下载文档原格式
浅析联想在数学教学中的应用在数学教学中，老师们常常感到很困惑：学生对独立的数学知识比较容易地就掌握了，但学生在解题过程中却反应迟钝、思维中断，特别是对于那些本身学习能力较差的学生，更加明显. 在数学学习中，有些学生也常常很困惑：学习数学很刻苦，且能不厌其烦地向老师请教，老师也能反复耐心地指导，可数学学习效果就是不好，感觉总是很吃力，其重要原因之一就是学生缺乏连贯性的联想思维方式.一、联想在数学教学和数学学习中有着重要意义1. 联想有利于系统掌握数学基本概念和数学基本知识运用联想可以增强对某部分知识的记忆，唤起学生对旧知识的回忆，加强知识间的联系，培养学生思维的敏捷性与灵活性. 例如，要判定一个四边形是平行四边形，运用联想，可以回忆起平行四边形的性质，可以连锁回忆起“两条直线平行，同位角相等”、“两条直线平行，内错角相等”、“两条直线平行，同旁内角互补”等；再如给出三角形，运用联想，不仅可以回忆起三角形内角和关系，三角形的外角和关系，三角形三条边的关系，还可以回忆起等腰三角形，等边三角形等一系列相关知识点. 这样学生养成习惯，长期坚持，在头脑中可以形成一系列的知识网点，更有利于学生掌握繁多的知识点.2. 联想有利于提高数学解题技能数学解题就是学生通过分析题目中图形或图示所给的已知条件，运用学过的数学概念、数学定理以及数学方法等，联想得出未知的数学结论和数学方法. 其产生的基础是知识、方法之间客观存在的固有联系，这种联系或是明确的、显现的或是隐蔽的、潜在的，此时，学生的有效联想为高效解题起着非常重要的作用.数学解题中的联想，最常见最基本的是因果联想，它是条件与结论间的联想，一般做法是找出两者的差异，并寻求消除差异的途径. 如常州市某学年度第一学期期末质量调研八年级数学试题中的第21题：如图，在△abc中，∠acb = 90°，de是△abc的中位线，点f 在ac的延长线上，且cf = ■ac.（1）说明：四边形dcfe是平行四边形；（2）请说明∠a与∠f相等.首先让我们从条件展开丰富的联想：由条件“∠acb = 90°”我们联想到直角三角形的有关性质，如两锐角互余、三边之间的勾股关系、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等；由条件“de是△abc的中位线”联想到三角形中位线的定义与性质，即点d与点e是线段ab，bc的中点，de = ■ac且de∥af；将这两个条件联系起来，我们又可以得到dc = bd = ad等；由条件“cf = ■ac”与之前的联想结论“de = ■ac且de∥af”可以得到de = cf且de∥cf等. 接着我们从结论出发展开联想：要说明“四边形dcfe是平行四边形”，我们联想到判定四边形是平行四边形的条件，而条件中已经得到了一组对边平行且相等，问题得到了解决；要说明“∠a与∠f相等”，首先联想到说明两个角相等的方法，如特殊图形（等腰三角形、平行四边形等图形）中的两个角相等；两直线平行同位角相等、内错角相等；说明这两个角都与第三个角相，等等，观察图形后我们可以发现应该要用到第三个角，再从条件入手联想图中角的关系，从而由“dc = ad”得到∠a = ∠dca，由“四边形dcfe 是平行四边形”得到∠dca = ∠f，问题（2）也解决了.积极、广泛地由此及彼的联想，有助于沟通命题的条件与结论的联系，从而能迅速准确地解决问题. 在数学解题教学中，教师应该引导、启发学生通过不同形式的联想，寻求多种途径的解题方法，探索新的结论，促使学生的思维向多层次、多方位发散，从而使学生分析问题、解决问题的能力不断提高.二、采取多种形式和手段培养学生的联想能力1. 引导学生正确观察. 科学的观察、结合教学内容有效的观察，是学生展开联想的基础，这就要求学生观察时做到四要：一要认真细致，二要有序有向，三要全面深刻，四要动静结合.2. 丰富语言，发展抽象思维. 联想需要思维和语言的配合，同时也受其制约. 有了语言与抽象思维的参与调节，学生的联想才会更丰富，想象的构思才能更广阔，更具有逻辑性. 因此，要十分重视学生数学语言的培养和训练，做到抽象思维和形象思维互助互补.3. 鼓励学生质疑问难. 联想往往是从疑问产生的. 平时教学中，要启发学生大胆地提出疑问，对天真幼稚的问题也要耐心解释，保护学生的积极性，逐步引导学生有目的地为解决问题设疑、质疑，发展学生潜在的联想能力.4. 引导学生学会几种常见的联想方法. （1）引发类似联想，促进知识的迁移. 例如，在学习分式的性质时，教师可以引导学生从分数的性质入手，让学生展开连锁的类似联想，自行获取新知，使学生的类推能力、逻辑思维能力得到一定程度的发展. （2）诱导接近联想，提供解决问题的途径. 如学习矩形的判定方法时，学生可以根据得出平行四边形判定方法的经验，通过接近联想，模仿已有的经验得出新知. （3）培养对比联想，训练逆向思维. 如有理数的加法与减法、乘法与除法的相互关系等，教学时分析知识的可逆结构，实际上就是为学生进行对比联想打基础.总之，有意识地培养学生的联想能力，能提高学生学习数学的兴趣，更是提高学生思维品质的有效方法，对他们现在和将来的发展有着深刻的影响. 因此，教师在引导学生学习的过程中，特别要注重培养学生的联想能力，让我们一起在教与学的过程中展开想象的翅膀吧.。
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用高中数学是学生学习数学的一个重要阶段，也是数学知识最为繁杂的阶段。
在高中数学的学习过程中，学生需要通过不断地解题来巩固所学的知识，提高解题能力。
而解题方法则是一个非常关键的问题，在高中数学解题过程中，联想方法在解题思路中的应用是非常重要的。
联想方法，即利用联想来解决问题的方法。
在高中数学解题中，联想方法可以帮助学生通过联想到已知解题方法或理论来解决问题，从而提高解题效率，拓展解题思路。
本文将围绕联想方法在高中数学解题中的应用展开讨论，以期帮助学生更好地掌握解题方法，提高数学解题能力。
联想方法在高中数学解题中的应用主要体现在以下几个方面：一、联想到相似题型在解题过程中，我们经常会遇到一些相似的题型，只是题目中的具体条件稍有不同。
这时，我们可以通过联想到已解过的类似题目，利用相似题型的解题方法或者思路来解决新的问题。
在解决一元二次方程的问题时，如果遇到了比较复杂的题目，我们可以尝试回忆起已经掌握的解题方法，如配方法、因式分解等，并运用到新的题目中去。
这样可以帮助我们更快地解决问题，提高解题效率。
二、联想到相关知识高中数学的知识是有机联系的，许多知识点之间都存在一定的联系和关联。
在解题过程中，我们可以通过联想到相关的知识点来解决问题。
在解决函数的问题时，如果题目涉及到了导数或积分的内容，我们可以通过联想到导数或积分的相关知识来解决问题，从而拓展解题思路。
又如，在解决几何题时，如果涉及到了三角函数的知识，我们可以通过联想到三角函数的相关性质来解决问题。
这样可以帮助我们更全面地理解和解决问题。
联想方法在高中数学解题中的应用是非常重要的。
通过联想方法，我们可以更快地解决问题，更全面地理解和掌握知识，提高解题的技巧性和灵活性。
我们在学习高中数学的过程中，应该注重培养联想能力，多思考、多联想，从而更好地掌握解题方法，提高数学解题能力。
为了更好地应用联想方法解题，我们可以从以下几个方面进行训练和提高：一、注重知识的联系和延伸在学习数学知识的过程中，我们应该注重知识之间的联系和延伸。
浅谈联想思维在高中数学解题中的应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！一、联想思维的含义联想思维是指人们在头脑中将一种事物的形象与一种事物的形象联想起来，探索它们之间共同的或类似的规律，从而解决问题的思维方法。
联想思维是沟通新旧知识的内在联系，在处理新问题时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解答。
可以说，联想是探索的向导，联想是转化的桥梁，联想是巧妙的摇篮，联想是深入的阶梯。
二、联想的类型联想思维的类型主要有以下几类：（1）类比联想：是把陌生的对象与熟悉的对象，把未知的东西与已知的东西进行比较，从中获得启发而解决问题的方法。
（2）接近联想：是指时间或空间上的接近都可以引起不同事物之间的联想，进而产生某种新设想的思维方式。
（3）因果联想：是指由于两个事物存在因果关系而引起的联想。
这种联想往往是双向的，既可以由起因想到结果，也可以由结果想到起因。
（4）相似联想：相似联想就是由某一事物或现象想到与它相似的其他事物或现象，进而产生某种新设想。
这种相似，可以是事物的形状、结构、功能、性质等某一方面或某几个方面的相似。
三、联想思维在数学解题中的案例通过以上例题我们发现，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用，其思维方式可以使很多数学题目得到较好的解决。
而这样的联想思维是在具体的学习过程中逐步培养起来的。
数学是一门有着与现实生活密切联系的学科，学生在日常的生活、学习中培养这种思维是无意识的，也是潜意识。
如何培养学生的这种联想思维是中学数学教师的一项任务。
四、联想思维的培养在日常教学中，教师不妨从以下几个方面对学生加以引导和培养。
1.注重基础教学，完善学生的知识结构。
注重积累数学思想方法，解题经验，因为经验越丰富，联想就越深入，解题也就越简捷。
联想在数学教学中的运用联想是指由一事物想到另一事物的心理过程,也是一种心理过程而引起与之相联的另一种心理过程的现象,它是从已经掌握的途径、原则和方法去寻求接近当前问题解决的途径、原则和方法。
心理学认为:思维起源于问题,联想是思维的渠道。
巴浦洛夫认为:“一切教学都是各种联想的形式。
”为此,在数学教学中,教师能运用好“联想”这一心理现象去诱导学生从已有的知识、经验联想到与之相关的新的知识,对激发学生的学习兴趣,帮助学生探索新的知识,解决新的问题,突出新旧知识的内在联系,把新知识的学习建立在已有知识的基础上,在新旧知识的联系点上展开教学,培养学生的求异思维能力是非常有意义的。
1 联想用于引出新知用联想引出新知就是借助学生已有的知识、经验(旧知)去联想与之相关的要学习的知识(新知)。
教学时,教师先让学生复习旧知,然后引导学生从已有的知识、经验展开联想,从联想中激发学生的学习兴趣,引出要学习的内容。
如:“小东和小英同时从两地出发,相对走来,小东每分钟走50米,小英每分钟走40米。
经过3分钟两人相遇,两地有多远?”在学生解答后,教师引导学生从已知速度和相遇时间,求两地距离。
这一问题展开联想,联想到另外两个路程问题,即:已知两地距离与速度和,求相遇时间;已知两地距离和相遇时间,求速度和。
从而达到引出新知的目的。
2 联想用于探索新知数学是一门系统性很强的学科,学生已有的知识常常成为某一新知的原型和依据。
教学中,教师有意识地引导学生利用已有的知识经验去联想与之相关的新知识,学生就能轻松而又系统地获取新的知识,收到事半功倍的效果。
下面就如何引导学生联想介绍几种常见的方法。
2.1 类似联想。
类似联想是由某一印象,引起人脑中与它有某种类似的其它印象的回忆,产生两种观念或事实间的联系思考。
也就是由于具有相似特征的事物之间形成联系而由一种事物想到另一事物的过程。
教学时,教师可促进学生引发类似联想,向新知实行逻辑推理,让学生展开连锁的类似联想,自行获取新知。
联想能力在数学中的应用
一、联想的概念
所谓联想,是由一种事物而想到另一种事物的思维方法。
联想方法是数学形象思维的最基本的方法之一。
客观事物之间存在着千丝万缕的联系,通过这些联系,人们可以由此及彼地产生联想,从而认识、把握、体验事物,所以,联想具有普遍的应用性。
在数中也不例外,图形、符号、语言、图表等之间也存在着各种各样的联系,这些联系的内化是数学联想的基础,正是这些联系,才使人能通过联想的方法达到对数学对象由此及彼的认识和把握。
联想是以观察为基础,对研究的对象或问题的特点,联系已有的知识和经验进行想象的一种思维方法。
联想也就是一种由此及彼的思考过程。
它是从事物的相互联系中思考问题的。
因此,联想在数学学习、尤其在数学解题中有着非常重要的作用。
因为数学解题过程常常是由未知到已知的一系列的联想过程。
通过由此及彼、由表及里的联想,实现信息转换、沟通命题的结论与条件的逻辑关系,从而探索解题思路,甚至从联想中进发出创造性思维的火花而出现新的解题方法。
联想教学法”在数学课堂中的应用⑩袁燕联想是一种心理过程引起另一种与此相连的心理过 程的现象，可以由某一事物而想起其他相关事物，或者通过 某个知识而想到其他相关知识。
儿童想象力丰富,儿童的 这一特征为联想教学奠定了基础，我们应当充分利用儿童 想象的优势实施联想教学，提高学习效果。
数学知识是一 个有机的整体，各部分之间有着千丝万缕的联系，联想教学 法正是基于数学知识之间存在内在联系以及儿童擅长想象 的特点，充分调动学生的联想能力，针对某一知识、某一现 象或某一问题引导学生展开相关联想，从而激活学生思维，发现解决问题的路径与策略，获得数学知识的自主建构。
联想有利于思维的发散，有助于新知的探究,有利于问题的 解决。
下面笔者结合曰常教学实践，谈谈"联想教学法”在 小学数学课堂中的应用。
一、情境激发,点燃联想火花联想是人对过往的回忆与现实的思考。
联想不是无 中生有的胡思乱想，联想是真实的想象。
联想教学基于一 定的媒介，情境是最好的联想媒介。
情境具体直观，触发 学生形象思维;情境生动有趣，引起学生情感体验。
情境 不仅能激趣，而且能诱思，能够促进学生联想，点燃学生联 想的火花，使他们联想生活经历,联想学习过程，联想相关 知识。
例如,在教学"认识人民币"时，为了激发学生联想，教 师利用多媒体播放了超市场景,创设了一个“逛超市”的生 活情境，现实的生活情境唤醒了学生联想意识，学生触景 生情、追忆过往，边观看视频边联想自己的购物经过，联想 付钱找钱情景,从而激发了对"人民币”的探究欲望。
二、类比迁移,尝试联想解题类比联想法是数学教学中经常用到的一种教学方法，是指由某一学习情境的触发而引起与同类型问题解决经 历相似的联想。
通过类比联想，展开经验迁移，从而将相 关方法、经验等迁移到当前问题情境之中，实现问题的有 效解决。
在数学教学中，笔者经常组织学生尝试联想解题。
例 如，"多边形的面积"单元包含了平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积等内容，这些内容之间联系比较紧密，在推导各类图形面积计算公式时都采用了相同的策 略——转化。
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用
联想方法是一种在高中数学解题中常用的思维方法，通过将问题与已掌握的知识联系
起来，从而找到解题的思路和方法。
联想方法可以帮助学生快速回忆起相关知识点。
在高中数学中，知识点繁多且内容复杂，学生很容易忘记或混淆各种定理、公式和解题方法。
通过联想方法，学生可以将正在
解题的问题与已学知识点相联系，迅速回忆起相关的概念和定理。
当遇到求极限的问题时，可以联想到极限的定义和常见的极限计算方法，从而引导思路。
联想方法可以帮助学生找到解题的启示和思路。
有些数学问题看似复杂，但实际上可
以通过联想到一个简单的或类似的问题来解决。
当遇到一个函数求导的问题时，可以通过
联想到一类类似函数的求导方法，从而找到问题的解题思路。
联想方法还可以通过找到问
题中的共性和特点，从而引出解题的关键和思路。
联想方法可以帮助学生巩固和扩展已学的数学知识。
通过联想方法，在解题过程中学
生可以将已学知识与新问题相联系，从而加深对知识点的理解和应用。
联想方法还可以帮
助学生扩展和应用已学的知识，例如通过联想到一个更一般的问题或推广到其他领域。
通
过这种方式，学生可以建立更加完整和深入的知识结构。
联想方法在高中数学解题中具有广泛的应用。
通过联想已学的知识点，找到解题的思
路和方法；通过联想到类似问题或进行问题转化，解决复杂的数学问题；通过联想加深对
知识点的理解和应用。
学生在学习高中数学时可以尝试运用联想方法，提高解题能力和数
学水平。
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用
联想法是一种常用的解题思路和方法，可以帮助我们更加深入和全面地理解问题，找
到解题的突破口。
在高中数学解题中，联想法的应用可以帮助我们解决一些难题，拓宽思路，提高解题的效率和准确性。
在高中数学解题中，联想法可以帮助我们联想到一些与已知条件相似或相关的知识点，从而使我们更好地利用已有的知识来解决问题。
在解决一些几何问题时，我们可以联想到
一些与已知条件相似的定理或性质，从而可以更加有效地运用它们来求解问题。
这样可以
省去我们重新推导定理或性质的时间，提高了解题的效率。
在代数问题的解题过程中，我
们也可以通过联想来运用已有的代数知识，例如乘法公式、分式运算规则等，来解决问
题。
联想法还可以帮助我们将数学问题与生活实际相联系，从而更加深入地理解问题的本
质和意义。
在高中数学中，有许多问题和实际问题是相通的，通过联想法，我们可以将数
学问题转化为实际问题，从而更加直观地理解问题的意义和解题的方法。
在解决一些应用
题时，我们可以联想到一些实际生活中的场景，将问题抽象为数学模型，再运用数学知识
进行求解。
这样可以帮助我们更好地将抽象的数学概念和实际问题相联系，提高了解题的
准确性。
联想法在高中数学解题中的应用是非常重要的。
通过联想法，我们可以更好地利用已
有的知识来解决问题，将数学问题与实际问题相联系，从不同的角度出发，深入思考问题，从而提高了解题的效率和准确性。
在高中数学学习中，我们应该积极运用联想法，培养自
己的解题思维能力，提高数学解题的水平。
解析联想方法在高中数学解题思路中的应用联想方法是一种将已有的知识和经验与新的问题相结合的思维方法，将原本枯燥乏味的问题转化为有趣的解决过程。
在数学解题中，联想方法可以帮助学生发掘数学问题背后的规律，提高解题效率和思维质量。
一、利用联想方法转化问题对于高中数学来说，很多问题都需要转化为更简单的问题以便解决。
联想方法可以帮助学生将复杂的数学问题转化为简单的数学问题，从而更容易理解和解决。
例如，一元二次方程组的问题通常较难解决。
此时，可以联想到二元一次方程组的解决方法，并将问题转化为二元一次方程组的问题，通过解决二元一次方程组的问题，最终得到一元二次方程组的解。
又例如，对于二次函数的解析式求解问题，可以联想到二次函数的顶点坐标、对称轴、导数等相关知识，从而更好地理解和解决问题。
二、利用联想方法发现规律数学问题中常常需要通过发现规律来进行推理和解决。
联想方法可以帮助学生从已有的知识和经验中发现规律，进而推导解决问题。
例如，对于一个数列的问题，学生可以联想到数列的通项公式、等差数列、等比数列等相关知识，并通过对这些知识的运用，发现数列中的规律，从而解决问题。
再例如，对于解决两个正整数的最大公约数和最小公倍数的问题，学生可以联想到质因数分解和互质等相关知识，从而发现寻找最大公约数和最小公倍数的方法，进而得出问题的解。
在高中数学中，学生经常需要将某种模型或者方法应用到各种题型中，并在问题中灵活运用。
此时，学生可以通过联想方法，将已有的知识和方法与新的题型进行比较和对照，从而更好地解决问题。
例如，对于解决三角函数的问以及其相关题型的问题，学生可以联想到三角函数的限制条件、单位圆等相关内容，并通过对这些内容的应用，灵活解决各种类型的三角函数题目。
又例如，对于解决向量的问题，学生可以通过联想方法，将已有的知识和方法与新的题型进行对照，将问题转化为向量运算问题，以此解决向量的问题。
总之，联想方法是一种非常实用的思想工具，在高中数学的学习和解题过程中可以发挥巨大的作用。
第21卷第3期甘肃联合大学学报(自然科学版)Vol.21No.3 2007年5月Journal of G ansu Lianhe University (Natural Sciences )May 2007 收稿日期:2006212218.基金项目:浙江省2006年教育规划课题(SW24);杭州师范学院第五批教改立项(J501).作者简介:叶立军(19692),男,浙江建德人,杭州师范学院副教授,硕士,主要从事数学教育研究. 文章编号:16722691X (2007)0320087204数学联想在高等数学教学中的几个应用叶立军(杭州师范学院数学系,浙江杭州310012)摘 要:探讨了数学联想方法在高等数学教学中的几个应用,以说明数学联想在教学中的重要意义.关键词:联想;归纳;类比中图分类号:G 642 文献标识码:B 著名的科学家牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现”[1].猜想是一种高级的创造性思维形式,数学中的猜想一般是通过观察、分析发现某些类似的性质,进而对命题的结论做出假设或推测,并借助于归纳、类比等重要方法,去发现解决问题的新途径.事实上,猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种[2],归纳、类比等数学方法都包含有猜想的成分.而把猜想运用于开放性教学中,不仅为学生的思维提供了更加广阔的时间和空间,也使学生有更多自主探究的机会,从而提高学生学习数学的积极性,使学生更愿意学数学,想数学,做数学,从而发现数学.通过类比而产生联想,这就需要学习者培养自己具有联想的习惯.古希腊哲学家亚里士多德在《记忆与联想》一书中指出:“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物、或者与它相接近的事物开始进行的,以后,便追寻与它相关联的事物,由此而产生联想”[2].还有一些问题,通过联想、类比、归纳可以加以推广、深化,从而得到新的结论.联想是数学问题求解过程中不可或缺的重要思维途径,也是数学发现的重要方法.前苏联教育心理学家克鲁捷茨基认为:“数学能力就是用数学材料去形成概括的、简短的、灵活可逆的数学联想能力”.因此,在解题教学中强化联想意识,掌握联想方法意义十分重要.1 意义联想所谓意义联想,指的是由问题中的条件、结论所反映出的概念引起它们具体意义的联想.一切理解了的概念在思维中都与一定的意义相联系着,这种思维联系形成了思维通道,从而有利于联想的出现,如果这种意义还和问题解决的具体方法相联系,那么问题便能迎刃而解,其思维传导程序如框图1所示(箭头表示联想的思维联系,下同).图1 例1 设A ,B ,C ,D 是n 阶方阵,其中|A |≠0,且AC =CA ,证明:A B CD=|AD -CB |.证明 先证A 0C B=|A ||B |.A 是r 阶矩阵,B 是s 阶矩阵,且n =r +s.A 0CB =A0I I 0CI I 00B,所以A 0CB=AII 0CII0B =|A ||B |.再证A B CD=I-C A-1IA B C D=AB 0D -C A-1B,所以A B CD=|A ||D -C A-1B |=|AD -ACA-1B |=|AD -C AA-1B |=|AD -C B |. 从证明过程中可看到:题中已知条件是A 可逆,且AC =CA ,其中AC =CA 是必不可少的,那么A 是可逆矩阵这一条件是不是必要的呢?现在去掉这一条件,来证明这个问题.证明 当A 不可逆时,考察矩阵(A -k E ),由于A 至多有n 个特征值,所以除了这些值以外的任意k 都使得|A -k E |≠0,即(A -k E )为可逆矩阵.于是用(A -k E )代替上一个例题中的可逆矩阵A .即A -k EB CD=|(A -k E )D -C B |=|AD -C B -k D |, 由于上式等号两边都是关于k 的n 次多项式,它们相等说明这两个多项式有完全相同的项,即对于任意k ,等式成立.取k =0,即A B CD=|AD -C B |. 《高等代数》课后习题有这样一个问题:设W 1,W 2,…,W r 是有限维向量空间V 的真子空间,证明,存在向量ξ∈V ,使得ξ|W i (i =1,2,…,r ).就这个问题而言,是否存在V 的基,而基中每一向量都不属于W j (j =1,2,…,r ).2 目标联想所谓目标联想,是人们在研究问题时,目标成为一种思维导向,激励思维产生追求.因此,目标能促使思维在脑海中进行广泛的搜索,从而可能出现与现实目标所需要的有关联想.这里所谓的“有关联想”,是主观意识中的,由问题的局部(或全部)所引起的那些联想,主要包括有关概念,有关公理、定理,有关解题策略等.这些内容是否真正符合实现目标的客观需要,还要经过实际的检验,其思维过程如图2所示. 当然,目标所涉及的对象只有在被理解了的前提下才能在思维中引起目标意思,因此目标联想往往与意义联想交织在一起.例2 设W 1,W 2,…,W r 是有限维向量空间V 的真子空间.证明:存在V 的基{ξ1,ξ2,…,ξn },使得ξi 不属于W j (i =1,2,…,n;j =1,2,…,r ).证明 当r =1时,设dim W 1=s ,{ξ1,ξ2,…,ξs }为W 1的基,扩充成V 的基{ξ1,…,ξs ,…,ξn },其中ξs +1,…,ξn 不属于W 1,所以{ξ1+ξn ,…,ξs +ξn ,…,ξs +1,…,ξn }为所求的基.假定r -1时命题成立,即存在V 的基{ξ1,ξ2,…,ξn },其中ξi 不属于W j (i =1,2,…,n;j =1,2,…,r -1).因为W r 为V 的真子空间,不妨设ξ1,…,ξs 属于W r ,s ≥1,ξs +1,…,ξn 不属于W r .因为ξi (i =1,2,…,n )|W 1,W 2,…,W r -1,ξn |W r ,所以存在k 1,使得ξ1+k 1ξn 不属于W 1,W 2,…,W r ;存在k 2使得ξ2+k 2ξn 不属于W 1,W 2,…,W r ;…;存在k s ,使得ξs +k s ξn 不属于W 1,W 2,…,W r ,所以{ξ1+k 1ξn ,ξ2+k 2ξn ,…,ξs +k s ξn ,ξs +1,…,ξn }为所求的基.对于这类问题,还可以联想地提出以下问题:推广 设W 1,W 2,…,W r 是有限维欧氏空间V 的真子空间,证明,存在V 的标准正交基{e 1,e 2,…,e n },使得e i 不属于W j (i =1,2,…,n;j =1,2,…,r ).证明 当r =1时,设{e 1,e 2,…,e s }为W 1的标准基,扩充成V 的标准基{e 1,e 2,…,e n },使得e s +1,…,e n 不属于W 1.令ξ1=e 1+e n ,ξ2=e 2+e 1-e n ,ξ3=e 3-2e 2+e 1-e n ,ξ4=e 4-6e 3-2e 2+e 1-e n ,…,ξj =e j +e 1-e n -6j -1i =2a i e i (j =3,4,…,n ).其中a i =a 2i-1+a i-1,a 1=0,a 2=2. 以上构造了一系列正交基{ξ1,ξ2,…,ξn }是V的基,且ξi |W 1(i =1,2,…,n ).再令ηi =ξi‖ξi ‖(i =1,2,…,n ),则{η1,η2,…,ηn }是V 的标准正交基,且η|W 1(i =1,2,…,n ).假设r -1时命题成立,即存在V 的标准基{e 1,e 2,…,e n },其中e i |W j (j =1,2,…,r -1).由于W r 是V 的真子空间,不妨设e 1,e 2,…,e s ∈W r(s ≥1),而e s +1,…,e n |W r ,则存在k 1使得ξ1=k 1e 1+e n |W j (j =1,2,…,r ),存在k 2使得ξ2=k 2e 2+k 1e 1-k 21e n |W j (j =1,2,…,r ),存在k 3使得ξ3=k 3e 3-k 21+k 41k 2e 2+k 1e 1-k 21e n |W j (j =1,2,…,r ),…,ξj =k j e j +k 1e 1-k 21e n -6j -1i =2a i e i (j =3,4,…,n ),其中a i =1k i(a 2i -1+k i -1a i -1),a 1=0,88 甘肃联合大学学报(自然科学版) 第21卷a 2=k 21+k 41k 2.不难证明{ξ1,ξ2,…,ξn }是V 的一系列正交基,且ξi |W j (i =1,2,…,n;j =1,2,…,r ).再令ηi =ξi‖ξi ‖(i =1,2,…,n ),则{η1,η2,…,ηn }是V 的标准正交基,且ηi |W j (i =1,2,…,n;j =1,2,…,r ).著名的数学家波利亚说:“数学既要教证明,又要教猜想”.在教学过程中,教师不能照本宣科,应尽力创设充满求知欲望的教学情境,提出富于启发性的问题,鼓励学生去探索、去发现、去猜想,从而使学生在“开放”的环境中主动、愉快地学习知识.3 形似联想所谓形似联想,指的是在数学问题的研究过程中,图、数、式的某种形象,生动的形态被人所感知,从而导致类似问题解决方案的联想.“形似”的形除了指形状之外,更广泛的是指其形态或特征.其框图如下:图3 如上例中,可以提示学生作出这样的联想:把有限个子空间联想到可数个子空间,得到以下命题:例3 V 为不可数数域F 上的n 维线性空间,求证:可数个真子空间不能覆盖它.证明 设V 1,…,V i ,…为V 的真子空间,现证明ϖx 使x |V i (i =1,2,…),首先n =1时,结论成立,因而设n >1,且设{e 1,e 2,…,e n }为V 的基,作S ={e 1+ke 2+…+k n -1e n |k ∈F 3},F 3为F 中非零元素之集合,F 3不可数,作φ:F 3→S ,k |→e 1+ke 2+…+k n -1e n .易证:φ为一个一一映射,从而S 为不可数的,由于V i 为S 的真子空间,S 中的元素在V i 中的不超过n 个,否则a 1=e 1+k 1e 2+…+k n-11e n ,…a n =e 1+k n e 2+…+kn-1nen(k i 彼此不同). 因系数行列式不为零,故得e j ∈V i ,j =1,2,…,n.所以V i =V ,矛盾.这样,我们将属V i 的元素设为a i 1,…,a ik 1,则可有:a 11,a 12,…,a 1k 1,a 21,…,a 2k 2,…共有可数个,因而S 中有x 使x |V i ,i =1,2,….4 意愿联想意愿联想,即由推理的意愿引发的联想.推理的意愿可以引起联想,这是因为推理的意愿可以激发主观能动性,而思维活动是受主观能动性控制的.有了推理的主观要求,就有可能出现有关内容的联想.其思维传导过程如图4所示:图4 如由上例可以联想到下面两个推论:推广1 设V 为不可数数域F 上的n 维线性空间,有可数个真子空间V 1,V 2,…,求证,V 中有基,而基向量中每一个均不在V i 中,i =1,2,….证明 同上题作S ={e 1+ke 2+…+k n -1e n |k ∈F 3},这里e 1,…,e n 为V 的基(n ≥2),我们知道S 不可数,由上题知,含在V i (i =1,2,…)中有可数多个,因而可得到β1=e 1+k 1e 2+…+k n-11e n ,…βn =e 1+k n e 2+…+k n-1ne n 不在V i 中i =1,2,…(k i ≠k j ,i ≠j ).而β1,…,βn线性无关,从而β1,…,βn 为所求的基.推广2 设V 为n 维欧氏空间,V 1,V 2,…为V 的可数个真子空间,则存在一个标准正交基,使其基向量中任一个均不在V i (i =1,2,…,)中.证明 由例2知,存在单位向量e 1,使e 1|V 1,V 2,…,V s ,…,然后再扩充成V 的标准正交基e 1,e 2,…,e n .令S ={ke 1+e 2|k ∈R 3}. 含有不可数个元素,k 1≠k 2时,k 1e 1+e 2与k 2e 1+e 2不同时在V i 之中,否则e 1∈V i ,矛盾.因而S 中最多有可数个,k 1e 1+e 2,k 2e 1+e 2,…,k i e 1+e 2,…其中任一元素在某一个V i 之中.同样令S 1={e 1-k ′e 2|k ′∈R 3}.S 1中最多可数个,e 1-k 1′e 2,e 1-k 2′e 2,…,e 1-k i ′e 2,…中任一个在某一V i 之中,从而ϖk ,使ke 1+e 2,e 1-ke 2|V 1,V 2,…,而又(ke 1+e 2,e 1-ke 2)=0,然后再单位化得到α1,α2,,由α1,α2扩充成V 的标准正交基α1,α2,α3,…,αs ,令S 2={k α1+a 3|k ∈R 3},S 2′={α1-k α3|k ∈R 3}. 同上,可得到l ∈R 3,使l α1+α3,α1-l α3|V 1,…,V i ,…,而l α1+α3,α1-l α3彼此正交,然后98第3期 叶立军:数学联想在高等数学教学中的几个应用 单位化得到γ1,γ2,γ3,这里γ3=α2,这样做下去可得到一标准正交基,基中每一个向量均不在中V i (i=1,2,…).总之,联想不仅是一种重要的数学发现方法,也是一种重要的学习方法,这一方法不但可帮助我们由已知推出未知,获得新知识,而且对于启发人们的思维能起到举一反三、触类旁通的作用.因此,在今天大力提倡数学开放性教学的同时,教师要不断总结自身教学实践,提高知识水平和教学素养,在数学教学中重视教给学生一些比如猜想、类比和归纳等重要的学习方法.参考文献:[1]波利亚.数学与猜想(第1卷)[M].北京:科学出版社,2001:2222.[2]赵振威.中学数学方法指导(上)[M].北京:科学出版社,1988:300.The Foundation of Mathematical Discovering2guessY E L i2j un(Department of Mathematics,Hangzhou Teachers’College,Hangzhou310012,China)Abstract:Guess is one of t he most general and important met hods in reasonable reasoning.It plays an important rule in arousing st udent s’ent husiasm for mat hematics.The st udent s even more like st udy, t hink,do and discover mat hematics.K ey w ords:guess;induction;analogy(上接第86页)则易知g(z′),f1(z),f2(a)的收敛区域分别为|z′|<1a,|z|>a,|z|<b.所以,f(z)的解析区域为H:a<|z|<b. 根据以上介绍的证明函数解析性及求函数收敛区域的方法,在证明过程中,可选择适当的方法,从而可使题目简单化.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,1979.[2]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1998.[3]A HL FORS L plex Analysis[M].New Y ork:Mc Graw2Hill Book Co,1979.The Proof of Analysis of f unctionW A N G M i n,J I S hao2chun(1.School of Math,Yangzhou University,Yangzhou225002,China;2.Department of Computer Science,Huainyin Institute of Technology,Huai’an223001,China)Abstract:In t his paper,several met hods are given to prove analysis of complex f unction.K ey w ords:complex f unction;analytical;necessary and sufficient condition09 甘肃联合大学学报(自然科学版) 第21卷。
