北京市西城区2009-2010学年度第二学期学业测试高一数学试卷(有图版)

北京市西城区2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知数列}{n a 满足21+=+n n a a ，且21=a ，那么5a ＝（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 112. 如果0<<b a ，那么下列不等式正确的是（ ） A. 2a ab > B. 22b a < C.b a 11< D. ba 11-<- 3. 在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B A 发生的概率为（ ）A.31 B. 21 C. 32 D. 654. 下图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（ ）A. 30B. 25C. 22D. 205. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的i 值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 在不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域内任取一个点),(y x P ，使得1≤+y x 的概率为（ ）A.21 B. 41 C. 81 D. 121 7. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]5,(-∞B. ]4,(-∞C. ]2,(-∞D. ]1,(-∞ 8. 在△ABC 中，若C bacos <，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲 20108乙10 20 10在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（ ）A. 65元B. 62元C. 60元D. 56元 10. 设R b a ∈,，给出下列判断：①若111=-a b ，则1≤-b a ； ②若133=-b a ，则1≤-b a ；③若b a ,均为正数，且122=-b a ，则1≤-b a ；④若b a ,均为正数，且1=-b a ，则1≥-b a 。

北京市西城区2009 — 2010学年第二学期学业测试 2010.7高二数学（理科）试卷试卷满分150分 考试时间 120分钟A 卷 [选修 模块2-3] 本卷满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．用数字0,1,2,3组成无重复数字的三位数的个数是（ ） （A ）24（B ）18（C ）15（D ）122．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果运动员甲罚球命中的概率是0.8，记运动员甲罚球1次的得分为X ，则()E X 等于（ ） （A ）0.2 （B ）0.4（C ）0.8（D ）13．将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为（ ）（A ）10110()2⨯（B ）1010201C ()2（C ）20110()2⨯（D ）1020201C ()24．5(21)x -的展开式中4x 的系数是（ ） （A ）80-（B ）80（C ）5-（D ）55． 甲、乙两人相互独立地解同一道数学题.已知甲做对此题的概率是0.8，乙做对此题的概率是0.7， 那么甲 、乙两人中恰有一人做对此题的概率是（ ） （A ）0.56（B ）0.38（C ）0.24（D ）0.146．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ） （A ）34（B ）31（C ）28（D ）257．满足条件46C C n n >的正整数n 的个数是（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）4 （D ）38．从1,2,3,,10这10个数中随机取出4个数，则这4个数的和为奇数的概率是（ ）（A ）511 （B ）611（C ）1021（D ）1121二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9. 6()a b +的展开式的二项式系数之和为_______．10. 设甲、乙两套方案在一次试验中通过的概率均为0.3，且两套方案在试验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次试验中至少有一套通过的概率为_______．11. 将n 件不同的产品排成一排，若其中,A B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则n =_______． 12.则a = ；()D X 的值是 ．13. 已知443243210(2)x a x a x a x a x a +=++++，则1234a a a a +++= .14. 正方形的顶点和各边中点共8个点，以其中3个点为顶点的等腰三角形共有 个 （用数字作答）.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）某人的一张银行卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0 ～ 9中任选一个，他在银行的自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（Ⅰ）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率.（Ⅱ）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.16．（本小题满分12分）一个口袋中装有标号为1,2,3的6个小球，其中标号1的小球有1个，标号2的小球有2个，标号3的小球有3个，现从口袋中随机摸出2个小球.（Ⅰ）求摸出2个小球标号之和为3的概率；（Ⅱ）求摸出2个小球标号之和为偶数的概率；（Ⅲ）用X 表示摸出2个小球的标号之和，写出X 的分布列，并求X 的数学期望()E X ．17．（本小题满分12分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8，9，10环，且每次射击击中与否互不影响.甲、乙射击命中环数的概率如下表:（Ⅰ）若甲、乙两运动员各射击1次，求甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率；（Ⅱ）若甲、乙两运动员各自射击2次，求这4次射击中恰有3次击中9环以上（含9环）的概率.B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上.1. 已知复数1i1i z -=+，其中i 为虚数单位，那么||z =________. 2. 函数ln ()xf x x=的最大值为___________.3. 当[0,π]x ∈时，曲线sin y x =与x 轴所围成图形的面积是__________.4. 已知函数3()341f x x x a =-++有三个相异的零点，则实数a 的取值范围是__________.5. 已知函数2()(2)e x f x x x -=+⋅，关于()f x 给出下列四个命题： ① 当(2,0)x ∈-时，()0f x <； ② 当(1,1)x ∈-时，()f x 单调递增； ③ 函数()f x 的图象不经过第四象限； ④ 方程1()2f x =有且只有三个实数解． 其中全部真命题的序号是 ．二、解答题：本大题共3小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的通项公式为228(41)n na n =-，n S 为其前n 项的和．计算123,,S S S 的值，根据计算结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．7.（本小题满分10分）已知函数221()(21)ln 2f x x a x a x =+-+． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间.8.（本小题满分10分）已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++>在1x x =和2x x =处取得极值． （Ⅰ）若2c a =-，且12||2x x -=，求b 的最大值； （Ⅱ）设()()g x f x x '=+，若12103x x a<<<，且1(0,)x x ∈，证明：1()x g x x <<．北京市西城区2009—2010学年度第二学期学业测试高二数学（理科）参考答案及评分标准A 卷 [选修 模块2-3]一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B ；2. C ；3. D ；4. A ；5. B ；6. A ；7. C ；8.C .二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 64； 10. 0.51； 11.5； 12.15，1； 13. 65； 14.20. 注：其中12题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分12分）解：记“第i 次按对密码”为事件(1,2)i A i =，“不超过2次就按对密码”为事件A . （Ⅰ）1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯． ………………………… 6分 （Ⅱ）记“最后一位按偶数”为事件B ， 则1121412(|)(|)(|)5545P A B P A B P A A B ⨯=+=+=⨯． ………………………… 12分16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“摸出2个小球标号之和为3”为事件A ，则1226C 2()C 15P A ==. 答：摸出2个小球标号之和为3的概率是215. ………………………… 2分 （Ⅱ）设“摸出2个小球标号之和为偶数”为事件B ，摸出2个小球标号之和为偶数有3种可能：标号1和3，标号2和2，标号3和3. …………… 3分其中摸出标号1和3的2个小球的概率为1326C 1C 5=， ………………………… 4分 摸出标号2和2的2个小球的概率为2226C 1C 15=， ………………………… 5分 摸出标号3和3的2个小球的概率为2326C 1C 5=， ………………………… 6分所以1117()515515P B =++=. ………………………… 7分 答：摸出2个小球标号之和为偶数的概率是715.（Ⅲ）依题意，X 的可能取值为3，4，5，6. ………………………… 8分2(3)15P X ==， 123226C C 4(4)C 15P X +===， 113226C C 2(5)C 5P X ===， 2326C 1(6)C 5P X ===. ………………………… 10分所以X 的分布列为：从而 2114()34561515553E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………… 12分17.（本小题满分12分）解: （Ⅰ）由已知甲射击击中8环的概率为0.2，乙射击击中9环的概率为0.4，则所求事件的概率为08.04.02.0=⨯=P . ………………………… 3分（Ⅱ）记“甲运动员射击一次，击中9环以上（含9环）”为事件A ，“乙运动员射击1次,击中9环以上（含9环）”为事件B ，则8.045.035.0)(=+=A P ， 75.04.035.0)(=+=B P . ………………………… 5分“甲、乙两运动员各自射击两次，这4次射击中恰有3次击中9环以上（含9环）”包含甲击中2次、乙击中1次，与甲击中1次、乙击中2次两个事件，这两个事件为互斥事件. 甲击中2次、乙击中1次的概率为 2201112241316[C ()()][C ()()]554425⨯⨯⨯⨯⨯=； ……………… 8分甲击中1次、乙击中2次的概率为 1112202241319[C ()()][C ()()]554450⨯⨯⨯⨯⨯=. ……………… 11分故所求概率为 5021509256=+=P . ………………………… 12分 答: 甲、乙两运动员各自射击两次，这4次射击中恰有3次击中9环以上的概率为5021.B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.1； 2.1e ； 3. 2； 4. 257( )99-，； 5. ①、②、③、④. （注：少选不给分）二、解答题：本大题共3小题，共30分. （如有其他方法，仿此给分） 6.（本小题满分10分） 解：1189S a ==，2122425S a a =+=，3234849S S a =+=． ………………………… 3分 推测：2*2(21)1()(21)n n S n n +-=∈+N ． ………………………… 4分 证明：① 当1n =时，已验证推测成立． ………………………… 5分② 假设当 *()n k k =∈N 时推测成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+， 那么，当1n k =+时，2211222222(21)18(1)(21)18(1)(21)[4(1)1](21)(21)(23)k k k k k k k S S a k k k k k +++-++-+=+=+=+++-+++ 222222222[(21)1](23)8(1)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)k k k k k k k k k k k +-+++++-+++==++++ 222222222(21)(23)(21)(23)1[2(1)1]1(21)(23)(23)[2(1)1]k k k k k k k k k ++-++-++-===+++++． ………………………… 9分 所以，当1n k =+时，推测也成立．根据 ① 和 ②，可知该推测对于任何*n ∈N 都成立． ………………………… 10分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|0}x x >. ………………………… 1分 当1a =时，21()ln 2f x x x x =++， 1()1f x x x'=++， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为(1)3f '=， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为33(1)2y x -=-，即6230x y --=. ……… 3分（Ⅱ）222(21)()(21)a x a x a f x x a x x+-+'=+-+=. ………………………… 5分 ① 当14a >时，22(21)0x a x a +-+>恒成立，从而()0f x '>恒成立， 故()f x 的单调增区间为(0,)+∞. ………………………… 6分 ② 当14a =时，若1(0,)4x ∈，()0f x '>；若14x =，()0f x '=；若1(,)4x ∈+∞，()0f x '>，故()f x 的单调增区间为(0,)+∞. ………………………… 7分③ 当104a <<时，令()0f x '=，解得1x =，或2x =.因为120a ->，且22(12)(14)40a a a ---=>，所以11202a x -=>，所以，120x x <<. 列表分析如下：所以函数()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增． ……… 10分 综上，当14a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，没有单调递减区间；当104a <<时，函数()f x 的单调递增区间为，)+∞，单调递减区间为．8．（本小题满分10分）解： 2()32f x ax bx c '=++． ………………………… 1分 （Ⅰ）将2c a =-代入上式，得22()32f x ax bx a '=+-． 依题意1x 和2x 是方程22320ax bx a +-=的两根，所以 1223b x x a +=-，123ax x =-． ………………………… 2分 因为 12||2x x -=，所以 21212()44x x x x +-=， 即 22()4()433b aa ---=， 整理得223(3)b a a =-． ………………………… 3分 因为 20b ≥，所以03a <≤．设32()39h a a a =-+， 则2()918h a a a '=-+． 由()0h a '>，得02a <<；由()0h a '<，得2a >.所以函数()h a 在区间(0,2)上是增函数，在区间(2,3)上是减函数， 所以当2a =时，()h a 有极大值为12， 所以()h a 在(0,3]上的最大值是12，从而b 的最大值是 ………………………… 5分 （Ⅱ）由()()g x f x x '=+，得()()f x g x x '=-． 由1x 和2x 是方程()0f x '=的两根， 得12()()3()()f x g x x a x x x x '=-=--．当1(0,)x x ∈时，由于12x x <，得12()()0x x x x -->，又0a >，得12()3()()0g x x a x x x x -=-->，即()g x x >． ………………………… 7分 又1111212()[()]3()()()[13()]x g x x x f x x x a x x x x x x a x x '-=-+=----=-+-． 因为 12103x x x a<<<<， 所以10x x ->，22213()133130a x x ax ax ax +-=+->->．所以 1()g x x <． ………………………… 10分 综上，1()x g x x <<．。

北京市西城区2008～2009学年度第二学期学业测试高一数学试卷2009.6本试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块2] 满分100分题号一二三本卷总分171819分数参考公式：圆锥的侧面积公式S圆锥侧＝πRl，其中R是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长．球的表面积公式S球＝4πR2，其中R是球半径．锥体的体积公式V锥体＝Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．点M(－2，6)关于坐标原点的中心对称点为( )(A)M′(－6，2) (B)M′(2，－6)(C)M′(－1，3) (D)M′(3，－1)2．下列直线中，与直线3x＋y－2＝0垂直的是( )(A)3x－y－2＝0 (B)3x＋y＋2＝0 (C)x－3y－2＝0 (D)x＋3y＋2＝03．在空间直角坐标系中，两点A(1，0，－2)和B(－2，4，3)的距离是( )(A)5 (B) (C)3 (D)4．已知球的大圆周长是2π，那么球的表面积是( )(A)π (B)2π (C)3π (D)4π5．若过点A(－2，m)和B(4，0)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )(A)12 (B)－12 (C)3 (D)－36．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是( )(A)内含 (B)内切 (C)外切 (D)外离7．将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为( )(A)x＝0 (B)y＝0 (C) (D)8．在空间，若a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出a⊥b的是( )(A)a∥α，b∥α (B)a⊥α，b⊥α(C)aα，bβ，α⊥β (D)α∥β，a⊥α，bβ9．如果圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心在第三象限，那么直线ax＋by－1＝0一定不经过( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限10．已知某地球仪的半径是20cm，那么该地球仪上北纬60°纬线的长度为( )(A)20πcm (B)16πcm (C)12πcm (D)10πcm二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．若直线l通过点(1，0)，且斜率是3，则直线l的方程是______．12．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是______．13．如果直线y＝a和圆x2＋y2－2y＝0相切，那么a等于______．14．下图是一个几何体的三视图：根据图中数据，可得该几何体的体积是______；表面积是______．15．如果圆(x－1)2＋(y－b)2＝2被x轴截得的弦长是2，那么b＝______．16．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角．在折起后形成的三棱锥A－BCD中，有如下三个结论：①直线AD⊥平面BCD；②侧面ABC是等边三角形；③三棱锥A－BCD的体积是其中正确结论的序号是______．(写出全部正确结论的序号)三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图，三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．(1)求MN的长；(2)求证：PA⊥BC；(3)求三棱锥P－ABC的表面积．18．(本小题满分12分)已知平面上三个定点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，4)．(1)求点B到直线AC的距离；(2)求经过A、B、C三点的圆的方程．19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AC⊥BC．侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．(1)求证：直线EF∥平面A1ACC1；(2)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明；(3)记三棱锥A－BCE的体积为V，且，求a的取值范围．B卷[学期综合] 满分50分题号一二本卷总分678分数一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝1，b ＝2，，则边c等于______．2．如果a＞b＞0，c＞0．设那么M______N(填“＞”或“＜”)．3．在等差数列{a n}中，a2＝2，a4＝6，若b n＝a2n，则数列{b n}的前5项和等于______．4．等比数列{a n}的前n项和是S n，若8S6＝9S3，则{a n}的公比为______．5．设k＞0，则不等式组，所表示的平面区域面积的最小值是______．二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．(本小题满分10分)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积S．7．(本小题满分10分)设a＞0，函数的定义域是{x|－1≤x≤1}．(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜0；(2)若f(x)的最大值大于6，求a的取值范围．8．(本小题满分10分)在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝－a n＋3n，其中n＝1，2，3，….(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)求的最大值．测试卷参考答案北京市西城区2008～2009学年度第二学期学业测试高一数学试卷参考答案及评分标准A卷[必修模块2]满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1．B2．C3．B4．D5．A6．C7．D8．D9．A10．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．3x－y－3＝012．15π13．0或214．16π；24π15．±116．①、②、③注：13、15题每解各2分；14题每空2分；16题少填不给分．三、解答题：本大题共3小题，共36分17．(1)解：连接MB，MC．因为 三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，所以 ，且底面△ABC也是边长为1的等边三角形．因为 N为BC的中点，所以 MN⊥BC．在Rt△MNB中， ………………4分(2)证明：因为M是PA的中点，所以 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．因为MB∩MC＝M，所以 PA⊥平面MBC，又因为 BC平面MBC，所以 PA⊥BC． ………………8分(3)解：因为 侧面等边三角形APB的面积为且三棱锥P－ABC的三个侧面和底面均为边长是1的等边三角形，所以 三棱锥P－ABC的表面积为 ……………12分18．(1)解：直线AC的斜率是所以直线AC的方程为y－0＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0． ………………3分所以点B到直线AC的距离为 ………………6分(2)解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．将A、B、C三点的坐标代入圆的方程，得解得于是所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y－3＝0． ……………12分19．(1)证明：连接A1C，A1E.因为侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，所以 E也是A1B的中点，又因为 F是BC的中点，所以 EF∥A1C．因为A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，所以直线EF∥平面A1ACC1． …………4分(2)解：当时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下： ………………5分连接EG，FG．因为侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，所以 △A1AB是等边三角形．因为 E是A1B的中点，，所以EG⊥AB．因为 平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，所以EG⊥平面ABC．又因为EG平面EFG，所以平面EFG⊥平面ABC． ………………8分(3)解：因为△A1AB是边长为a的等边三角形，所以所以．根据，解得即． …………12分B卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．(一题两空的题目每空2分)1． 2．＞ 3．504． 5．4二、解答题：本大题共3小题，共30分．6．(1)解：因为在△ABC中，，所以 B为锐角，且． ………………2分所以．………………5分(2)解：由正弦定理得得． ………………8分所以． ………………10分7．(1)解：当a＝1时，f(x)＜0，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1． ………………2分因为－1≤x≤1，所以 不等式f(x)＜0的解集为{x|－1≤x＜1}． (4)分(2)因为f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程是，注意到a＞0，所以f(x)的最大值为． ………………7分依题意整理得2a2－5a－3＞0．解得a＞3，或(舍去)所以a的取值范围是(3，＋∞)． ……………10分8．(1)解：由a1＝0，且a n＋1＝－a n＋3n(n＝1，2，3，…)，得a2＝－a1＋3＝3，a3＝－a2＋32＝6． ………………2分(2)解：将a n＋1＝－a n＋3n变形为， ………………4分从而数列是首项为，公比为－1的等比数列，所以即． ………………6分(3)解：①当n是偶数时，,所以随n的增大而减小，从而，当n是偶数时，的最大值是． ………………8分②当n是奇数时，所以随n的增大而增大，且综上，的最大值是………………10分。

北京市西城区2008—2009学年度第二学期学业测试高二数学（理科） 2009.7本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷 [选修 模块2-3] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知220n =A ，则n =( ) CA ．7B ．6C ．5D ．42. 有不同的红球5个，不同的白球4个. 从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有( ) C A ．9种 B ．16种 C ．20种 D ．32种3．5(12)x +展开式的二项式系数和为（ ）BA ．243B ．32C ．24D ．164. 甲、乙两组各有6人，现从每组中分别选出3人参加科普知识竞赛，则参加比赛人员的组成方式共有( ) A A ．400种 B ．200种C ．40种D ．20种5. 5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有( ) BA ．72种B ．36种C ．18种D ．12种6. 在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的. 则 下列说法正确的是( ) DA ．100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎B ．某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C ．在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D ．在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有7. 已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率 为( ) CA ．415B ．25C ．1745D ．28458. 从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有( ) AA ．36个B ．30个C ．28个D ．24个9. 现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有( ) BA ．4种B ．6种C ．8种D ．12种10. 已知1~(8,)2X B ，当()(,08)P X k k k =∈≤≤N 取得最大值时，k 的值是( ) D A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. 5(21)x +的展开式中2x 项的系数是 _____． 4012. 5个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有___________种（用数字作答）. 36 13. X 服从正态分布2(3,)N σ，若(4)0.2P X >=，则(23)P X <<=___ ____. 0.3 14. 从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，设事件A =“取出的2件产品中至多 有1件是二等品”，且()0.91P A =．则从该批产品中任取1件是二等品的概率为________.0.3 15. 随机变量X若1()3E X =，则()D X 的值是 ．916. 若对于任意的实数x ，有2330123(1)(1)(1)a a x a x a x x +-+-+-=，则0a 的值为_______； 2a 的值为_______． 1；3三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6.如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求： （1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率.18. （本小题满分12分）一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球. （1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率； （3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X 的分布列及()E X .19. （本小题满分12分）已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为23． （1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止. 设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X ，求X 的分布列.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知ii 1+ia b +=（,,i a b ∈R 为虚数单位），则a b +=________. 1 2. 曲线cos y x =在点1(,)32π处切线的斜率为___________.3. 曲线2y x =与直线y x =所围成图形的面积为__________.164. 设函数3()f x x ax b =++的图象为曲线C ，直线2y kx =-与曲线C 相切于点(1,0).则k =_________；函数()f x 的解析式为_______________. 2k =，3()f x x x =-5. 函数32()f x ax bx cx =++ 的图象如图所示，且()f x在0x x =与1x =-处取得极值，给出下列判断： ①(1)(1)0f f +-=； ②(2)0f ->；③函数()y f x '=在区间(,0)-∞上是增函数.其中正确的判断是________.（写出所有正确判断的序号） ②③二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分8分）已知数列{}n a中，12a =，1(1,2,)n n a n +==. 计算234,,a a a 的值，根据计算结果，猜想n a 的通项公式，并用数学归纳法进行证明.7. （本小题满分10分）已知函数()ln f x ax x =+，a ∈R . （1）讨论()y f x =的单调性；（2）若定义在区间D 上的函数()y g x =对于区间D 上的任意两个值1x 、2x 总有不等式12121[()()]()22x x g x g x g ++≥成立，则称函数()y g x =为区间D 上的“凹函数”. 试证明：当1a =-时，1()()g x f x x=+为“凹函数”.8.（本小题满分12分）已知函数221()(1)x f x x -=+，()e 1axg x x =-（a ∈R ，e 为自然对数的底数，e 2.718≈）． （1）当[0,3]x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若对于任意的0[0,3]x ∈，都存在1[0,3]x ∈，使得10()()g x f x =，求a 的取值范围．北京市西城区2008—2009学年度第二学期学业测试高二数学（理科）参考答案及评分标准A 卷 [选修 模块2-3]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. C;2.C ;3.B ;4.A;5. B;6. D;7. C;8. A;9. B; 10. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （一题两空的试题每空2分）11. 40 ; 12. 36 ; 13. 0.3 ; 14. 0.3 ; 15. 59; 16. 1，3. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.（如有其他方法，仿此给分） 17. （本小题满分12分）解：记“甲第i 次复原成功”为事件i A ，“乙第i 次复原成功”为事件i B ， 依题意，()0.8i P A =，()0.6i P B =．（1）“甲第三次才成功”为事件123A A A ，且三次复原过程相互独立， ………………3分 所以，123123()()()()0.20.20.80.032P A A A P A P A P A ==⨯⨯=． ………………6分 （2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C ． 所以11()1()P C P A B =-⋅． ………………9分111()()10.20.40.92P A P B =-⋅=-⨯=. ………………12分18. （本小题满分12分）解：设i A =“第i 次取到白球”， i B =“第i 次取到黑球”（1）每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以21()3P B =. ………………3分 （2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”， 所以，所求概率25P =. ………………6分 （3）有放回的依次取出3个球，则取到黑球次数X 的可能取值为0,1,2,3. ………………7分三次取球互不影响，由（1）知每次取出黑球的概率均为13， 所以，03328(0)()327P X C ===； 123124(1)()()339P X C ==⋅=； 2213122(2)()()339P X C ==⋅=； 33311(3)()327P X C ===. ………………9分 ………………10分这个试验为3次独立重复事件，X 服从二项分布，即1~(3,)3X B ， 所以，()1E X =. ………………12分19. （本小题满分12分） 解：（1）设“甲投篮4次，恰有3次投进”为事件A ，则()31342132C 3381P A ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………3分 （2）依题意，X 的可能取值为2,3,4,5,6. ………………4分111(2)339P X ==⨯=； ………………5分2112(3)33327P X ==⨯⨯=； ………………6分 212112(4)()3333327P X ==+⨯⨯⨯=； ………………8分 “5X =”表示投篮5次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第二次至少有一次投中”.所以2112116(5)13333243P X ⎡⎤⎛⎫==-⋅⋅⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭； ………………10分164(6)1[(2)(3)(4)(5)]243P X P X P X P X P X ==-=+=+=+==. ………………11分………………12分B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分（一题两空的题目每空2分）.1. 1 ;2. ;3. 16; 4. 2k =，3()f x x x =-; 5. ②③ . （注：②③选对一个命题得两分。

北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. 从原点O 射出的光线OP 经 BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处. ①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______；②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.正（主）视图C′B ′A ′ D ′C 1A 1B 118．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程. 19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =.（Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）B 卷一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.不小于5的3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和概率为_____．4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论：①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下： （Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数． 7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sinC 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值． 8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE .因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点， 所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE (5)分 （Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点，所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB =M 的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M 的圆心到所求直线的距离为2=.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==10分ABCDPEO2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11A C C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=，所以11190BB E A GB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线A F ⊥平面11B D E .…………………9分 . …………………12分 B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234..②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分.DBCA 1B 1C 1D 1AEF G H二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.0255950.1578.6⨯+⨯+⨯=．（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b 4B π=，sin sin a b A B=. 所以sin sin 4a A B b π==. …………………2分 当A 为锐角时，cos A sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分 ==. …………………4分 当A 为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+-. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-， 分数所以，过点M 的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. …………3分 （Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025tk t -=-， …………………5分所以直线EF 方程为210()225ty x t t -=---.当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=--.…………………6分 所以810(5,)5t F t +--，所以△DEF 的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-.由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分 所以2861B m y m -+=+，…………………9分所以2161A B my y m -=+.又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--，212()1A B A B A B mx x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分 所以直线AB 的斜率2216411231A B ABA B my y m k m x x m -+===-+.即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分 注：其他解法相应给分.点M '.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠，所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅；所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

北京市西城区2009—2010学年第二学期学业测试高二数学（理科）试卷试卷满分150分考试时间120分钟A卷[选修模块2—3] 本卷满分100分分．在每小题给出的四个选项中，只40小题，每小题5分，共一、选择题：本大题共8有一项是符合要求的1．用数字0，1，2，3组成无重复数字的三位数的个数是（）A．24 B．18 C．15D．122．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果运动员甲罚球命中的概率是XE(X)等于（，则）0.8，记运动员甲罚球1次的得分为A．0.2 B．0.4 C．0.8D．13．将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为（）11120101010)(()C()10?10?B．A．C ．2022212010)(C D．20245x1)x?(2）的系数是（的展开式中4．5．D80B．80 C．—5 A．—，乙做对此题的0.85．甲、乙两人相互独立地解同一道数学题．已知甲做对此题的概率是），那么甲、乙两人中恰有一人做对此题的概率是（概率是0.70.14 ． D C．0.24 A．0.56B．0.38人中必须既有男生名参加环保知识竞赛，若这444男3女）中选出6．从7名同学（其中）又有女生，则不同选法的种数为（．28 31 CA．34 B．25D．64nC?C7．满足条件）的正整数的个数是（nn A．10 B．9 C．4 D．38．从1，2，3，…，l0这10个数中随机取出4个数，则这4个数的和为奇数的概率是( )561011 D．C．．A B．21211111二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．6(a?b)的展开式的二项式系数之和为．．910．设甲、乙两套方案在一次实验中通过的概率均为0.3，且两套方案在实验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次实验中至少有一套通过的概率为．1 / 10n AB两件产品排在一起的不同排法有48件不同的产品排成一排，若其中种，，11．将则n=．D(X)的值是．；则=4432=13．已知，则．41230312414．正方形的顶点和各边中点共8个点，以其中3个点为顶点的等腰三角形共有个（用数字作答）．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）某人的一张银行卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，他在银行的自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（I）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率．（II）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．16．（本小题满分12分）一个口袋巾装有标号为1，2，3的6个小球，其中标号1的小球有1个，标号2的小球有2个，标号3的小球有3个，现从口袋中随机摸出2个小球．（I）求摸出2个小球标号之和为3的概率；（II）求摸出2个小球标号之和为偶数的概率；XXX的数学期望2个小球的标号之和，写出（III）用的分布列，并求表示摸出E(X)．17．（本小题满分12分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8，9，10环，且每次射击击中与否互不影响．甲、乙射击命中环数的概率如下表：8环9环10环2 / 10 0.35 0.45 0.2 甲0.35 0.25 0.4 乙环的概环且乙运动员击中9）若甲、乙两运动员各射击1次，求甲运动员击中8（I 率；环）环以上（含9次射击中恰有3次击中9（II）若甲、乙两运动员各自射击2次，求这4 的概率．50分学期综合]本卷满分B卷[分．把答案填在题中横线上．4分，共20一、填空题：本大题共5小题，每小题i1??zi||z．已知复数为虚数单位，那么l．=，其中i1?xln?f(x)的最大值为．2．函数x?x xy?x?[0,sin]与．当时，曲线轴所围成图形的面积是．33a1a??4x?f(x)?3x有三个相异的零点，则实数的取值范围是．4．已知函数x2?)(xf e?2x?(x))f(x 5．已知函数，关于给出下列四个命题；0)?f(xx?(?2,0)时，①当；)x1,1)f(x?(?时，②当单调递增；)xf(的图象不经过第四象限；③函数1?x)f(有且只有三个实数解．④方程2其中全部真命题的序号是．．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．3小题，共30分二、解答题：本大题共分）106．（本小题满分n8n?a SSSS}{a的，项的和．计算，已知数列为其前的通项公式为，n32n1n221)n(4?S的公式，并用数学归纳法加以证明．值，根据计算结果，推测出计算n3 / 107．（本小题满分10分）122lnxx?ax?(2af(x)??1)．已知函数2a?1y?f(x)(1,f(1))处的切线方程；时，求曲线在点（I）当a?0f(x)的单调区间．时，求函数II （）当8．（本小题满分10分）32x?xx?x0)??cx(a?f(x)?axbx处取得极值．，在和已知函数122a??c2??|xx|b，求（I）若，且的最大值；211??x0?x x?(0,x)xxg()?f)?'(x，证明：，且，若II （）设2113a x?g(x)?x．14 / 105 / 106 / 107 / 108 / 109 / 1010 / 10。

北京市西城区2009—2010学年度第二学期学业测试高一数学 2010.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块2] 本卷满分：100分参考公式： 圆锥的侧面积公式πS Rl =圆锥侧，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长．球的表面积公式24πS R =球，其中R 是球半径．锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线0x y +的倾斜角为（ ）A. 30B.45C. 060D. 1352. 如果一个正方体的对角线长为3，那么此正方体的棱长等于（ ）A.12B.C .D. 13．圆22670x y y +-+=的圆心到直线50x y -+=的距离为（ ）A. 1B .C. 2D. 34. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,4,3)A -关于坐标平面yOz 对称的点是（ ）A. (2,4,3)B. (2,4,3)-C. (2,4,3)--D. (2,4,3)--5．表面积为16π的球的大圆周长为( )A. 2πB . 4πC. 6πD. 8π6. 经过点(2,1)A -，且与直线230x y -+=不相交的直线方程为（ ）A. 20x y +=B. 210x y ++=C. 250x y -+=D. 20x y -=7.已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S 等于（ ）A. 100πB . 200πC. 300πD. 400π8．圆224460x y x y +-++=与圆224x y +=的位置关系为（ ）A . 相交B. 相切C. 相离D. 内含9. 已知平面a 和直线a ，b ，c ，给出下列四个条件： ○1//,//a c b c ； ○2,a c b c ^^； ○3//,//a b a a ； ○4,a b a a ^^. 其中可以使结论//a b 成立的条件有( )A. ○1○2B. ○2○4C. ○1○2○4D. ○1○410. 在边长为30cm 的木块每个面的中心都画一个边长为10cm 的小正方形（小正方形各边与所在面大正方形的各边对应平行），沿着每个小正方形的各边凿一个正四棱柱形的洞，一直凿到对面的小正方形，如图所示. 如果要用油漆涂满此木块露在空气中的各个面，那么所涂各面的面积之和为（ ）A. 25400cm B. 27200cm C. 27600cm D. 28400cm二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11. 直线30x y +-=与直线310x y +-=交点坐标为________，它是第_____象限的点.. 12. 以点（2，－1）为圆心，且过原点的圆的方程为_____________.13. 如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于__________ .14. 设ABC ∆的顶点(3,2),(1,5),(2,2)A B C --，则BC 边上的高线所在的直线方程是___________ .15. 圆22210x y x ++-=被y 轴所截得弦的长度为___________. 16. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据， 可得该几何体的表面积是___________, 体积是___________．正(主)视图侧(左)视图俯视图三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证：11B C //平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面1AB D ⊥平面BB 1C 1C .18.（本小题满分12分）已知圆E 的圆心M 在直线0x y -=上，且过定点(3,4)A B --. （Ⅰ）求圆E 的方程；（Ⅱ）求斜率为2且与圆E 相切的直线方程.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥S-ABCDAB =2，P 为侧棱SD 上的点.（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD 的体积； （Ⅱ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅲ）若SD ⊥平面P AC ，判断在侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ？若存在，求SE 的值；若不存在，说明理由.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若1a =，π4A =，π6B =， 则边b =____________.2. 已知x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩那么目标函数2z x y =+的最大值是___________.3.设{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2+a 4+a 6++a 20=____________.4.设0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值为_____________. 5. 如图是一个五角星，它的顶点A , B , C , D , E 分别表示集合{3,5,6,7,9}M =中的一个数，且各个数互不相等. 如果线段AB , BC , CD , DE 和EA 的两个端点数字之和经过一定排列后可以得到一个等差数列，那么这个等差数列的第三项是____________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）在∆ABC中，AC BC 1sin()3A B +=. （Ⅰ）求∆ABC 的面积； （Ⅱ）求边AB 的长.ABCDE7. （本小题满分10分）已知函数2()3f x x x t =-+，设不等式()0f x <的解集为{|1,x x m x <<∈R }. (Ⅰ) 求实数t, m 的值；(Ⅱ) 若对于任何x ∈R 恒有28()3f x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.8.（本小题满分10分）在数列{a n }，{}n b 中，11a =，12b =，且对于任意的正整数m ，n 满足m n m n a xa a +=，m n m n b b cb +=+，其中常数,x c ∈R ，0cx ≠.（Ⅰ）当x =2时，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .北京市西城区2009—2010学年度第二学期学业测试 高一数学参考答案及评分标准 2010.7A 卷 [必修 模块2] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. C3. B4. A5. B6. C7. B8. A9. D 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. (1,4)-, 二 12. 22(2)(1)5x y -++= 13.3014. 37230x y +-= 15. 216. 12+注： 第11，16题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17. (Ⅰ) 证明：正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴ B 1C 1//BC ，又11B C ABC ⊄平面,BC ABC ⊂平面，∴11B C //平面ABC . ---------------------- 4分（Ⅱ）证明：正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，1B B ABC ∴⊥平面，又AD ABC ⊂平面，1B B AD ∴⊥， -------------------------------6分ABC ∆是等边三角形，且D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥,又1B B BC B =，11AD BB C C ∴⊥平面. -------------------------------8分又AD ⊂平面1AB D ，∴平面1AB D ⊥平面BB 1C 1C . -------------------------------10分18.（Ⅰ）解：由题意，设圆E 的圆心(,)M a a ，半径为r (r >0). 则E 为：222()()x a y a r -+-=.由题意，得222222))(3)(4)a a r a a r⎧+=⎪⎨--+--=⎪⎩， -------------------------------------3分解得05a r =⎧⎨=⎩， 所以圆E ：2522=+y x . -------------------------------------6分 （Ⅱ）解：设斜率为2且与圆E 相切的直线方程为2y x b =+， ----------------------7分 5=， ------------------------------9分解得b =±故所求直线方程为20x y -+=或20x y --=. ----------------------12分 19.（Ⅰ）解：连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，底面ABCD 为正方形，所以AO CO =， 在SAC ∆中，SA SC =， SO AC ∴⊥， 同理SO BD ⊥，SO ∴⊥平面ABCD . ------------------------------1分在正方形A BCD 中，2AB =，142ABCDOD BD S ∴===.在Rt SOD ∆中，OD SD ==SO ∴=∴四棱锥S-ABCD 的体积13ABCDV SSO =⋅= ------------------------------4分 (Ⅱ)证明：底面ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，又SO AC ⊥，SO BD O =，∴AC SBD ⊥平面,又SD ⊂平面SBD ,∴AC SD ⊥. ------------------------------8分（Ⅲ）结论：在棱SC 上存在一点E ，使得//BE PAC 平面, 此时SE =解：连接PO ，SD ⊥平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， SD PO ∴⊥，在Rt SOD ∆中，2SD OD ==60SDO ∴∠=,又在Rt POD ∆中，OD =，2PD ∴=， 故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作E .连接BN，BE . ------------------------------10分在BDN ∆中，,PD PN BO OD ==，∴//BN PO ，又//NE PC ，BNNE N =，∴平面//BEN PAC 平面，∴//BE PAC 平面,------------------------------12分2,2SN PN ==， ∴在SPC ∆中，2SE SNEC NP==，即2SE EC =， 又SE EC SC +==，SE ∴=------------------------------14分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.2. 23. 2104. 45. 12二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（Ⅰ）解：因为 πA B C ++=，所以 1sin()sin(π)sin 3A B C C +=-==. -----------------------------2分 所以∆ABC的面积1sin 22S AC BC C =⋅⋅=. -----------------------------5分 （Ⅱ）解：因为1sin 3C =，所以cos C =-------------------7分 由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，得1AB =或AB =----------------------------10分 7.（Ⅰ）解：因为不等式x 2-3x + t < 0的解集为{|1,x x m x <<∈R },所以 13,1m m t +=⎧⎨⋅=⎩解得22m t =⎧⎨=⎩. -------------------------------4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得28()8(32)f x x x =-+，则238()8()22f x x =--， 故当32x =时，8()f x 有最小值2-， -------------------------------6分 因为对于任何x ∈R 恒有28()3f x a a ≥-成立,所以232a a -≤-， -------------------------------8分 解得 12a ≤≤，所以实数 a 的取值范围是[1,2]. -------------------------------10分8.（Ⅰ）解：由m n m n a xa a +=，得11n n n a xa a xa +==， 因为11a =，2x =，所以0n a ≠， 所以12n na a +=， 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=. -------------------------------3分 （Ⅱ）解：因为对于任意的正整数m ，n 满足m n m n b b cb +=+，所以211b b cb =+，321b b cb =+，312b b cb =+，所以22(1)b c =+，32(1)222(1)b c c c c =++=++，解得1c = 或 0c =（舍）， -------------------------------5分 因为对于任意的正整数m ，n 满足m n m n b b cb +=+，所以11m m b b cb +=+，即12m m b b +-=，故数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，所以2(1)22n b n n =+-⨯=. -------------------------------6分 （Ⅲ）解：由m n m n a xa a +=，得1n na x a +=， 故数列{}n a 是首项为1，公比为x 的等比数列，所以1n n a x -=， --------------- 7分故12n n c n x -=⋅.所以 212462n n S x x nx -=++++， ○1 当1x =时，242(1)n S n n n =+++=+； ------------------------------- 8分 当1x ≠且0x ≠时，○1式两边同乘以x ，得 232462n n xS x x x nx =++++， ○2 ○1○2两式相减，得 21(1)22222n n n x S x x x nx --=++++-，所以22(1)2(1)1n nn x nx S x x-=---. 综上，数列{}n c 的前n 项和2(1), 1,2(1)2,1,0.(1)1n n n n n x S x nx x x x x +=⎧⎪=-⎨-≠≠⎪--⎩---------- 10分。

北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（理科） 2011.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数12i-对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2．设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()sin f x f x x '+=- （B ）()()cos f x f x x '+=- （C ）()()sin f x f x x '-= （D ）()()cos f x f x x '-=3．据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是（ ） （A ）0.7 （B ）0.42 （C ）0.12 （D ）0.14．甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ） （A ）36种 （B ）24种 （C ）18种 （D ）12种5．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++，则0123a a a a -+-+的值为（ ） （A ）27- （B ）27 （C ）1- （D ）16．函数2()e xf x x -=⋅的单调递增区间是（ ）（A ）(2,0)-（B ）(,2)-∞-，(0,)+∞（C ）(0,2) （D ）(,0)-∞，(2,)+∞7．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖.每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ） （A ）80243（B ）100243（C ）80729（D ）1007298．已知函数()nf x x =，其中n ∈Z ，2n ≥．曲线()y f x =在点00(,())P x f x 0(0)x >处的切线为l ，l 与x 轴交于点Q ，与y 轴交于点R ，则||||PQ PR =（ ） （A ）11n - （B ）1n （C ）21n - （D ）2n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．61(2)x x+的展开式中的常数项为_________.10．直线2y x =与曲线2y x =所围成封闭图形的面积为_________.11．已知随机变量X 的分布列如下表所示：若()0E X =，()1D X =，则abc = ．12．在解析几何里，圆心在点00(,)x y ，半径是(0)r r >的圆的标准方程是22200()()x x y y r -+-=.类比圆的标准方程，研究对称轴平行于坐标轴的椭圆的标准方程，可以得出的正确结论是：“设椭圆的中心在点00(,)x y ，焦点在直线0y y =上，长半轴长为a ，短半轴长为b (0)a b >>，其标准方程为 ．”13．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为_________.14．设R 上的可导函数()f x 满足()()()4(,)f x y f x f y xy x y+=++∈R ，且(1)2f '=，则方程()0f x '=的根为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，14a =，149n n a a n +=-，1,2,3,n =.计算2a ，3a ，4a 的值，根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）经销某品牌的汽车，顾客通常采用分期付款的方式购车．根据以往资料统计，付款期数X 的分布列为：经销该品牌的汽车，若采用1期付款，其利润为410元；分2期或3期付款，其利润为41.510⨯元；分4期或5期付款，其利润为4210⨯元．（Ⅰ）求购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率； （Ⅱ）记Y 为经销一辆该品牌汽车的利润，求Y 的分布列及期望()E Y ．17．（本小题满分13分）已知函数32()6f x x ax =-，其中0a ≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．18．（本小题满分13分）学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X 为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且8(1)15P X ≥=． （Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数； （Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．19．（本小题满分14分）若实数,,x y m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）对任意0x >，证明：ln(1)x +比x 靠近0；（ⅱ）已知数列{}n a 的通项公式为112nn a -=+，证明：1232e n a a a a <．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x a x =-+不是单调函数，且无最小值． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0x 是函数()f x 的极值点，证明：03ln 4()04f x +-<<.。

北京市西城区2009—2010学年度第一学期学业测试高一数学 2010.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 若sin 0,tan 0αα><，则角α是（ ）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角 2. tan 480o的值等于（ ）A. -B.C. -D. 3. 若向量a = (1, 1)，b = (1, 1-)，c = (2,4-)，则c 等于 ( )A. -a +3bB. a -3bC. 3a -bD. -3a+b 4. 若角a 的终边经过点(1,2)P -，则sin a 等于（ ）A. 5-B. 5C. 5D. 5-5. 设x ∈R ，向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，若a //b ，则实数x 等于（ ） A.2 B.-2 C.2或-2D.126. 在四边形ABCD 中，给出下列四个结论, 其中一定正确的是（ ）A. AB BC CA +=uu u r uu u r uu rB. AB AD BD -=uu u r uuu r uu u rC. AB AD AC +=uu u r uuu r uuu rD. BC CD BD +=uu u r uu u r uu u r7. 函数()2sin 1,[,]2f x x x pp =-+?的值域是( ) A. [1,3] B. [1,3]- C. [3,1]- D. [1,1]-8. 函数2()2cos 1f x x =-的相邻两条对称轴间的距离是（ ） A.2p B. p C.2p D. 4p 9. 设向量a , b 的长度分别为4和3，它们的夹角为060，则|a +b |等于 ( )A.B. 13C. 37D.10. 如果先将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个长度单位，再将所得图象向上平移1个长度单位，那么最后所得图象对应的函数解析式是（ ）A. sin 21y x =-+B. cos21y x =-+C. sin(2)14y x π=-+ D. sin(2)14y x π=++二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11. 在平面直角坐标系中，两点A ,B 的坐标分别为(1,2),(3,4)--，则向量AB =_________. 12. 若向量(12)=，a 与向量(,4)λb =垂直，则实数λ=______________. 13. 已知1(0,2),cos 2x x π∈=-，那么x =___________ . 14. 设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uu u r，则ABC V 的内角A =_________.15. 设α是第二象限角，1sin 3α=, 则tan 2α=___________ . 16.一个单摆的平面图如图所示. 设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定小球在铅锤方向右侧时α为正，左侧时α为负. α作为时间t (s) 的函数，近似满足关系sin(),[0,)2A t t παω=+∈+∞. 已知小球在初始位置（即t =0）时，3πα=，且每经过πs 小球回到初始位置，那么A =__________；α作为时间t 的函数解析式是______________.`三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知tan 3α=. （1）求tan()4πα-的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.18.（本小题满分12分）如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB=4. 设角A θ=，ABC 的面积为S . （1）试用θ表示S ，并求S 的最大值； （2）计算AB AC BC BA ⋅+⋅的值.19.（本小题满分14分）已知向量a =(sin ,cos )x x ，b =(cos ,cos )x x -，设函数()f x =a ⋅(a +b ). （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间；（3）若函数()(),g x f x k =-[0,]2x pÎ，其中R k Î，试讨论函数()g x 的零点个数．A CBθB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 若1249a =, 则23log a = . 2. 已知函数f (x )的定义域是(0,)+∞, 满足(2)1,f = 且对于定义域内任意,x y 都有()()()f xy f x f y =+成立，那么(1)(4)f f +=_________________. 3. 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则[(0)]f f =_________；不 等式()2f x ≤的解集为_____________. 4. 关于函数12()log |1|f x x =-，有以下四个命题：○1 函数()f x 在区间(-∞，1)上是单调增函数； ○2 函数()f x 的图象关于直线x =1对称； ○3 函数()f x 的定义域为(1，+∞) ； ○4 函数()f x 的值域为R. 其中所有正确命题的序号是________________ . 5. 记[x ]表示不超过实数x 的最大整数.设11()[][]11x f x x-=⋅，则(3)f =_________；如果060x <<，那么函数()f x 的值域是__________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数1()f x x x -=-.(Ⅰ) 判断函数()f x 的奇偶性，并证明； (Ⅱ) 证明函数()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x ax b -++>的解集为{|13,A x x x =-<<∈R }.（1）求a 、b 的值；（2）设函数2()lg()f x x ax b =-++, 求最小的整数m ，使得对于任意的x A ∈，都有()f x m ≤成立.8.（本小题满分10分）对于函数f (x ),若00()f x x =,则称0x 为f (x )的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为f (x )的“稳定点”. 函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{|()}A x f x x ==,})]([|{x x f f x B ==.（1） 设函数()34f x x =+，求集合A 和B ； （2） 求证：A B ⊆；（3） 设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅.北京市西城区2009—2010学年度第一学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2010.1 A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. B2. A3. B4. B5. C6. D7. B8. C9. A 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（一题两空的题目每空2分） 11. (4,6)- 12. 8- 13.2π4π33或14. 4515. 7- 16.π3； ππs i n 232t α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[0,)t ∈+∞（注：不写定义域不扣分）三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（Ⅰ）解：πtan tanπ14tan π421tan tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+⋅. ………………4分 （Ⅱ）解：由tan 3α=，得cos 0α≠，所以 sin cos sin cos cos cos sin cos sin 2cos 2cos cos αααααααααααα++=-- ………………8分tan 14tan 2αα+==-. ………………10分18.（Ⅰ）解：在Rt ABC ∆中，斜边AB=4，A θ=，所以4cos ,4sin AC BC θθ==， ………………2分所以ABC ∆的面积114cos 4sin 4sin 222S AC BC θθθ=⨯=⨯⨯=. ………3分 故当sin 21θ=，即π4θ=时，ABC ∆的面积有最大值max 4S =. ……………6分（Ⅱ）解：由题意，得π2B θ=-，所以 AB AC BC BA ⋅+⋅π||||cos ||||cos()2AB AC BC BA θθ=⋅+⋅- ………………8分 2216cos 16sin θθ=+ ………………10分16=. ………………12分 19.解：（Ⅰ）由题意，得()f x =a ⋅(a +b )sin (sin cos )x x x =+………………1分 1cos 21sin 222x x -=+ ………………3分π1sin(2)242x =-+. ………………5分 所以函数()f x 的最小正周期为π. ………………6分（Ⅱ）由π1())242f x x =-+， 得当πππ2π22π242k x k --+≤≤时，()f x 单调递增， ………………8分 所以()f x 的单调递增区间是π3πππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，其中k ∈Z . ………9分（Ⅲ）以下先来研究函数π1())42f x x =-+，π[0,]2x Î的性质. 由π[0,]2x Î，得ππ3π2444x -??， 则πsin(2)14x -?，所以，函数π1())42f x x =-+，π[0,]2x Î的值域为， 由（Ⅱ），得()f x 在区间3π[0,]8上单调递增，在区间3ππ[,]82上单调递减. 函数π1())42f x x =-+，π[0,]2x Î的图象如下图所示. …………11分 由()()0g x f x k =-=，得方程()f x k =.所以研究函数()g x 际上就是研究方程()f x k = 考察函数()f x ，π[0,]2x Î和y 的图象和性质，得当21(,0)(,)k +∈-∞+∞时，函数()g x 的没有零点；………………12分当[0,1)k ∈，或12k =时，函数()g x 的有一个零点； ………………13分当[1,)2k ∈时，函数()g x 的有两个零点. ………………14分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.（一题两空的题目每空2分） 1. 4 2. 2 3. 2 , {|14}x x ≤≤ 4.○1○2○4 5. 0，{0,1,2,3,4,5}----- 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（Ⅰ）结论:函数()f x 是奇函数.证明：()f x 的定义域为{|,0}x x x ∈≠R 且， ………………1分 且对于定义域内的任意x ， 1()()()()f x x x f x --=-+-=-，所以()f x 是奇函数. ………………4分 （Ⅱ）证明：设12x x ，是(0)+∞，上的两个任意实数，且12x x <，则120x x x ∆=-<， 12121212211111()()()()()()y f x f x x x x x x x x x ∆=-=---=-+- 12121212121()()(1)x x x x x x x x x x -=-+=-+. ………………7分 因为120x x <<， 所以 120x x -<，12110x x +>， 从而0y ∆<，所以()f x 是(0)+∞，上的增函数. ………………10分 7.（Ⅰ）解：由题意，得10930a b a b --+=⎧⎨-++=⎩ ， ………………3分解得 23a b =⎧⎨=⎩. ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2()lg(23)f x x x =-++2lg[(1)4]x =--+lg 4≤.…………7分 所以当1x =时，()f x 取到最大值lg 4. ………………8分因为对于任意的x A ∈，都有()f x m ≤成立，所以lg 4m ≥.故使得对于任意的x A ∈，都有()f x m ≤成立的最小整数1m =. …………10分 8.（Ⅰ）解：由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-； ………………1分 由[()]f f x x =，得3(34)4x x ++=，解得2x =-.所以集合{2},{2}A B =-=-. ………………2分 （Ⅱ）证明：若A =∅，则A B ⊆显然成立； ………………3分 若A ≠∅，设t 为A 中的任意一个元素，则()f t t =， 所以 [()]()f f t f t t ==， 故t B ∈，所以A B ⊆. ………………5分 （Ⅲ）证明：由A =∅，得方程()f x x =（即2ax bx c x ++=）无解，则2(1)40b ac ∆=--<. ………………6分 ○1 当a >0时，二次函数()y f x x =-（即2(1)y ax b x c =+-+）的图象在x 轴上方， 所以对于任意x ∈R ，()0f x x ->恒成立， 即对于任意x ∈R ，()f x x >恒成立， 考察实数()f x ，则有[()]()f f x f x >成立，所以对于任意x ∈R ，[()]()f f x f x x >>恒成立，则B =∅. ………………8分 ② 当a <0时，二次函数()y f x x =-（即2(1)y ax b x c =+-+）的图象在x 轴下方，所以对于任意x ∈R ，()0f x x -<恒成立， 即对于任意x ∈R ，()f x x <恒成立， 考察实数()f x ，则有[()]()f f x f x <成立，所以对于任意x ∈R ，[()]()f f x f x x <<恒成立， 则B =∅.综上，对于函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当A =∅时，B =∅. …………10分。

北京市西城区2009—2010学年第二学期期末测试八年级数学试卷(A卷)(时间100分钟，满分100分)一、精心选一选(本题共29分，第1～9题每题3分，第10题2分)10=，则x+y的值为()．A．-7 B．-5 C．3 D．72．△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长为()．A．3 B．6 C．12 D．243．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成．．．直角三角形的是A．3，4，6 B．5，12，14 C．1，1D．1，24．下列关于反比例函数2yx=-的说法中，错误．．的是()．A．x=-1时的函数值大于x=l时的函数值B．当x<0时，y随x的增大而增大C．当x>0时，y随x的增大而增大D．y随x的增大而增大5．用配方法解方程2220x x--=，以下变形正确．．的是()．A．2(1)2x-=B．2(1)3x-=C．2(2)1x-=D．2(1)3x+=6．如图， ABCD中，AC⊥BC，E为AB的中点，若CE=2，则CD=()．A．2 B．3 C．4 D．57．对角线互相垂直平分的四边形一定是()．A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8．以下关于一元二次方程的根的说法中，正确．．的是()．A．方程220x x+-=有一根为-1B．方程20x x+=有一根为1C．方程2240x x+-=有两个不相等的实数根D．方程240x+=有两个实数根，并且这两根互为相反数9．观察反比例函数6yx=的图象，当1<y≤2时，x的取值范围是()．A．3≤x<6 B．3<x≤6 C．1136x≤<D．1136x<≤10．如图，点O(0，0)，B(0，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB l为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B6的坐标是()．A．(-8，0)B．(0，-8)C．(-，0)D．(-0)二、细心填一填(本题共16分，每小题2分)11．函数y=x的取值范围是________．12．上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观．京沪线铁路全程为1463km，某次列车的全程运行时间t(单位：h)与此次列车的平均速度v(单位：km/h)的函数关系式是________．(不要求写出自变量v的取值范围)13．如图，菱形ABCD中，若BD=24，AC=10，则AB的长等于________．14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，AD=2，AC平分∠BCD，(1)CD=________；(2)若DE∥AB交BC于点E，则∠CDE=________°．15．右图为某车间36位工人日加工零件数(单位：个)的条形统计图，则这些工人日加工零件数．．．的中位数是________．16．反比例函数3(0)y xx=>与函数y=x(x≥0)的图象如图所示，它们的交点为A，(1)点A的坐标为________；(2)若反比例函数3yx=的图象上的另一点B的横坐标为1，BC⊥x轴于点C，则△OBC的面积等于________．17．如图，□ABCD中，AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折到同一平面内，若点B的落点记为B'，则BEB'∠=________°，D B'的长为________．18．△ABC中，AB=AC=5，BD是AC边上的高，若BD=3，则BC=________．三、认真算一算(本题共28分，第19、20题每题8分，第21、22题每题6分)19．计算：(1)-；(2．解：解：20．解方程：(1)3x(2x+1)=2(2x+1)；(2) 22310x x--=．解：解：21．为了惠农强农，同时拉动国内消费需求，某市从2008年12月1日起开展了“家电下乡”工作．该市某家电公司的一个营销点记录了自2008年12月份至2009年5月份所销售的甲、乙两种不同品牌的冰箱的数量，以下是根据销售数据制作的两种品牌销售量折线图和统计表的一部分：根据以上信息解答下列问题：(1)补全以上统计图和统计表；(2)请就今后营销点应选择进哪种品牌的冰箱提出一条建议，并说出你的依据．解：(2)为DE延长线上一点，EF=DC．求证：(1)∠BEF=∠FDC，BE=FD；(2)△BEF≌△FDC．四、解答题(本题共9分，第23题5分，第24题4分)23．已知：a、b为实数，关于x的方程2(1)30x a x b--++=的一个实根为a+1．(1)用含a的代数式表示b；(2)求代数式4a+2b-1的值．24．已知：如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB=6cm，CD=15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD (在A 、B 、C 、D 处是可以活动的)．现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上(如图2)； 位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C=90°(如图3)． (1)在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长； (2)利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．五、解答题(本题共18分，第25题6分，第26题5分，第27题7分) 25．已知：双曲线11:t C y x=(t 为常数，t ≠0)经过点M (-2，2)，它关于y 轴对称的双曲线为C 2，直线1:l y kx b =+(k 、b 为常数，k ≠0)与双曲线C 2的交点分别为A (1，m )，B (n ，-1)．(1)求双曲线C 2的解析式；(2)求A 、B 两点的坐标及直线l 1的解析式；(3)若将直线l 1平移后得到的直线l 2与双曲线C 2的交点分别记为C 、D (A 和D ，B 和C 分别在双曲线C 2的同一支上)，四边形ABCD 恰好为矩形，请直接写出直线CD 的解析式． 解：(1)(2)(3)答：直线CD的解析式为________________．26．已知：如图，矩形ABCD中，BC延长线上一点E满足BE=BD，F是DE的中点，猜想．∠AFC的度数并证明你的结论．答：∠AFC=________．证明：27．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E 为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H 落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上．(1)当BF=________时，四边形FEHG为正方形；(2)若BF=x，△FCG的面积为y，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)(3)在备用图中分别画△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形(不要求尺规作图，不要求写画法)，并直接写△FCG面积的最大值和最小值．解：(1)答：当BF=________时，四边形FEHG为正方形．(2)(3)答：△FCG面积的最大值为________，最小值为________．北京市西城区2009—2010学年第二学期期末测试八年级数学试题答案及评分参考(A卷)二、细心填一填（本题共18分，每小题2分）11．4x≥-．12．1463tv=．13．13．14．(1)2；(2)90．15．6．16．(1)；(2)1.5．17．90．18三、认真算一算（本题共28分，第19、20题每题8分，第21、22题每题6分）19．(1)35)=+-……………………………………3分35=+-=-……………………………………4分(2)2=……………………………………3分4=+……………………………………4分20．(1)解：解得3x-2=0或2x+1=0．………………………………2分所以原方程的根为12 3x=，21 2x=-．………………………………4分(2)解：a=2，b=-3，c=-1，224(3)42(1)17b ac-=--⨯⨯-=．………………………………1分2b x a-=………………………………2分34±=． ………………………………4分所以原方程的根为134x +=，234x -=． ……………………4分21．解：(1)补全两种品牌冰箱的“销售量折线图”见上页图．5分阅卷说明：“销售量折线圈”申甲、乙相应位置各1分，“两种品牌销售量统计表”中每空1分．甲品牌销售量的方差若取近似值不扣分．(2)答案不唯一．建议营销点应选择增加乙种品牌冰箱的进货．理由如下：在两种品牌冰箱销售量的平均数相同的情况下，乙种品牌的冰箱销售量的方差较小，说明它的销售量较为稳定，据此建议以后增加乙种品牌冰箱的进货．建议营销点应选择增加甲种品牌冰箱的进货． 理由如下：依据折线图的变化趋势判断，甲种品牌的冰箱销售量呈整体上升趋势，乙种品牌的冰箱销售量不是这样，据此建议以后增加甲种品牌冰箱的进货．………………………………………………6分22．证明：(1)如图l ．∵ ABCD ，∴ AB ∥DC ，AB=DC ．………………………………………………2分 ∵ E 为BA 延长线上一点，(阅卷说明：不写不扣分) ∴ ∠BEF=∠FDC ．………………………………………………3分∵ EF=DC ，∴ EF=AB ． ∴ EA=ED ，∴ EA+AB=ED+EF ，即BE=FD …………4分 (2)在△BEF 与△FDC 中，,,,EF D C BEF FD C BE FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………6分 ∴ △BEF ≌△FDC ．………………………6分四、解答题(本题共9分，第23题5分，第24题4分)23．解：(1)∵ 关于x 的方程2(1)30x a x b --++=的一个实根为1a +，∴ 2(1)(1)(1)30a a ab +--+++=． ………………………………1分 整理，得b=-2a -5 (3)(2)将b=-2a -5代入4a+2b -l ，得4a+2b -1=4a+2(-2a -5)-l =-l1． ………………………………………5分 24．解：(1)∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC=x ， ∴ 在图2中，AC=BC -AB=x -6，AD=AC+CD=x+9．…………………1分(2)∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，∴ 在图3中，BC=x ，AC=AB+BC=6+x ，AD=x+9．……………………2分∵ 图3中，△ACD 为直角三角形，∠C=90°， 由勾股定理得．222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++． 化简，得6x=180．解得 x=30．…………………3分 即 BC=30．∴ AD=39．…………………4分五、解答题(本题共18分，第25题6分，第26题5分，第27题7分)25．解：(1)如图4．∵ 点M (-2，2)关于y 轴的对称点为M '(2，2)……1分∴ 双曲线C 2的解析式为4y x=． …………………2分(2)∵ A (1，m )，B (n ，-1)两点在双曲线C 2上，∴ m=4，n=-4．∴ A ，B 两点的坐标分别为A (1，4)，B (-4，-1)……4分 (阅卷说明：A ，B 两点的坐标各1分．)∵ A (1，4)，B (-4，-1)两点在直线1:l y kx b =+上， ∴ 4,4 1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,3.k b =⎧⎨=⎩∴ 直线l 1的解析式为y=x +3． …………………………………………5分 (3)答：直线CD 的解析式为y=x -3．……………………………………6分26．答：∠AFC=90°．…………………………………………………………1分证明：连接BF ．(如图5)∵ 矩形ABCD ，∴ ∠ADC=∠DCB=90°，AD=BC ． 在Rt △CDE 中，F 是DE 的中点， ∴ DF=CF=FE ．∴ ∠1=∠2．∴ ∠ADC+∠1=∠DCB+∠2．即∠ADF=∠BCF ． ∴ △ADF ≌△BCF ．(SAS ) …………………………2分 ∴ ∠3=∠4． …………………………3分 ∵ BE=BD ，DF=FE ， ∴ BF ⊥DE ． ……………………………………4分 ∴ ∠3+∠5=90°．∴ ∠4+∠5=90°，即∠AFC=90°………………5分27．解：(1)答：当BF= 4 时，四边形FEHG 为正方形；………………………1分 (2)如图6，连接FH ，作GQ ⊥BC ，则∠GQF=90°，∠GQF=∠A ．∵ 菱形FEHG ，∴ GF=EH ，EH ∥FG ．∴ ∠1=∠2．∵ 直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴ ∠AHF=∠HFC ．∴ ∠AHF -∠1=∠HFC -∠2，即∠3=∠4．在Rt △QGF 与Rt △AEH 中，,43,,G Q F A G F EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △QGF ≌△AEH ．(AAS )∴ GQ=EA=AB -BE=4． ………………………………………………2分∴ BC=8．BF=x ，∴ 11(8)416222F C G S C F G Q x x ∆=⨯⨯=⨯-⨯=-．∴ y 与x 的函数关系式为y=16-2x ． ……………………………………3分(3)答：△FCG面积的最大值为16-4分△FCG 面积的最小值为 3 ． ……………………………………5分………………………………………………7分阅卷说明：两个图形正确各得1分．根据以下画法判断学生作图的位置是否正确，相关线段的数量关系是否准确．画法说明如下：①如图7，当点F 运动到使菱形FEHG 的顶点H 与点A 重合时，x 取得最小值， △FCG 的面积取得最大值．画法如下：以E 为圆心，EA 为半径画弧，交BC 边于点F ，平移EA 到FG ，连接AG ，得到四边形FEHG ，可证得四边形FEHG 为菱形．②如图8，当点F 运动到使菱形FEHG 的顶点G 落在梯形ABCD 的CD 边上时，x 取得最大值，△FCG 的面积取得最小值．画法如下：在图6中由GQ=4可知，无论点F 在BC 边上如何运动，点G 到BC及AD 的距离都不变，分别为4、2．取AE 的中点P (AP=2)，过点P作BC 的平行线，交CD 边于G ，作EG 的垂直平分线，分别交AD ，BC 于H 、F ，顺次连接F ，E 、H 、G 得到四边形FEHG ，可证得四边FEHG为菱形．。

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷九年级数学 2011.1考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12 D ． 224．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++错误！未找到引用源。

B ．2(3)2y x =-- 错误！未找到引用源。

C ．2(6)2y x =--错误！未找到引用源。

D ．2(3)2y x =-+错误！未找到引用源。

5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交 OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于23，则扇形OCED 的面积等于（ ）. A ．23π错误！未找到引用源。

北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x =_______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分精品如果5k a t ==，当1k =时，5p =； 当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。

2024届北京市西城区高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为8:5，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ） A．BCD ．872．点()2,5P 关于直线0x y +=对称的点的坐标是（ ） A ．()5,2--B ．()2,5-C ．()5,2D ．()2,5--3．已知函数()f x 满足下列条件：①定义域为[)1,+∞；②当12x <≤时()4sin()2f x x π=；③()2(2)f x f x =. 若关于x 的方程()0f x kx k -+=恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是 A ．11[,)143B ．11(,]143C ．1(,2]3D ．1[,2)34．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A．B． CD． 5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 8＝（ ） A ．36B ．42C ．48D ．606．在数列{}n a 中，若11a =，212a =，()12211n n n n N a a a *++=+∈，设数列{}n b 满足()21log n nb n N a *=∈，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．21n -B ．22n -C ．121n +-D ．122n +-7．已知数列12:,,,n A a a a ⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题： ① 若数列A 具有性质P ，则10a =；② 若数列1a ，2a ，3a （1230a a a ≤<<）具有性质P ，则1322a a a +=； 下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题8．如果点()sin cos cos P θθθ,位于第四象限，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为310．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市西城区2009-2010学年第二学期学业测试高二数学（文科）试卷试卷满分150分 考试时间120分钟A 卷［选修模块2-3］ 本卷满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小題5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的1. 已知全集U = R,集合A = {x|0<x>2}, B = {x|x>l}，那么集合AD （丄：B ）=（）nA. {x|0<x<l}B. {x|0<x<l}C. {x|l<x<2}D. {x\i<x<2\2. 已知命题p ： Vxe/?,|x+l|>0,那么命题一卩为（）A. 3XG 7?,| x+l|<0 C. 3XG R,\X +1|<03. 下列函数中，图象关于y 轴对称的是（）A. y = 2xB. y = 2x4. 函数/（x ） = x 2.e v 的单调递减区间是（）A. （—2,0） C. （0,2）5. 已知五个实数-16,耳,冬,為,-1成等比数列,A. —6 或一14B. 6 或 146. "bn-l"是"函数y =才+/?/+1（尤丘［1,+00））为增函数”的（）A.充分但不必要条件 C.充要条件B.必要但不充分条件D.既不是充分条件也不是必要条件7.数列{%}满足a l =Ua 2=2,a ll+l .a ll =t a （兄为常数，neN* ）,则①等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4&设集合在集合s 上定义运算O 为：Ao% = A ，其中R=|i — 〃,i = 0,l,2,3,4J =（M,2,3,4.那么满足条件（4 0^）0 A = A/A,. G S, 4 € S)的有序数对(i, j)共有()B. Vxe 7?,| X+l|<0 D. V XG R,\X4-l|<0C. y = x 2D. y = log, xB. （Y>,-2）,（0,*o ） D. （Y,0）,⑵ S 那么勺+冬+。

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

2023-2024学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知向量，，若向量，则()A.2B.C.8D.3.在中，，，，则()A. B. C. D.4.平面向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为l，则()A.B.0C.1D.25.已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中不正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，则的取那值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A.B.C.D.8.已知函数和，的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域.理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号.如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数的对称轴为C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.复数，则______.12.已知函数若非零实数a，b，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是______，______只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______，表面积为______.14.在中，，，，则______，______.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是，其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。