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3.6线性控制系统的稳态性能分析

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自动控制原理(3-1)

自动控制原理(3-1)

动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；

线性系统的稳态误差(精)

线性系统的稳态误差(精)

3.6线性系统的稳态误差一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态，控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。

稳态误差必须在允许范围之内，控制系统才有使用价值。

例如，工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量，轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材，导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战，等等。

控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。

由于系统自身的结构参数、外作用的类型（控制量或扰动量）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）不同，控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量（希望的输出）一致，因而会产生原理性稳态误差。

此外，系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。

控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差。

对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。

通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。

本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法，包括计算稳态误差的一般方法，静态误差系数法和动态误差系数法。

3.6.1 误差与稳态误差控制系统结构图一般可用图3-29（a）的形式表示，经过等效变换可以化成图3-29（b）的形式。

系统的误差通常有两种定义方法：按输入端定义和按输出端定义。

⑴按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差，Hsss=（3-25）E-RC)()(s())(⑵按输出端定义的误差5758)()()()(s C s H s R s E -=' （3-26）按输入端定义的误差)(s E （即偏差）通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差)(s E '是“希望输出”)(s R '与实际输出)(s C 之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。

两种误差定义之间存在如下关系：)()()(s H s E s E =' (3-27) 对单位反馈系统而言，上述两种定义是一致的。

3.6 稳态误差

3.6 稳态误差

Er (s) e (s)R(s)
单位负反馈时:误差Er
(s)
偏差
(s)=
1
1 G(s)
R(s)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
扰动作用下的误差En(s)
控制器
N(s)
R(s) G1((ss))
C(s)
G2(s(s)) •
H (s)
系统对扰动期望输出为零，扰动产生的输出端误差信号为
第三章 线性系统时域分析法
3.6 线性系统的稳态误差
3.6 线性系统的稳态误差
控制系统的性能
动态性能 稳态性能
稳态误差 ess
3.6 线性系统的稳态误差
• 由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差又称原理性 误差。 另外，制造误差、参数变动、非线性因数都可引起稳态误差。
本节只讨论系统原理性误差。 • 无差系统:在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统有差
误差：一般采用在输出端定义的误差，即期望输出与 实际输出之差
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
被控量的期望值Cr(t)
R(s)
(s) G(s)
C(s)
可知，框图中，偏差不为0 时，偏差产生作用，使得输出 量趋于期望值
H (s)
当 (s)
0时，C(s)
Cr (s)
1 H (s)
R(s)
可得对应等效框图中，误差位置：
R(s)
1
Cr (s) E(s)
H (s)
H (s)
C(s)
G(s)
误差和偏差的关系
E(s) Cr (s) C(s) 1 R(s) C(s)

第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据

第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1

第三章-线性系统的时域分析法(简)剖析

第三章-线性系统的时域分析法(简)剖析
的时间。
2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。
3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的
±2%或±5%）内所需的时间。
4）最大超调量σ%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，
通常用百分数表示：
% c(t p ) c() 100%
c()
动态性能指标定义1
超调量 % h(tp ) - h() 100%
2、稳态性能指标 通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用
下的稳态误差来描述稳态性能；
稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；
稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
ess
lim e(t)
t
3.2 一阶系统的时域分析
可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
R
+
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
K 9.12

3.6稳态误差分析

3.6稳态误差分析





s 0
s 0
s 0
系统的型别ν
ess
开环增益K 输入信号R(s)
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
1.阶跃输入
r (t ) R 1(t )
R lim s
s 0 ν s 0 ν
ess
ess
R 1 K
ν=0
ess
Rv K
0 0
∞
Ra K
0
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
R1 R2 R3 1 2 r (t ) R1 R2t R3t 叠加原理 ess 1 K p Kv Ka 2
例 2：系统结构图如图所示，已知输入r (t ) 2t 4t , 求系统的稳态误差。
称为零型系统 称为I型系统 称为II型系统 的系统不易稳定，也不多见。
当s→0时，G0(s)H0(s)→1
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
ess lim SEs lim sΦ e s Rs lim
s 0 s 0 s 0
系 统 型 别
静态误差系数 阶跃输入 r (t ) R p 1(t ) 斜坡输入r (t ) Rv t 位置误差essp
Kp
Kv
Ka
Rp 1 K p
速度误差 e ssv
Rv Kv
Ra Ka
0 I II III
K ∞ ∞ ∞
0 K ∞ ∞
0 0 K ∞
Rp 1 K

稳定误差分析

稳定误差分析

记为 ess 。即：
ess
lime(t) t
由系统误差的讨论和稳态误差的定义，可知稳态误差不仅和系统的特 性（系统的类型和结构）有关，而且和系统的输入(参考输入和扰动输入)信 号的特性有关。由系统的类型、结构或输入信号形式所产生的稳态误差称为 原理性稳态误差，而由非线性因素所引起的稳态误差称为附加稳态误差。本 节不涉及附加稳态误差的计算，只讨论原理性稳态误差。
e(t) T et /T T cost (T)2 sint
(T)2 1
(T)2 1
(T)2 1
稳态误差为：
ess
(t)
T (T ) 2
cost
1
(T)2 sint (T)2 1
三、稳态误差的计算（总结）：
R(s) B(s)
E(s) -
G1(s)
N (s)
+
C(s)
G2 (s)
H (s)
给定作用下的误差传递函数
需要指出的是，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。因此，在 计算系统的稳态误差之前，必须判断系统是稳定的。对于不稳定的系统，计 算稳态误差是没有意义的。
对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方 便的计算出：
ess
lim e(t) lim sE(s)
t
s0
使用上式的条件是有理函数 sE在(s) 右半s平面和虚轴上必
e (s)
1
1 G(s)
Ts Ts 1
r(t) 1(t) R(s) 1 s
ess
lim sE(s) lim s Ts 1
s0
s0 Ts 1 s
0
1 r(t) t R(s)
s2
ess
lim sE(s) lim s Ts 1

自动控制原理3.6 线性系统的稳态误差

自动控制原理3.6 线性系统的稳态误差
§3 — 6 稳态误差的分析计算
系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控 制精度的一种度量，它是控制系统设计中的一项重要 技术指标。 一、误差与稳态误差：
1、误差：被控量的希望值 c0(t )和实际值 c(t )之差：
(t) c0(t) c(t)
2、稳态误差：当 t 时系统误差的极限值：
二、给定输入下的稳态误差与静态误差系数：
1、阶跃
输
入下的esr与静
态位置误
差系数K
：
p
r(t) A 1(t)，R(s) A
s
esr
令K

p
lim sE(s)
s0

lim
s0
Gk
(s
lim
s0
)
1
s A
A
Gk s
esr
1
lim
As0
Gk
1 Kp
(
s)
0型：K p
ess

lim (t)
t
§3---6 稳态误差的分析计算
稳态误差的分析计算（续）
▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经 过足够长的时间，其瞬时响应已衰减到微不足道时， 稳态响应的期望值与实际值之差。因此，只有稳定 的系统讨论稳态误差才有意义。
●单位反馈系统的r(t)即为要求值：r(t) c0(t)

lim
s0
K
G0(s)

K

esr

A 1 K
1型：K p

lim
s0
K s
G0(s)


esr 0
1型以上：同1型一样ess 0

3-6 控制系统稳态误差的基本概念

3-6 控制系统稳态误差的基本概念
进行拉氏反变换得
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2

控制系统的稳定性分析实验报告

控制系统的稳定性分析实验报告

控制系统的稳定性分析实验报告引言控制系统的稳定性是指系统在扰动作用下，能否保持稳定运行的能力。

在实际应用中，对于控制系统的稳定性分析具有重要的意义。

本实验旨在通过实际实验，分析控制系统的稳定性，并对结果进行报告。

实验设备和方法设备本实验使用的设备如下：1.一台控制系统稳定性分析实验设备2.一台电脑方法1.将实验设备接通电源，等待设备启动完毕。

2.打开电脑，运行实验软件。

3.在实验软件中设置实验参数，包括控制系统的传递函数、采样时间等。

4.开始实验，并记录实验过程中的数据。

5.分析实验结果，得出控制系统的稳定性结论。

6.撰写实验报告。

实验结果与分析在本次实验中，我们选择了一个二阶惯性系统作为被控对象，传递函数为$G(s)=\\frac{1}{(s+1)(s+2)}$。

我们使用了PID控制器进行控制，并设置了合适的参数。

实验过程中，我们输入了一个单位阶跃信号，观察系统的响应。

通过记录实验数据并进行分析，我们得到了以下实验结果：1.系统的超调量为5%；2.系统的稳态误差为0.1；3.系统的调节时间为2秒。

根据实验结果，我们可以得出以下结论：1.系统的超调量很小，说明系统具有较好的动态性能；2.系统的稳态误差较小，说明系统具有较好的稳定性；3.系统的调节时间较短，说明系统的响应速度较快。

综上所述，实验结果表明控制系统具有较好的稳定性。

结论通过本次实验，我们通过实际实验和数据分析，得出了控制系统的稳定性结论。

实验结果表明控制系统具有较好的稳定性。

控制系统的稳定性是保证系统正常运行的重要指标，对于工程应用具有重要的意义。

参考文献无。

自动控制原理 第三章第5

自动控制原理 第三章第5
E(s) R(s) H(s)C(s)
2
（2）从输出端定义：
误差 E'(s) 等于系统希望输出量的希望值
Cr (s)与实际值C(s)之差。
E ' (s)
Cr
(s)
C(s)
1 H (S )
R(s)
C(s)
R(s)
1 Cr (s) H (s)
E(s)
G1 ( s)
N (s)
C(s)
G2 (s)
3
i 1
n
(Tj S 1)
j 1
S0 K S
K p
K
Kp
limG(s)H (s)
s0
G(0)H (0)
K s
Kp
K
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
s
s
Kv 0
Kv
K
Kv
0 1 1
0 1
Ka
lim sG(s)H (s)
s0
s2
K s
KKaa
0 K
1 2
都跟系统的型别有关，下面按系统型别分类
输入信号
r (t )
1 2
t2
,
sin t，试求系统的稳态误差。
解：
当r (t )
1 2
t 2时
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) G(s)
1
S3
1
1 TS
1 S2
1
S
1 T
反变换得：
e(t )
T
e2
1t T
T (t
T)
ess
lim e(t)
t
7
当r(t) sin t时，

自动控制原理第3章总结

自动控制原理第3章总结

一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2

03 自动控制原理—第三章(2)

03 自动控制原理—第三章(2)

一,稳态误差的定义
1. 系统误差ε(t)定义为:系统响应的期望值c0(t)与实际值c (t)之差,即: ε (t ) = co (t ) c (t ) ε (s ) = co (s ) c(s ) 通常以偏差信号 R ( s ) H ( s ) C ( s ) 为零来确定希望值,即:
R (s ) H (s )CO (s ) = 0
3.6 系统稳态性能分析
评价一个控制系统的性能时,应在系统稳定的前提 下,对系统的动态性能与稳态性能进行分析.如前所 述,系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标 来评价.而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价, 即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价. 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑 制扰动信号的能力和准确度.稳态误差主要与系统的 结构,参数和输入信号的形式有关.
上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号 种类和大小之间的关系,统称为系统静态误差系数. 4.控制系统的型别与无差度阶数 系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成,即:
G K (s) = K sν
∏ (τ s + 1)∏ (τ
i =1 n1 i k =1 n2 j j =1 l =1
2.传递函数: Gc(s)=Kp(1+τds) 若偏差正处于下降状态,则 d τ d e (t ) < 0 dt 说明比例微分控制器预见到偏差在减小,将产生一个适当大小的控制 信号,在振荡相对较小的情况下将系统输出调整到期望值. 因此,利用微分控制反映信号的变化率(即变化趋势)的"预报"作 用,在偏差信号变化前给出校正信号,防止系统过大地偏离期望值和 出现剧烈振荡的倾向,有效地增强系统的相对稳定性,而比例部分则 保证了在偏差恒定时的控制作用. 可见,比例—微分控制同时具有比例控制和微分控制的优点,可以根 据偏差的实际大小与变化趋势给出恰当的控制作用. PD调节器主要用于在基本不影响系统稳态精度的前提下提高系统的相 对稳定性,改善系统的动态性能.

自动控制原理3.6 控制系统的稳态误差

自动控制原理3.6 控制系统的稳态误差
R(s) ＋ － B(s) H(s) Gc(s) ＋ ＋ Go(s) C(s)
反馈控制系统的一般结构图 R(s)——给定参考输入r(t)的象函数；C(s)——输出c(t)的象函数 N(s)——扰动量n(t)的象函数； B(s)——反馈量的象函数 Gc(s)——控制环节的传递函数； Go(s)——被控对象的传递函数 H(s)——反馈环节的传递函数
G c ( s )G o ( s ) H ( s ) B ( s ) H ( s )C ( s ) R(s) 1 G c ( s )G o ( s ) H ( s )
响应的期望值就是R(s)，所以系统给定误差的象函数
应是：
1 Er ( s) R( s) B( s) R( s) 1 Gc ( s )Go ( s ) H ( s ) 1 R( s) e ( s) R( s) 1 G(s)
由扰动输入信号引起的误差称为扰动稳态误差，
它反映了系统抑制扰动的能力。 对于恒值调节系统，给定的参考输入是不怎么变 化的，需要分析稳态响应在扰动作用于系统后所
受到的影响。因此，常以扰动稳态误差去衡量恒
值调节系统的稳态性能。
二、系统的类型
设系统的开环传递函数为：
Gc ( s ) K1 ( j s 1) s ( i s 1)
统的稳态误差总是不可避免的；

当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认为
系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统，而 稳态误差不为零的系统则称为有差系统； 应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的稳 态误差才有意义！！

一、误差与稳态误差
根据控制系统的一般结构，可定义系统的误差与稳态 误差。 N(s)
其中， G ( s ) Gc ( s )Go ( s ) H ( s ) 为开环传递函数。

实验三控制系统的稳定性分析

实验三控制系统的稳定性分析

实验三控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性是指系统在受到外部扰动或内部变化时，是否能保持原有的稳态或稳定的性能。

稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，它直接影响系统的性能和可靠性。

本实验将介绍控制系统稳定性的分析方法和稳定性判据。

一.控制系统的稳定性分析方法1.传递函数法：传递函数是表示控制系统输入与输出之间关系的数学表达式，通过分析和求解传递函数的特征根，可以判断系统的稳定性。

在传递函数中，特征根的实部和虚部分别代表了系统的衰减和振荡性能，根据特征根的位置可以得到稳定、不稳定和临界稳定等几种情况。

2.极点分布法：极点分布是指控制系统的特征根在复平面上的位置分布。

通过绘制极点图可以直观地判断系统的稳定性。

一般来说，稳定系统的极点都位于左半复平面，而不稳定系统的极点则位于右半复平面。

3. Nyquist稳定性判据：Nyquist稳定性判据是通过绘制Nyquist曲线来判断系统的稳定性。

Nyquist曲线是将控制系统的特征根的位置映射到复平面上形成的闭合曲线，通过分析Nyquist曲线的形状和位置可以判断系统的稳定性。

4. Routh-Hurwitz稳定性判据：Routh-Hurwitz稳定性判据是基于特征多项式的系数和正负性进行判断的方法。

通过构造一个特征方程的判别矩阵，可以判断系统的稳定性。

如果判别矩阵的所有元素都大于0，则系统是稳定的。

二.控制系统的稳定性判据1.传递函数法：通过求解传递函数的特征根，判断特征根的实部和虚部是否满足系统稳定的条件。

特征根的实部必须小于0，而虚部可以等于0。

2.极点分布法：绘制控制系统的极点图，判断极点是否位于左半复平面。

如果所有极点都在左半平面，则系统是稳定的。

3. Nyquist稳定性判据：绘制Nyquist曲线，通过分析曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。

如果曲线不经过原点或环绕原点的次数为0，则系统是稳定的。

4. Routh-Hurwitz稳定性判据：构造特征方程的判别矩阵，通过判别矩阵的元素是否都大于0来判断系统的稳定性。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章
令 K a = lim S 2 G ( s ) H ( s ) = lim s →0 s →0
K S v2 (3 70)
(3 69)
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
(3-70)
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
控制 对象
C(s) (s) G2 (s)
N (s) R(s) E(s) (s) G1 (s) H (s)
控制器
N (s) R(s) E(s) G1(ss) () H (s)
G2 (s)
C(s) G2 (s) (s)
输出对扰动 的传递函数
N(s) C(s)
图3-23 控制系统
G1 (s)
H (s)
G2 ( s ) C (s) = M N (s) = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
！
系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别
令
G0 ( s ) H 0 ( s ) = Π (Ts S + 1) Π (T j S + 1)
i =1 j =1
m
n ν
G ( s) H ( s) =
K Π (τ i s + 1) sν
m
Π (T j s + 1) j =1
i =1 n ν
, n≥m
s →0
令
K p = lim H ( s ) R ( s )
s →0
(3 66)
K p : 静态位置误差系数
Static position error constant
由式(3 63)知：

自动控制原理(第三版)(章 (3)

自动控制原理(第三版)(章 (3)
s1,2 jn
此时, s1, s2如图3-7(d)所示。
第三章 线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二 阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
C(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
(3.19)
应曲线如图3-2所示。图中 c() lim c(t) t
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种：
延迟时间td：指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时 间。
上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲 线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统, 上升 时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
调量σp可由下式确定:
p
c(tp ) c() c()
100 %
(3.8)
振荡次数N：在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞) 次数的一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时 间tr评价系统的响应速度；σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度； ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简 单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难 的。
第三章 线性系统的时域分析法
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C(s) 1 Ts 1

自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)

自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)

(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章 时域分析法 图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章 时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章 时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1
时
, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根， 即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中， ξ为阻尼比， ωn为无阻尼自然振荡频率， 它们 均为系统参数。
第3章 时域分析法
由式(3-21)可以看出， 二阶系统的动态特性 可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。 如果0<ξ<1， 则闭环极点为共轭复数， 并且位于左半s平面， 这时系统 叫做欠阻尼系统， 其瞬态响应是振荡的。 如果ξ=1， 那 么就叫做临界阻尼系统。 而当ξ>1时， 就叫做过阻尼系 统。 临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 如果ξ=0， 那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
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由表可知： 1．0型系统对单位阶跃输入信号的稳态误差为常数。 2．Ⅰ型系统单位阶跃输入信号的稳态误差为零。 3．Ⅱ型系统对单位阶跃输入信号和单位斜坡信号的稳态误差为零。 4．系统的型别越高，跟踪输入信号的能力越强。所以系统的型别
反映了系统对输入信号无差的度量，故又称为无差度。如Ⅰ、Ⅱ
型系统可以分别称为是对给定阶跃输入信号的一、二阶无差系统； 而0型系统可以称为是对给定阶跃输入信号有差系统。
对I型系统，有 对Ⅱ型系统，有
K a lim s
s 0
K s 2 K
则 则
K a lim s
s 0
s2
2
对Ⅱ型以上系统，有 K a lim s
s 0
K s3

则
ess 0
各静态误差系数的大小反映了系统限制或消除稳态误差 的能力，系数值越大，则给定输入时的稳态误差越小。 各种不同输入信号作用下的稳态误差见表
N (s) En s NE s N s Y (s) R( s) E (s) G2 s H s G1(s) G2(s) N s 1 G1 s G2 s H s B(s) sG2 s H s H(s) N s essn lim s En s lim s 0 1 G s G s H s s 0 1 2
s0 s0
令：
K p lim G s H s lim
K
A
对0型系统，有 则
K 1 lim s 0 s K K K p lim v lim 0 K s0 s0
s
s

A 1 K p
ess
A 1 K
K s
v
为有限值。
v 1
有差系统
【例3.6.1】系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时， 求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小 于0.1吗？ 解：只有稳定的系统计算稳态误差 R (s ) K (0.5 s 1) C (s ) - s ( s 1)( 2 s 1) 才有意义；所以先判稳
系统特征方程为 2 s 3 3s 2 (1 0.5 K ) s K 0 由劳斯判据知稳定的条件为：0 K 6
当 H ( s ) 1 ，即单位反馈时，上述两种定义是统一的，即
e (t ) ( t )
误差从系统输出端定义，在系统性能指标中经常使用， 但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义； 偏差从系统输入端定义，在实际系统中是可以量测的， 具有一定的物理意义。 我们将用偏差代替误差进行研究。除非特别说明，以后 所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。 因此，e(t)也常称为系统的误差响应，它反映了系统 在跟踪输入信号r(t)和抗干扰n(t)的能力。
s0

B lim s lim sG ( s ) H ( s )
s0 s0

B lim sG ( s ) H ( s )
s0
令：
K v lim sG ( s ) H s
s0
定义Kv为稳态速度误差系数，则有 ess 对0型系统，有 K v lim s s0
K s
0
B lim sG ( s ) H ( s )
对I型及I型以上系统，有
K p lim
s0
则
ess 0
无差系统
2、斜坡函数输入的稳态误差 B 设 r(t)=Bt，则有 R ( s ) 2 s s ess lim sE s lim R(s) s0 s0 1 G (s) H (s) B s B lim 2 s0 1 G s H s s lim s[1 G ( s) H ( s)]
1、误差与偏差
R( s) E (s) G1(s) B(s)
N (s)
Y (s)
G2(s)
H(s) 图3.25 控制系统的典型结构 （1）从输入端定义： e(t ) r (t ) b(t ) 系统的偏差被定义为给定输入信号与反馈信号之差。 （2）从输出端定义： (t ) y0((t) y (t ) r t) 系统的误差被定义为输出量的期望值和实际值之差。
H(s)
Er s E s R s 1 R s 1 G1 s G2 s H s s R s essr lim s Er s lim s 0 1 G s G s H s s 0 1 2
2）扰动稳态误差终值(当R(s)=0时)
【例3.6.2】当输入 R(T)= 4+ 6T +3T2 时,试分别求出两个系统 的稳态误差。
解: (a) 首先判断系统的稳定性
经判断，该系统稳定，则
G s 10 s s 4 2.5 s 0.25 s 1
1, K 2.5
K p ,
K V K 2.5,
Ct 2 ，则有 R( s )
C s3
ess lim sE s lim
s0
s 1 G (s) H (s)
C
R(s)
lim
s0
s
lim
s0
1 G s H s s3 C s 2 [1 G s H s ] C

lim s 2 G s H s
式中，K为系统的开环放大系数；v为系统的开环传 递函数中所含积分环节的个数。 工程中，控制系统根据υ的数值可分为下列类型： v =0时，称为0型系统。 v =1时， 称为I型系统。 v =2时， 称为Ⅱ型系统。
3.6.3 给定输入下的稳态误差
当只有输入r(t)作用时,系统的稳态误差称为给定稳态 误差,设系统的结构如图所示.
10 8
y(t)
6 3 4
1
4
r(t)
2 2 0 0 2 4 6 8 10
图中曲线1为斜坡输入信号 ，曲线2、3和4分别为K=1、6 和10时，系统的单位斜坡响应曲线。 K=1时，系统稳定，系统存在有限稳态误差。K=6时，系 统处于临界稳定状态，输出响应曲线围绕作等幅振荡。当 K>6时，系统不稳定，输出响应曲线发散。
Ka 0
当r1(t)=4时,A=4
ess1
A 1 Kp
0
6 2.5
当r2(t)=6t时,B=6
ess 2
ess 3
B Kv
C Ka

2.4
当r3(t)=
3t2 时,C=6

当输入为r(t)= 4+ 6t +3t2 ess ess1 ess 2 ess 3
s0
A K s
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j 1 l 1
m1
m2

2 2 k
A K 1 lim s0 s
s 2 k k s 1)
(T j s 1) (Tl 2 s 2 2 lTl s 1)
sv 定义Kp为静态位置误差系数，则有 ess
2
• 系统的稳态误差与系统本身的结构参数及外作用的形式 都有关系。
• 稳态误差（两种）： 由给定输入引起的稳态误差称为给定稳态误差； 由扰动输入引起的稳态误差称为扰动稳态误差。 当线性系统既受到给定输入作用同时又受到扰动作用时，
它的稳态误差是上述两项误差的代数和。
3.6.1 误差与稳态误差的定义
s0
令：
K a lim s 2 G ( s ) H s
s0
定义Ke为稳态加速度误差系数，则有 ess 对0型系统，有
K a lim s
s0 2
C lim s 2 G s H s
s0

C Ka
K s0
2
0
则
0
K
ess ess
ess C K
2、稳态误差的定义 当 t →∞ 时，系统误差称为稳态误差，用 ess 表示，即
ess lim e t
t
N (s)
利用拉氏变换的终值定理,可得
ess lim s E s
s 0
R( s) E (s) B(s)
G1(s)

Y (s)
G2(s)
1）给定稳态误差终值(当N(s)=0时)
R(s)
1、阶跃函数输入的稳态误差 lim sE s lim
s0 s0
s 1 G (s) H (s)
R(s)
lim
s0
s
1 G s H s s

A

A 1 lim G ( s ) H ( s )
s0
1 lim
系统同时受到输入信号和扰动量的作用时 sG2 ( s ) H ( s ) s ess lim sE s lim R ( s ) lim N ( s) s0 s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s )G ( s ) H ( s ) 1 2 1 2 表明稳态误差既与外作用 r(t) 和 n(t) 有关，也与系统的结构 参数有关。 由于根据终值定理算出的稳态误差是误差信号稳态分量 ess(t)在 t 趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差，它不能反 映ess(t)随时间t的变化规律，具有一定的局限性。
3.6 系统稳态误差分析
控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，通 常称为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重 要的技术指标。
稳态误差的分类：
原理性稳态误差：由于系统结构、输入作用形式和类型所产 生的稳态误差。 结构性稳态误差 或附加稳态误差：由于非线性因素所引起的系统稳态误差。 本节只讨论原理性稳态误差，不讨论结构性稳态误差。