立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法一、知识点1.点的位置向量：在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量.2.直线的方向向量：空间中任意一条直线ｌ的位置可以由ｌ上一个定点A 以及一个定方向确定.★直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个.3.平面的法向量：若直线ｌ⊥α，取直线ｌ的方向向量a ，则向量a叫做平面α的法向量.4. 平面的法向量的求解步骤：首先要建立空间直角坐标系，然后设平面的法向量为()n x,y,z =（1）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标()()111222a a ,b ,c ,b a ,b ,c== ； （2）根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组n a 0n b 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩（3）解方程组，取其中的一组解，即得法向量.5.利用空间向量解决立体几何问题（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.题型一：用向量方法解决平行问题例1、已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．例2、已知正方体1AC 的棱长为1，E F G ，，分别为1AB AD AA ，，的中点，求证：平面EFG ∥平面11B CD ．题型二：用向量方法解决垂直问题例3、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.求证：AB 1⊥面A 1BD.例4、如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； （Ⅱ）求证：.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴.B 1C 1D 1 A 1 A BC D题型三：用向量方法求空间中的角例5、正四面体A BCD -边长均为1，E 、F 分别为AD 和BC 中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值.例6、求正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小.例7、如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠A C B ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的余弦值.B C A DF E题型四：用向量方法求距离例8、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ． （Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。

13—立体几何中的向量方法向量是几何学中非常重要的概念之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。

在立体几何中，向量方法被广泛应用于解决各种问题，例如计算向量的模、方向角、点到直线的距离等等。

本文将详细介绍立体几何中的向量方法，包括向量的基本概念、加减乘除、数量积、向量积等内容。

一、向量的基本概念在立体几何中，我们通常用箭头表示一个向量，表示向量的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

两个向量相等意味着它们的大小和方向都相同。

向量的模表示向量的大小，一般用，AB，表示，表示点A到点B的距离，也表示向量的大小。

二、向量的加减乘除1.向量的加法：向量的加法按照平行四边形法则进行，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

用数学表示为A+B=C，C的起点为A的起点，终点为B的终点。

2.向量的减法：向量的减法等价于将减去的向量取反再进行加法，即A-B=A+(-B)。

其中，-B表示B的方向相反，大小相同的向量。

3. 向量的数量积：两个向量的数量积等于向量的模的乘积与两个向量之间的夹角的余弦值的乘积，即A·B=，A，B，cosθ。

其中，θ为两个向量之间的夹角。

4. 向量的向量积：两个向量的向量积等于一个新的向量，其方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，即A×B=，A，B，sinθn。

其中，n为右手定则确定的垂直于平面的方向。

三、应用实例1.计算向量的模：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其模为，A，=√((-3)^2+4^2+5^2)=√50。

2. 计算向量的方向角：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其方向角为α=arccos(-3/√50)，β=arccos(4/√50)，γ=arccos(5/√50)。

3.计算点到直线的距离：给定一点P(x,y,z)和一直线l，可以通过向量的方法计算点P到直线l的距离。

§3.2立体几何中的向量方法（2）1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题； .105107，找出疑惑之处. 复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b == ，且2m a b =+ ，求m.复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = 求出线段长度.试试：在长方体''''ABC D A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离,A CB D分别为,a b，C D的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B两点，直线,A CB D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,===,求C D的长.A B已知4,6,8AB AC BD※动手试试练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段A Cα⊥，D Dα⊥，线段BD⊥AB，线段'∠= ，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.DBD'30练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'C D 所成的角.三、总结提升※ 学习小结1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = ；2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式cos ,a b a b a b ⋅=⋅ 求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；“翻译”成相应的几何意义.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =- ，则,a b的夹角为 . 3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM C N 所成的角的余弦为（ ） A.2 10 C.35 D.25 4. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABC D 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,A C B D 间的距离是（ ）A.32a 2 C.34a 45.正方体''''ABC D A B C D -中棱长为a ，'13AM AC =,N 是'B B 的中点，则M N 为（ ）A.66631.如图，正方体''''-的棱长为1，ABC D A B C DM N分别是''',BB B C的中点，求：,⑴'MN CD所成角的大小；,⑵,M N AD所成角的大小；⑶A N的长度.§3.2立体几何中的向量方法（3）1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.复习1：已知)()1,1,2C，试求平面ABC的一个法向量.A B()1,2,0,0,1,1,复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法 问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则 d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉 | ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉 | =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n，则 D. =||||PA n n ∙试试：在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABC D 是矩形,PD ⊥平面A B C D ,PD D C a ==,AD =,M N 、分别是A D P B、的中点,求点A 到平面M N C 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'A A a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'A A 的长.变式：已知直三棱柱111A B C A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BC A ∠= ,E 是AB 的中点,求异面直线C E 与1AB 的距离.A PD C BM N小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n∙=求解.三、总结提升※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，平面''A B B A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：O M 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求O M 的长.2. 如图，空间四边形O ABC各边以及,O A BC的中点，A CB O的长都是1，点,D E分别是边,连结D E.⑴计算D E的长；⑵求点O到平面ABC的距离.。

3.2立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量a 以及与a 共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：A B 与C D 的夹角和AB与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB C DAB C D AB C D ⋅<>=. 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=. 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模.公式为d =9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为n ，则P 到平面的距离d 等于a 在n 方向上正射影向量的模.公式为d =.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A CBC A A ==，D 是棱1A A 的中点，1D C BD ⊥。

立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法是一种应用向量的数学工具和技巧来研究和解决与立体几何相关的问题的方法。

向量方法可以使得我们更加直观地理解和推导立体几何中的性质和结论，并且可以解决许多传统几何方法比较复杂的问题。

在本文中，我们将详细讨论立体几何中的向量方法，并且给出一些具体的例子来说明其应用。

首先，我们需要明确向量的基本概念和性质。

在立体几何中，我们通常使用三维空间中的向量来描述和表示几何体。

一个向量可以被表示成一个有方向和长度的箭头，其中方向表示向量指向的方向，长度表示向量的大小。

在数学上，向量可以用坐标表示，如表示为一个三维向量(a,b,c)，其中a，b，c分别表示向量在三个坐标轴上的分量。

利用向量的表示方法，我们可以推导出一些基本的立体几何结论。

例如，我们可以根据向量的平行和垂直性质来判断线段、直线和平面的关系。

如果两个向量平行，则它们所表示的线段或直线也是平行的。

如果两个向量垂直，则它们所表示的线段或直线也是垂直的。

另外，向量的加法和减法也是我们在立体几何中常常使用的运算。

如果我们想要求两个向量之和，则可以将它们的对应分量相加得到新的向量。

同样地，如果我们想要求两个向量的差，则可以将它们的对应分量相减得到新的向量。

这些运算对于求解几何体的位置、长度和角度等问题非常有用。

进一步地，向量的数量积和向量积是在立体几何中经常应用的运算。

数量积（也称为点积）可以用来求解两个向量之间的夹角。

具体地，如果两个向量A和B的数量积为0，则它们是垂直的；如果数量积为正，则它们是锐角；如果数量积为负，则它们是钝角。

向量积（也称为叉积）可以用来求解一个平面的法向量，以及计算平面的面积和体积。

具体地，向量积的大小等于该平面的面积的二倍，而向量积的方向与该平面垂直，并且遵循右手定则。

除了上述的基本运算和性质，向量方法还可以应用于解决许多具体的立体几何问题。

例如，通过向量法可以证明平行四边形的对角线互相平分，并且可以推导出梅涅劳斯定理（即三角形的三条中线交于一点且互相平分）。