天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2

第一章 随机变量 习题一

1、写出下列随机试验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和

Ω= {

}1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

Ω= {

}Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，

如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。

Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x

(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x

其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度

(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =

“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。}

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、

10

( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …

2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系

(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

2

解: 互不相容:φ=AB ; 对立事件 : φ=AB )1( 且 Ω=⋃B A

3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件

(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB (3)A,B,C 中至少有一个发生 -C B A ⋃⋃ (4)A,B,C 都发生 -ABC (5)A,B,C 都不发生 - C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ⋃⋃ (7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ⋃⋃ (8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ⋃⋃

4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的号码为偶数”，事件B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.

(1)B A Y 必然事件 (2)AB 不可能事件

(3)C 取到的球的号码不小于5 (4)C A Y 1或2或3或4或6或8或10 (5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9

(7)C B Y 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.

(1)B B A B A Y Y = 成立

(2)B A B A Y = 不成立

(3)C B A C B A =Y 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立 (5)若B A ⊂，则AB A = 成立 (6)若φ=AB ，且A C ⊂，则φ=BC 成立 (7)若B A ⊂，则A B ⊂

成立

(8)若A B ⊂，则A B A =Y 成立

7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) 43211A A A A B =

(2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃=

3

(3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃= (4)至少有三个产品不是次品

4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=

8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)()()F E F E Y I Y (2) ()()()

F E F E F E Y I Y I Y （3）()()

G F F E Y I Y 解 :(1) 原式 ()()()()

E F F F E F E E E ==I Y I Y I Y I (2) 原式 ()()()()

E F F E F F E F E F E I Y I Y I Y I Y === (3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E I Y I Y I Y I Y I ==

9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=⊂AB P B A

(2)3.0)(,==⋃AB P S B A

10. 设 事 件 A ， B ， C 分 别 表 示 开 关 a ， b ， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = A B C Y ；(2) D = ()C B A Y 。

a

b

c

11、设A,B,C 是三事件，且81041======)(,)()(,)()()(AC P BC P AB P C P B P A P ，

求A,B,C 至少有一个发生的概率.

解:)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃

85

00810414141=+---++=

ABC AB ⊃Θ

0)()(0=<≤AB P ABC P

0)(=∴ABC P