当前位置：文档之家 › 概率论与数理统计2.3

概率论与数理统计2.3

  • 格式：ppt
  • 大小：1.13 MB
  • 文档页数：50

下载文档原格式

  / 50

合集下载

概率论与数理统计目录

概率论与数理统计目录

概率论与数理统计目录一、随机事件及其概率1.1 随机事件的基本概念定义与分类事件的运算1.2 概率的定义与性质概率的公理化定义概率的基本性质1.3 古典概型与几何概型古典概型的计算几何概型的计算1.4 条件概率与独立性条件概率事件的独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式及其应用二、随机变量及其分布2.1 随机变量的概念随机变量的定义随机变量的分类2.2 离散型随机变量及其分布常见的离散型分布分布律与分布函数2.3 连续型随机变量及其分布常见的连续型分布概率密度函数与分布函数2.4 随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量的概念联合分布函数边缘分布3.2 多维离散型随机变量联合分布律边缘分布律3.3 多维连续型随机变量联合概率密度函数边缘概率密度函数3.4 条件分布离散型条件分布连续型条件分布3.5 随机变量的独立性独立性的定义独立性的判定与性质四、数字特征4.1 数学期望数学期望的定义与性质数学期望的计算4.2 方差方差的定义与性质方差的计算4.3 协方差与相关系数协方差的定义与性质相关系数的定义与性质4.4 矩与协矩阵矩的定义与计算协矩阵的定义与计算五、大数定律与中心极限定理5.1 大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律5.2 中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理德莫佛尔-拉普拉斯中心极限定理六、数理统计的基本概念6.1 总体与样本总体的定义与性质样本的定义与性质6.2 统计量与抽样分布统计量的定义与性质常见的抽样分布七、参数估计与假设检验7.1 参数估计点估计区间估计7.2 假设检验假设检验的基本概念单侧检验与双侧检验正态总体的假设检验八、回归分析与方差分析8.1 回归分析一元线性回归多元线性回归回归模型的检验与预测8.2 方差分析单因素方差分析双因素方差分析方差分析的应用。

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。

在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。

本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。

2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。

•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。

•大数定律和中心极限定理的概念和应用。

2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。

•分位数和分位点的概念和计算方法。

•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。

•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。

2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。

•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。

•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。

2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。

•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。

3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。

•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。

•中心极限定理在抽样分布中的应用。

3.2 参数估计•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。

•点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。

•置信区间的定义和计算方法。

3.3 假设检验•假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。

•假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。

•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。

概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第2章 随机变量

概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第2章 随机变量

概率论与数理统计
解 ：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则X~ N(1100,502)，
Y~ N(1150,802).
（1）依题意要比较概率
的大小,
两个概率如下：
概率论与数理统计
（2）依题意要比较概率 两个概率如下：
的大小,
比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。
04
第4节 随机变量函数的分布
如果x0为f (x)的连续点，有
f (x)在 x0处的函数值 f (x0)反映了概率在 x0 点处的“密集程度”， 而不表示X在 x0 处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量 为1，概率密度相当于各点的质量密度。
（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数
（注意：反之不然）。X 取一个点a的概率
称为随机变量X的分布函数。
概率论与数理统计
函数分布的性质
证明：
概率论与数理统计
概率论与数理统计
由概率的 连续性得：
概率论与数理统计
例题 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球，
求取出的三个球中的白球数的分布函数.
解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。 而且由古典概率可算得
当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故 又称为
位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。
f (x)
f (x)
0.5
1
O
h h 1
x
O
越小，X 落在 附近的概率越大。
1 2

x
概率论与数理统计
pk p1 p2 … pk…

刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案

刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案
1 3
解: 知识点： P43均匀分布函数及其概率密度函数。 由题意知, X ∼ U (2, 5), 从而， X 的概率密度函数为 { 1 , x ∈ (2, 5); 3 f (x) = 0, 其他.
2 X 落在(3, 5]之间的概率为 3 ，
f (x) dx √ c dx 1 − x2
X 落在(2, 3]之间为 1 3 从而， 至少有两次观测值大于3的概率为 P = = = 19. 题目见课本P57. 解: 知识点： P24伯努利概型、 P37二项分布概念、 P45指数 分布及其概率密度函数。 X 表示顾客在某银行窗口等待服务的时间。 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。 由于他一个月去银行5次 1 2 2 3 2 · ( )3 C3 · ( )2 · + C3 3 3 3 4 8 + 8 27 20 27
3 从5只球中取出3只， 取出的总数为C5 。
= 1，
从而得到， a = 1。 (2)由离散概率分布的性质可知 ∑∞ a k=1 2k = 1， 因此有 a·
1− 1 2
1 2
由题知，X 表示所取出3只球中的最大号码，所以X 的可 能取值为分别为3, 4, 5。 当X = 3时， 其它两个球只能是1, 2, 故 P (X = 3) =
由于某人的成绩为78分因此高于78分人数的概率为px781???781?700276?789992002909令p1为某单位的录取率又由于某单位招聘155人有526人报名因此52602947进一步由于px7802909p102947录取率为p1155故此人能够被录取
概率论与数理统计课后习题
第 2 章
=
3 10
当X = 4时， 其它两个球只能是从1, 2, 3, 4中任取2个， 故 C2 6 P (X = 5) = 4 = 3 C5 10 因此， X 的分布列为 X P 3. 题目见课本P56。 解: 知识点：P7古典概率定义、 P35超几何分布概念。 X 表示取出四只中所含次品的只数。 由于有3件次品， 则X 可能取值为 0, 1, 2, 3， 进而由古典概 率定义和超几何分布， 得 P (X = k ) =

概率论与数理统计2.3

概率论与数理统计2.3
P X 1 P X 2
m! m 0,1,2,3,...
1 2 e e 1! 2!
2
0 2 P X 0 e e 为一页上无印刷错误的概率. 0! 任取4页, 设 Ai 表示 “第 i 页上 无印刷错误”
8 P ( Ai ) e 2 P A1 A2 A3 A4 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P ( A4 ) e
贝努利试验: 只有两种对立结果的试 验. n 重贝努利试验: 一个贝努利试验独立重 复 n次 .
例 一批产品合格率是0.9，有放回的抽取三 件：每次一件，连续三次，求三次中取到的合 格品数X的概率分布
设在一次试验中事件A 发生的概率为p ( 0 p 1), 则在 n 重贝努利试验中事件 A恰好发生k 次的概率为 k k Cn p (1 p) n k
2
n 1
np
2
EX n(n 1) p np
例. 已知随机变量X~b(n,p)，EX＝6，DX＝4.2, 计算 P{X. 解 EX＝np＝6, 解得 DX=npq＝4.2 ,
ｑ＝0.7，ｐ＝0.3，ｎ＝20，
P{X P{X<5} = 1–P{X

例 一大楼有五个同类型供水设备。调查表明： 在任一时刻，每台设备被使用的概率为0,1. 求：在某时刻（1）恰有两台设备被使用的概率； （2）至少有三台设备被使用的概率； （3）最多有三台设备被使用的概率。
设有 X 台设备同时被使用
则 X ~ b(5 , 0.1)
例.设某车间有10台同型车床.如果每台车床的工作情况
例. 每个粮仓内老鼠数目服 从泊松分布, 若已知 一个粮仓内有一只老鼠 的概率是有两只老鼠 概率的两倍, 求粮仓内无鼠的概率 . 现有 10 个 这样的粮仓, 求有老鼠的粮仓不超过 两个的概率

《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案

《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案

第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)概率论与数理统计作业4（§2.1～§2.3）一、填空题b（其中k 1,2,...）可以作为离散型随机变量的概率分布.k(k 1)12. 同时掷3枚质地均匀的硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为.2-23. X~P(2)，则P(X 2) 0.594 1-3e1. 常数b=时，pk二、选择题设随机变量X是离散型的，则可以成为X的分布律0 x2x3x4x5 1 x1(A) （是任意实数）(B) pp1 p0.10.30.30.2 0.2e 33ne 33n(C) P{X n} (n 1,2,.....) (D) P{X n} (n 0,1,2,...)n!n!三、计算题1．一批零件中有9个合格品与3个废品。

安装机器时从中任取1个。

如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布。

解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数，P3kP91则X=0，1，2，3;P(X k) k 1P12.2．解：设X表示射击次数，则X=1，2，3;P(X.k) p 1 p1 k3．20个产品中有4个次品，（1）不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布；（2）放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布。

解：(1) 不放回抽样，设X表示样品中次品数，则X=0，1，2，3, 4;X~H(6,4,20)k4 kC4C16P(X k) 6C20.(1) 放回抽样，设X表示样品中次品数，则X=0，1，2，3, 4;X~B (6,0.2)k0.2 0.8 P(X k) C6k6 k.概率分布表如下概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 设X表示抽出产品的级数，写出它的概率函数. 解：X=1，2，3;一、填空题～§2.7）1.设随机变量X的密度函数0 x 1 xf(x) 2 x1 x 2，则P X 1.50其它0.875 ；PX 1.50 . 2. 设随机变量X的密度函数为1k 1 2 1 x 2f x x其它0则k 2 ．二、判断题1可否是连续随机变量X的分布函数，如果X的可能值充满区间：1 x2（1）, ；10 1. 解：不可以. 因F limx 1 x2（2）,0 .函数解：可以.110;F0 lim 1.x 1 x2x 01 x2且F(x)在,0 上单调非减，F lim1 ,x 0故令F x 1 x2可以是连续随机变量X的分布函数x 0 1三、计算题1．已知随机变量1）确定常数X只能取-1，0，1，2四个值，相应概率依次为c；__解：1, c .2c4c8c16c162）计算P(X 1|X 0)；P X 1 X 0 P X 1 解：P X 1X 0PX 0PX 1 PX 1 PX 21357，,,,2c4c8c16c概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸) 1=8 25.2c 8c 16c3）求X的分布函数并做出其图像x 8137 1 x 0 解：F x 200 x 137 30 1 x 2 37 1x 2 0x 1 1 x 12. 设离散型随机变量X的分布函数为F(x) 0.4 0.71 x 3，求X的分布列。

概率论与数理统计第二章

概率论与数理统计第二章

的球若干， 例2：设袋中有编号为 ，2，3，4的球若干，从中任意取出 ：设袋中有编号为1， ， ， 的球若干 一个，假设取到球的概率与球上的号码成反比，求取到球 一个，假设取到球的概率与球上的号码成反比，求取到球 的号码X的分布 的分布。 的号码 的分布。 解：X可以取值为 ，2，3，4。 可以取值为1， ， ， 。 可以取值为
P { X = 1} = 5 %
X P
0 95%
1 5%
两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布。 两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布。 随机变量所服从的分布 概率函数： 概率函数：P{X=xk}=pk k=1,2 0－1分布：只有 和1两个值的随机变量所服从的分布。 － 分布 只有0和 两个值的随机变量所服从的分布 分布： 两个值的随机变量所服从的分布。 概率函数： 概率函数：P{X=k}=pk(1-p) 1-k k=0,1
用随机变量表示事件 例1：某时间段内寻呼台收到的寻呼次数记作 。“收到 次 ：某时间段内寻呼台收到的寻呼次数记作X。 收到20次 寻呼” 寻呼” 可写成 {X=20}。 。 “收到的寻呼次数介于30到100之间”可写作{30<X<100}。 收到的寻呼次数介于 到 之间”可写作 } 之间 例2：从一大批产品中随机抽取一件，记该产品的寿命为 ：从一大批产品中随机抽取一件， Y(小时 则{Y>1500}表示“产品的寿命大于 小时),则 表示“ 小时” 小时 表示 产品的寿命大于1500小时”。 小时
−∞
−∞
0
2
∴ A= 3 . 8
(2)用概率密度函数定义求 用概率密度函数定义求
3 3 2 1 P(0≤ X<1) = ∫0 f ( x)dx = ∫0 ( 2 x− 4 x )dx = 2 ,

概率论与数理统计 2.3连续型随机变量

概率论与数理统计 2.3连续型随机变量

称X服从参数为 ,的正态分布或 高斯分布,记为 X～N( , 2) f(x) 1 (1)关于直线x 对称; 1 2 ( 2)最大值为 ; 2 ( 3)在x 处有拐点. o x 可求得X的分布函数为: ( t )2 x 1 2 2 F ( x) dt e 2
1 2

x

u2 2

du (x源自) (4) a<b, X～N( , 2) ,有: b a P(a X b) ( ) ( )

例7 设X～N(3,4),试求:
(1) P(2<X≤5) (2) P(2<X<7)
(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值
0
得 P(X=a)=0
故: (1) P(A)=0 A是不可能事件 (2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关 即: P(a<X≤b)=P(a≤X<b) =P(a<X<b) =P(a≤X≤b)
例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae－|x| , <x<+ 试求: (1)常数A (2) P(0<X<1) (3) X的分布函数
24
p P( X 10) 1 P( X 10)
1
10 0
1 e dx 1 e 5

x 5

x 5 10 0
| e
2
由于顾客每次去银行都是独立的，Y~B(5,p)
因此Y的分布律为
P (Y k ) C p (1 p )
k 5 k 5 k 2 5 k 2k
解: =3, =2
( x 3 ) 又 F ( x ) ( ) 2

概率论与数理统计习题答案(完整版)

概率论与数理统计习题答案(完整版)
中任取200个, 求: (1) 恰有90个次品的概率; (2) 至少有2 个次品的概率.
n1 C , 90 110 C400 C1100 所以, P1＝n1/n＝ 200 C1500
解 (1) n＝ C
200 1500
90 400
C
110 1100
(2) P2=1－P{至多有一个次品} =1－P{没有次品}－P{恰有一个次品}
(2) 一个人的血型与两种抗体都发生作用的概率.
解 由已知可得: 一个人血型是AB型血的概率为0.04. (1) PA=0.34+0.04=0.38, PB=0.12+0.04=0第35页)
1. 已知随机事件A, B满足P(AB)=P(A B), 且P(A)=p,
3 1 2 n 1 2 n 1
A A ( A A ) ( A A A ) ( A A A A
A1 A2 A1 A3 A2 A1 An An1 An2 A1
)
3. 在某班学生中任选一个同学,以 A表示选到的是男同
学, B表示选到的人不喜欢唱歌, C表示选到的人是运动员.
1. 某城市共发行三种报纸A, B, C, 已知城市居民订购
A的占45%, 订购B的占35%, 订购C的占30%, 同时订购A
与B的占10%, 同时订购A与C的占8%, 同时订购B与C的占 5%, 同时订购A, B, C的占3%, 求下列事件的概率: (7) 至多订购一种报纸; P{至多订购一种报纸} ＝P{不订购任何报纸}＋P{只订购一种报纸} =0.1＋0.73＝0.83 或 P{至多订购一种报纸} 或 =1－P{正好订购二种报纸}－ P{订购三种报纸} =1－0.14－0.03＝0.83

概率论与数理统计2_3连续型随机变量

概率论与数理统计2_3连续型随机变量

《概率统计》
返回
下页
结束
若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由

f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
《概率统计》
返回
下页
结束
例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss） 分布,记作 X～ N（μ,σ2）
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)

魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答

魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节

《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节

第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计第二章_OK

概率论与数理统计第二章_OK
要求随机变量 Y 的分布．
2021/9/5
35
(一)、离散型随机变量的函数
设 X 是离散型随机变量，其分布律为
P X xn pn n 1, 2,
X
x1
x2 ， xn
或
P
p1 p2 ， pn
Y 是 X 的函数： Y g X ，则Y 也是离散型随机变
量，它的取值为
y1， y2 ， ， yn ，
所不具备的．
⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
2021/9/5
34
§2.4 随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数， Y g X ,则Y
也是一个随机变量． 当 X 取值 x时，Y 取值 y gx
本节的任务：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y gX ，
35
70
126
252
252
252
252
252
252
例2 从一批次品率为p的产品中，放回抽样，直到抽到次 品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数X的分布律。
分析：若记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
{ X=k }对应着事件 A1 A2 Ak1 Ak
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
X
o
F (x2 ) F (x1).
x1
x2 x
2021/9/5
12
2. 分 布 函 数 的 性 质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以看出， 分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．

概率论与数理统计2-3

概率论与数理统计2-3
∆x → 0 ∆x → 0
P ( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ x 2 f ( x )dx 1
x
3) 对任意 P(X=x)=0. 从而对任意实数 b, (a<b), 对任意x, 从而对任意实数a, P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X <与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
定理 : 设F ( x ), f ( x )分别为连续随机变量 X的分布函数 和密度函数 .若f ( x )在点x处连续 , 那么 f ( x ) = F ' ( x ). 由该定理和注8可知 可知,若 注9 由该定理和注 可知 若F(x)除至多可数个点外有连续 除至多可数个点外有连续 导数, 导数 那么密度函数 F ' ( x ) 在F ( x )有连续导数处 f ( x) = 任意取值 其他 由注9给出的密度函数可能会有一定差异 给出的密度函数可能会有一定差异,但不影响 注10 由注 给出的密度函数可能会有一定差异 但不影响 分布函数的表示和事件概率的计算. 分布函数的表示和事件概率的计算 这种现象是概率论研 究中的一种特色, 而称这样的密度函数是几乎处处相等的, 究中的一种特色 而称这样的密度函数是几乎处处相等的 对其简单说明如下: 设有随机变量X及函数 及函数g(x),h(x),若 对其简单说明如下 设有随机变量 及函数 若 P ( X ∈ { x : g( x ) = h( x )}) = 1, 几乎处处相等. 称g(x),h(x)几乎处处相等 几乎处处相等
华东师范大学统计系
概率论与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
3 几个常用的连续型分布 1) 均匀分布 设连续型随机变量X具有密度函数 设连续型随机变量 具有密度函数 1 b− a − 1 b− a , a ≤ x ≤ b, f ( x) = 其他 , 0, a b 则称X在区间 在区间[a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布. 则称 在区间 b]上服从均匀分布 记作X ~ U (a , b ) F ( x) 分布函数为： 分布函数为： 0 , 1 x < a,

第6讲(连续型随机变量与随机变量的分布函数)解析

第6讲(连续型随机变量与随机变量的分布函数)解析
P{X 1} P{X 1} 1 1 5；
326
当x 2 时，
F (x) P{X x} P{X 1} P{X 1} P{X 2} 1 1 1 1. 326
2 k(4x 2x2 ) d x 1，
0
所以
k(2x2 2 x3 ) 2
1
30
即 8k 1 3
所以 k 3 .
8
⑵ P {1 X 3}
3
f (x)d x
1
2 3 (4x 2x2 ) d x 30 d x
18
2
1 2
1
P {X 1} f (x) d x
0
0dx
1 3 (4x 2x2 ) d x 1
e , 2 2 x
2
其中μ和σ都是常数，σ>0，
则称X服从参数为、 2的正态分布，
记作 X ~ N(, 2) (Normal)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
f (x)
Ⅱ.性质
1
( x )2
e 2 2
2
1 f(x) 以 x =μ为对称轴；
2 f(x)在x=μ处取最大值 1 ；
f(x)与 x 轴所围 面积等于1.
0
(3) 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.
即：P{X a} 0, a为任意给定值. 由于P{X a} P{a x X a}
a
f (x) d x ax
则0 P{X a} lim a f (x) d x 0. x0 ax 故P{X a} 0.
例5 公共汽车车门的高度是按成年男性与车 门顶头碰头机会在0.01以下来设计的. 设某地 区成年男性身高 (单位: cm) X～N(170, 7.692), 问车门高度应如何确定?

概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2) 123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4) 123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5) 123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+= （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品” 则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B 分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
23
概率论与数理统计
秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精度是取 例3 秒表最小刻度值为 秒 最近的刻度值, 最近的刻度值 求使用该表计时产生的随机误差 X 的 d.f. , 并计算误差的绝对值不超过 并计算误差的绝对值不超过0.004秒 秒 的概率. 的概率 解 X 等可能地取得区间 上的任一值， 上的任一值，则 X ~ U[− 0.005 0.005] , x ≤ 0.005 100 f (x) = 0, 其 他
x<0 0, F( x) = −λ x 1− e , x ≥ 0
25
概率论与数理统计
f ( x)
0 F( x) 1
x
0
x
26
概率论与数理统计
对于任意的 0 < a < b,
P(a < X < b) = ∫a λe dx
b −λx
= F(b) − F(a)
应用场合
=e
−λa
−e
−λb
用指数分布描述的实例有： 用指数分布描述的实例有：
密度 长度 线段质量
f ( x)∆x 在连续型 理论中所起的作用与 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X = xk ) = pk在离散型 理论中所起的 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 作用相类似
10
概率论与数理统计
f (x)
o
x
要注意的是, 在某点处a的高 要注意的是 密度函数 f (x)在某点处 的高 在某点处 取值的概率. 但是, 度, 并不反映 X 取值的概率 但是 这个高度越 附近的值的概率就越大. 大, 则 X 取a附近的值的概率就越大 也可以说 附近的值的概率就越大 也可以说, 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点 附近的程度. 附近的程度
18
概率论与数理统计
a a ( 2) P{ − a < X < } = F( ) − F(−a) 2 2
1 1 a = + arcsin( ) − 0 2 π 2a
1 1 π 2 = + × = . 2 π 6 3
( 3) 随机变量 X 的概率密度为
1 π a 2 − x 2 , − a < x < a , f ( x ) = F ′( x ) = 其它 . 0,
9
∆x
概率论与数理统计
这一点的值, 故 X 的密度 f (x) 在 x0 这一点的值 恰好 是 X 落在区间 (x0 , x0 + ∆x] 上的概率与区间长 之比的极限. 这里, 度 ∆x之比的极限 这里 如果把概率理解为质 量, f (x)相当于线密度 相当于线密度. 相当于线密度
f (x0 ) ∆x ≈ P(x0 < X ≤ x0 + ∆x)
= ∫ f ( x) d x − ∫ f ( x) d x
−∞ −∞
∞
a
=∫
∞
−∞
f ( x)d x + ∫
−∞
a
f ( x)d x = ∫ f ( x) d x.
a
∞
④ 若 f ( x) 在点 x 处连续 , 则有 F ′( x) = f ( x).
5
概率论与数理统计
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量 连续型随机变量 的概率等于零.即 取 a 的概率等于零 即
的集合中无法找到身高很接近164厘米的人，这样， 厘米的人，这样， 的集合中无法找到身高很接近 厘米的人
6
概率论与数理统计
我们就认为此事件的概率为零。 我们就认为此事件的概率为零。如果我们讨论 选择身高在163厘米至 厘米之间的人时，情 厘米至165厘米之间的人时 厘米之间的人时， 选择身高在 厘米至 况与上面就不一样了，这时， 况与上面就不一样了，这时，我们计算的是随 机变量在一个区间而不是一点的值。 机变量在一个区间而不是一点的值。
0.004
[−0.005
0.005]
所以 P( X ≤ 0.004) =
−0.004
∫100dx = 0.8
24
概率论与数理统计
(2) 指数分布
若 X 的d.f. 为
λe−λ x , x > 0 f ( x) = 0, 其他
λ > 0 为常数
则称 X 服从 参数为 λ 的指数分布 记作 X ~ E(λ) X 的分布函数为
解 (1) 由 ∫
∞
−∞
f ( x ) d x = 1,
12
概率论与数理统计
得
x ∫0 kx d x + ∫3 (2 − 2 ) d x = 1, 解之得
3 4
1 k= . 6
1 ( 2 ) 由 k = 知 X 的概率密度为 6 x 0 ≤ x < 3, 6 , x f ( x ) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它.
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布 常作为各种“寿命” 常作为各种“寿命” 分布的近似
27
概率论与数理统计
指数分布的“无记忆性” 指数分布的“无记忆性” λ 则 命题 若 X ~Ｅ(λ),则 事实上
x
− ∞ < x < +∞
的连续点, 若x是 f(x)的连续点 则: 是 的连续点
F(x0 + ∆x) − F(x0 ) F′(x0 ) = lim ∆x→+0 ∆x
∫ = lim
∆x→0
x0 +∆x
x0
f (t)dt
P(x0 < X ≤ x0 + ∆x) = lim = f (x0 ) ∆x→+0 ∆x
P { X = a } = 0.
a + ∆x ∆x → 0
证明 P{ X = a } = lim ∫ a
f ( x ) d x = 0.
初看好象这个是令人吃惊的, 但当我们考虑一 初看好象这个是令人吃惊的 个特殊例子时它变得可以接受。 个特殊例子时它变得可以接受。我们来讨论一个 随机变量，它表示所有21岁以上人的身高 岁以上人的身高。 随机变量，它表示所有 岁以上人的身高。在任 意两个值中, 厘米之间, 意两个值中 即163.5 和164.5 厘米之间 甚至 163.99 和164.01 厘米之间 有无数个值 其中之一 厘米之间, 有无数个值, 厘米。随机选择一个人， 是164 厘米。随机选择一个人，但在含有很多人
16
概率论与数理统计
是连续型随机变量, 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量 所以 F ( x ) 连续 , 故有 F ( −a ) = lim F ( x ),
x → −a
F (a ) = lim F ( x ) ,
x→a
即
− a= A− πB A + B arcsin 2 a
概率论与数理统计
2.3 连续型随机变量的概率密度
2.3.1 连续型 r.v.的概念 的概念 定义 设 X 是随机变量 若存在一个非负 是随机变量, 可积函数 f ( x ), 使得
F(x) = ∫−∞ f (t)dt
x
− ∞ < x < +∞
其中F 其中 ( x )是它的分布函数 是它的分布函数 是它的概率 则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 是它的 密度函数( 简记为d.f. 密度函数 p.d.f. )，简记为 简记为
13
概率论与数理统计
由 F ( x) = ∫
x
−∞
f ( x)d x 得
0, x < 0, xx ∫ d x , 0 ≤ x < 3, 0 6 F ( x) = 3x x x ∫0 6 d x + ∫3 (2 − 2 ) d x , 3 ≤ x < 4, 1, x ≥ 4.
X ~ U(a,b)
20
概率论与数理统计
X 的分布函数为
0, x x − a F(x) = ∫ f (t) dt = , −∞ b − a 1
x < a, a ≤ x < b, x ≥b
21
概率论与数理统计
f ( x)
a F( x)
b
x
a
b
x
22
概率论与数理统计
1 d −c ∀(c, d) ⊂ (a, b) , P(c < X < d) = ∫ dx = c b−a b−a
= ∫ f ( x ) d x − ∫ f ( x) d x = ∫ −∞ −∞
x2 x1
x1
f ( x) d x
x2
x1
f ( x ) d x.
4
概率论与数理统计
同时得以下计算公式
P{ X ≤ a} = F (a) = ∫
a −∞
f ( x)d x,
P{ X > a} = 1 − P{ X ≤ a} = 1 − F (a )
15
概率论与数理统计
例2 设连续型随机变量 X 的分布函数为
x ≤ −a, 0, x F ( x ) = A + B arcsin , − a < x ≤ a , a x > a. 1, 求 : (1) 系数 A, B 的值; a ( 2) P {− a < X < }; 2 ( 3) 随机变量 X 的概率密度 .
= 0,
π a A + B arcsin = A + B = 1, 2 a
17
概率论与数理统计
解之得
1 A= , 2
1 B= . π
所以
x ≤ −a, 0, 1 1 x F ( x ) = + arcsin , − a < x ≤ a , a 2 π x > a. 1,