高考数学一轮复习 专题13 导数的概念及其运算押题专练 文

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.1 导数的概念及运算目录一、题型全归纳 (1)题型一导数的运算 (1)命题角度一求已知函数的导数 (1)命题角度二求抽象函数的导数值 (2)题型二导数的几何意义 (3)命题角度一求切线方程 (3)命题角度二求切点坐标 (3)命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (4)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一导数的运算命题角度一求已知函数的导数【题型要点】1．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．3．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x －sin2x cos2x ；(3)y ＝e x cos x ；(4)y ＝ln (2x ＋1)x. (5)y ＝ln x ＋1x(6)y ＝sin x x(7)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x . 命题角度二 求抽象函数的导数值【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，则f ′(1)＝________.【例2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝ ．题型二 导数的几何意义命题角度一 求切线方程【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ）A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+命题角度二 求切点坐标【题型要点】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．【例3】(2020·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)【例4】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点①切点处的导数是切线的斜率；①切点在切线上；①切点在曲线上．【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数()a x e x f x +=．若()41e f ='，则a =_________． 【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)二、高效训练突破一、选择题1.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3B ．2C ．1D ．122．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx 等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝04.设f (x )＝ln (3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝( )A ．－13B.13 C ．－23 D.23 5．(2020·宁夏中卫月考)函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46.(2020·太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在x ＝e 处的切线经过原点，则f (1)＝( )A ．eB.1e C ．1 D ．07．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ①N *，则f 2022(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x8.已知函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( ) A ．4040B ．4C ．2D ．09．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D.310已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；①f (x )＝e －x ；①f (x )＝ln x ；①f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11.若曲线y ＝x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( ) A.14B.12C.14或18D.12或1412.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛43,31 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛43,21 C.⎪⎭⎫⎝⎛1,31 D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21二、填空题1.(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x ＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ①R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为 ．3．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ①(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.5．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．6.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．7.(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝．8．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t ＝，切线方程为．三解答题1.(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l①l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．2．(2020·衡水中学测试)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.1 导数的概念及运算目录一、题型全归纳 (1)题型一导数的运算 (1)命题角度一求已知函数的导数 (1)命题角度二求抽象函数的导数值 (2)题型二导数的几何意义 (3)命题角度一求切线方程 (3)命题角度二求切点坐标 (3)命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (4)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一导数的运算命题角度一求已知函数的导数【题型要点】1．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．3．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x －sin2x cos2x ；(3)y ＝e x cos x ；(4)y ＝ln (2x ＋1)x .(5)y ＝ln x ＋1x(6)y ＝sin x x(7)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .【解】(1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ，所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x .(3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．(4)y ′＝'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x )12ln(＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.(5)y ′＝()2111ln 1ln x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛+.(6)y ′＝'⎪⎭⎫ ⎝⎛x x sin ＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x2. (7)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－x )＝(3－x 2)e 2－x .命题角度二 求抽象函数的导数值【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，则f ′(1)＝________. 【答案】0【解析】因为()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，所以()132232-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='x f x x f .所以132322323322-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛'f f .解得⎪⎭⎫⎝⎛'32f ＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0.【例2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝ ． 【答案】－94【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.题型二 导数的几何意义命题角度一 求切线方程【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ）A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.命题角度二 求切点坐标【题型要点】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．【例3】(2020·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0,0) B ．(1，－1) C ．(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)【答案】D【解析】f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ， 由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ① 由①知x 0≠0，故①可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1； 当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1， 所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1,1)．【例4】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 【答案】 (e ，e)【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点①切点处的导数是切线的斜率； ①切点在切线上； ①切点在曲线上．【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数()a x e x f x +=．若()41ef ='，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)【答案】D【解析】 f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．二、高效训练突破 一、选择题1.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12【答案】A.【解析】：因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.2．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)【答案】B.【解析】：因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0【答案】C.【解析】：依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′|x ＝π＝(2cos x －sin x )|x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C. 4.设f (x )＝ln (3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23【答案】C 【解析】因为f ′(x )＝13－2x ·(－2)－2sin2x ＝22x －3－2sin2x ，所以f ′(0)＝－23.5．(2020·宁夏中卫月考)函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处的切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，①y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，①5＋f (5)＝8，①f (5)＝3，①f (5)＋f ′(5)＝2.6.(2020·太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在x ＝e 处的切线经过原点，则f (1)＝( ) A ．e B.1e C ．1 D ．0 【答案】A【解析】由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1.所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2，f (e)＝e ＋a .所以函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线方程为y ＝2(x －e)＋e ＋a .因为此切线经过原点，所以2(－e)＋e ＋a ＝0，解得a ＝e.所以f (1)＝a ＝e. 7．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ①N *，则f 2022(x )＝( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x【答案】C【解析】①f 1(x )＝sin x ＋cos x ，①f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，①f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，①f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，①f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，①f n (x )是以4为周期的函数，①f 2022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x .8.已知函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( )A ．4040B ．4C ．2D ．0【答案】B【解析】函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3＋sin x ①f (x )＋f (－x )＝4e x ＋1＋4e x e x ＋1＝4，因为f ′(x )＝－4e x(e x ＋1)2＋3x 2＋cos x 为偶函数，所以f ′(x )－f ′(－x )＝0，所以f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)＝4. 9．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D.3【答案】B【解析】设P (x 0，y 0)，当点P 处的切线与直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．又y ′＝2x －1x ，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，则y 0＝1，即P (1,1)，所以最小距离为|1－1－2|12＋(－1)2＝ 2.10已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；①f (x )＝e －x ；①f (x )＝ln x ；①f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B.【解析】：对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于①，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，①不符合要求；对于①，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，①符合要求；对于①，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝'⎪⎭⎫⎝⎛x x cos sin ＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，①不符合要求．故选B. 11.若曲线y ＝x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( ) A.14 B.12 C.14或18 D.12或14【答案】C【解析】由题意，可设切点坐标为(x 0，x 0)，由y ＝x ＝x 12，得y ′＝12x ，切线斜率k ＝12x 0，由点斜式可得切线方程为y －x 0＝12x 0(x －x 0)，又切线过点(8,3)，所以3－x 0＝12x 0(8－x 0)，整理得x 0－6x 0＋8＝0，解得x 0＝4或2，所以切线斜率k ＝14或18.故选C.12.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛43,31 B.⎪⎭⎫⎝⎛43,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21【答案】D【解析】y ＝kx －1关于直线y ＝－1的对称直线为y ＝mx －1(m ＝－k )，先考虑特殊位置：y ＝mx －1与y ＝x 2＋32x (x ≤0)相切，得Δ＝0①m ＝－12(舍去正数)，y ＝mx －1与y ＝x ln x －2x (x >0)相切，由导数几何意义得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ln x －2x ，y ＝mx －1，m ＝ln x －1①x ＝1，m ＝－1，结合图象可知－1<m <－12①12<k <1，故选D.二、填空题1.(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x ＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ． 【答案】12【解析】由题意，得f ′(x )＝e x ＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ①R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为 ． 【答案】：1e2－1【解析】：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y，解得a ＝1e2－1.3．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ①(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________． 【答案】3【解析】因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx.又f ′(1)＝3，所以a ＝3.4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.【答案】0【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，①f ′(3)＝－13.①g (x )＝xf (x )，①g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，①g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，①g ′(3)＝1＋3×⎪⎭⎫⎝⎛-31＝0.5．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是 ；f (2)＋f ′(2)的值为 ．【答案】：x ＋2y －8＝0 52【解析】：由图象可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12，则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52.6.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是 ． 【答案】：(e ，1)【解析】：设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)． 再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1.故点A 的坐标为(e ，1)．7.(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．【答案】：1＋e【解析】：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e.8．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝ ，切线方程为 ．【答案】：－2 y ＝1【解析】：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.三 解答题1.(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ①l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．【答案】（1）(－1，－4)；（2）x ＋4y ＋17＝【解析】：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1.令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l ①l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.2．(2020·衡水中学测试)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．【答案】（1）f (x )＝x －3x.（2）见解析 【解析】(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2， 知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2031x (x －x 0)， 即y －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-003x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2031x (x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-06,0x .令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝6262100=-x x . 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。

导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim→h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。

2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。

3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。

4．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 32π±。

5．（1）已知axx a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。

（2）（理科）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1()3＝15-。

6．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。

解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数b a +⨯=+⨯∴12132，得b=2又由c +⨯+=12122，得1-=c 【范例导析】例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。

从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式223q t t =+表示。

（1） 求第5秒内时的电流强度；（2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。

导数的概念与计算 【选题明细表】 知识点、方法题号导数的概念及运算1、2、4、10导数的几何意义3、5、7、12导数的综合应用6、8、9、11 一、选择题 1.(2013湖北荆州模拟)在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为(　C　) (A)Δx++2(B)Δx--2 (C)Δx+2(D)Δx-+2 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx), ∴=Δx+2,选C. 2.(2013宿州模拟)若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于(　D　) (A)2(B)0(C)-2(D)-4 解析:∵f'(x)=2f'(1)+2x, ∴f'(1)=2f'(1)+2, ∴f'(1)=-2, ∴f'(x)=2x-4, ∴f'(0)=-4. 故选D. 3.(2013济南模拟)曲线f(x)=x2(x-2)+1在点(1,f(1))处的切线方程为(　D　) (A)x+2y-1=0(B)2x+y-1=0 (C)x-y+1=0(D)x+y-1=0 解析:∵f(1)=12×(1-2)+1=0, ∴切点坐标为(1,0). 又f'(x)=3x2-4x, ∴f'(1)=-1, ∴切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0. 故选D. 4.函数f(x)=sin2的导数是(　D　) (A)f'(x)=2sin(B)f'(x)=4sin (C)f'(x)=sin(D)f'(x)=2sin 解析:由于f(x)=sin2==-cos, ∴f'(x)=4×sin=2sin, 故选D. 5.(2013合肥一模)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　D　) (A)e2 (B)4e2 (C)2e2 (D)e2 解析:因为f'(x)=,所以曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为k=f'(4)=e2,切线方程为y-e2=e2(x-4),即e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)、B(0,-e2),则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×2×e2=e2,故选D. 6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f'(x)为f(x)的导函数,已知y=f'(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是(　C　) (A)(B)∪(5,+∞) (C)(D)(-∞,3) 解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数, 由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示), 而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.故选C. 二、填空题 7.(2013哈尔滨模拟)等比数列{an}中,a1=1,a2013=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2013),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为 .? 解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2013)], ∴f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2013)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2013)]' ∴f'(0)=a1·a2·a3·…·a2013=(a1·a2013)1006=41006=22013. ∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22013x. 答案:y=22013x 8.若θ为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有θ组成的集合为,则实数a的值为 .? 解析:设切线的斜率为k, 则k=y'=3x2+6x+a=3(x+1)2+a-3. 又∵k=tan θ,θ∈,∴k∈[1,+∞). ∴当x=-1时,k取最小值为a-3=1.∴a=4. 答案:4 9.(2013湖南十二校联考)若函数y1=2sin x(x∈[0,2π))在点P处的切线平行于函数y2=2(+1)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为 .? 解析:函数y1=2sin x的导数为y'1=2cos x≤2,故在点P处的切线的斜率kP≤2;函数y2=2的导数为y'2=+≥2=2 (当且仅当x=1时,等号成立),所以在点Q处的切线的斜率kQ≥2.又两切线平行,故切线的斜率只能为2,当kP=2时,点P的坐标为(0,0),当kQ=2时,点Q的坐标为,故直线PQ的斜率k=. 答案: 三、解答题 10.求下列函数的导数. (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=(-2)2; (3)y=x-sincos; (4)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f'(x)=xcos x. 解:(1)法一　y'=(2x2+3)'(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)'=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9. 法二　∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3, ∴y'=(6x3-2x2+9x-3)'=18x2-4x+9. (2)∵y=(-2)2=x-4+4, ∴y'=x'-(4)'+4'=1-4×=1-2. (3)∵y=x-sincos=x-sin x, ∴y'=x'-(sin x)'=1-cos x. (4)由已知f'(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]'=[(ax+b)sin x]'+[(cx+d)cos x]'=(ax+b)'sin x+(ax+b)(sinx)'+(cx+d)'cos x+(cx+d)(cos x)'=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f'(x)=xcos x, ∴必须有 即?a=d=1,b=c=0. 11.(2013海口质检)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值. (1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=x-3. 当x=2时,y=. 又f'(x)=a+,于是解得 故f(x)=x-. (2)证明:设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点, 由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0), 即y-=(x-x0). 令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为. 令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|-|·|2x0|=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. 12.求曲线f(x)=x3-3x2+2x的过原点的切线方程. 解:f'(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k=f'(0)=2,f(0)=0, 所以所求曲线的切线方程为y=2x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0), 则有y0=-3+2x0, k=f'(x0)=3-6x0+2,① 又k==-3x0+2,② 由①②得x0=,k==-. 所以所求曲线的切线方程为y=-x. 2。

2021高考数学考前押题：导数的概念与运算导数的概念及运算1.假设函数f(x)=ax4+bx2+c知足f′(1)=2,那么f′(-1)等于( )(A)-1 (B)- 2 (C)2 (D)0解析:∵f(x)=ax4+bx2+c,∴f′(x)=4ax3+2bx,∴f′(1)=4a+2b=2,∴f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.应选B.答案:B2.设函数f(x)=sin3θx2+tan θ,其中θ∈5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,那么导数f′(1)的取值范围是( )(A)[-2,2],2],2]解析:∵f′(x)=sin θ·θ·x,∴f′(1)=sin θcos θ=2sinπ3θ⎛⎫+⎪⎝⎭.∵θ∈5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴θ+ π3∈π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴sinπ3θ⎛⎫+⎪⎝⎭∈⎤⎥⎦,∴f′(1)∈,2].应选D.答案:D导数的几何意义1.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,那么a等于( )(A)9 (B)6 (C)-9(D)-6解析:y′=4x3+2ax由题意知y′|x=-1=-4-2a=8,∴a=-6.应选D.答案:D2.曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为( )(A)y=3x-1 (B)y=-3x+5(C)y=3x+5 (D)y=2x解析:∵y′=-3x2+6x,∴y′|x=1=3,∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3,故切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1为所求.应选A.答案:A3.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标别离为4,-2,过P,Q别离作抛物线的切线,两切线交于点A,那么点A的纵坐标为( )(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8解析:y=22x,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,解48,22y xy x=-⎧⎨=--⎩得A(1,-4),那么A点的纵坐标为-4.答案:-44.已知点P在曲线y=41xe+上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,那么α的取值范围是( )(A)π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(B)ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭(C)π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦(D)3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析:法一∵y′=41xe⎛⎫⎪+⎝⎭′=()41xxee-+=412xxee-++,由于ex+1xe≥2当且仅当ex=1xe即x=0时等号成立,∴-1≤y′<0,即-1≤tan α<0,由正切函数图象得α∈3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.应选D.法二由于y′=41xe⎛⎫⎪+⎝⎭′=()41xxee-+<0,倾斜角必为钝角,故排除选项A和B.又因为y′|x=1=()41xee-+=-2421ee e++>-1,因此倾斜角必然大于34π,由此排除选项C.应选D.答案:D5.假设曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线通过坐标原点,那么α= . 解析:切线的斜率为k=2,又因y′=αxα-1,那么k=α,因此α=2.答案:26.假设曲线y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,那么a= .解析:因y ′=2ax-1x ,因此切线斜率为2a-1,又因切线与x 轴平行,因此2a-1=0,即a=12.答案:127.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .解析:由y=x(3ln x+1)得y ′=3ln x+4,那么所求切线斜率为4,那么所求切线方程为y=4x-3.答案:y=4x-38.设概念在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1ax +b(a>0).(1)求f(x)的最小值;(2)假设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=32x,求a,b 的值.解:(1)法一 由题知,f(x)=ax+1ax +b ≥2+b,其中当且仅当ax=1时等号成立,即当x=1a 时,f(x)取最小值为2+b.法二 f(x)的导数f ′(x)=a-21ax =2221a x ax ,当x>1a 时,f ′(x)>0,f(x)在（1a ,+∞）上递增;当0<x<1a 时,f ′(x)<0,f(x)在（0,1a ）上递减.因此当x=1a 时,f(x)取最小值为2+b.(2) f ′(x)=a-21ax ,由题设知,f ′(1)=a-1a =32,解得a=2或a=-12(不合题意,舍去).将a=2代入f(1)=a+1a +b=32,解得b=-1.因此a=2,b=-1.导数的概念及运算已知函数f(x)的导函数为f ′(x),且知足f(x)=2xf ′(1)+ln x,那么f ′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e解析:f ′(x)=2f ′(1)+1x ,令x=1得f ′(1)=2f ′(1)+1,∴f ′(1)=-1 ,应选B.答案:B导数的几何意义1.若是f(x)=ax3+bx2+c(a>0)的导函数图象的极点坐标为那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) (A)2π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭(C)π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪2π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 解析:∵f ′(x)=3ax2+2bx(a>0),∴1,332b a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴f ′.即tan α≥,故切线倾斜角的范围是π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.应选D.答案:D2.如下图,函数y=f(x)在点P 处的切线方程是y=-x+8,那么f(5)+f ′(5)= .解析:∵P 在切线y=-x+8上,且横坐标为5,∴P 点坐标为(5,3),又切线斜率为-1,∴f(5)=3,f ′(5)=-1.∴f(5)+f ′(5)=3-1=2.答案:23.已知函数f(x)=x3+f ′23⎛⎫ ⎪⎝⎭x2-x,那么函数f(x)的图象在22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是 . 解析:因为f ′(x)=3x2+2f ′23⎛⎫ ⎪⎝⎭x-1,因此f ′23⎛⎫ ⎪⎝⎭=3×23⎛⎫ ⎪⎝⎭2+2f ′23⎛⎫ ⎪⎝⎭×23-1得f ′23⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1,f23⎛⎫⎪⎝⎭=23⎛⎫⎪⎝⎭3+f′23⎛⎫⎪⎝⎭×23⎛⎫⎪⎝⎭2-23=49f′23⎛⎫⎪⎝⎭-1027=-22 27,那么函数f(x)的图象在22,33f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为y+2227=-（x-23）,即27x+27y+4=0.答案:27x+27y+4=0综合检测1.已知函数f(x)是概念在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,f(x)=e-x-ex2+a,那么函数f(x)在x=1处的切线方程为( )(A)x+y=0 (B)ex-y+1-e=0(C)ex+y-1-e=0 (D)x-y=0解析:因为函数是奇函数,故有f(0)=1+a=0,即a=-1.设x>0,则-x<0,因此f(-x)=ex-ex2+a.即-f(x)=ex-ex2+a,即f(x)=-ex+ex2-a,因此f′(x)=-ex+2ex,即f′(1)=- e+2e=e.又切点为(1,1),因此f(x)在x=1处的切线方程为ex-y+1-e=0.应选B.答案:B2.在函数y=x3-9x的图象上,知足在该点处的切线的倾斜角小于π4,且横、纵坐标都为整数的点的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:依题意得,y′=3x2-9,令0≤y′<1得3≤x2<103,显然知足该不等式的整数x不存在,因此在函数y=x3-9x的图象上,知足在该点处的切线的倾斜角小于π4,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0.应选A.答案:A3.(已知函数f(x)=mxm-n的导数为f′(x)=8x3,那么mn= . 解析:f′(x)=m(m-n)xm-n-1=8x3.∴()8,13, m m nm n-=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得2,2, mn=⎧⎨=-⎩∴mn=2-2=1 4.答案:1 44.在区间[-6,6]内任取一个元素x0,抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α,则α∈π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的概率为.解析:将x2=4y变形为y=14x2.由函数导数的几何意义知x∈[-6,6]时,tan α=y′=12x∈[-3,3]当α∈π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,tan α∈[1,+∞)∪(-∞,-1].因此α∈π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的概率为23.答案:2 35.(已知函数f(x)=ax-2x-3ln x,其中a为常数.(1)当函数f(x)的图象在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值; (2)假设函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a 的取值范围;(3)在(1)的条件下,过点P(1,-4)作函数F(x)=x2[f(x)+3ln x-3]图象的切线,试问如此的切线有几条?并求出这些切线方程.解:(1)由题可知f ′23⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,解得a=1,故f(x)=x-2x -3ln x,∴f ′(x)=()()212x x x --,由f ′(x)=0得x=2或x=1.于是可得x ∈3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的下表:于是可得f(x)min=f(2)=1-3ln 2.(2)∵f ′(x)=a+22x -3x =2232ax x x -+ (x>0),由题可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x 一、x2,则1212980,30,20,a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩98.解得0<a<(3)由(1)f(x)=x-2x-3ln x,故F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x)=3x2-6x-2(x>0).设切点为T(x0,y0),由于点P在函数F(x)的图象上,①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x0≠1时,由于切线过点P(1,-4),那么41yx+-=32x-6x0-2,因此30x-320x-2x0+4=(x0-1)(320x-6x0-2),化简得30x-320x+3x0-1=0,即(x0-1)3=0,解得x0=1(舍去).②当切点T与点P(1,-4)重合,即x0=1时,那么切线的斜率k=F′(1)=-5,于是切线方程为5x+y-1=0.综上所述,知足条件的切线只有一条,其方程为5x+y-1=0.。

第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。

专题13导数的概念及运算最新考纲1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.基础知识融会贯通1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx－f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='｜，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx－fx 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区(a ，b )间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin xf (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．重点难点突破 【题型一】导数的计算 【典型例题】 求下列函数的导数 （1）y ＝2x 3﹣3x 2﹣4； （2）y ＝xlnx ；（3）．【解答】解：（1）y′＝6x2﹣6x；（2）y′＝lnx+1；（3）．【再练一题】已知函数f（x）＝e x（2﹣lnx），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）的值为．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x（2﹣lnx）＝2e x﹣e x lnx，其导数f′（x）＝2e x﹣e x lnx，则f′（1）＝2e1﹣e1ln1e，故答案为：e．思维升华导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．【题型二】导数的几何意义命题点1 求切线方程【典型例题】32．已知曲线C：y＝x3﹣3x2+2x（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．【解答】解：（1）y'＝3x2﹣6x+2＝3（x﹣1）2﹣1，所以，x＝1时，y'有最小值﹣1，把x＝1代入曲线方程得：y＝0，所以切点坐标为（1，0），故所求切线的斜率为﹣1，其方程为：y＝﹣x+1．（2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0＝x03﹣3x02+2x0，切线的斜率为3x02﹣6x0+2，故切线方程为y﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（x﹣x0），因为切线过原点，所以有﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（﹣x0），即：x03﹣3x02+2x0＝x0（3x02﹣6x0+2），解之得：x0＝0或．所以，切点坐标为M（0，0）或，相应的切线方程为：y＝2x或即切线方程为：2x﹣y＝0或x+4y＝0．【再练一题】已知函数y＝e x（1）求这个函数在x＝e处的切线方程；（2）过原点作曲线y＝e x的切线，求切线的方程．【解答】解：（1）函数y＝e x，f（e）＝e e，则切点坐标为（e，e e），求导y′＝e x，则f′（e）＝e e，即切线斜率为e e，则切线方程为y﹣e e＝e e（x﹣e），化简得y＝e e x﹣e e+1+e e；（2）y＝e x，y′＝e x，设切点的坐标为（x0，e x0），则切线的斜率为f′（x0）＝e x0，故切线方程为y﹣e x0＝e x0（x﹣x0），又切线过原点（0，0），则﹣e x0＝e x0（﹣x0），解得x0＝1，y0＝e，则切线方程为y＝ex．命题点2 求参数的值【典型例题】若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xe x相切，则m的取值X围是（）A．（，+∞）B．（）C．（0，+∞）D．（）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为m，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）＝（﹣x﹣1）（x+2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝e x+ax2（a∈R），若曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线为l，且直线l 在y轴上的截距小于1，则实数a的取值X围是（）A．（，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[，+∞）D．（﹣1，）【解答】解：函数f（x）＝e x+ax2的导数为f′（x）＝e x+2ax，可得曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线斜率为e m+2am，即有切线的方程为y﹣（e m+am2）＝（e m+2am）（x﹣m），可令x＝0可得y＝e m﹣me m﹣am2，由题意可得e m﹣me m﹣am2＜1对m＞1恒成立，则a，由g（m）1，由e m﹣me m﹣1+m2＝（1﹣m）（e m﹣1﹣m），由m＞1可得1﹣m＜0，由y＝e x﹣1﹣x的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数y递增；当x＜0时，y′＜0，函数y递减，可得y＝e x﹣1﹣x的最小值为e0﹣1﹣0＝0，可得m＞1时，e m﹣1﹣m＞0，则（1﹣m）（e m﹣1﹣m）＜0，即g（m）＜0，则1恒成立，可得a≥﹣1，即a的X围是[﹣1，+∞）．故选：B．命题点3 导数与函数图象【典型例题】已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则．【解答】解：f′（x）＝3ax2+2bx+c；根据图象知，x＝﹣1，2是f（x）的两个极值点；∴x＝﹣1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的两实数根；根据韦达定理，；∴2b＝﹣3a，c＝﹣6a；∴．故答案为：1．【再练一题】如图所示，y ＝f （x ）是可导函数，直线l ：y ＝kx +3是曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线，若h （x ）＝xf （x ），则h ′（1）＝．【解答】解：∵直线l ：y ＝kx +3是曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线， ∴点（1，2）为切点，故f ′（1）＝k ，f （1）＝k +3＝2， 解得k ＝﹣1，故f ′（1）＝﹣1，f （1）＝2， 由h （x ）＝xf （x ）可得h ′（x ）＝f （x ）+xf ′（x ）， ∴h ′（1）＝f （1）+f ′（1）＝1， 故答案为：1．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．基础知识训练1．点P 在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值X 围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，即切线的斜率X围是，那么倾斜角的X围是，故选A．2．已知，若，则a的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，所以，解得.3．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题中图象知由导数的几何意义知.∴4．下面说法正确的是（）A．若不存在，则曲线在点处没有切线B．若曲线在点处有切线，则必存在C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在【答案】C【解析】()0,2-的几何意义是曲线在点处切线的斜率．当切线与x轴垂直时，切线斜率不存在，可知选项A，B，D不正确.5．函数在处的导数的几何意义是（ ）A ．在点处的斜率B ．在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C ．曲线在点处切线的斜率D ．点与点连线的斜率【答案】C【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率． 6．函数在闭区间内的平均变化率为（ ）A ．B ．C ．20t s =D ．20t s = 【答案】D 【解析】∵，∴该函数在区间内的平均变化率为，故选D.7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义可知，所以，故选B.8．已知为的导数，且，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】．9．【某某省某某市2019届高三第二次模拟考试】曲线处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，且，所以切线方程为，即，此直线与轴、轴交点坐标分别为，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是，故选B.10．【某某省某某市2019届高三第一次模拟考试】过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设切点坐标为，即.解得，即.故.故选：B11．【甘青宁2019届高三3月联考】若直线与曲线相切，则（）A．3 B．C．2 D．【答案】A【解析】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，故选A.12．【某某省某某市2019届高三总复习质检】设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R 在直线上，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为．故选：D．13．【某某壮族自治区某某市2019届高三毕业班3月模拟考试】已知函数的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值X围是______．【答案】【解析】函数的图像上存在关于原点对称的对称点，∴方程，即上有解，∴方程有解．设，且的切线，设切点为，由，则有，解得．由图象可得，要使直线的图象有公共点，则，解得．所以实数的取值X围是．故答案为：．14．【2019年3月高三第一次全国大联考（新课标Ⅱ卷)】若曲线处的切线与直线垂直，则切线、直线轴围成的三角形的面积为____________．【答案】【解析】由题可得，故切线的斜率为，又切点坐标为，所以切线的方程为，因为切线与直线垂直，所以，所以直线的方程为，易得切线与直线的交点坐标为，因为切线轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，所以切线、直线轴围成的三角形的面积为．15．【某某省揭阳市2019届高三一模】在曲线的所有切线中，斜率为1的切线方程为________.【答案】【解析】，所以切点为，切线方程为16．【某某省某某市2019届高三上学期期末教学质量检测】曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【解析】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．17．已知曲线.（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】（1）∵，∴，求导数得，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．18．在赛车中，赛车位移与比赛时间存在函数关系（的单位为，的单位为）．求：（1），时的与；（2）时的瞬时速度．【答案】（1），（2）【解析】（1）..（2）.当，时，.答：，时的为，为，在时的瞬时速度为.19．求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+1)2(x-1); (2)f(x)=2-2sin2;(3)f(x)=; (4)f(x)=2tan x.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】(1)因为f(x)=(x+1)2(x-1)=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,所以f '(x)=3x2+2x-1.(2)因为f(x)=2-2sin2=1+cos x,所以f '(x)=-sin x.(3)f '(x)=.(4)因为f(x)=2tan x=,所以. 20．求满足下列条件的函数.(1) 是三次函数,且(2) 是二次函数,且.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意设则由已知得解得,故(2)由题意设,则．所以,化简得,因为此式对任意x都成立,所以,解得,故.能力提升训练1．【某某某某一中(西校区)2018-2019学年高二下学期第一次月考】下列式子不．正确的是 ( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项C，，C错误故选C2．【某某省棠湖中学2018-2019学年高二下学期第一次月考】若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()A．1 B．2 C．0 D．－1【答案】C【解析】依题意，令，解得，故选C.3．【某某省部分重点中学2019届高三第二次联考高三】已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，∴函数为奇函数，∴，∴．∴，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选B．4．【某某省某某市普通高中2019届高三质量监测（二)】已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.5．【某某省日照市2017届高三下学期第一次模拟考试】曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，在△O AB中，，当且仅当2＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选：C．6．【某某省某某外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次】等比数列中，，函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，所以，令，则=，故选C7．【某某省双流县棠湖中学2019届高三上学期期末考试】已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，由可得，设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，利用导函数研究函数切线的性质可得：，整理可得：，①结合斜率公式有：，②将①代入②中整理可得：，则的解析式可能为.本题选择B选项.8．【某某省某某市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知函数(1)求(2)求曲线在点处的切线的方程；【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)可判定点在曲线上．在点处的切线的斜率为.切线的方程为即9．【某某省某某市八一中学、洪都中学等七校2018-2019学年高二上学期期末考试】设函数f（x）=ae x lnx+，（1）求导函数f′（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x﹣1）+2,求a，b．【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f（x）=ae x lnx+，得;（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2．将x=1代入函数f（x）得：f（1）=b．∴b=2．将x=1代入导函数，则f'（1）=ae=e．∴a=1．10．【某某省某某华侨学校2018-2019学年高二上学期第三次月考】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）6x-sinx；；（3）lnx+【解析】（1）y′=6x-sinx（2）y′=（3）y′==lnx+故答案为：6x-sinx；；lnx+。

2025年高考数学一轮复习-导数的概念及其意义、导数的运算-专项训练基础巩固练1.曲线y=x3+bx2+c在点M(1,0)处的切线与直线x-y-2=0垂直,则c的值为()A.-1B.0C.1D.22.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3+x2f'(1)+2x-1,则f'(2)=()A.1B.-9C.-6D.43.若直线y=x+m与曲线y=e x-2n相切,则()A.m+n为定值B.1m+n为定值2n为定值C.m+12n为定值D.m+134.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线,则()A.e b<aB.e a<bC.0<a<e bD.0<b<e a5.若曲线y=ln x-1与y=ax2的图象存在公切线,则正实数a的取值范围是()e-3,+∞)A.(0,2e]B.[12e-3] D.[2e,+∞)C.(0,126.(多选题)为满足人们对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的大小评价在的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列结论中,正确的有()A.在[t 1,t 2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t 2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都已达标D.甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,在[0,t 1]的污水治理能力最强7.(多选题)已知ln x 1-x 1-y 1+2=0,x 2+2y 2-2ln 2-6=0,记M=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2,则( ) A.M 的最小值为165B.当M 取最小值时,x 2=145C.M 的最小值为45D.当M 取最小值时,x 2=1258.设函数f (x )=e x x+a .若f'(1)=e4,则a=.9.求曲线y=2x -1x+2在点(-1,-3)处的切线方程.综 合 提升练10.若过点(a ,b )可以作曲线y=x-1x (x>0)的两条切线,则( )A.b>a>0B.a-1a <b<0<aC.0<a-1a <b<aD.a>b>a-1a 且a>011.已知曲线y=e x 在点(x 1,e x 1)处的切线与曲线y=ln x 在点(x 2,ln x 2)处的切线相同,则(x 1+1)(x 2-1)=( )A.-1B.-2C.1D.212.已知函数f (x )=e x +x ,g (x )=3x ,且f (m )=g (n ),则n-m 的最小值为( )A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.13(2-ln 2) D.23(1-ln 2)13.(多选题)已知函数f (x )及其导函数f'(x )的定义域均为R ,记g (x )=f'(x ).若f (32-2x),g (2+x )均为偶函数,则( )A.f (0)=0B.g (-12)=0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)14.已知函数f (x )=-2x 3+f'(1)x 2-f (1)x ,则lim Δx →0f (Δx+1)-f (1)2Δx = .15.(2023南京模拟)已知曲线C 1:f (x )=x 2与曲线C 2:g (x )=a e x+1(a>0)有且只有一条公切线,则a= .创 新 应用练16.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图,设r 是f (x )=0的根,选取x 0作为r 初始近似值,过点(x 0,f (x 0))作曲线y=f (x )的切线l ,则l 与x 轴的交点的横坐标x 1=x 0-f (x 0)f '(x 0)(f'(x 0)≠0),称x 1是r 的一次近似值,过点(x 1,f (x 1))作曲线y=f (x )的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2,称x 2是r 的二次近似值.重复以上过程,直到r 的近似值足够小,即把x n 作为f (x )=0的近似解.设x 1,x 2,x 3,…,x n 构成数列{x n }.对于下列结论:①x n =x n-1-f (x n)f '(x n )(n ≥2); ②x n =x n-1-f (x n -1)f '(x n -1)(n ≥2); ③x n =x 1-f (x 1)f '(x 1)−f (x 2)f '(x 2)-…-f (x n)f '(x n ); ④x n =x 1-f (x 1)f '(x 1)−f (x 2)f '(x 2)-…-f (x n -1)f '(x n -1)(n ≥2). 其中正确结论的序号为 .参考答案1.C2.C3.B4.D5.B6.ABC7.AB 8.19.解 令f (x )=y=2x -1x+2,所以f'(x )=2(x+2)-(2x -1)(x+2)2=5(x+2)2,所以f'(-1)=5=5,(-1+2)2所以所求切线方程为y+3=5(x+1),即5x-y+2=0.10.D11.B12.D13.BC16.②④14.515.4e3。

高三数学一轮复习同步练习：导数的概念及
其运算
导读：高考，比的不是智商高低，比的是谁的耐心好，经过一轮、二轮、三轮复习的摧残还能有几个小伙伴说自己屹立不倒的?若是有，那高考状元有你一份。

虽然有漫长的复习期，但是也不可掉以轻心，今天本文库末宝就给大家带来了高考数学一轮复习的同步练习，快来看看吧。

2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()
A.2
B.0
C.－2
D.－4
解析f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案D
6.已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于()
A.－sin x－cos x
B.sin x－cos x
C.－sin x＋cos x
D.sin x＋cos x
8.已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________.
9.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所
示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.
解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2，0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
答案x－y－2＝0
更多数学复习资讯，尽在本文库。

专题13 导数的概念及其运算1．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194 B.174C.154D.134解析：∵s′＝2t －3t 2，∴s′|t ＝2＝4－34＝134. 答案：D2．若f(x)＝2xf′(1)＋x 2，则f′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4答案：D3．若曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln 2＋y －1＝0则a ＝( )A.12B ．2C ．ln 2D ．ln 12解析：由题知，y ′＝a x ln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0，1)，故切线方程为xln a －y ＋1＝0，∴a ＝12. 答案：A4．曲线y ＝12x 2＋x 在点(2，4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A ．1 B ．2C.43D.23解析：∵y ＝12x 2＋x ，∴y ′＝x ＋1，∴切线在点(2，4)处的斜率为3，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －4＝3(x －2)，即3x －y －2＝0.令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝23. 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－2|×23＝23. 答案：D5．已知y ＝f(x)是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g ′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案：B6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：y′＝－e x （e x ＋1）2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y′＝－1e x ＋1e x ＋2≤－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.答案：A7．曲线y ＝x(3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．解析：∵y ＝x(3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y′|x ＝1＝4， ∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －38．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________．答案：129．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P(m ，n)，y ＝1x(x>0)的导数为y′＝－1x 2(x>0)，曲线y ＝1x (x>0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m>0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)10．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝log a sin x(a>0且a≠1)． 解：(1)y′＝nxn －1lg x ＋x n ·1xln 10 ＝x n －1(nlg x ＋1ln 10)．(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e ·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a e tan x. 11．已知函数f(x)＝x －2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．。

§3.1导数的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义Ⅱ2017课标全国Ⅰ,14;2017某某,10;2016某某,10;2015课标Ⅰ,14;2015课标Ⅱ,16选择题、填空题★★★2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ2016某某,10;2015某某,11选择题、解答题分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.五年高考考点一导数的概念与几何意义1.(2016某某,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014某某,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x答案 A3.(2017某某,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案 14.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x6.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案 17.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案88.(2014某某,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.答案(e,e)教师用书专用(9—15)9.(2014某某,11,5分)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=010.(2013某某,11,5分)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=.答案 211.(2013某某,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.答案12.(2015某某,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解析(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,所以f '(1)=2,又f '(x)=ln x++1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,当x∈(0,1]时,h(x)<0.又h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.因为h'(x)=ln x++1+,所以当x∈(1,2)时,h'(x)>1->0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x∈(0,x0)时, f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)时, f(x)>g(x),所以m(x)=当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;若x∈(1,x0),由m'(x)=ln x++1>0,可知0<m(x)≤m(x0);故m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=,可得x∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,可知m(x)≤m(2)=,且m(x0)<m(2).综上可得函数m(x)的最大值为.13.(2014某某,20,13分)设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞),此时f '(x)=,可得f '(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=+=.当a≥0时,f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a=-时,Δ=0,f '(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-<a<0时,Δ>0,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x2=.由于x1==>0,所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f '(x)>0,函数f(x)单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,f(x)在,上单调递减,在上单调递增.14.(2014,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值X围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)解析(1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.令f '(x)=0,得x=-或x=.因为f(-2)=-10, f=, f=-, f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化情况如下表:(-∞,00 (0,1) 1 (1,+∞)x)g'(x) + 0 - 0 +g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值X围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.15.(2013,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值X围.解析由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)令f '(x)=0,得x=0.f(x)与f '(x)的情况如下:x (-∞,0)0 (0,+∞)f '(x) - 0 +f(x) ↘ 1 ↗所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值X围是(1,+∞).考点二导数的运算1.(2016某某,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 32.(2015某某,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为.答案 3三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念与几何意义1.(2018某某某某一中期中考试,11)已知f(x)=(x+a)e x的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直,则a=( )A.-1B.0C.1D.2答案 A2.(2017某某名校一模,6)已知函数f(x)的图象如图, f '(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.0<f '(2)<f '(3)<f(3)-f(2)B.0<f '(3)<f '(2)<f(3)-f(2)C.0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2)D.0<f(3)-f(2)<f '(2)<f '(3)答案 C3.(2017某某百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A4.(2018某某六校联考,13)曲线y=e x-e在A(1,0)处的切线方程是.答案y=ex-e5.(2018某某“名校联盟”高三教学质量监测,16)设函数y=f(x)在其图象上任意一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(3-6x0)(x-x0),且f(3)=0,则不等式≥0的解集为.答案(-∞,0)∪(0,1]∪(3,+∞)6.(2017某某某某八中期中,14)曲线f(x)=xe x在点(1,f(1))处的切线的斜率是.答案2e7.(2017某某某某六校联考,14)已知函数f(x)=ln x-ax2,且曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a=.答案8.(2016东城期中,16)若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2,则点P的坐标为.答案(e,e)9.(人教A选1—1,三,2,B1,变式)已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,则a=,切线方程为.答案;x-2ey+e2=0考点二导数的运算10.(2018某某福安一中测试,6)已知f(x)=e-x+ex的导函数为f '(x),则f '(1)=( )A.e-B.e+C.1+D.0答案 A11.(2018某某某某八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln,则f(1)=( )A.-eB.2C.-2D.e答案 B12.(2017某某名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C13.(2016某某某某中学二调,10)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.C.D.答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018某某某某八县联考,9)函数f(x)=4x3-6x2+a的极大值为6,那么f(a-5)的值是( )A.6B.5C.4D.3答案 C2. (2017某某某某、某某、某某二模,10)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f '[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2 017)(15°)的值是( )A. B. C.0 D.1答案 A3.(2016某某赣中南五校2月第一次联考,11)已知函数f n(x)=x n+1,n∈N的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n,则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值为( )A.-1B.1-log2 0132 012C.-log2 0132 012D.1答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017某某名校联考,16)设函数f(x)=且f'(-1)=f'(1),则当x>0时,f(x)的导函数f'(x)的极小值为.答案 25.(2017某某红桥期中联考,16)若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值X围是.答案(-∞,0)三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2018某某某某一调,21)设函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(2)当x≥1时,不等式f(x)-≥恒成立,求a的取值X围.解析(1)根据题意可得,f(e)=,f '(x)=,所以f '(e)==-,所以曲线在点(e,f(e))处的切线方程为y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)根据题意可得,f(x)--=≥0在x≥1时恒成立,令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax,当a≤0时,g'(x)>0,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,所以不等式f(x)-≥成立,故a≤0符合题意;当a>0时,令-2ax=0,解得x=(舍负),令=1,解得a=,①当0<a<时,>1,所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0,所以函数y=g(x)在上单调递增,在上单调递减,g=ln-a=-ln a-+a,令h(a)=-ln a-+a,则h'(a)=-++1=,易知h'(a)>0恒成立,又0<a<,所以h(a)<h=-ln-2+=ln 2-<0,所以存在g<0,所以0<a<不符合题意;②当a≥时,≤1,g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,显然a≥不符合题意.综上所述,a的取值X围为{a|a≤0}.7.(2017皖南八校12月联考,21)已知函数f(x)=e x-ax2-2ax-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)当x>0时,f(x)>0恒成立,求a的取值X围.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x2-2x-1,f(-1)=,所以切点坐标为,f '(x)=e x-2x-2,所以f '(-1)=,故曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-=[x-(-1)],即y=x+.(2)对f(x)=e x-ax2-2ax-1求导得f '(x)=e x-2ax-2a,令g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a(x>0),则g'(x)=e x-2a(x>0).①当2a≤1,即a≤时,g'(x)=e x-2a>1-2a≥0,所以g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a在(0,+∞)上为增函数,所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤时符合题意.②当2a>1,即a>时,令g'(x)=e x-2a=0,得x=ln 2a>0,当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表,x(0,ln2a) ln 2a(ln2a,+∞)g'(x) - 0 +g(x) 减函数极小值增函数当x∈(0,ln 2a)时,g(x)<g(0)=1-2a<0,即f '(x)<0.所以f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,所以f(x)<f(0)=0,与条件矛盾,故舍去.综上,a的取值X围是.8.(2017某某某某第一次调研,20)已知函数f(x)=e x-x2+2ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在R上单调递增,某某数a的取值X围.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x2+2x,f '(x)=e x-2x+2,∴f '(1)=e,f(1)=e+1,∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.(2)f '(x)=e x-2x+2a,∵f(x)在R上单调递增,∴f '(x)≥0在R上恒成立,∴a≥x-在R上恒成立.令g(x)=x-,则g'(x)=1-,令g'(x)=0,得x=ln 2,∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1,∴实数a的取值X围为[ln 2-1,+∞).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的导数的方法1.(2018某某某某、某某联考,3)已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上满足xf '(x)>0恒成立,则下列不等式成立的是( )A.f(-3)<f(4)<f(-5)B.f(4)<f(-3)<f(-5)C.f(-5)<f(-3)<f(4)D.f(4)<f(-5)<f(-3)答案 A2.(2017某某某某期中联考,6)已知函数f(x)=x2 008,则f '=( )A.0B.1C.2006D.2007答案 B方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程3.(2018某某天一大联考,10)已知f(x)是定义在R上的单调函数,满足f[f(x)-e x]=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为( )A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案 A4.(2016某某实验中学分校期中,20)已知函数f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),其导函数f '(x)的图象过原点.(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(2)若存在x<0,使得f '(x)=-9,求a的最大值;解析(1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由题意得f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1).当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f '(x)=x(x-2),故f(3)=1,f '(3)=3.故函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2)由f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9.当x<0时,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,所以a≤-7.当且仅当x=-3时,a=-7,故a的最大值为-7.。

导数的概念及运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题动身，引进微积分概念.在探讨切线时相识到，求曲线的切线的斜率依靠于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设是函数的导函数，若，对，且，总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.2.若过第一象限的点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则（）A. <aB. >aC. b <D. b >3.若函数为偶函数，且时，，其中表示实数、中的最大值，则的极值点个数为（）A. B. C. D.4.对于函数，一次函数，若恒成立，则称为函数的一个“线性覆盖函数”．若函数是函数的一个“线性覆盖函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知f（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），g（x）＝ln x+1，则f（x）与g（x）的公切线条数（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条二、多选题（本大题共5小题，共25.0分。

在每小题有多项符合题目要求）6.已知函数f(x )=,则下列结论正确的是（）A. 曲线y=f(x)的切线斜率可以是1B. 曲线y=f(x)的切线斜率可以是-1C. 过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条D. 过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条7.已知a>0,b>0,直线y=x+a与曲线y =-2b+1相切,则下列不等式成立的是（）A. abB. +8C. +D.18.已知ln x1-x1-y1+2=0，x2+2y2-2ln2-6=0，记，则（）A. M的最小值为B. 当M最小时，C. M的最小值为D. 当M最小时9.已知函数f（x）=，g（x）=kx-k，则（）A. f（x）在R上为增函数B. 当k=时，方程f（x）=g（x）有且只有3个不同实根C. f（x）的值域为（-1，+∞）D. 若（x-1）（f（x）-g（x））≤0，则k∈[1，+∞）10.设函数f(x)=,则下列选项中正确的是（）A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)-1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知函数f（x）=2x•e x-m sin x的图象在x=0处的切线与直线x+3y+1=0垂直，则实数m= ．12.函数在（x0，f（x0））处的切线方程经过点（0，0），则x0= ．13.已知函数f（x）＝ax2＋ln x满意，则曲线y＝f（x）在点处的切线斜率为．14.瑞士闻名数学家欧拉在1765年证明白定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知平面直角坐标系中△ABC为直角三角形，其直角顶点C在x轴上，点是斜边AB上一点，其“欧拉线”是正切曲线y＝tan x以点为切点的切线，则点C的坐标为．15.已知a，b为正实数，直线与曲线相切于点，则的最小值是．1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】AC7.【答案】AC8.【答案】AB9.【答案】BCD10.【答案】BCD11.【答案】-112.【答案】13.【答案】314.【答案】．15.【答案】43。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题《导数的概念及运算》1.已知f(x)＝12x2＋2xf ′()＋lnx ，则f ′()＝( )A. B. － C. D. －解析：f ′(x)＝x ＋2f ′()＋x ，所以f ′()＝＋2f ′()＋，即f ′()＝－(＋1)＝－.答案：B2.曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A. y ＝x －2B. y ＝－3x ＋2C. y ＝2x －3D. y ＝－2x ＋1 解析：由题意得y ＝1＋2x －2，所以y ′＝－2x －22，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.答案：D3.已知曲线y1＝2－1x 与y2＝x3－x2＋2x 在x ＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为( )A. －2B. 2C. 12D. 1 解析：由题知y ′1＝1x2，y ′2＝3x2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.答案：D4.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(1)＝________. 解析：令ex ＝t ，则x ＝lnt ，∴f(t)＝lnt ＋t ，∴f ′(t)＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.答案：25.已知函数y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．解析：因为y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g(2)＝22＋f(2)＝7，即点(2，g(2))为(2,7)，g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.答案：6x－y－5＝0高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

一轮大题专练13—导数（任意、存在性问题1）1．已知e 是自然对数的底数，()1x f x xe =-，()()()F x f x a lnx x =-+． （1）当0a 时，求证：()F x 在(0,)+∞上单调递增；（2）是否存在实数a ，对任何(0,)x ∈+∞，都有()0F x ？若存在，求出a 的所有值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：()()()()1x F x f x a lnx x xe a lnx x =-+=-+-， ()(1)(1)()............2x x a aF x x e a x e x x∴'=+--=+-分 0a ，(0,)x ∈+∞，()0F x ∴'>，∴当0a 时，()F x 在(0,)+∞上单调递增；（2）解：由（1）知，当0a 时，()F x 在(0,)+∞上单调递增，此时，11()1(2)22F a ln =--10<，1202ln -<， 1()02F ∴<，与题意不符；...................6分当0a >时，设()x ag x e x=-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增， 根据函数x y e =与a y x =的性质得x y e =与ay x=的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为0x ，则0()0g x =，即00x x e a =，00()x ln x e lna ∴=，即00x x lna +=， 00000()()11x F x x e a x x a alna ∴=-+-=--，当00x x <<时，()0g x <，故()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 上是减函数； 当0x x >时，()0g x >，()0F x '>，所以()F x 在0(x ，)+∞上是增函数， ∴当0x x =时，()F x 取得最小值，且()F x 的最小值为0()1F x a alna =--， ∴对(0,)x ∀∈+∞，都有0()0()()10min F x F x F x a alna ⇔==--，........9分设h （a ）1(0)a alna a =-->，则h '（a ）lna =-，∴当01a <<时，h '（a ）0>，所以h （a ）在(0,1)上是增函数；当1a >时，h '（a ）0<，所以h （a ）在(1,)+∞上是减函数；∴当1a =时，h （a ）取得最大值，且h （a ）的最大值为h （1）0=；∴当0a >时，h （a ）0，即10a alna --，且“=”成立1a ⇔=，由10a alna --得10a alna --=， 1a ∴=，综上所述，存在唯一的实数a ，且1a =，(0,)x ∀∈+∞，都有()0F x ．........12分 2．设函数2()f x ax a lnx =--，其中a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()1f x a -恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对于任意0a >，存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >恒成立． 解：（1）2121()2ax f x ax x x-'=-=，0x >，①当0a 时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数；②当0a >时，由()0f x '=，得x =()0f x '>，得x >由()0f x '<，得0x <<所以()f x 在上为减函数，在)+∞上为增函数；（2）由()1f x a -得，21ax lnx +，即不等式21lnx ax +，0x >恒成立， 记21()lnx g x x+=，则321()lnx g x x --'=，由()0g x '=得，12x e -=； 由()0g x '>得，120x e -<<；由()0g x '<得，12x e->．所以()g x 在12(0,)e -为增函数，在12(,)e -+∞上为减函数， 所以12()()2max e g x g e -==，所以2e a ；（3）证明：由（1）知，当0a >时，()f x 在上为减函数，在)+∞上为增函数．1a ，即12a 时，因为()f x 在)+∞上为增函数， 又f （1）0=，所以，当1x >时，()0f x >，此时取01x =；1>，即102a <<时，因为111)0a -=>，所以11a->111(1)2(1)f ln a a a-=---， 令11t a=-，1t >，则上式1t lnt =--， 记()1h t t lnt =--，1t >，则1()10h t t'=->，所以()h t 在(1,)+∞上为增函数， 所以()h t h >（1）0=，即1(1)0f a->，因为()f x 在)+∞上为增函数，且11a -> 所以当11x a >-时，1()(1)0f x f a>->，此时取011x a =-． 综上，对于任意0a >，存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >恒成立． 3．已知函数()1(0)f x mlnx kx m =++>． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在实数k ，使得()mx xf x e '恒成立的m 值有且只有一个，求k m +的值． 解：（1）()1(0)f x mlnx kx m =++>，()f x 的定义域是(0,)+∞， ()m kx mf x k x x+'=+=， 当0k 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0k <时，令()0f x '=，解得：mx k=-， 当(0,)mx k∈-时，()0f x '>，当(m x k ∈-，)+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)mk-上单调递增，在(m k -，)+∞上单调递减；综上：当0k 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0k <时，()f x 在(0,)mk-上单调递增，在(m k -，)+∞上单调递减；（2）()mx xf x e '恒成立，即0mx e kx m --恒成立， 令()mx g x e kx m =--，则()mx g x me k '=-， ①当0k 时，()0g x '>，()g x 单调递增，要使()0g x 在(0,)+∞上恒成立， 只需(0)10g m =-，01m ∴<，此时m 不唯一，不合题意；②当0k m <时，令()0g x '=，解得：0lnk lnmx m-=，()g x 在(0,)+∞上单调递增，要使()0g x 在(0,)+∞上恒成立，只需(0)10g m =-，01m ∴<，此时m 不唯一，不合题意；③当k m >时，令()0g x '=，解得：0lnk lnmx m-=>， 当(0,)lnk lnmx m-∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当(lnk lnmx m-∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ()()()lnk lnm min lnk lnm kg x g e lnk lnm m m m--∴==---， 要使()0g x 在(0,)+∞上恒成立，且m 的值唯一，只需()0lnk lnmg m-=， 整理得210m lnm lnk k-+-=， 令2()1m h m lnm lnk k=-+-，则22()k m h m mk -'=，令()0h m '=，解得：m =当m ∈时，()0h m '>，()h m 单调递增，当m ∈)+∞时，()0h m '<，()h m 单调递减，1()2min h m h ∴==+，要使m 的值唯一，只需1()02max h m ==，解得：2ek =，m =，k m ∴+=．4．已知函数()f x （1）设()()()1xg x f x f x =+-，求函数()g x 的最小值；（2）设1()()h x f x=，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，121212()()()()h x h x h x x k x x ++++恒成立，求k 的最大值． 解：（1）11()lnx f x ln x x x-==， 令1t x=，则()()(1)(1)F t g x tlnt t ln t ==+--，(0,1)t ∈， 则()1[(1)1]1tF t lnt ln t lnt'=+--+=-， 当1(0,)2t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减，当1(2t ∈，1)时，()0F t '>，()F t 单调递增，故()F t 的最小值是1()22F ln =-，即()g x 的最小值是2ln -； （2）1()()h x f xlnx x==，则1212()()()h x h x h x x +-+ 11221212()()x lnx x lnx x x ln x x =+-++12121212x x x lnx lnx x x x =+++ 11221212121212()[]x x x x x x ln ln x x x x x x x x =++++++ 12121212()[()()]x xx x h h x x x x =++++， 由（1）知121121212()()()2x x xh h F ln x x x x x x +=-+++， 故121212()()()()2h x h x h x x x x ln +-+-+⋅， 故2k ln -，故k 的最大值是2ln -．5．已知函数3()23f x ax =-0)．（1）若对任意给定的0[x ∈-1[x ∈-，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[x ∈-，在区间[-上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-， 因为514x-，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<，故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4，(1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432af =-， 所以()f x 的值域为[1，15]a -， 又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增，所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a-，问题转化为直线y t =，3[24at ∈+，35]216a -和曲线()([1y f x x =∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aa a a ⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a 的取值范围是2(5-，8]75-． （2）由（1）可知，问题转化为y t =，3[24at ∈+，35]216a -和曲线()([1y f x x =∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a 的取值范围是16(2,)15--．6．已知函数21()12f x x kx =++，()(1)(1)g x x ln x =++，()()()h x f x g x '=+．（1）若()h x 在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（2）若对于1]t ∀∈，总存在1x ，2(1,4)x ∈-，且12x x ≠满()()(1i f x g t i ==，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围． 解：（1）()(1)1g x ln x '=++， 21()()()2(1)2h x f x g x x kx ln x '∴=+=++++，1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++，因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=++对[0x ∈，2]恒成立， ∴1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0，2]上为增函数， ∴7()(2)3max h x h k ''==+， ()h x 在[0，2]上单调递减，()0h x '∴对[0x ∈，2]恒成立，即7()03max h x k '=+ ∴73k -， 即实数k 的取值范围是(-∞，7]3-．（2）当1]x ∈时，()(1)10g x ln x '=++>， ()(1)(1)g x x ln x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，10()2g x e ， 21()12f x x kx =++的对称轴为x k =-， 由题意可得14k -<-<，此时21()()12min f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和f （4）中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在1x ，2(1,4)x ∈-，且12x x ≠满足()()(1i f x g t i ==，2)，[0∴(()min f x ⊆，{(1)min f -，f （4）})，∴14()0(4)(1)min k f x f f -<-<⎧⎪<⎪-⇒24111024932k k k k -<<⎧⎪⎪-<⎪+-，∴94k <<即实数k 的取值范围是9,4-．。