中国人口预测的半参数自回归模型

中国⼈⼝预测的半参数⾃回归模型
中国⼈⼝预测的半参数⾃回归模型
韩⽟涛,杨万才,武新乾
【摘要】摘要:提出建⽴中国⼈⼝预测的半参数⾃回归模型,基于线性回归选取的显著性变量,利⽤多项式样条估计得到了半参数⾃回归⽅程,并且对中国2004～2009年⼈⼝进⾏了预测⽐较,结果表明:半参数⾃回归模型优于⼀些传统的模型。

此外,还对 2010～2013年中国总⼈⼝数量进⾏了预报。

【期刊名称】河南科技⼤学学报（⾃然科学版）
【年(卷),期】2011(032)001
【总页数】5
【关键词】关键词:半参数⾃回归;线性⾃回归;多项式样条估计;⼈⼝;预测
0 前⾔
中国⼈⼝预测的模型有很多种,常⽤的有Logistic模型、Leslie模型、灰⾊模型、BP神经⽹络模型、线性时间序列模型等[1-4]。

传统的线性模型在实际应⽤中往往存在设定误差,⽽⾮参数回归模型则假定变量关系未知,要对回归函数进⾏估计,因⽽能更好拟合样本数据,并对数据做出较为精确的预测,因此得到了⼴泛的应⽤[5]。

巩永丽等基于核估计对中国⼈⼝增长率建⽴了⾮参数⾃回归模型[6];张慧芳等利⽤正交序列估计对中国⼈⼝建⽴了⾮参数模型[7]。

半参数模型融合了⾮参数模型和线性模型的优点,受到了诸多学者的⼴泛关注。

近年来,半参数⽅法在⼈⼝建模中也有所应⽤。

姜爱平等对中国⼈⼝总量建⽴具有外⽣变量的半参数⾃回归模型,⽤核估计对模型中的⾮参数函数进⾏估计[8]。

该⽅法属于局部⽅法,它不能给出所拟合模型的简单显式表达式,计算量⼤并且运⾏时间较长,⽽多项式样条估计是全局光滑⽅法,能较好地克服上述核估计的弊端。

基于logistic模型对中国未来人口的预测分析随着中国人口的快速增长和老龄化趋势的加剧，人口预测成为了一个重要的研究领域。

在这样的背景下，基于logistic模型的人口预测分析成为了一种广泛采用的方法。

在本文中，我们将介绍logistic模型以及如何使用它来预测中国未来的人口趋势。

Logistic模型是一种经典的数学模型，它常用于描述一种随时间变化的现象。

在人口预测中，logistic模型也可以用来描述人口随时间变化的趋势。

首先，我们需要对logistic模型有一定的了解。

Logistic模型的表达式如下：P(t) = K / (1 + b exp(-r(t-T)))其中，P(t)表示t时刻的人口数量，K表示人口数量的上限，b、r、T分别是与增长速率相关的系数。

Logistic模型的意义在于，当t接近无穷大时，P(t)会趋近于K。

在中国的人口预测中，logistic模型的应用主要分为两步：首先，我们需要拟合一条曲线，以描述人口数量随时间变化的趋势；其次，我们需要使用该曲线来预测未来的人口数量。

对于中国的人口预测，我们可以将logistic模型应用于历史人口数据，然后将该模型应用于未来的人口预测。

以下是中国历史人口数据的示例：| 年份 | 人口数量（单位：亿） ||-----|--------------------|| 1950 | 5.2 || 1960 | 6.7 || 1970 | 8.5 || 1980 | 9.9 || 1990 | 11.2 || 2000 | 12.1 || 2010 | 13.3 || 2020 | 14.4 |使用这些历史数据，我们可以建立一个logistic模型，并使用该模型来预测未来的人口趋势。

在此之前，我们需要先对历史数据进行处理，以便进行拟合和预测。

我们可以将历史数据做如下处理：1. 将人口数量除以10亿，以便人口数量接近1。

2. 将年份减去1950，将起始年份变为0。

人口预测方法范文人口预测是指根据已有的人口数据，运用各种统计方法和模型来估计未来人口的变化趋势和规模。

人口预测对于制定社会经济发展规划、推进公共政策以及资源分配等方面具有重要意义。

以下将介绍几种常见的人口预测方法。

1.线性回归法线性回归法是一种基本的、广泛应用的预测方法，它建立了人口数量与一组解释变量（例如，年份、年龄结构、生育率、死亡率等）之间的线性关系模型。

通过拟合这一模型，可以得到一条直线来预测未来人口的变化趋势。

2.指数平滑法指数平滑法是一种基于历史数据加权的预测方法。

其核心思想是过去的数据对未来的预测具有不同的影响力，越近期的数据权重越大。

指数平滑法通过对历史数据按照一定的权重进行加权平均，得到一个平滑的趋势线，进而预测未来的人口变化。

3.ARIMA模型ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种时间序列预测方法，它考虑到人口数量可能受到前期数据的影响，并结合时间序列的平稳性来建立预测模型。

ARIMA模型包括自回归（AR）、差分（I）和滑动平均（MA）三个阶段。

通过这三个阶段的组合，可以较准确地预测未来人口的变化。

4. Gompertz模型Gompertz模型是一种常用的人口增长模型，它是基于生物学定律的人口模型，认为人口增长率与人口的大小成正比。

Gompertz模型假设人口增长率在恒定的出生率和死亡率条件下呈指数衰减的趋势。

通过拟合Gompertz模型，可以预测未来人口的增长速度和规模。

5.人口脉冲响应模型人口脉冲响应模型是一种基于协方差函数的人口预测方法，它通过分析人口数量与其他社会经济因素之间的关系，利用协方差函数来描述它们之间的时滞效应。

通过测量不同因素对人口的影响，可以预测未来人口的变化情况。

除了上述方法，还有许多其他的人口预测方法，如人口动态模型、时间序列分析、人口合理预测模型等。

每种方法都有其适用的场景和条件，可以根据具体情况选择合适的方法进行人口预测。

中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。

模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。

这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。

一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。

通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。

我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。

由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。

关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型一、模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；3、不考虑人口的迁入和迁出；4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。

二、问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。

中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。

中国人口增长预测模型摘要人口发展战略是国民经济和社会发展的基础性战略。

以人为本的科学发展观强调，在以经济建设为中心的同时，更好地促进人的全面发展。

优先投资于人的全面发展是科学发展观在人口发展战略中的具体体现。

优先投资于人能够在人的发展与物资财富的增长之间建立有机联系，符合社会发展趋势，体现了历史合理性。

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

因此，就需要对人口增长问题进行研究。

在考虑人口变化的数学模型中，传统的数学模型主要是微分方程模型，其主要缺点是数值计算较困难。

本文结合中国的实际情况，考虑到人口的巨大迁移数，将LESLIE 差分方程模型做了进一步推广，得到了某地区（主要考虑市，镇，乡）人口发展的差分方程模型，以男性为例：其中00(),(),(),i i i X t U t g t 分别是该地区第t 年i 岁男性人口的数量，死亡率，迁入率。

0()t φ是第t 年出生的男婴总数，由方程()()()()49015()[1]1[11]i i i i i t t k t X t Y t φαα==---+-∑决定，其中i α是第()1t -年平均每个妇女所生的孩子；()1i k t -是第()1t -年女性人数的比例；()1i Y t -()()()()()()()()()0010010i i i i i o i X t X t U t X t g t X t t X P i φ+⎧+=-+⎪=⎨⎪=⎩是第()1α表示t年女婴的比重；类似的可以得到了t-年女性人数；()t女性的差分方程模型。

利用SPSS软件的自回归模型对()tα及各个参数进行了估计。

对出生率和死亡率通过随机变量期望法可以估计。

其它的参数也可以通过相应的办法得到估计。

利用所建立的差分方程，利用MATLAB和SPSS软件，我们获得了各地区各年龄段男，女人口的详细数据，在此基础上我们对数据进行了详细的分析和预测，研究了全国人口和各地区人口数量、性别比、老龄化、总和生育率、稳定性以及抚养比的分析和预测得到以下结论：全国人口数量开始持续增长，大约在年，达到最大值，然后持续下降，在年降到，在年里降到；全国人口男女性别比到年基本上保持在正常水平，但以后有显著性的变化；在年达到。

我国人口总量和结构的中长期预测模型摘要近年来，由于计划生育政策的实施和人民生育观念的改变，我国人口出现了总量减少、老龄化、性别比例失衡等问题，如何适时调整我国的人口政策已成为国家的重要课题。

本文运用差分方程的思想，围绕是否及何时全面放开二胎对我国未来人口总量和人口的老龄化水平、性别比例产生的影响建立了按年龄分组的离散人口模型，并由此对国家的人口政策给出了合理化建议。

针对问题一，考虑到人口主要由妇女的生育情况决定，以及不同的年龄结构对未来人口的较大影响，在分析近几年我国人口数据后，将人口按年龄每5岁划分为一个年龄组，相应地，年份的也每5年划分为一个时段，然后根据近几年自然增长率数据，首先对2015年各个年龄组的人口做出预测，之后提出生育模式的概念，表示生育率按年龄的分布情况，并进行曲线拟合，建立了基于Leslie 矩阵的人口预测模型，计算当前总和生育率约 1.22，代入模型，运用迭代法求解。

对未来30年我国的人口总量和结构进行了预测。

得出保持当前生育情况不变，我国人口总量在未来30年将持续减少，并在2045年减少到10.3亿，人口老龄化加剧，性别比例失衡有所缓解的结论。

针对问题二，通过对我国城镇化水平和国民收入情况的分析，估算出放开二胎后的总和生育率约为1.9，在模型一的基础上，通过改变总和生育率和人口的初始分布，建立了2016年和2020年放开二胎后的按年龄分组的人口模型，并进行对比，发现方案一（2016年放开二胎）到2045年人口总量约11.1亿，方案二（2020年放开二胎）则30年后约为10.5亿，两种方案老龄化水平、性别失衡情况均优于政策未调整时的情况，其中方案一对人口老龄化修复效果更好，方案二对性别比例失衡修复效果较好。

针对问题三，在问题一、二的基础上对未来我国的劳动力数量进行预测，并提出国家综合考虑经济、人口老龄化、性别比例、社会稳定的影响，尽早逐步放开二胎的建议。

关键词：人口预测，二胎政策，年龄结构，Leslie矩阵，差分方程模型，总和生育率一、问题重述1.1引言我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响。

中国人口增长的分析与预测模型摘要：本文主要以所给两个附表的数据为依据，结合国家统计局公布的人口抽样数据，根据Leslie人口模型思想，同时在假设城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logistic曲线的情况下，建立了分性别、按年龄、分地区（城、镇、乡）、农村人口迁往城镇的动态差分方程组模型及其矩阵形式，通过参数拟合和模型求解，按照高、中、低三种总和生育率，分别预测了未来我国总人口增长、城镇化水平、生育率、性别比例、老龄化进程等人口指标，预测结果表明我国在2030年城镇化水平将达到60.74%,高、中、低三种方案下的总人口数将分别为14.85亿、14.48亿和14.11亿,男女性别比将为120：100，2005年至2020年我国将出现婴儿出生的高峰期。

在高、中、低三种方案下,我国人口的最大值将分别在2040年、2030年和2025年出现。

2050年城镇化水平达到61.22%，在未来的50年内将迎来总人口高峰、劳动年龄人口高峰和老年人口高峰，模型分析说明了影响我国人口增长的主要因素是生育率不断降低、老龄化进程加速，出生人口性别比例持续升高，以及乡村人口城镇化加快等。

最后，给出了我国人口增长的中短期、长期增长预测结果。

关键词：人口增长；Leslie模型；城镇化；老龄化；人口高峰1. 问题的提出人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感到"地球在变小"，人口资源之间的矛盾日渐突出。

人口问题成为当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋近于零，甚至变为负数，造成劳动力短缺，也是不容忽视的问题。

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点，例如：老年化进程加速，出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，这些都影响着中国人口的增长。

中国人口增长预测模型与分析摘要：人口问题一直是我国最大的社会问题之一，人口基数大、增长快，严重影响了我国经济和社会的发展，因此要通过控制人口数量来促进经济和社会的和谐发展，这就需要我们对人口数量和发展趋势进行预测。

做中期预测时考虑到人口增长到一定的数量增长率下降的主要原因之一是自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，随着人口的增长阻滞作用变得越来越大，因此运用灰色Logistic模型预测。

对于长期的人口预测，我们从Leslie模型中得到启发，用Leslie矩阵原理进行长期的预测。

关键词：中国人口；灰色Logistic模型；Leslie矩阵模型一模型假设1）假設中国人口没有迁移，处在一个封闭的系统中，不受外界条件的影响；2）假设样本的数据可以充分反映人口总体的情况；3）假设在预测中不会出现异常突发情况（如疾病、战争等）；4）长期预测中假设生育率和存活是稳定的；5）长期预测中男女比例是不变的；6）假设没有人能活到超过m组的年龄；二模型的建立与求解中短期人口趋势预测模型，整体思想是运用Logistic模型和多元线性回归模型分别进行预测比较，综合多种因素，采用最优组合模型，使得问题反映的更全面，得到人口趋势的预测。

具体求解过程如下：在求解模型之前，首先考虑人口增长峰值问题，来确定中短期预测的时间。

在Matlab中进行非线性拟合，发现出生率、死亡率和时间序列间存在着很好的指数关系，而性别比率、出生性别比随时间没有明显的规律性。

我们考虑到当出生率和死亡率相等时，人口趋于稳定，人口数量到达峰值，随后下降或稳定，是长期预测的问题。

在Matlab7.0[1]中用非线性拟合得到出生率和时间序列的关系如下：f（x）= 2.647e+279*exp（-（（x+3.248e+004）/1283））死亡率和时间序列的关系如下：f（x）= 6.272 *exp（-（（x +1.029）/10.68））+ 11.05 *exp（-（（x-15.02）/ 8.102））-4.501*exp（-（（x-13.07）/ 5.412））当出生率等于死亡率时，预测出现峰值的时间，通过Matlab得到z =22.1595 即大概22.1595年（2017年）后人口出现峰值，因此我们的中短期预测就预测2017年。

中国人口预测的半参数自回归模型摘要本文首先列举了常用的一些人口预测经典模型，如Logistic模型、年龄移算模型、线形回归模型、宋健人口发展方程、时间序列模型、灰色预测模型、BP神经网络的预测模型、半参数自回归模型等，并进一步分析了这些模型的优缺点。

鉴于大部分模型存在的诸如参数难以确定、忽视非线性、维数祸根、变量较多及方程复杂等问题，我们最终决定建立人口预测的半参数自回归模型。

在对原始数据平稳化处理后，首先建立线形自回归模型，通过t检验值选取滞后2、3、5、7阶显著性变量，然后分别将各显著性变量作为非参数部分，其余部分作为线性部分，建立四个半参数自回归模型，利用建立的四个半参数模型分别预测2009年-2012年人口，滞后七阶作非参数部分的预测明显好于2、3、5阶，预测误差分别为：0.16%、0.13%、0.16%、0.26%。

基于以上的研究，我们针对深圳市的人口现状和计划生育新政策情况，比较“单独二胎”政策实施前后深圳市新生儿的出生情况对人口数量和人口结构进行研究。

本文分别从深圳市人口出生率、人口性别比、人口年龄结构分布的变化出发，重点结合延迟退休年龄分析了计划生育新政策与深圳市人口数量及结构的关系，并进一步讨论其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

关键词：人口预测、半参数自回归、计划生育新政策一、问题重述和分析人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。

计划生育政策实施30多年来，有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、实现小康打下坚实的基础，同时其负面影响也开始显现：小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来。

对此，党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，许多地方相继出台了计划生育新政策，为了更好地研究新政策对人口年龄及结构的影响，人口的准确预测变得尤为重要。

人口预测首先应对一般参数进行认定，如：生育率参数，死亡率参数，迁移率参数等等，然后再选取合理适用的模型或对模型进行创新。

中国人口增长预测模型研究中国人口增长预测模型研究摘要本文对我国人口的现状进行分析，并对中国人口增长趋势进行了中短期和长期预测。

首先，利用Excel软件对我国的人口现状进行统计分析，从中可以看出人口老龄化进程加速，出生人口性别比例呈上升趋势，乡村人口城镇化明显。

其次，对附件中的原始数据进行预处理，剔除异常数据并利用插值方法补全数据，以使所得数据能尽可能地反映客观实际。

进而对数据进行归一化处理，以消除量纲不同的影响，便于后面的分析。

接着，对我国人口增长趋势进行中短期预测，建立了逻辑斯蒂（logistic）回归预测模型，利用SPSS软件进行曲线拟合和参数求解，计算结果表明此模型能够较精确地进行中短期的各地区人口比率、老龄化程度及全国人口增长率的预测。

在回归模型预测误差较大的情况下，建立了时间序列AR(p)模型，利用Eviews时间序列分析软件确定模型的参数及阶数，进而对其它影响因素进行中短期预测。

此外，考虑到样本信息缺乏、数据较少，建立了灰色系统GM(1,1)模型，利用Matlab软件编程求解部分影响因素的中短期预测值，并与前面的模型进行分析比较，验证了预测的合理性。

最后，对我国人口增长趋势进行长期预测，将人口控制模型进行逐步修正，建立了偏微分方程模型，经离散化得到人口发展的差分方程。

并利用C++程序设计语言编程β（每位妇女一生中平均生育的婴儿数）进行人口增长的长求得数值解。

针对不同的)(tβ时，模型预测出我国总人口到2030年增长到最高值期预测，结果表明当() 2.0=tβ时，我国总人口将会持续增长。

由此可见，要将人口控制在15 15.4252亿；当() 2.1t≥β≤。

亿左右，必须严格控制生育胎次，即() 2.0t本文主要采用统计的方法，利用Excel、SPSS、Eviews、Matlab等软件进行数据处理、参数估计及模型计算。

在样本足够大的前提下，本文建立的模型具有很强的普适性，且在对预处理后的数据做分析时，具有误差小、精度高等优点。

中国人口发展趋势的预测模型摘要本文从宏观和微观两方面讨论了中国人口发展问题：建立时间序列分析法中的ARMA 模型, 对中国人口总数进行宏观预测；建立了微分方程的模型, 对中国人口的年龄结构以及男女性别比等几个方面进行微观预测。

对人口总数进行宏观预测时，根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，估计出ARMA的参数p、q，并对估计的参数进行验证和调节，最终确定参数，建立出ARMA(p ,q)模型。

用此模型预测出2020年和2050年的人口分别为138135.3万人和143352.6万人，而且到2050年人口呈现缓慢下降趋势。

对人口组成结构进行微观预测时，引用Shape-Lotka-Mckendrick模型。

根据中国人口发展的特点，并加入影响因素改进原始模型，分别建立了带移民因素和两性具有不同出生率、死亡率的微分方程模型，并讨论得出带移民因素的模型对我国人口结构预测比Shape-Lotka-Mckendrick模型更合理。

在求解的过程中，本文将连续的微分方程离散化，用多项式拟合得到预测数据，求出方程的数值解，得到2006-2010年人口按年龄的结构分布(男女比例分布、生育率、死亡率、迁移率)，并进一步预测出未来人口老龄化指数，其中2020年和2050年的老龄化指数分别为0.511和0.566。

关键字：时间序列微分方程模型连续函数的离散化多项式拟合摘要 (1)一问题的重述与分析 (3)1.1 问题重述 (3)1.2 问题的分析 (3)二模型的基本假设和符号说明 (3)2.1 模型假设 (3)2.2 符号说明 (3)三模型的建立及求解 (4)3.1 模型一 (4)3.2 模型二 (7)3.2.1 只考虑出生率和死亡率的Shape-Lotka-Mckendrick模型]4[ (7)3.2.2 考虑竞争死亡率的模型 (7)3.2.3 考虑两性具有不同出生率和死亡率的人口模型 (8)3.3模型的求解 (8)3.4 对结果的分析 (11)四模型的评价 (11)五参考文献 (12)六附录................................................. 错误！未定义书签。

中国人口增长预测模型一、问题分析中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

建立中国人口预测模型具有重要意义，预测未来人口发展状况的主要有三个依据：第一,根据现有人口的数量、性别、年龄构成、出生率、死亡率、迁移率等预测未来人口数量的变动；第二，根据过去某一时期内人口增长的速度或绝对数，预测未来人口发展状况；第三，根据影响人口总数变动的因素进行人口预测，下面从这三个依据出发建立中国人口增长模型。

二、模型假设人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移，由于我们预测的是全国的人口，国际的迁入迁出对全国人口的影响不大，所以我们的模型只考虑了自然的出生和死亡，对迁入及迁出因素忽略不计。

三、模型的建立模型（一）修正指数模型与阻滞增长模型1、修正指数模型修正指数曲线的人口趋势模型，依据历年人口记录数据来预测未来人口发展状况，修正指数曲线是一种具有增长极限的曲线，该模型的形式为：y（t）= K + ta b式中：K, a , b 均为待估参数，由表达式可见,当时间很大时, K 为增长上限或下限。

修正指数曲线模型的特点是一阶差分的环比为一个常数，根据这一特点，当某一时间序列的一阶差分的环比近似为一常数时，可以用该模型来进行预测。

至于模型中参数估计的问题,可以分为两种情况讨论：第一种情况：根据经验，当增长上限K已知时，可以先将模型线性化，再用最小二乘法来估计其余两个未知参数a 和b。

对于模型：y（t）= K +ta b( K > 0，a < 0，0 <b < 1)进行变换，并取对数可以将模型变为ln( K – y（t）)= ln( - a) + tlnb令Y= ln( K – y（t）)， A = ln( - a)， B = lnb，则原模型转换为直线模型：Y= A + tB，再代回求解得：a = - A e，b = B e第二种情况：当K，a，b 均未知时，模型无法线性化，因此不能用最小二乘估计参数，但此时可以用三和法或是三点法估计参数。