立体几何(向量法)

立体几何中的向量方法一、知识点1.点的位置向量：在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量.2.直线的方向向量：空间中任意一条直线ｌ的位置可以由ｌ上一个定点A 以及一个定方向确定.★直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个.3.平面的法向量：若直线ｌ⊥α，取直线ｌ的方向向量a ，则向量a叫做平面α的法向量.4. 平面的法向量的求解步骤：首先要建立空间直角坐标系，然后设平面的法向量为()n x,y,z =（1）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标()()111222a a ,b ,c ,b a ,b ,c== ； （2）根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组n a 0n b 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩（3）解方程组，取其中的一组解，即得法向量.5.利用空间向量解决立体几何问题（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.题型一：用向量方法解决平行问题例1、已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．例2、已知正方体1AC 的棱长为1，E F G ，，分别为1AB AD AA ，，的中点，求证：平面EFG ∥平面11B CD ．题型二：用向量方法解决垂直问题例3、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.求证：AB 1⊥面A 1BD.例4、如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； （Ⅱ）求证：.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴.B 1C 1D 1 A 1 A BC D题型三：用向量方法求空间中的角例5、正四面体A BCD -边长均为1，E 、F 分别为AD 和BC 中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值.例6、求正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小.例7、如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠A C B ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的余弦值.B C A DF E题型四：用向量方法求距离例8、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ． （Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。

向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.例1：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量.2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.例2： 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形, PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=6, E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.⑵线面平行。

设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.例3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．求证：PB 1∥平面BDA 1；⑶面面平行。

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.例4：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。

立体几何的向量方法一、 求法向量平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.向量表示平行、垂直关系： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ②l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅= ③α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=求平面的法向量步骤：⑴ 设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵ 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶ 根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；⑷ 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.二、 用向量求空间线段的长度求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a ；三、点到平面的距离的求法用向量求点到平面的距离的方法： 设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. = ||||PA n n ∙ 求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.四、两条异面直线间的距离的求法用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n ∙= 求解.五、求二面角的平面角 若二面角两个面的法向量分别是12,n n ，二面角为θ则12cos cos ,n n θ=-，而 六．直线在平面上的投影若B 是平面上的一点，A 为平面外的一点，那么直线在平面上的投影为S,n cos cos(AB,n)AB.sin S θθ== 为平面的法向量， 121212cos ,.||||n n n n n n ∙<>=。

知识归纳：立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：AB 与CD 的夹角和AB 与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB CDAB CD AB CD ⋅<>=.6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=.7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模.公式为d 9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P 到平面的距离d 等于在方向上正射影向量的模.公式为||n d =。

立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法是一种应用向量的数学工具和技巧来研究和解决与立体几何相关的问题的方法。

向量方法可以使得我们更加直观地理解和推导立体几何中的性质和结论，并且可以解决许多传统几何方法比较复杂的问题。

在本文中，我们将详细讨论立体几何中的向量方法，并且给出一些具体的例子来说明其应用。

首先，我们需要明确向量的基本概念和性质。

在立体几何中，我们通常使用三维空间中的向量来描述和表示几何体。

一个向量可以被表示成一个有方向和长度的箭头，其中方向表示向量指向的方向，长度表示向量的大小。

在数学上，向量可以用坐标表示，如表示为一个三维向量(a,b,c)，其中a，b，c分别表示向量在三个坐标轴上的分量。

利用向量的表示方法，我们可以推导出一些基本的立体几何结论。

例如，我们可以根据向量的平行和垂直性质来判断线段、直线和平面的关系。

如果两个向量平行，则它们所表示的线段或直线也是平行的。

如果两个向量垂直，则它们所表示的线段或直线也是垂直的。

另外，向量的加法和减法也是我们在立体几何中常常使用的运算。

如果我们想要求两个向量之和，则可以将它们的对应分量相加得到新的向量。

同样地，如果我们想要求两个向量的差，则可以将它们的对应分量相减得到新的向量。

这些运算对于求解几何体的位置、长度和角度等问题非常有用。

进一步地，向量的数量积和向量积是在立体几何中经常应用的运算。

数量积（也称为点积）可以用来求解两个向量之间的夹角。

具体地，如果两个向量A和B的数量积为0，则它们是垂直的；如果数量积为正，则它们是锐角；如果数量积为负，则它们是钝角。

向量积（也称为叉积）可以用来求解一个平面的法向量，以及计算平面的面积和体积。

具体地，向量积的大小等于该平面的面积的二倍，而向量积的方向与该平面垂直，并且遵循右手定则。

除了上述的基本运算和性质，向量方法还可以应用于解决许多具体的立体几何问题。

例如，通过向量法可以证明平行四边形的对角线互相平分，并且可以推导出梅涅劳斯定理（即三角形的三条中线交于一点且互相平分）。

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

向量法解决立体几何问题总结
向量法是一种解决立体几何问题的有效方法。

通过使用向量的性质和运算，可以简化复杂的几何关系，找到简单且准确的解决办法。

以下是一些向量法解决立体几何问题的总结：
1. 建立坐标系：通过建立适当的坐标系，可以将立体几何问题转化为平面几何问题，从而更容易处理和求解。

2. 向量的线性运算：利用向量的加法、减法和数量乘法，可以求解直线的交点、线段的中点等问题。

3. 向量的数量积：使用向量的数量积，可以计算出向量的长度、判断向量的夹角大小，从而解决立体几何问题中涉及角、直线的垂直和平行关系。

4. 点和直线向量表示：通过将平面上的点和直线用向量表示，可以简化问题，将几何关系转化为向量运算，从而更方便求解。

5. 三角函数和向量：利用三角函数与向量的关系，可以计算出向量在某个方向上的分量，进而求解垂直、平行关系以及向量的投影等问题。

6. 平面方程与向量：通过将平面的方程转化为向量的形式，可以更容易地判断点与平面的关系，求解平面的交点等问题。

总的来说，向量法在解决立体几何问题时具有简单、直观、可
靠的优势。

通过合理运用向量的性质和运算，能够快速解决各种立体几何问题。

立体几何向量法
在立体几何中，向量法是一种常用的求解问题和证明定理的方法。

通过引入向量概念，可以将几何问题转化为向量运算，从而简化推导过程。

在向量法中，我们将空间中的点表示为位置向量，线段或向量则表示为起点到终点的差向量。

利用向量的性质，可以进行向量加法、减法、数量乘法等运算，从而得到几何对象之间的关系。

对于平面几何，向量法可以用来证明和推导平行关系、垂直关系、共线关系等。

例如，两条平行线可以表示为它们的方向向量相等，两条垂直线可以表示为它们的方向向量互为内积为零。

在空间几何中，向量法可以用来证明和推导线段的长度、角的大小、平面的交角等。

例如，两个线段的长度可以通过计算它们的差向量的模长得到，两个平面的交角可以通过计算它们的法向量之间的夹角得到。

此外，向量法还可以应用于立体图形的计算和分析。

例如，利用向量法可以求解三角形的面积、四面体的体积，以及判断点是否在多面体内部等。

总之，向量法是立体几何中一种重要的分析和解题方法，通过引入向量概念和运算，可以简化问题的推导过程，提高几何问题的求解效率。