课时提升作业 三 1.1.3四种命题间的相互关系

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系一、选择题1.若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A.若x≤y，则x2≤y2B.若x>y，则x2<y2C.若x2≤y2，则x≤yD.若x<y，则x2<y22.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个4.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数，一定能被6整除B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除5.有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.真命题的个数是()A.1B.2C.3D.46.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m⊥α，β⊥α，则m∥βC.若l⊥m，l⊥n，则m∥nD.若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m7.有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.③④二、填空题8.“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为________________________.9.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号).10.命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个.三、解答题11.判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假.12.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)ac ＞bc ⇒a ＞b ；(2)已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；(3)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实数根.13.给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.答案精析1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.C2.B3.B4.B5.B[①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确.]6.D[当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.]7.C[命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题.]8.若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.9.②和③①和③①和②10.2解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题.11.解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.12.解(1)原命题：若ac＞bc，则a＞b.逆命题：若a＞b，则ac＞bc.否命题：若ac ≤bc ，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则ac ≤bc .(2)原命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，且x ＝2.逆命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝3且x ＝2，则y ＝x ＋1.否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠x ＋1，则y ≠3或x ≠2.逆否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠3或x ≠2，则y ≠x ＋1.(3)原命题：若m ＞14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根. 逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实数根，则m ＞14. 否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实数根. 逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实数根，则m ≤14. 13.解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝{a |a >13或a <－1}； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝{a |a >1或a <－12}. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是{a |a >13或a <－12}. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1； 当甲假乙真时，－1≤a <－12. 所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为{a |13<a ≤1或－1≤a <－12}.。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系一、选择题1．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( ) A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1 B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 C解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2<12”，故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12”． 2．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( )A ．若p ，则(綈q )B ．若(綈q )，则(綈p )C ．若(綈q )，则pD ．若q ，则p考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 C3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题 考点 四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 A4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 C解析命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．6．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 C解析特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b 都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.二、填空题9．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若x，y不全为零，则xy≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．10．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为______________，是________命题(填“真”或“假”)．考点四种命题的相互关系题点逆否证法答案已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0真11．给定下列命题：①“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”的逆否命题；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题．其中真命题的序号是________．考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 ①解析 显然①为真；②为假；对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④中，“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．12．命题“如果a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0，那么a ＋b ≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 1解析 a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0化简得(a ＋b －1)(a ＋b ＋2)≠0，即a ＋b ≠1且a ＋b ≠－2. 命题“如果a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0，那么a ＋b ≠1”的逆命题为“如果a ＋b ≠1，那么a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0”，为假命题，a ＋b ＝－2也可以使a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a ＋b ＝1，那么a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2＝0”，真命题．三、解答题13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 A解析 a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A.15．设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”．因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2. 所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．。

1.1.3 四种命题间的相互关系同步测控1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( )A ．若a ∉A ，则b ∉BB ．若a ∈A ，则b ∉BC ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∈A2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34B ．若3a 4a ≠34，则a >0C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0D ．若3a 4a ＝34，则a >0 3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．课时训练一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 22．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的() A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．8．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．参考答案同步测控1．【答案】B2．【答案】D【解析】逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．【答案】若A ∪B ≠B ，则A B4．【答案】解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．课时训练一、选择题1．【答案】C【解析】由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．【答案】 D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．【答案】 D【解析】因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．【答案】 B【解析】命题p ：若x ，则y ，其逆命题q ：若y ，则x ，那么命题q 的否命题r ：若﹁y ，则﹁x ，所以p 是r 的逆否命题．所以选B.5．【答案】 B【解析】一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B 中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．【答案】C【解析】①②正确．二、填空题7．【答案】若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．【答案】②③9．【答案】②【解析】①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．三、解答题10．【答案】解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．【答案】解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．【答案】解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．。

课时作业 3一、选择题1．命题“若 ?p，则 q”是真命题，则以下命题必定是真命题的是()A．若 p，则 ?q C．若 ?q，则 p B ．若 q，则 ?p D．若 ?q，则 ?p分析：命题“若?p，则 q”的逆否命题为“若?q，则p”．答案： C2．有以下四个命题：① “若 x2＋y2＝0，则 xy＝0”的否命题；② “若 x>y，则 x2>y2”的逆否命题；③ “若 x≤3，则 x2－x－ 6>0”的否命题；④ “对顶角相等”的抗命题此中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3分析：(1)该命题的否命题与其抗命题有同样的真假性，其抗命题为“若 xy＝0，假则 x2＋ y2＝ 0”，为假命题．该命题与其逆否命题拥有同样的真假性．而该命题为假命题(如 x＝ 0，(2)假y＝－ 1)，故其逆否命题为假命题．(3)假该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题．(4)假该命题的抗命题是“相等的角是对顶角”，明显是假命题.答案： A3．以下说法中正确的选项是()A．一个命题的抗命题为真，则它的逆否命题必定为真B．“a>b”与“a＋ c>b＋ c”不等价C．“a2＋ b2＝ 0，则 a， b 全为 0”的逆否命题是“若 a， b 全不为 0，则 a2＋ b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的抗命题必定为真分析：利用四种命题真假性关系可知 D 正确．答案： D4． [2014 ·南教课质量检测济]以下相关命题的说法正确的选项是()A.命题“若 xy＝ 0，则 x＝ 0”的否命题为：“若 xy＝ 0，则 x≠ 0”B.若“ x＋ y＝ 0，则 x， y 互为相反数”的抗命题为真命题C.命题“随意的 x∈ R，都有 2x2－1<0 建立”为真命题D.命题“若 cosx＝ cosy，则 x＝y”的逆否命题为真命题分析： A 不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；B 正确，命题“若 x＋ y＝0，则 x， y 互为相反数”的抗命题为“若 x， y 互为相反数，则x ＋ y＝ 0”，明显建立；C 不正确，当x＝ 1 时， 2x2－ 1<0 不建立；D 不正确，由于命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： B二、填空题5．在原命题“若 A∪B≠B，则 A∩B≠A”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．分析：原命题为真命题，其抗命题为“若A∩B≠A 则A∪B≠B”，否命题为“若 A∪ B＝B 则 A∩B＝ A”，逆否命题为“若 A∩B＝ A 则 A∪B＝ B”，全为真命题．答案： 46．以下命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．此中互为抗命题的有__________ ；互为否命题的有__________ ；互为逆否命题的有__________ ．分析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依照四种命题间的关系，便不难判断．答案：③和⑥，②和④①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，抗命题为真命题的是__________( 把切合要求的命题序号都填上)．分析：①中的抗命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 做模型来察看：上底面 A 1B 1C 1D 1 中任何三点都不共线，但 A 1、 B 1、 C 1、 D 1 四点共面，因此①的抗命题不真；②中的抗命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点． 由异面直线的定义知， 成异面直线的两条直线不会有公共点，因此②的逆命题是真命题．答案：②三、解答题8．命题： 已知 a 、b 为实数， 若对于 x 的不等式 x 2＋ax ＋ b ≤0 有非空解集， 则 a 2－ 4b ≥0，写出该命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：抗命题：已知a 、b 为实数，若 a 2－ 4b ≥0，则对于 x 的不等式 x 2 ＋ax ＋ b ≤0有非空解集．22否命题：已知 a 、b 为实数，若对于 x 的不等式 x ＋ ax ＋b ≤0没有非空解集， 则 a －4b<0.22逆否命题：已知 a 、 b 为实数，若 a － 4b<0，则对于 x 的不等式 x ＋ ax ＋ b ≤0没有非空解集．原命题、抗命题、否命题、逆否命题均为真命题．9． [2013 ·阳模拟咸 ]给出命题 “已知 a ，x 为实数，若对于 x 的不等式 x 2＋ (2a － 1)x ＋ a 2－ 2≤0的解集不是空集，则 a ≤3”，判断其逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假：由于 a ， x 为实数，且对于x 的不等式 x 2＋ (2a － 1)x ＋ a 2－ 2≤0的解集不是空集，则22≥0，解得 9 ＝ (2a － 1) － 4(a － 2) a ≤4.9当 a ≤ 建即刻， a ≤3恒建立，因此原命题为真命题．4又由于原命题与其逆否命题等价，因此逆否命题是真命题．。

1.1.3四种命题间的相互关系
【自主学习】观察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1.命题（1）与命题（2）（3）（4）之间是什么关系？你知道上述四个命题中任意两个命题之间的相互关系吗？
2．四种命题间的真假性关系
（1）判断上述四个命题的真假，并思考它们的真假性是否也有一定的相互关系？
（2）以“若2
-3+2=0x x ，则=2x ”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假.
（3）再分析其他一些命题，并思考四种命题的真假性间有什么规律？
一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间的相互关系如下：
原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的真假性，有而且仅有下面四
种情况：
【自主检测】 若p ，则q
下列说法正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【典型例题】
例：证明：“若222430a b a b -+--≠,则1a b -≠.”为真命题.
【目标检测】
1．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；。

1.1.3 四种命题间的相互关系基础巩固训练一、选择题1.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab2.若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是()A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定3.在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.关于原命题“在△ABC中,若cos A=2sin B sin C,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.46.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3二、填空题7.下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).三、解答题10.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假m>1时,mx2-x+1=0无实根.411.已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.能力提升一、选择题.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题1.给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤14中,真命题的个数是()A.3B.2C.1D.02.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题3.已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③4.已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题5.给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.三、解答题7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<1 4 .(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.参考答案基础巩固训练一、选择题1.【答案】C【解析】等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.【答案】B【解析】因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.3.【答案】A【解析】因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题. 4.【答案】B【解析】①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.【答案】C【解析】在△ABC中,若cos A=2sin B sin C,则-cos(B+C)=2sin B sin C,得cos B cos C+sin B sin C=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cos A=cos15°=4,sin B=sin15°=4,sin C=sin150°=12,2sin B sin C=4≠cos A.6.【答案】D【解析】由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题7.【答案】①②【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.8.【答案】②【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.9.【答案】已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.三、解答题10.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m>14,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m>14”,是真命题;否命题:“若m≤14,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤14”,是真命题.11.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-16<0,所以q:1<m<3.①p 真q 假:所以{m ≥2或m ≤−2,m ≥3或m ≤1,所以m ≥3或m ≤-2.②p 假q 真:所以{−2<m <2,1<m <3,所以1<m <2, 所以实数m 的取值范围为1<m <2或m ≥3或m ≤-2.能力提升训练一、选择题1.【答案】C【解析】由ab ≤(a+b 2)2得:a +b =1,则有ab ≤14,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab ≤14,则a +b =1不成立,反例a =b =0满足ab ≤14但不满足a +b =1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.【答案】A【解析】原命题“若a +b ≥2,则a ,b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a ,b 都小于1,则a +b <2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a ,b 中至少有一个不小于1,则a +b ≥2”,是假命题,如a =3,b =-2,满足条件,可是结论不成立.3.【答案】A【解析】根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.【答案】 C【解析】对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m ,当m >2时,Δ<0,所以二次函数f (x )=x 2-2x +m 开口向上,与x 轴无交点,所以x 2-2x +m >0的解集为R,正确.二、填空题5.【答案】①②【解析】①因为Δ=4-4(-k )=4+4k >0,所以是真命题.②否命题:“若a ≤b ,则a +c ≤b +c ”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.6.【答案】m >1【解析】若①真,②假,则{m ≥0,m >1,故m >1. 若①假,②真,则{m <0,0<m <1,无解. 综上所述,m 的取值范围是m >1.三、解答题7.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p 2+4q <0,得q <-p 2,所以p +q <p -p 2=-(p −12)2+14≤14,所以p +q <14. (2)逆命题:如果p ,q 是实数,p +q <14,则方程x 2+2px -q =0没有实数根.逆命题是假命题,如当p =1,q =-1时,p +q <14,但原方程有实数根x =-1. 8.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a ,b ,c ,显然命题p 和q 的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p 可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即c >b >a ,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即b >a >c ,同理由命题q 为真可得:a >c >b 或b >a >c ,又命题p 与q 均为真,可得b >a >c .故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.。

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课后提升训练三四种命题间的相互关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·太原检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.2.(2017·青岛高二检测)与命题“若x=1,则2x2-x-1=0”等价的命题是( )A.若x≠1,则2x2-x-1≠0B.若x=1,则2x2-x-1≠0C.若2x2-x-1≠0,则x≠1D.若2x2-x-1≠0,则x=1【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若2x2-x-1≠0,则x≠1.3.命题“若a=5,则a2=25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,假命题是( )A.原命题、否命题B.原命题、逆命题C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题【解析】选D.原命题为真,逆命题为假,逆否命题为真,否命题为假.4.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是( )A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.5.命题“若∠A=60°,则△ABC是等边三角形”的否命题“若∠A≠60°,则△ABC不是等边三角形”( )A.为假命题B.与原命题真假性相同C.与原命题的逆否命题真假性相同D.与原命题的逆命题真假性相同【解析】选D.否命题与逆命题是等价命题.6.(2017·石家庄高二检测)已知下列命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.7.给出命题:“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题的个数是( ) A.0 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为原命题为真,逆命题为假,故逆否命题为真,否命题为假.8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x ∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是( )A.①⑤B.②③C.③④D.②④【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”) 【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b ≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.答案:真假10.命题“若x≠1,则x2-1≠0”的真假性为________.【解析】可转化为判断命题的逆否命题的真假,由于原命题的逆否命题是:“若x2-1=0,则x=1”,因为x2-1=0时,x=〒1,所以该命题是假命题,因此原命题是假命题.答案:假三、解答题11.(10分)证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.【证明】将“若m2+n2=2,则m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若m+n>2,则m2+n2≠2”.由于m+n>2,m2+n2≥2mn,则2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2,则m2+n2≥错误！未找到引用源。