高三数学一轮复习第2篇导数的定义与计算学案理

变化率与导数的概念、导数的计算复习目标1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；重点难点导数的定义，求导公式．理解导数的物理、几何意义，求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.基础过关1．导数的概念：函数y ＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式＝ ； ＝ ；(n∈Q) ＝ ， ＝ ＝ ， ＝＝ ， ＝ (2) 导数的四则运算＝ ＝＝ ，＝(3) 复合函数的导数设在点x 处可导，在点处可导，则复合函数在点x 处可导， 且＝ ，即.典型例题例1．求函数y=在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解 ∵Δy=)(x f )(x f 'x →x xy ∆∆)(x f ')(x f )(x f )(x f )(x f 'x y ')(x f )(x f '0x x =)(x f 0x )(x f 0x ),(00y x M )('C )('n x )(sin 'x )(cos 'x )('x e )('x a )(ln 'x )(log 'x a )('±v u ])(['x Cf )('uv )('v u )0(≠v )(x u θ=)(u f y =)(x u θ=)]([x f θ)(x f 'x u x u y y '⋅'='12+x 11)(11)(11)(202020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x .11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x x x x y x x x x x x变式训练1. 求y=在x=x 0处的导数. 例2. 求下列各函数的导数：（1） （2） 解 (1)∵ ∴y′ （2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 ==（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2+12x+11. 变式训练2：求y=tanx 的导数.解 y′ 例3. 已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=与过点P （2，4）的切线相切于点， 则切线的斜率k=|=. ∴切线方程为即 ∵点P （2，4）在切线上，∴4=即∴∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 小结归纳1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

第二章函数与导数第１１课时导数的概念与运算（对应学生用书（文）、（理）２8～２9页）考情分析考点新知１导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象，主要考查求导数的基本公式和法则.２对导数几何意义的考查几乎年年都有，往往以导数几何意义为背景设置成导数与解析几何的简单综合．１了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.２能根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.１．（选修２２P7例４改编）已知函数f（x）＝１＋错误!，则f（x）在区间[１，２]，错误!上的平均变化率分别为________．答案：—错误!，—２解析：错误!＝—错误!；错误!＝—２．２．（选修２２P１２练习２改编）一个物体的运动方程为s＝１—t＋t２，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在３s末的瞬时速度是_______m/s.答案：５解析：s′（t）＝２t—１，s′（３）＝２×３—１＝５．３．（选修２２P２6习题５）曲线y＝错误!x—cosx在x＝错误!处的切线方程为________．答案：x—y—错误!—错误!＝0解析：设f（x）＝错误!x—cosx，则f′错误!＝错误!＋sin错误!＝１，故切线方程为y—错误!＝x—错误!，化简可得x—y—错误!—错误!＝0．４．（选修２２P２6习题8）已知函数f（x）＝错误!，则f（x）的导函数f′（x）＝________．答案：错误!解析：由f（x）＝错误!，得f′（x）＝错误!＝错误!.５．（选修２２P２0练习7）若直线y＝错误!x＋b是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b＝________．答案：ln２—１解析：设切点（x0，lnx0），则切线斜率k＝错误!＝错误!，所以x0＝２．又切点（２，ln２）在切线y＝错误!x＋b上，所以b＝ln２—１．１．平均变化率一般地，函数f（x）在区间[x１，x２]上的平均变化率为错误!．２．函数f（x）在x＝x0处的导数设函数f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!__，无限趋近于一个常数A，则称f（x）在点x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在点x＝x0处的导数，记作f′（x0）．３．导数的几何意义导数f′（x0）的几何意义就是曲线f（x）在点（x0，f（x0））的切线的斜率．４．导函数（导数）若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f（x）的导函数，记作f′（x）．５．基本初等函数的导数公式（１）C′＝0 （C为常数）；（２）（x n）′＝nx n—１；（３）（sinx）′＝cosx；（４）（cosx）′＝—sinx；（５）（a x）′＝a x lna（a>0且a≠１）；（6）（e x）′＝e x；（7）（log a x）′＝错误!log a e＝错误!__（a>0，且a≠１）；（8）（lnx）′＝错误!.6．导数的四则运算法则若u（x），v（x）的导数都存在，则（１）（u±v）′＝u′±v′；（２）（uv）′＝u′v＋uv′；（３）错误!′＝错误!；（４）（mu）′＝mu′ （m为常数）．[备课札记]题型１平均变化率与瞬时变化率例１某一运动物体，在x（s）时离出发点的距离（单位：m）是f（x）＝错误!x３＋x２＋２x.（１）求在第１s内的平均速度；（２）求在１s末的瞬时速度；（３）经过多少时间该物体的运动速度达到１４m/s ？解：（１）物体在第１s内的平均变化率（即平均速度）为错误!＝错误!m/s.（２）错误!＝错误!＝错误!＝6＋３Δx＋错误!（Δx）２.当Δx→0时，错误!→6，所以物体在１s末的瞬时速度为6m/s.（３）错误!＝错误!＝错误!＝２x２＋２x＋２＋错误!（Δx）２＋２x·Δx＋Δx.当Δx→0时，错误!→２x２＋２x＋２，令２x２＋２x＋２＝１４，解得x＝２s，即经过２s该物体的运动速度达到１４m/s.错误!在F１赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝１0t＋５t２（s的单位为m，t的单位为s）．求：（１）t＝２0s，Δt＝0．１s时的Δs与错误!；（２）t＝２0s时的瞬时速度．解：（１）Δs＝s（２0＋Δt）—s（２0）＝１0（２0＋0．１）＋５（２0＋0．１）２—１0×２0—５×２0２＝２１．0５m.错误!＝错误!＝２１0．５m/s.（２）由导数的定义，知在t＝２0s的瞬时速度为v（t）＝错误!＝错误!＝错误!＝５Δt＋１0t＋１0．当Δt→0，t＝２0 s时，v ＝１0×２0＋１0＝２１0 m/s.答：t＝２0s，Δt＝0．１s时的Δs为２１．0５m，错误!为２１0．５m/s，即在t＝２0s时瞬时速度为２１0 m/s.题型２利用导数公式、求导法则求导例２求下列函数的导数．（１）y＝错误!＋x３；（２）y＝e x lnx；（３）y＝tanx；（４）y＝x错误!；（理）（５）y＝错误!.解：（１）y′＝—错误!x—错误!＋３x２.（２）y′＝e x错误!.（３）y′＝错误!.（４）y′＝３x２—错误!.（５）y′＝错误!—错误!.错误!求下列函数的导数．（１）y＝（２x２＋３）（３x—２）；（２）y＝错误!；（３）y＝错误!＋错误!；（４）y＝x—sin错误!cos错误!；（理）（５）y＝２x＋ln（１—５x）．解：（１）y′＝１8x２—8x＋9；（２）y′＝错误!；（３）y′＝错误!；（４）y′＝１—错误!cosx；（５）y′＝２x lnx＋错误!.题型３利用导数的几何意义解题例３已知函数f（x）＝错误!，且f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．解：（１）对函数f（x）求导，得f′（x）＝错误!＝错误!.∵f（x）的图象在x＝１处与直线y＝２相切，∴错误!即错误!∴a＝４，b＝１，∴f（x）＝错误!.（２）∵ f′（x）＝错误!，∴直线l的斜率k＝f′（x0）＝错误!＝４错误!，令t＝错误!，t∈（0，１]，则k＝４（２t２—t）＝8错误!２—错误!，∴k∈错误!.错误!（１）已知曲线y＝错误!x３＋错误!，求曲线过点P（２，４）的切线方程；（２）求抛物线y＝x２上点到直线x—y—２＝0的最短距离．解：（１）设曲线y＝错误!x３＋错误!与过点P（２，４）的切线相切于点A错误!，则切线的斜率k＝x错误!，切线方程为y—错误!＝x错误!（x—x0），即y＝x错误!x—错误!x错误!＋错误!.因为点P（２，４）在切线上，所以４＝２x错误!—错误!x错误!＋错误!，即x错误!—３x错误!＋４＝0，解得x0＝—１或x0＝２，故所求的切线方程为４x—y—４＝0或x—y＋２＝0．（２）由题意得，与直线x—y—２＝0平行的抛物线y＝x２的切线对应的切点到直线x—y—２＝0距离最短，设切点为（x0，x错误!），则切线的斜率为２x0＝１，所以x0＝错误!，切点为错误!，切点到直线x—y—２＝0的距离为d＝错误!＝错误!.１．（２0１３·大纲）已知曲线y＝x４＋ax２＋１在点（—１，a＋２）处切线的斜率为8，则a＝________．答案：—6解析：y′＝４x３＋２ax，由题意，k＝y′|x＝—１＝—４—２a＝8，所以a＝—6．２．（２0１３·南通一模）曲线f（x）＝错误!e x—f（0）x＋错误!x２在点（１，f（１））处的切线方程为________．答案：y＝ex—错误!解析：由已知得f（0）＝错误!，∴f（x）＝错误!e x—错误!x＋错误!x２，∴f′（x）＝错误!e x—错误!＋x，∴f′（１）＝错误!e—错误!＋１，即f′（１）＝e，从而f（x）＝e x—x＋错误!x２，f′（x）＝e x—１＋x，∴f（１）＝e—错误!，f′（１）＝e，故切线方程为y—错误!＝e（x—１），即y＝ex—错误!.３．（２0１３·南京三模）记定义在R上的函数y＝f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x0∈[a，b]，使得f（b）—f（a）＝f′（x0）（b—a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”，那么函数f（x）＝x３—３x在区间[—２，２]上“中值点”的个数为________．答案：２解析：f（２）＝２，f（—２）＝—２，错误!＝１，f′（x）＝３x２—３＝１，得x＝±错误!∈[—２，２]，故有２个．４．（２0１３·盐城二模）若实数a、b、c、d满足错误!＝错误!＝１，则（a—c）２＋（b—d）２的最小值为________．答案：错误!（１—ln２）２解析：∵ 错误!＝错误!＝１，∴b＝a２—２lna，d＝３c—４，∴点（a，b）在曲线y＝x２—２lnx上，点（c，d）在曲线y＝３x—４上，（a—c）２＋（b—d）２的几何意义就是曲线y＝x２—２lnx到曲线y＝３x—４上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x２—２lnx（x>0）平行于直线y＝３x—４的切线，∵y′＝２x—错误!，令y′＝２x—错误!＝３，解得x＝２，∴切点为（２，４—２ln２），该切点到直线y＝３x—４的距离d＝错误!＝错误!就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a—c）２＋（b—d）２的最小值为d２＝错误!（１—ln２）２.１．已知函数f（x）＝e x—f（0）x＋错误!x２，则f′（１）＝____．答案：e解析：由条件，f（0）＝e0—f（0）×0＋错误!×0２＝１，则f（x）＝e x—x＋错误!x２，所以f′（x）＝e x—１＋x，所以f′（１）＝e１—１＋１＝e.２．已知曲线C１：y＝x２与C２：y＝—（x—２）２，直线l与C１、C２都相切，则直线l的方程是____________．答案：y＝0或y＝４x—４解析：设两个切点的坐标依次为（x１，x错误!），（x２，—（x２—２）２），由条件，得错误!解得错误!或错误!从而可求直线方程为y＝0或y＝４x—４．３．已知函数f（x）＝xlnx，过点A错误!作函数y＝f（x）图象的切线，则切线的方程为________．答案：x＋y＋错误!＝0解析：设切点T（x0，y0），则k AT＝f′（x0），∴错误!＝lnx0＋１，即e２x0＋lnx0＋１＝0，设h（x）＝e２x＋lnx＋１，当x>0时h′（x）>0，∴h（x）是单调递增函数，∴h（x）＝0最多只有一个根．又h错误!＝e２×错误!＋ln错误!＋１＝0，∴x0＝错误!.由f′（x0）＝—１得切线方程是x＋y＋错误!＝0．４．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝错误!ax２＋bx（a≠0），设函数f（x）的图象C１与函数g（x）的图象C２交于两点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C１、C２于点M、N，问是否存在点R，使C１在点M处的切线与C２在点N处的切线互相平行？若存在，求出点R的横坐标；若不存在，请说明理由．解：设点P、Q的坐标分别为（x１，y１）、（x２，y２），且0＜x２＜x１，则点M、N的横坐标均为错误!.∴C１在点M处的切线斜率为k１＝错误!|x＝错误!＝错误!，C２在点N处的切线斜率为k２＝ax＋b|x＝错误!＝错误!＋b，假设C１在点M处的切线与C２在点N处的切线互相平行，则k１＝k２，即错误!＝错误!＋Ｂ．∵P、Q是曲线C１、C２的交点，∴错误!两式相减，得lnx１—lnx２＝错误!—错误!，即lnx１—lnx２＝（x１—x２）错误!，∴lnx１—lnx２＝错误!，即ln错误!＝错误!.设u＝错误!＞１，则lnu＝错误!，u＞１（*）．令r（u）＝lnu—错误!，u＞１，则r′（u）＝错误!—错误!＝错误!.∵u＞１，∴r′（u）＞0，∴r（u）在（１，＋∞）上单调递增，故r（u）＞r（１）＝0，则lnu＞错误!，这与上面（*）相矛盾，所以，故假设不成立．故C１在点M处的切线与C２在点N处的切线不平行．１．求函数的导数有两种方法，一是利用导数定义，这种方法虽然比较复杂，但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数，这是求函数导数的主要方法，其关键是记住公式和法则，并适当进行简便运算．２．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：（１）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（２）切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．（３）与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．错误![备课札记]。

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念及运算学案理052121102．10 导数的概念及运算[知识梳理]1．变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(选修A2－2P 6例1)若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)(选修A2－2P 18T 7)f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0处的切线的倾斜角为________． 答案3π4解析 f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，tan α＝－1，所以α＝3π4.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D 解析 y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2，∴a ＝3，故选D. (2)(2017·太原模拟)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 答案 y ＝2e x －e解析 ∵f (x )＝x e x，∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.题型1 导数的定义及应用典例1已知函数f (x )＝3x ＋1，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)Δx的值为( )A ．－13 B.13 C.23D ．0用定义法．答案 A解析 由导数定义，lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)Δx＝－lim Δx →0 f (1－Δx )－f (1)－Δx ＝－f ′(1)，而f ′(1)＝13，故选A.典例2已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2 f (x )－3x －2＋1的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4用定义法．答案 C解析 令x －2＝Δx ，x ＝2＋Δx ，则原式变为 lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＋1＝f ′(2)＋1＝3，故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1．导数定义中，x 在x 0处的增量是相对的，可以是Δx ，也可以是2Δx ，解题时要将分子、分母中的增量统一．2．导数定义lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)等价于lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝f ′(x 0)．3．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：冲关针对训练用导数的定义求函数y ＝1x在x ＝1处的导数．解 记f (x )＝1x，则Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝ (1－1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx )，Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴y ′|x ＝1＝－12.题型2 导数的计算典例求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ；(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ； (4)f (x )＝e－2xsin2x .用公式法．解 (1)解法一：y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.解法二：y ′＝(3x 3－4x )′·(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)解法一：f ′(x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ·(－2) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.解法二：∵f (x )＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x＝12cos2x ＋32sin2x ， ∴f ′(x )＝－sin2x ＋3·cos2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(4)f ′(x )＝－2e －2xsin2x ＋2e－2xcos2x＝－22e－2xsin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.方法技巧导数计算的原则和方法1．原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，见典例(1)；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导，见典例(3)； (6)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导，见典例(4)．冲关针对训练1．(2017·温州月考)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案 B解析 ∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝[2xf ′(1)]′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1.故选B. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝e 2xcos3x ； (2)y ＝ln x 2＋1.解 (1)y ′＝(e 2x)′cos3x ＋e 2x(cos3x )′ ＝2e 2xcos3x ＋e 2x (－3sin3x ) ＝e 2x (2cos3x －3sin3x )．(2)y ＝12ln (x 2＋1)，y ′＝12·2x x 2＋1＝x x 2＋1.题型3 曲线的切线问题角度1 求曲线的切线方程典例(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln (－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__________________．直接法．答案 y ＝－2x －1解析 令x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ， 又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝ln x －3x (x >0)， 则f ′(x )＝1x－3(x >0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)， 即y ＝－2x －1.角度2 求切点坐标(多维探究)典例(2017·石家庄模拟)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．利用方程思想方法．答案 (e ，e)解析 设P (x 0，y 0)，则y ＝x ln x 的导函数y ′＝ln x ＋1，由题意ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，易求y 0＝e.[条件探究] 试求典例中曲线y ＝x ln x 上与直线y ＝－x 平行的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1， 由题意知k ＝－1， 得x 0＝1e 2，y 0＝－2e 2，故所求的切线方程为 y ＋2e2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1e2，即e 2x ＋e 2y ＋1＝0.角度3 与切线有关的参数问题典例(2016·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.求a ，b 的值；用方程思想方法．解 因为f (x )＝x ea －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e. 方法技巧与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略1．求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，①曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；②求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.2．已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．见角度2典例．3．根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．见角度3典例．提醒：求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程时，点P (x 0，y 0)不一定是切点．冲关针对训练1．(2017·陕西五校联考)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3 答案 B解析 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.2．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 解 (1)∵y ′＝x 2， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4，∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为4x －y －4＝0.(2)设曲线与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y ＝x 20x －23x 30＋43.又∵P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0.x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，∴x 0＝－1，x 0＝2.故所求切线为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则k ＝x 20＝1，∴x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1,1)， ∴所求切线方程为3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0. 题型4 导数的几何意义的应用典例1(2017·资阳期末)若对∀x ∈[0，＋∞)，不等式2ax ≤e x－1恒成立，则实数a 的最大值是( )A.12B.14C ．1D ．2 数形结合法．答案 A解析 对∀x ∈[0，＋∞)，不等式2ax ≤e x－1恒成立， 设y ＝2ax ，y ＝e x－1，其中x ≥0；在同一坐标系中画出函数y ＝2ax 和y ＝e x －1的图象如图所示，则y ′＝e x，令x ＝0，得k ＝e 0＝1，∴曲线y ＝e x－1过点O (0,0)的切线斜率为k ＝1； 根据题意得2a ≤1，解得a ≤12，∴a 的最大值为12.故选A.典例2已知函数f (x )＝x 3＋x 2，数列{x n }(x n >0)的各项满足：曲线y ＝f (x )在(x n ＋1，f (x n ＋1))处的切线与经过(0,0)和(x n ，f (x n ))两点的直线平行．求证：当n ∈N *时，x 2n ＋x n ＝3x 2n ＋1＋2x n ＋1.导数法．证明 y ＝f (x )在(x n ＋1，f (x n ＋1))处的切线斜率为f ′(x n ＋1)＝3x 2n ＋1＋2x n ＋1，经过(0,0)，(x n ，f (x n ))的直线斜率为f (x n )－0x n ＝x 3n ＋x 2n x n＝x 2n ＋x n .∴x 2n ＋x n ＝3x 2n ＋1＋2x n ＋1.方法技巧此类问题注意导数与切线斜率的对应关系k ＝f ′(x 0)，同时应用数形结合思想．冲关针对训练1．P 为曲线y ＝ln x 上的一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上的一动点，则|PQ |最小值＝( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2 答案 C解析 直线与y ＝ln x 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ |最小，(ln x )′＝1x ，令1x ＝1得x ＝1，故P (1,0)，所以|PQ |min ＝22＝ 2.故选C.2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x答案 A解析 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2,0)处的切线方程为y ＝3x －6.以此对选项进行检验．A 选项，y ＝12x3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，故选A.1．(2016·山东高考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析 设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可．y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)·f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.2．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝2f (2－x )－x 2＋5x －5，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－3x ＋4D ．y ＝x －2答案 A解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋5x －5， ∴f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋5.令x ＝1，则f (1)＝2f (1)－1＋5－5，∴f (1)＝1.f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋5，∴f ′(1)＝1.∴切线方程为y ＝x .故选A.3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.答案 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.4．(2014·江西高考)若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (－ln 2,2) 解析[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．曲线y ＝lg x 在x ＝1处的切线的斜率是( ) A.1ln 10 B ．ln 10 C ．ln e D.1ln e答案 A 解析 因为y ′＝1x ·ln 10，所以y ′|x ＝1＝1ln 10，即切线的斜率为1ln 10.故选A. 2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在(1,3)上f (x )是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 答案 C解析 由于f ′(x )≥0⇒函数f (x )单调递增；f ′(x )≤0⇒函数f (x )单调递减，观察f ′(x )的图象可知，当x ∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A 错误； 当x ∈(1,3)时，函数先增后减，故B 错误； 当x ∈(4,5)时函数递增，故C 正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D 错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的函数图象可能是( )答案 B解析 由图可得－1<f ′(x )<1，切线的斜率k ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．∴结合选项可知选项B 符合．4．(2018·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4 D.π6答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x＋x答案 C解析 A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B ；C 选项中，f ′(x )＝2cos2x ，其图象关于y轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.8．(2017·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S＝12×54×10＝254.故选C. 9．(2017·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点，设f (x )＝ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得a >0，b >0，则－b 2a <0，4ac －b 24a ＝－b24a<0，则函数f (x )＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限，故选C.10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164答案 C解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0,0)是切点时，则k ＝f ′(0)＝2，直线l 方程为y ＝2x .又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. (2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋ 2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 联立①②解得x 0＝32(x 0＝0舍)，即k ＝－14，则直线l 方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，联立得x 2＋14x ＋a ＝0，由Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164，综上，a ＝1或a ＝164，故选C.二、填空题11．(2017·临川区三模)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是________．答案 －34解析 求导得：f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，即3cos x ＝sin x ， ∴tan x ＝3，则tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝61－9＝－34. 12．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋aex 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为________． 答案 ln 2解析 函数f (x )＝e x＋ae x 的导函数是f ′(x )＝e x－ae x .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x－ae x ＝－(e －x －a e x )，所以(e 2x＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2.13．(2018·金版创新)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，则不等式f (x )＜x ＋12的解集为________． 答案 (－∞，1)解析 据已知f ′(x )＞12，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12x ′＝f ′(x )－12＞0，即函数F (x )＝f (x )－12x在R 上为单调递增函数，又由f (1)＝1可得F (1)＝12，故f (x )＜1＋x 2＝12＋12x ，化简得f (x )－12x ＜12，即F (x )＜F (1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)． 14．(2017·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－ex－x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a－2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题15．(2017·云南大理月考)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点 (2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.16．(2018·福建四地联考)已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程；(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．21 解 (1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2，易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132. ∴f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程是y －132＝ 2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0. (2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ，得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32x 2＋5，∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点，易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3，当x <0或x >3时，g ′(x )>0，当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5，g (x )极小值＝12，∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.。

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节导数的概念及运算教学案含解析理第十节 导数的概念及运算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x 0，即f ′(x 0)＝＝.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx→0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c(c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ](g (x )≠0)．[常用结论]1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( )(2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194 B.174C.154D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x B [y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故选B.] 4．若f (x )＝x e x，则f ′(1)＝________.2e [f ′(x )＝e x ＋x e x ，则f ′(1)＝e 1＋e 1＝2e.]5．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程为________．x ＋πy －π＝0 [y ′＝x cos x －sin x x 2，则y ′|x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π，则切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.]导数的计算1．f (x )＝x (2 01800A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．eB [f ′(x )＝2 018＋ln x ＋1＝2 019＋ln x ，则f ′(x 0)＝2 019＋ln x 0＝2 019，解得x 0＝1，故选B.]2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.－4 [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2 所以f ′(x )＝2x －4，则f ′(0)＝－4.] 3．求下列函数的导数． (1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2ex －1.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(3)∵y ＝e －1x 2e x，∴y ′＝e －1(2x ·e x ＋x 2e x )＝ex －1(x 2＋2x )．[规律方法] 导数运算的常见形式及其求解方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导公式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数 如含f ′(x 0)，a ，b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导导数的几何意义►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．(1)D (2)x －y －1＝0 [(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，由此可得a ＝1，故f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)． 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1， 即x －y －1＝0.] ►考法2 求切点坐标【例2】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)D [由f (x )＝x 3＋ax 2得f ′(x )＝3x 2＋2ax ，记y 0＝f (x 0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝y 0，①x 0＋y 0＝0，②3x 20＋2ax 0＝－1.③由①②可得x 30＋ax 20＝－x 0，即x 0(x 20＋ax 0＋1)＝0.④ 由③可得3x 20＋2ax 0＋1＝0.⑤由⑤可得x 0≠0，所以④式可化为x 20＋ax 0＋1＝0.⑥ 由⑤⑥可得x 0＝±1，代入②式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1.即P (1，－1)或P (－1,1)．故选D.] ►考法3 求参数的值【例3】 (1)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1(1)C (2)B [(1)f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x＋(x 2＋ax －1)(e x)′ ＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－12＋1x，则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1，故选B.][规律方法] 导数几何意义的应用类型及求解思路 1已知切点A x 0，f x 0求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′x 0. 2若求过点P x 0，y 0的切线方程，可设切点为x 1，y 1，由求解即可.3已知斜率k ，求切点Ax 1，f x 1，即解方程f ′x 1＝k .,4函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于________． (1)(e ，e) (2)1 [(1)由题意得y ′＝ln x ＋1，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.]1．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．y ＝2x －2 [由题意知，y ′＝2x，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.1 [先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a 的值． ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.] 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．2x －y ＝0 [设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ex －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.8 [法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′| x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′| x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 20＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲导数的概念及运算学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数1．定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0，limΔx→0即f′(x0)＝＝ .2．几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考点2 基本初等函数的导数公式考点3 导数的运算法则若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．[必会结论]1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( )(3)′＝cos.( )(4)若(ln x)′＝，则′＝ln x．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．[课本改编]f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )B.A.D.10C.3答案D解析因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.故选D. 3．[2018·九江模拟]已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )B．2A．3D.1C．12答案B解析因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B. 4．[课本改编]若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝( )B．－1A．3D．－3C．1答案A解析因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.故选A. 5．[2018·秦皇岛模拟]函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是( )A．y＝2e(x－1)B．y＝ex－1D．y＝x－eC．y＝e(x－1)答案C解析f(1)＝0，∵f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，∴切线方程是y＝e(x－1)．故选C. 6．[2018·烟台诊断]已知曲线y＝asinx＋cosx在x＝0处的切线方程为x－y＋1＝0，则实数a的值为________．答案1解析因为y′＝acosx－sinx，y′|x＝0＝a，根据题意知a＝1.板块二典例探究·考向突破考向导数的基本运算例 1 求下列函数的导数：(1)y＝； (2)y＝x；(3)y＝x－sincos； (4)y＝ln x＋.解(1)y′＝′＝错误!＝－.(2)因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－.(3)因为y＝x－sinx，所以y′＝1－cosx.(4)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．【变式训练】已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为( )A．f(x)＝x2－ln xB．f(x)＝xexC．f(x)＝(3x2－4x)(2x＋1)D．f(x)＝＋x答案D解析A中f′(x)＝′＝x－，B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex，C中f(x)＝6x3－5x2－4x，所以f′(x)＝18x2－10x－4，D中f′(x)＝′＝－＋.分别将x＝1代入检验，知D符合．考向导数几何意义的应用命题角度1求切线的方程例 2 [2017·全国卷Ⅰ]曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．答案x－y＋1＝0解析∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.命题角度求切点的坐标2例 3 [2018·江西模拟]若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(e，e)解析设P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．命题角度3求参数的值例 4 已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )A．－1B．－3D．－2C．－4答案D解析∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.故选D.触类旁通求解曲线切线方程应注意的问题(1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．核心规律1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．满分策略1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点.板块三启智培优·破译高考易错警示系列3——求曲线的切线方程考虑不全面致错[2018·浙江杭州质检]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )A．－1或－B．－1或214D．－或7C．－或－错因分析(1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系．解析∵y＝x3，∴y′＝3x2.设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为：y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又点(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，得a＝－1.综上，a＝－1或a＝－.故选A.答案A答题启示1求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.() (2求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.)跟踪训练[2018·山西师大附中质检]已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x.所以切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )B．(1，－1)A．(0,1)D．(1,0)C．(1,3)答案C解析由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1,3)．2．[2018·海南文昌中学模拟]曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )B．y＝－3x－1A．y＝3x－1D．y＝－2x－1C．y＝3x＋1答案A解析依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.故选A. 3．[2018·大同模拟]已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，则a＝( )B．1A．0D．4C．2答案A解析∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′＝1，∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0. 4．[2018·陕西检测]已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( )B．2A．0D．3C．1答案B解析因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B. 5．[2018·金版创新]已知f(x)＝－x2＋2xf′(2017)＋2017ln x，则f′(1)＝( )B．6045A．2016D．6048C．2017答案D解析因为f′(x)＝－x＋2f′(2017)＋，所以f′(2017)＝－2017＋2f′(2017)＋，即f′(2017)＝2017－1＝2016.故f′(x)＝－x＋2×2016＋，f′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故选D. 6．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )B．2A．1D．－1C．5答案A解析由题意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，则k＝2.又曲线的导函数y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，b＝3，所以2a＋b＝1.故选A. 7．[2018·上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )A．1B.D.3C.答案B解析因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝. 8．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.答案1解析因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x －1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.9．直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________．答案(1,1)解析∵y＝＝x) ，∴y′＝x) ，令y′＝x) ＝，则x＝1，则y＝＝1，即切点坐标为(1,1)．10．[2018·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．答案－3解析由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5.①又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②由①②得所以a＋b＝－3.[B级知能提升]1．[2018·南昌模拟]已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )B．y＝2xA．y＝0D．y＝－2xC．y＝x答案B解析∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.2．曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝( )B．－1A．1D．－7C．7答案C解析f′(x)＝＝，∵f′(1)＝tan＝－1，即＝－1，∴a＝7.3．[2018·陕西模拟]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案(1,1)解析y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k＝1，又曲线y＝(x＞0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x＞0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．4．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．解(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①f′(x0)＝1－＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1. 5．[2018·苏州十校联考]设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，故解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.精品试卷令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.精品试卷。

高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。

导数的概念与运算一、知识回顾⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/()()000l i m x x x f x f x x --=→ ○2函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ○3函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =． ⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二、基本训练 1.(05浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) (A)18 (B)41 (C) 21 (D)12.若2)(0='x f ，则=--→k x f k x f k 2)()(000lim 3．如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y =f （t ）=t 3+3，（1）当t 1=4，△t=0.01时，求△y 和比值x y ∆∆； （2）求t 1=4时，t y t ∆∆→∆0lim 的值； （3）说明ty t ∆∆→∆0lim 的几何意义. 4．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy ∆∆为……………（ ） A .△x +x ∆1 +2 B .△x －x ∆1－2 C .△x +2 D .2+△x －x∆1 5．一质点的运动方程为s=5－3t 2，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为……（ ）A . 3△t +6B . －3△t +6C . 3△t －6D . －3△t －66.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。

高三数学理科复习42——导数的概念与运算【高考要求】：导数的概念(A);导数的几何意义(B); 导数的运算(B).【学习目标】：1了解导数的概念,理解导数的几何意义.2 会用基本函数的求导公式,函数的和,差,积,商的求导法则求函数的导数.3根据导数的几何意义求函数图像或曲线在一点处切线方程.【知识复习与自学质疑】1.一质点M 的运动方程为21S t =+（位移单位：,m 时间单位：s ），则质点M 在2()s 到2()t s +∆的平均速度S t∆∆＝ （/m s ），质点M 在2()t s =时的速度/2t S == （/m s ） 2.(1)(2log x )/= ; (2)/(3)x = ; (3)/(2cos )x -= __; (4)/(sin 2)x = _.3.已知函数()y f x =的图象经过点(2,5)P ，且图象在点P 处的切线方程是 210x y -+=，则/(2)f = .4.求下列函数在0x x =处的导数.（1）230()cos sin cos ,3f x x x x x π=•+=（2）20()sin (12cos ),246x x f x x π=--=（3）0()2x xf x x == （4）0()1f x x ==【例题精讲】 例1已知曲线ln 1(0)y a x a =-≠在点00(,)P x y 处的切线1l 过点(0,1)-.（1）对任意的0a ≠，证明点P 在一条定直线上；（2）若直线12l l ⊥，12l l P ⋂=，求2l 在y 轴上截距的取值范围.例2,若曲线311:C y x x=-+在点11(,)x y 处的切线1l ，与曲线2:ln C y x =在点22(,)x y 处的切线2l 互相垂直，求证：2x ≥【矫正反馈】1向气球内充气，若气球的体积以336(/)cm s π的速度增大，气球半径()()R t cm 增大的速度/()R t ＝ . 2若曲线2ln x x x y e e =-在点2x =处的切线垂直于直线ln10y x =-，则P 的坐标为 .3.已知曲线y =,B C 处的两条切线交于点1(0,)3A ，则AB AC •su u r su u r =____________. 4已知曲线22ln y x x =+在点0x x =处的切线l 斜率4k ≤，求切线l 的方程.【迁移应用】1若曲线sin y a x =与cos y a x =在交点P 处的两条切线互相垂直，则 a = .3设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ______.2设,A B 是曲线2:1C y x =++上不同的两点，且曲线C 在,A B 两点处的切线都与直线AB 垂直.(1)求证:直线AB 过点(1,-(2)求直线AB 的方程.4已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln ,2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==在公共点00(,)x y 处的切线相同，求证：()()(0).f x g x x ≥>。

专题4.1 导数的概念与运算1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算,凸显数学运算的核心素养；2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义,凸显数学运算、直观想象的核心素养.1.导数的概念 1.平均变化率函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为()()2121f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21y y y ∆=-，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2.函数()y f x =在0x x =处的导数定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0y x '=，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆.3.函数()f x 的导函数设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，且()0,x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作()0f x '．若函数()y f x =在区间(),a b 内任意一点都可导，则()f x 在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作()f x 的导函数，记作()f x '． 即()()()=limx f x x f x f x x∆→+∆-'∆.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；（2）()()()()()()+f x g x f x g x f x g x '''⋅=⎡⎤⎣⎦； （3）()()2()'()()'()()'0()()f x f x g x g x f x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦. （4）复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()(),y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 3.函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点()()00,x f x 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数).相应地，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.导数的概念及计算【方法储备】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.步骤为：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导公式和法则进行求导；③整理结果.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 3.对于比较复杂的函数求导时, 先化简再求导, 技巧为: ①连乘积形式, 先展开化为多项式的形式再求导； ②分式形式的先化为整式函数或者简单的分式函数再求导； ③对数形式的先化为和、差的形式, 再求导； ④根式形式先化为分数指数幂的形式, 再求导；⑤三角形式先利用三角函数公式转化为和或者差的形式再求导； ⑥抽象函数求导, 恰当赋值是关键, 然后活用方程思想求解.|【精研题型】2.下列函数求导运算正确的个数为 ①()21log ln 2x x '=；②()33ln 3x x'=；③sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭． A. 1 B. 2 C. 3 D.43.函数()=sin cos f x x x 的导函数()f x '在[]0π，上的图象大致为A. B.C. D.4.设()f x '是()f x 的导函数，写出一个满足()()f x f x '>在定义域R 上恒成立的函数(f x 【思维升华】C.等边三角形D.等腰钝角三角形【特别提醒】()f x '与()0f x '区别：()f x '是()f x 的导函数，而()0f x '是导函数在0x x =处的导函数值，导数值是常数.求曲线的切线方程及切点坐标【方法储备】利用导数研究曲线的切线问题：（1）函数在切点处的导数值．．．是切线的斜率．．，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标；（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点；（3）曲线()y f x = “在”点()00,P x y 处的切线与“过”点()00,P x y 的切线的区别： 在点()()00,P x f x 出的切线方程式()()()000y f x f x x x '-=-，切线只有一条； 过点(),P m n 的切线方程，需要先设出切点坐标()()00,x f x ，切线方程为()()0y n f x x m '-=-,在依据切点()()00,x f x 在直线上，将切点坐标带入方程求解，即可得切线条数.【精研题型】7.已知函数()221f x x ax a =+++为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为A. 20x y -=B. 210x y -+=C. 220x y -+=D. 210x y --=8.请写出与曲线()31f x x =+在点()0,1处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为()g x 【思维升华】9.已知函数()()()2ln 110h x a x a x a =+-+< ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是A. (),0-∞B. 2,4⎛--∞ ⎝⎭C. 2,4⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭D. 24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【特别提醒】导数运算及切线的理解应注意的问题：（1）注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.（2）直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有其它交点.与切线有关的参数问题【方法储备】1．利用导数的几何意义求参数的基本方法（1）利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．【精研题型】11.已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 上存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 ．12.若直线y kx b =+是曲线()ln 2f x x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b13.已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切于点(00,x y【思维升华】14.已知函数()ln f x x x =+，曲线()y f x =在0x x =处的切线l 的方程为1y kx =-，则切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 A.12 B. 14C.2D.4 15.若函数()ln f x x =与函数()()220g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是 A.1ln,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()1,-+∞C. ()1,+∞D. ()ln 2,-+∞ 16.已知函数()272,121ln ,12x x x f x x x ⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．专题4.1导数的概念与运算答案和解析 考点一1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题． 由导数的定义分析可得答案．解：函数()y f x =在0x x =处可导，00h 0()()limf x h f x h h→+--0000h 0h 0()()()()lim limf x h f x f x h f x h h→→+---=+- 02()f x ='，故选.B2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运算，属容易题. 根据导数运算法则逐个计算.【解答】解：()21log ln 2x x '=，(3)3ln 3x x '=，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，211ln (ln )x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，正确的为①②，共2个． 故选.B3.【答案】B【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 先根据角的范围去绝对值，然后利用乘积函数的导数公式进行求导得到导函数()f x '，结合余弦函数的图象可得结论． 【解答】解：当[0,]x π∈时，sin 0x ，则()|sin |cos sin cos f x x x x x ==，22()cos sin cos 2f x x x x ∴'=-=，结合余弦函数的图象可知选项B 正确， 故选：.B4.【答案】()1(x f x e =-答案不唯一)【解析】根据()()f x f x '>可知()()0f x f x '->，据情况写出即可.【解答】解：由题意，设函数()1xf x e =-，可得()xf x e '=，令()()()()110x x F x f x f x e e ='-=--=>恒成立，即函数()1xf x e =-，符合题意.故答案为：() 1.(xf x e =-答案不唯一)5.【答案】A【解析】 【分析】本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a 的不等式是解答本题的关键，属于基础题． 由已知中M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角，则曲线在M 点处的切线的不小于1，即曲线在M 点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a 的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】 解：()21ln 12y x x a x =++-， 1(1)3y x a a x∴'=++--， 若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角， 则31a -， 解得 2.a 故选.A6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()f x '的解析式是解决本题的关键，属于拔高题．求函数的导数，先求出()16f π'=，然后利用辅助角公式进行化简，求出,A B 的大小即可判断三角形的形状． 【解答】解：函数的导数()()cos sin 6f x x x π'='-，则131()()cossin()()666662262f f f ππππππ'='-='-='-， 则11()262f π'=，则()16f π'=，则()sin 2cos()6f x x x x π'=-=+，()cos 2cos()3f x x x x π=+=-，()()1f A f B ='=，()2cos()16f B B π∴'=+=，即1cos()62B π+=，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos()13f A A π=-=，即1cos()32A π-=，则33A ππ-=，则23A π=，则2366C ππππ=--=，则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选：.D考点二7.【答案】A【解析】【分析】本题考查求曲线上一点的切线方程，属于基础题.根据函数()f x 是偶函数可得(1)(1)f f -=，可求出a ，求出函数在1x =处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.【解答】 解：函数22()1f x x ax a =+++为偶函数， (1)(1)f f ∴-=，即2222a a a a -+=++，解得0a =，2()1f x x ∴=+，则()2f x x '=，(1)2k f ∴='=切，且(1)2f =，∴切线方程为22(1)y x -=-，整理得20.x y -=故选.A8.【答案】21x +(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义及求函数在一点处的切线方程，属于中档题．先求出曲线()31f x x =+在点()0,1处的切线方程，进而得出答案． 【解答】解：()()23,00f x x f ''==，即()31f x x =+在点()0,1处切线的斜率为0， 曲线()31f x x =+在点()0,1处的切线方程为y =1，所有在点()0,1处的切线方程为y =1的函数都是正确答案，如()21g x x =+或()21g x x =-+或()cos g x x =等. 故答案为：21x +答案不唯一)9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式的应用及一元二次不等式的解法，属中档题.故选B .10.【答案】(1)证明：若0a =，则321()13f x x x =-+， 令321()()(38)393g x f x x x x x =--=--+， 则2()23(3)(1)g x x x x x '=--=-+， 当(3,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 为增函数，所以()(3)0g x g >=，即()38f x x >-，得证．(2)解：易知曲线的切线斜率都存在， 设切点为321(,1)3N x x x ax -++，又(1,1)M -， 则32213()21MN x x ax k f x x x a x -+='=-+=+， 整理得32203x x a -+=，由题意可知此方程有三个解， 令32()23h x x x a =-+， 2()222(1)(1)h x x x x ∴'=-=+-，由()0h x '>，解得1x >或1x <-，由()0h x '<解得11x -<<，即函数()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减．要使得()0h x =有3个根，则(1)0h ->，且(1)0h <，解得4433a -<<，即a 的取值范围为44,.33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想．(1)若0a =，则321()13f x x x =-+，令()()(38)g x f x x =--，求导，利用单调性求得()0g x >，即可得证；(2)设切点为321(,1)3N x x x ax -++，由()MN k f x ='，可得关于x 的方程32203x x a -+=，由过点(1,1)M -可作曲线()y f x =的3条切线，可得方程有三个解，令32()23h x x x a =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 考点三11.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和两条直线垂直的充要条件，考查推理能力和计算能力，属于中档题.利用()2x f x e m '=-=-即可求得,2x m e =+从而解出m 的范围.【解答】解：()1x f x e mx =-+，()x f x e m ∴'=-，曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线， ()2x f x e m ∴'=-=-成立，22x m e ∴=+>，故实数m 的取值范围是(2,).+∞故答案为(2,).+∞12.【答案】1ln2-【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，两条切线重合的问题，属于中档题.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为000()().y y f x x x -='-分别求出曲线ln 2y x =+的切线，曲线ln(1)y x =+的切线，根据两条直线表示同一条直线即可求解.【解答】解：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+， 设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-， 由点222(,)P x y 在切线上得2221ln (1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线， 所以12221211121ln (1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩， 解得11111,2,ln 211ln 2.2x k b x x =∴===+-=- 13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得01x b =-、00y =，进而可得1b a +=，再利用()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【解答】解：对()ln y x b =+求导得1y x b'=+， 因为直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切于点00(,)x y ， 所以011x b=+即01x b =-， 所以00ln ()ln (1)0y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -，由切点()1,0b -在切线y x a =-上可得10b a --=即1b a +=， 所以1111()()2224b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅=， 当且仅当12b a ==时，等号成立. 所以11a b+的最小值是4. 故答案为：4.14.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得k ，0x 的方程组，解方程可得切线的方程，求得切线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：由()ln f x x x =+，得1()1f x x '=+， 则001()1f x k x '=+=，得011x k =-， 由111ln 11111k f k k k k ⎛⎫=+=-⎪----⎝⎭， 得1ln 01k =-，即2k =， 所以切线l 的方程为21y x =-，令0x =，得到1y =-，令0y =，得到12x =， 所求三角形面积为111|1|224⨯⨯-=， 故选.B15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，属于较难题.由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出2211111111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.【解答】解：设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >， 则切线方程为1111ln ()y x x x x -=-， 设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-， 所以有2121212(1)ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，210x x <<，1102x ∴<<， 又2211111111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--， 令11t x =，2102,ln 4t a t t t ∴<<=--， 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<， 则211(1)3()1022t h t t t t'--=--=<， ()h t ∴在(0,2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln 2h t h e>=--=， 1(ln,)2a e∴∈+∞， 故选.A 16.【答案】1(2 【解析】【分析】 本题主要考查了分段函数性质，函数图像的运用，导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于拔高题.由题意根据关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根可得函数()f x 与y kx =的图象有四个不同的交点，作出函数()f x 与y kx =在同一坐标系中的图象，结合函数图象找到k 的上限和下限求解即可.【解答】解：由题意，关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根，等价于函数()f x 与y kx =的图象有四个不同的交点，作出作出函数()f x 与y kx =在同一坐标系中的图象如下：结合函数图象可得当直线y kx =过1(1,)2A 点时k 取得下限，即1012102k -==-， 当直线y kx =与1ln 2y x =+相切时k 取得上限， 由1ln 2y x =+，则1y x'=， 设切点00(,)B x y ，则切线方程为()0001y y x x x -=-， 又点B 在1ln 2y x =+上，即001ln 2y x =+， ∴切线方程为()00011ln 2y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即001ln 2x y x x =+-， 根据原点(0,0)在切线方程001ln 2x y x x =+-上， 00010ln 2x x ∴=+-，解得120x e =， ∴此时直线y kx =的斜率10211e k x e e ===， 综上可得实数k 的取值范围为1,2e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为1,.2e ⎛ ⎝⎭17.【答案】解：()I 当14a =时，21()cos 14f x x x =+-，1()sin 2f x x x '=-， 所以()f x 的图象在点(,())(0)t f t t π<<处的切线方程为：221(sint)()+cos 1(sint)+sin cos 12424t t t y x t t t x t t t =--+-=--+-， 其在y 轴上截距设为2()+sin cos 14t g t t t t =-+-，则1()(cos ).2g t t t '=- 当(0,)3t π∈时，()0g t '>，()g t 为增函数； 当(,)3t ππ∈时，()0g t '<，()g t 为减函数.所以()g t 在3t π=时取最大值. 故3t π=时，直线l 在y 轴上的截距有最大值；()II 已知()2sin f x ax x '=-，设()()f x h x '=，则()2cos .h x a x '=-(1)当21a 即12a 时，()0h x '， 所以()f x '在R 上为增函数.又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()(0)0f x f =，所以12a 时符合题意； (2)当21a -即12a -时，()0h x '，所以()f x '在R 上为减函数. 又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以()(0)0f x f =，所以12a -时不符合题意； (3)当121a -<<，即1122a -<<时， 当(0,2)x arccos a ∈时，()0h x '<，()f x '为减函数.又(0)0f '=，所以当(0,2)x arccos a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以当(0,2)x arccos a ∈时，()(0)0f x f <=，所以1122a -<<时不符合题意. 综上，a 的取值范围为1[,).2+∞【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性与最值，是较难题. ()I 求出14a =时，()f x 的图象在点(,())(0)t f t t π<<处的切线方程，即可求得在y 轴上截距设为2()+sin cos 14t g t t t t =-+-，求导，即可求得当3t π=时，直线l 在y 轴上的截距有最大值；()II 求导()2sin f x ax x '=-，设()()f x h x '=，则()2cos .h x a x '=-分类讨论，(1)当21a 即12a时，可判断出函数()f x 的单调性，求得其当0x =时函数有最小值，则本题可解； (2)当21a -即12a -时，求得其当0x =时函数有最大值，经检验该种情况不符合题意； (3)当121a -<<，即1122a -<<时，同样该情况不符合题意.。