的准确性和可靠性。

同时，还可以进行人员培训和技术培养，提高测绘人员的专业水平和操作技能。

在实际操作中，误差的控制和修正并非一劳永逸，需要不断进行监测和验证。

定期校验仪器设备的准确性和精度，对测量结果进行分析和比对，并进行误差调整和修正。

此外，还需要对整个测绘过程进行反思和总结，总结经验教训，并及时修正和改进工作方法。

.L03.误差理论 整理完

.L03.误差理论 整理完
数学期望
数学期望是误差 的分布中心，它反映了 的平均特征。
方差和标准差
随机误差的方差是反映随机误差取值的分散程度的，是 误差随机波动性的表征参数。
34
T&M,AI ›› 绪论
随机误差 ›› 随机误差的统计表征
正态分布
大多数的测量误差因素具有正态分布的特征。 不服从正态分布的误差通过求和，当和式中的误差项数 量增加，而误差的方差又相差不太大时，误差和的分布 将趋于正态分布。 实践上，当测量误差的方差相差不太大时，大致10个 左右测量和的误差就能较好的接近正态分布。
随机误差
对同一量值进行多次等精度的重复测量时，得到一 系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值 都含有误差，这些误差的出现又没有确定的规律， 即前一个误差的出现不能预测下一个误差的大小和 方向，但就误差的总体而言却具有统计规律性。 随机误差的来源 数理统计的基本知识 随机误差的统计表征
32
T&M,AI ›› 绪论
24
T&M,AI ›› 绪论
仪器仪表的指标 ›› 静态特性
准确度等级
要注意：相对误差和引用误差的不同 引用误差与仪表满刻度相对误差的区别 引用误差与仪表准确度等级的关系
25
T&M,AI ›› 绪论
仪器仪表的指标 ›› 动态特性
响应时间
仪表输出值达到或接近稳定值的时间 一般规定仪表输出值达到稳定值的 63.2%，所需的时 间为响应时间，也称仪表的时间常数。
6
T&M,AI ›› 绪论
仪器仪表的指标 ›› 静态特性
输入输出特性
线性度 在规定条件下，仪表校准曲线 与拟合直线间最大偏差与满量 程（Full Scale）输出值的百 分比。

自动检测技术与仪表控制系统-误差分析基础PPT25页

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自动检测技术与仪表控制系 统-误差分析基础
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢！
51、 天 下2、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特

自动检测技术与仪表控制系统-误差分析基础


负误差相互抵消。
它可以由对称性推出。
※理论和实践证明：满足上述统计特征的随机误差在测量次 数极大时必然服从正态分布。
二、正态分布函数及其特征点
1. 概率密度函数为：
f (x) 1 ex2 22 2
其中，σ为标准误差或 均方根误差，是正态分 布的重要参数，一旦确 定f(x)为单值函数。 正态分布也叫高斯分布， 是随机误差的理论分布 规律，也称误差法则。 分布曲线如图2-3所示。
生的概率。
1.误差函数有关的y定义f (：x)
概率密度函f (数x)d：x P(x)
密度 a
概率元：
b
率
x 误x差 发生的概率
b
P(a x误差b) 发a 生f (x的)d概x
误差在 与 之间的概率：
2.随机误差的统计特性：
通过对大量的测量数据的观察，人们总结出了大 多数随机误差具有以下4个特征，它常被称为随机误差 公理。
图2-3 随机误差的正态分布
2.正态分布曲线的特点：
σ越小，正态分布曲线越陡，小误差出现的 概
率大，说明测量值集中，测量精密度高。表 征
了测量值偏离真值的离散程度。故等精度测
量 是
一
种
σ
d值fd(相xx)同 0的测f量max。(x)
f (0）
1
2
峰值点：
拐点：
从检测的角度看，正态分布常用N(A0,σ2) 表示。 A0 和σ分别为测量的真值和标准误差。设测 量值M作为随机变量，它服从正态分布，则
故可以了解它的分布特性，并能对其大小和
三、粗大误差 1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时， 明显偏离了结果的误差。 2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、

仪表检测 误差分析基础


江苏工业学院自动化系
仪表检测与控制装置
第三章 误差分析基础
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价： 测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
σ = lim
n →∞
1 ( xi − x0 ) 2 = lim n →∞ N∑ i =1
N
1 ∆i 2 N∑ i =1
N
或用σ的估计值 或用 的估计值
JiangSu Polytechnic University
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仪表检测与控制装置
第三章 误差分析基础
3.3 误差分类
１、按表示方法分 （1）绝对误差；（2）相对误差；(3)引用误差 2、按使用时工作条件分 （1）基本误差；（2）附加误差 3、按误差出现的规律分 （1）系统误差；（2）随机误差；（3）粗大误差
JiangSu Polytechnic University
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仪表检测与控制装置
第三章 误差分析基础
残余误差观察法： 残余误差观察法：这种方法是根据测量值的残余误差的大小 和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断有 无变化的系统误差。 下图中把残余误差按测量值先后顺序 排列，图（a）的残余误差排列后有递减的变值系统误差， 图（b）则可能有周期性系统误差。
系统误差常见的变化规律
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综合误差分布特征
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仪表检测与控制装置
第三章 误差分析基础
系统误差( 系统误差(System error )
1、产生系统误差的主要原因： 测量仪器设计原理及制作上的缺陷 采用近似的测量方法或近似的计算公式等 测量环境条件与仪器使用要求不一致等 测量人员读数习惯等造成的误差 例如仪表刻 度的读取 例如温度、湿度 电磁场变化

《自动检测技术及仪表控制系统》课后习题答案

分章节知识点C11．开闭环仪表各有何优缺点？P6-72．检测系统的静/动态特性有哪些？P7-103．一阶系统的计算；4．仪表的误差与等级方面的计算。

C21．检测技术的一般原理P29-302．检测仪表的组成与各部分的作用 P2图1。

1或P97图3。

13．检测仪表的设计方法按结构形式来分主要有四类，即简单直接式变换、差动式变换、参比式变换和平衡（反馈）式变换 P100-108C3对位移、力与压力、振动、转速、温度、物位、流量、成分等常用工程量作测试，按提出的测试要求，设计测试方案，选传感器，分析方法，测试步骤，预期结果。

参习题C4 虚拟仪器的特点。

一简答题1．测量压力的仪表，按其转换原理的不同，可分为几类，各是什么？答：测量压力的仪表，按其转换原理的不同，可分为四大类，分别为：1）液柱式压力计；2）弹簧式压力计；3）电器式压力计；4）活塞式压力计。

2．测量的基本方程式是什么？它说明了什么？答：3．测量物位仪表按其工作原理主要有哪些类型？答：1）直读式物位仪表；2）差压式物位仪表；3）浮子式物位仪表；4）电磁式物位仪表；5）和辐射式物位仪表；6）声波式物位仪表；7）光学式物位仪表。

4．什么是温度？温度能够直接测量吗？答：温度是表征物体冷热程度。

温度不能直接测量，只能供助于冷热不同物体之间的热交换，以及物体的某些物理性质随冷热程度不同变化的特性来加以间接测量。

5．什么是压力式温度计，它是根据什么原理工作的？答：应用压力随温度的变化来测量的仪表叫压力式温度计。

它是根据在密闭系统中的液体。

气体或低沸点液体的饱和蒸汽受热后体积膨胀或压力变化这一原理制作的，并用压力表来测量这种变化，从而测得温度。

6．差压变送器的检测元件为什么要做成膜盒结构，用单膜片行不行？答：因为膜盒组件在使用的差压范围内，具有很好的灵敏度和线性，而当差压超过使用范围时，即单向过载时，膜盒不但不坏，而且也极少有影响；由于膜盒内充有硅油，它除了传递压力之外，还有限尼作用，所以仪表输出平稳；由以上可知单膜片不能耐单向过载，尽管它加工方便，灵敏度高，不宜使用。

自动检测技术及仪表控制系统课件(第十章)


Y Y p YI
式中
Y p ――比例作用输出，p K p * X Y K ――积分作用输出，I p * X dt YI Y TI
A
X0
t
Y
在阶跃信号输入时，比例积分控制器的输 B C 出变化如图10-4所示。 在加入阶跃信号瞬间，输出跳跃上去（AB t Y0 A 段所示），这是比例作用，以后呈线性增加 T0 （BD段所示），这是积分作用。 图10-4 比例积分控制器阶跃响应曲线
dX 为偏差变化的速度；D 为微分时间。 式中 T dt
返回目录
de I TD dt
(10-10)
上式表明，对这种微分控制规律来说，输入偏差变化的速度越大， 则微分作用的输出越大，然而对于一个固定不变的偏差，不管这个偏 差有多大，微分作用的输出总是零。这种微分控制规律通常称为理想 微分作用。理想微分控制器的阶跃响应曲线如图10-6所示，由图可以 更直观看出理想微分作用的这一特点。 由于微分作用的这一特点，因此这种理想的微分作用不能单 独作为控制规律使用。在控制器中，通常采用微分作用和比例作用以 及一阶惯性环节组合的实际比例微分控制规律。
2.积分控制规律
比例控制器的缺点是有余差。若要求控制系统无余差，就得增加积 分控制规律（即积分作用）。 （1）积分作用 积分作用的输出与偏差对时间的积分成比例关系，即
I
1 edt TI
返回目录
（10-6）
式中 TI ――积分时间。
上式表明，只要控制器输入（偏差）存 X 在，积分作用的输出就会随时间不断变化， 只有当偏差等于零时，输出才稳定不变，图 10-3可以更加清楚说明这一点。这表明积 X 分作用具有消除余差的能力，对一个很小的 t 偏差，虽然在很短的时间内，积分作用的输 X 出变化很小，还不足以消除偏差，然而经过 一段时间，积分作用的输出总可以增大到足 以消除偏差的程度。 由于积分作用的输出与时间的长短有关。 Y t t0 t1 一定偏差作用下，积分作用的输出随时间的 延长而增加，因此积分作用具有“慢慢来”的 图10-3 方波信号下积分作用的响应 特点。由于这一特点，即使有一个较大的 偏差存在，但在一开始积分作用的输出总是比较小的，即一开始控制作用
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D s 500 解： 5 s 2d 2 50
5002 D s 2 2 1 4d 4 502 1 24 d
二、不等精度测量的加权及其误差
使用不同检测方法对同一未知量进行检测所得的m组 测量数据，一般认为它们的精度是不同的。我们希望精度高 （标准误差小，可靠性高）或者测量次数多的数据在结果中 所占的比例大一些。因此引出了权重的概念——权重衡量测 量结果可靠程度。 •权重的大小 权重的大小是相对的，一般用方差的倒数的 2 2 2 比值表示。若m组测量数据各自的方差分别为1 , 2 ,..., m 则 1 1 1 p1 : p2 : : pm 2 : 2 : : 2
n X i2 X i n
2 i
X i2
2 2

2 1
n X X i
2
例：已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线 xi 1 2 3 4 5 因此y与x之间的拟合曲线表达式 为：y 2.77 1.13x yi 4 4.5 6 8 8.5
此时，y与x之间的函数关系为： a0 a1 x y 解：根据所给数据在坐标纸上标出点 a0
算术平均值的标准偏差
v2 ˆ ˆ A 0.0089 0.0037 nn 1 n 6
3， 7， 20 10 例：有一组测量数据2， 3， 9， ， 试判断可疑值20
是否应该剔除。若要剔 除，求剔除前后的平均 值和
在一系列测量数据中，明显地与其他数据差异很大， 标准偏差。 2 3 3 7 9 10 解：可能含有粗大误差的数据应该在进行其他统计处理之 X 5.17 6 前剔除。检验原则：设置一定的置信概率，看这个可 疑值的误差是否还在置信区间内，若不在，则应剔除。 vi n • 简单检验方法：将可疑值之外的其它值求平均值 X 2 5.17 3 . v n .17 7 5.17 9 5.17 10v 5.17 及平均残差 5 17 3 5 ，计算可疑值与 X 的残差 ， 3 i 6 如果 v 4 ，则此可疑值应该剔除。 v 20 X 20 5.17 14.83 4 12 • 格罗布斯检验方法：包括可疑值在内求平均值及标准 vi2 残差 X i X 2 1 3.487 故此可疑值应该剔除。 n ；求可疑值的残差与标准残 此时 n 1 差的比值 v ；查表得n次测量时，置信概率为 时 vi2；若281 n ( ) ，则此可疑 的格罗布斯鉴别值 剔除前：X 7.29, n ( ) 6. v n 1 值应舍弃。
2 Y 2 并且X1,X2,…的标准误差分别为 1， 2 ，…时，如何 xi 求Y的标准误差 y ？ i 1 2
如下的函数关系：

n
求解过程由简单到一般分成了三种情况： 2 2 2
n n n n X 1、X 2相互独立，协方差 x1i x2i 0，那么Y的标准
y
i
x
1i
2 2 例：用弓高弦长法间接测量圆的大直径D， D 2 D 2 如图所示。直接测出s和d， d D s 2 s s D d 计算出D。 d 利用公式 4d d 2 2 2 2 5 已知弓高和弦长的测得值 0.1 24 0.05 s 和标准误差分别为： 1.3m m D d=50mm, σd =0.1mm S=500mm, σs =0.05mm， 求直径的标准误差 σD 。
M i m m
2
0
说明一组测量数据 1 , M 2 , M n的最佳估值m就是其 M 算术平均值，这与随机 误差分析中的真值的无 偏估 计值是一致的。
二、最小二乘法在曲线拟合中的应用
设变量y和x之间有某种函数关系存在，如何根据测得的 一组实验数据确定y和x之间的最佳函数关系式y=f(x)呢？ • 首先将检测结果在平面坐标上标出点，然后根据连接 这一组标点的曲线趋势，建立最合适的数学函数模型 y=f(x)----直线、抛物线等。
'
例：已知 X1 1, 1 1; X2 2, 2 2; X3 3, 3 3 求加权平均值和加权标准偏差。
解：
p1 : p 2 : p 3 12 : 12 : 12 1 : 1 : 1 36 : 9 : 4 1 2 3 1 4 9
取p1=36, p2=9, p3=4
最小二乘法是根据测试实验数据求最佳值并估计 误差的重要方法 一、最小二乘法原理：残差的平方和最小
设某被检测参数的重复 测量值为M 1 , M 2 , M n , 该参数的 最佳估值m应该满足 s v M i m 最小
2 i 2
为使残差平方和最小， 应有 1 可得：m M i n
标准偏差 v 2 (1.00 1.01) 2 (1.01 1.01) 2 (1.02 1.01) 2
(1.02 1.01) 2 (1.01 1.01) 2 (1.00 1.01) 2 0.0004
∴ 0.0004 0.0089 ˆ
5
可见，剔除后的精度要 高。
2.8 粗大误差检验
2.9.最小二乘法及其应用
某金属丝的长度Y与温度t有这样的关系： Y=a+b· t 其中，a和b为常数，但未知，我们要通过实验 求得它们。于是我们对各个温度下，该金属丝的长 度进行测量，得到如下数据： i ti/℃ 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50 6 60
y f ( x) a0 a1 x a2 x2 a j x j
•按照最小二乘法原理，应使曲线与标点的残差平方和最小。
残差：vi Yi a j X i
j
残差平方和： vi2 s
为使s最小，应有s ak 0
（k 0,1,)
解未知量ak的联立方程式可以求出 各系数 的最佳值以决定最佳拟 合曲线。
特别地，当y f ( x)为一次函数时 a0 a1 x y 最佳值： a0 a1
2
X i2 Yi X i X iYi n X iYi X i Yi n X X i
2 i 2
n X X i
2 i
2
s 无偏方差： n 1 最佳值的方差： 0 2
n n(n 1)
n(n 1)
●数据平均值标准误差的无偏估计为：
例：测量某长度，测得值分别为： 1.00 1.01 1.02 1.02 1.01 1.00，求算术平均值、 单次测量的标准偏差和算术平均值 M i 1.00 1.01 1.02 1.02 1.01 1.00 1.01 n 6
3.一般情况： 假设Y与n个独立测量的量有函数关系，即
将X1,X2,…分别测量t次，取平均值m1,m2,…,mn 。再将间接检 测量在Y0=φ(m1,m2,…,mn) 的附近进行泰勒级数展开，并忽略 高次误差项，可得：
其中偏微分系数均为取平均值m1,m2,…,mn 时的常量。 根据方差的性质，可得： 上式被称为误差传递法则。 用标准误差则表示为：
2.7.误差估计
一、平均值的误差表示方法 Mi 设A为测量的平均值，则 真值A0 A , 2i 1n)正态分布 lim A 说明测量数据的平均值 按N ( lim A
n
由于实际n不可能无限，故 0 A A
0 n
n
n
此时，A的数学期望为：
1 2 1 2 1 2 2 2 A的方差为 A n n n n
2.6.误差传递法则
1.简易情况： X 1 X 2 Y 一、误差传递法则
当间接检测量Y与相互独立的直接检测量X1 x22 , , 设X 1的误差为x11 , x12 , , x1n , X 2的误差为x21 , ,X2,…有x2 n ,
Y的误差为y1 , y2 , , yn，则有yi x1i x2i。 根据方差的定义 故
x
n
( xi为每次测量的误差）
2i
x 2
1i
x2 i
2 误差为： Y 12 2
2.任意线性组合的情况： a1 X 1 a2 X 2 an X n k Y 误差yi a1 x1i a2 x2i an xni n n 因为X 1 , X 2 , , X n 相互独立，故其误差的 任意协方差
yi/mm 10.36 10.72 10.80 11.07 11.48 11.60
以温度和长度为横纵坐标，画出散点图：
11.8 11.6 11.4 11.2
¤¶ ³ È
11 10.8 10.6 10.4 10.2 0 10 20 30 Â È Î ¶ 40 50 60 70
我们试验的目的是想找出一条贯穿于这些点之 间的一条直线。那么，这条直线的位置应该是怎样的 呢？最小二乘原理规定：直线的位置应该保证它与所 有测试点的垂直距离的平方和为最小。
2 2 2
二、平均值与标准偏差的无偏估计
●无偏估计：
ˆ ˆ 若为的估计值，且 , 则称为的无偏估计 E ˆ

● 真值A0的无偏估计为 ，因为EA A0 A
●方差的无偏估计： 先考虑残差的平方和S：
因为 xi ( M i A0 ) M i A0 nA nA0 n( A A0 )
2
X i2 Yi X i X iYi n X i2 X i
1 36 2 9 3 4 1.35 36 9 4
X
'
p1 2 p 2 2 p 3 2 1 2 3 p p p i i i
2 2 2