七年级浙教版整式的乘除培优讲义

整式的乘除培优课教师寄语：.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

【知识精要】 :1幂的运算性质：①〔、为正整数〕②〔为正整数〕③〔、为正整数〕④〔、为正整数，且〕〔〕〔，为正整数〕2整式的乘法公式：①②③3.科学记数法，其中4 单项式的乘法法那么：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式。

5. 单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法那么；6．多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

7 单项式的除法法那么： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除， 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式。

8 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

【例题剖析】 :例 1, 计算:21、(a ＋ b ＋ c)(a － b － c)2a b c，,3 、 20212－2021×2007 4、 (2a-b)2(b+2a) 2例2，求 的值。

例3 [ 例2]， ，求 的值。

例4 [例 3]，求的值。

例5 [ 例4]，，求的值。

【课堂精练】 :1.〔为偶数〕2.用科学记数法表示为3.4.5.6.7.假设，那么8.若是，那么=〔〕A. B. C. D.9.所得结果是〔〕A. B. C.10.为正整数，假设能被整除，那么整数的取值范围是〔〕A. B. C. D.11.要使成为一个完好平方式，那么的值为〔〕A. B. C. D.12.以下各式能用平方差公式计算的是〔〕A. B.C. D.13.计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔为正整数〕〔4〕【培优拓展】 :1. ，求的值。

2.假设，求的值。

3.，求的值。

4. 己知 x+5y=6 ,求x2+5xy+30y的值。

5 算〔 1－1〕〔1－1〕〔1－1〕⋯〔 1－1〕〔 1－1〕的．223242921026. 假设〔x2＋px＋q〕〔x2－ 2x－ 3〕张开后不含x2， x3，求 p、 q 的．7．〔a－ 1〕〔b－ 2〕－a〔b－ 3〕＝ 3，求代数式? 〔a2 +b2 〕－ ab 的．8.化简求值： [ 〔x＋1y〕2＋〔x－1y〕2] 〔 2x2－1y2〕，其中x＝－ 3，y＝ 4．2229. 填空①. 设4x2mx 121 是一个完好平方式，那么 m =_______。

整式的乘除培优课【知识精要】：1幕的运算性质：①/X 工”（喇、打为正整数）②（讨为正整数）③八「—1（W、町为正整数）④（咗、卞为正整数，且■'1 - ■ ■）一（.r f ））戶=丄/ （直工0，戸为正整数）2整式的乘法公式：①-.■1- I ■/1： - ■■■②'■' 1 ' ：一$ ■-"③• ■' - :「-3. 科学记数法A = axl^，其中1莖同TO4单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法则；6•多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

7单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

【例题解析】例1,计算:1、(a + b + c)(a —b —c),3、20082—2009X 2007 4、(2a-b)2(b+2a)2例2已知Ji. 3 ［，求- ― ［的值。

例3 ［例2］已知丿"-，「…二，求“八的值(--zrV) =1S A V例4 ［例3］已知’•，求认一T的值例5 ［例4］已知一工一，〔，一「上：二，求的值。

【课堂精练】1. ' - - (嗚为偶数)2. 0.00010490用科学记数法表示为5.(k25xl08) x (-S x 10」)x(-3xl0®) =6.（X—= X3十A■十丄若• 4 ,那么—11. 要使丄'■ I ■■■<•' - 11--成为一个完全平方式，贝U咗的值为（）A. 滋=2B.梯=-2C.叨三±1D. ^ = ±212. 下列各式能用平方差公式计算的是（）4.7.8.9.如果JA. r丹+（-屮所得结果是（A. L"B. 1 11-2)C. -2D. 210.(A.已知T为正整数，若八能被"整除,）= 6那么整数吨的取值范围是A."-恤-工）C.（托+ 刃〔F_y）13. 计算：（1）:丄-■-■ 一八I-B. (X-J/X-X-J)D.(左+恥+刃(2) ■- :' : I」.严为正整数）【培优拓展】：1. 已知云"「，求厂,-一的值。

整式的乘除1【课前回顾】1. B 两地相距36千米。

甲从A 地出发步行到B 地,乙从B 地出发步行到A 地.两人同时出发,4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍.求两人的速度。

2. 某校七年级甲、乙两个班共103人（其中甲班超过50人,乙班不足50人）去景点游玩，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共需付486元．1、两班分别有多少名学生?2、若两班联合起来，作为一个团体购票，可以节约多少钱？【知识要点】1. 同底数幂的乘法（1）同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数 ，指数 。

基础回顾：1、n a 表示 个a 相乘，读做a 的 次方，其中a 叫做 ，n 叫做 。

72）（-底数是 ，指数是 。

2、53= × × × × .3、计算:42= ，35）（-= 。

4、根据幂的意义:(1）23×33=（ ）×（ ） =(__)3=(__)(___)3+（2）2a ×3a =（ ）×（ ）=(__)a =(___)(___)+a （3)m a ×n a =(____)(___)+a （m 、n 都是正整数) 5、下列计算是否正确?错的请改正： （1）3332a a a=⋅； （2)632a a a =⋅； （3）633b b b =+ ；（4)66a aa =⋅ ； (5）1138)7(7)7(-=⨯-； （6）22)()()b a b a b a -=--（。

巩固练习：1、计算，并用幂的形式表示结果: （1)3722⨯ ， （2)7433）（）（-⨯-, (3)534222⨯⨯- ， （4）3)()a b b a -⋅-（ 2、 1克水中水分子的个数大约是3。

342210⨯个，请估计相同条件下1千克水中含有水分子的个数（结果用科学记数法表示）。

3、计算:（1）)()()()432m m m m -⋅---⋅-（； （2）242132+--+⋅-⋅n n n x x x x x4、 已知8=ma ，16=n a ,则=+n m a 。

初一数学整式的乘除（三）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 了解零指数和负整数指数幂的意义；2. 了解整数指数X 围内幂的基本性质；3. 会进行同底数幂相除的运算；4. 会用科学记数法表示绝对值较小的数（包括计算器上表示）；5. 会进行单项式除以单项式的计算；6. 会进行多项式除以单项式的计算；7. 会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题。

二. 重点、难点：1. 重点是落实基本的整式的运算；2. 难点是如何灵活运用整式的性质解决问题。

【典型例题】一、同底数幂的除法 （一）知识小结1. 零指数：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即()010≠=a a ；2. 负整数指数：任何不等于0的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即aa pp 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

（二）典型例题： 例1. 计算：（1）x x 26÷（2）()a a 35÷-23535a a a a -=-=÷-=-（3）a a n n 14++÷（4）()()1123+÷+a a例2. 计算：（1）()()()()y x y x x y y x +÷--+-÷-2367（2）()()[]()()a a a a 32234333÷÷-⋅二、整式的除法 （一）知识小结：1. 单项式除以单项式的运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2. 多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（二）典型例题： 例3. 计算： （1）()y x z y x 232343÷（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a 22322434 （3）()()b a b a +÷+23222323（4）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⋅-b a b a c b a 232323153例4. 计算：（1）()()x x y x x 2243661824-÷+-（2）()()()[]()b a b a b a b a +÷+--+2（三）综合提高题：1. （1）若278142+-=x x ，则=x 。

七年级数学整式的乘法(学生讲义)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：m n m n=，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底a a a+数不变，指数相加。

2.幂的乘方：()m n mn=，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数a a相乘。

3.积的乘方：()n n n=，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个ab a b因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

初中数学整式乘除培优考试要求:知识点汇总：模块一壽的运算需的运算概念：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在/中，α叫做底数, n叫做指数. 含义：水中，"为底数，〃为指数，即表示α的个数，/表示有刃个α连续相乘.例如：3'表示3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -(3×3×3×3×3)5. . 2x2x2x2x2z2 < . . 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正” 口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一[-(一3)] = -3； -[+(-3)] = 3・⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(—3) × (—2) × (—6) = —36,而(—3) × (—2) X (+6) = 36 ・⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嫌为负；指数为偶数，则幕为正，例如：(一3)‘ = 9 , (一3)、= 一27 ・特别地：当“为奇数时，(一")”=一『：而当“为偶数时，(-a)n =a n・负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为O的数的O次幕都是⑴・(1)同底数幕相乘・同底数的彖相乘，底数不变，指数相加.用式子表示为：(m√ι都是正整数)・(2) 策的乘方.幕的乘方的运算性质：幕的乘方.底数不变，指数相乘.用式子麦示为: (町=旷(m 9n 都是正整数)・ ⑶积的乘方.积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的無相乘•用 式子表示为： (ab)n ≈a fl h fl(“是正整数)・ (4)同底数彖相除・同底数的幕相除，底数不变，指数相减.用式子表示为:模块二整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式・以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：Ub • 3a 2b y c 2= 3a^c 2,两个单项式的系数分 别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母α的幕分别是α和/,乘积中d 的幕 是才,同理，乘积中b 的幕是戻，另外，单项式“b 中不含C 的幕，而3i l 2b i c 2中含¢2,故乘 积中含疋・ ⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加为单项式，a+b + c为 多项式.⑶多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单 项式相乘，然后把积相加，公式为：(∕π + n)(a + b) = ma + mb + Ha + Hh模块三整式的除法(1) 单项式除以单项式^系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有 的字母，則连同它的指数作为商的一个因式•如：3a 2b 3c 2*ab = 3ab 2c 2,被除式为3a 2b 3c 2, 除式为肪，系数分别为3和1,故商中的系数为3, α的彖分别为/和α,故商中α的 幕为∕τ=α,同理，〃的幕为，，另外，被除式中含Y,而除式中不含关于c ・的策，故 商中e 的幕为c'・(2) 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加， 公式为：(" + b + c ∙)÷∙m = "*"2 + b*m + c*"?,其中加为单项式，a + h + c 为多项式.(3) 多项式除以多项式后有专题介绍.模块四平方差公式(a+ h){a-b) = a 2 -h 2平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

整式（不分层）知识讲解【学习目标】1．掌握单项式系数及次数的概念；2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．【要点梳理】要点一、单项式1.单项式的概念：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成12st 。

但若分母中含有字母，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．要点二、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．4.升幂排列与降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4-5x 4-6是六次五项式,按x 的降幂排列为-5x 4+2x 3y 2+21x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列为-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4．要点诠释：(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．要点三、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．【典型例题】类型一、整式概念辨析1．指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？22x y +，x -，3a b+，10，61xy +，1x ，217m n ，225x x --，22x x +，7a举一反三：【高清课堂：整式的概念 例1】【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232ax y ab x x y x y y x +--++π①②③④⑤⑥，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。