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第8章 功率谱估计-第1讲

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功率谱估计教材

功率谱估计教材

1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
m m

ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m

jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]

1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT

jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。

功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。

如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。

如果我在噪声中加入一个信号波形。

要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。

后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。

该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。

傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。

19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。

这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。

周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。

1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。

Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。

1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。

经典功率谱估计

经典功率谱估计

雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计1.0简介数字信号处理(DSP)重要的应用领域之一，是建立在周期信号和随机信号基础上的功率谱估计。

语音识别问题，利用谱分析作初步测量，经语音带宽测试，并进行进一步声学处理。

声纳系统可以利用先进的谱分析技术找出潜艇和水面舰艇的位置。

谱测量雷达则可用来获取目标位置和速度信息等。

各种谱分析包含的测量是无限的，本文将会提供一个关于功率谱估计的简短介绍和基本概念。

功率谱估计是基于统计的，涵盖了各种数字信号处理的概念，本文试图通过提供足够的背景及其内容和附录，使讨论更加顺畅。

对于那些熟悉初步背景和寻求快速引入谱估计的人，第6.0至11.0节应足以满足他们的需要。

最后，是工程师寻求测量功率谱的更严格的开发和更新的技术，这种探索可以查询列在附录D和现有技术社会优秀出版物里面的参考文献。

作为一个简要介绍和快速查找，请参考这篇文章的目录。

目录章节描述附录A 描述* 简介* 概念的概率,随机变量和随机过程* 什么是谱* 概率的定义* 能源和功率* 联合概率* 随机信号* 条件概率* 基本估计理论 *概率密度函数(PDF)* 周期 *累积分布函数(cdf)* 谱估计的平均周期 *均值，方差和标准差* 窗函数 *两种联合散发随机变量函数* 谱估计使用Windows稳定单周期 *联合累积分布函数* 谱估计平均周期 *联合概率密度函数* 程序功率谱密度估计 *统计的独立性* 决断 *边际分布和边际密度函数* 卡方分布 *术语：确定性，稳定性* 结论 *联合要素* 鸣谢 *相关函数附录*交互时间整合与期望*卷积*参考资料2.0 什么是谱？谱是一种关系，通常表示一些信号与频率的相对值表示。

每一个物理现象，无论是电磁，热，机械，液压或任何其他系统，具有独特的谱与它相关。

在电子方面，这种现象正在处理的信号，一般是作为固定电器或变电器的电压，电流和功率。

这些数量在时间域内被典型地描述，并且为时间作用，f( t)，一个等效频域公式F (w)明确地描述频率构成要素，可以找到(频率谱)要求引起f (t)一个关于时间域和它所对应的频域表示法的关系的研究，其主要内容是傅里叶分析和傅里叶变换。

功率谱估计的方法

功率谱估计的方法

功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。

2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。

3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。

二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。

2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。

3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。

以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。

功率谱估计浅谈讲解

功率谱估计浅谈讲解

功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。

关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。

由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。

现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。

周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。

以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。

在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。

下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。

经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。

本文主要介绍一种方法：周期图法。

周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。

下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。

连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。

第8章 功率谱估计-第1讲

第8章 功率谱估计-第1讲
WR ( )
n
RN ( n )e

jn
e jn
n 0 N 1 2
N 1
1 e jN sin N 2 j e j 1 e sin 2
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 它的频谱图如图所示。得到的功率谱估计是它 与真实功率谱的卷积，由于它与 函数比较有二 方面的差别，一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣 ，因此卷积的结果必然造成失真。
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其 一是PSD主瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能 量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与 旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情 况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主 瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中而无 法检测出来。
2 N m 1 k 1 m N

[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法
ˆx(m)] 0 ，并且 当 N 时，var[r
ˆx(m)] var[r ˆx (m)] var[r ˆx(m) 虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计 r ˆx (m) 的方差。实际应用中多用这种有 量的方差小于 r ˆx (m) 表示。 偏自相关估计。也用符号 r
▲
■
10
8.1 总述
图a BT法
图b 最大熵法
图c Pisarenko谐波分解法
▲
■
第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计

功率谱密度估计

功率谱密度估计

功率谱密度估计
功率谱密度估计是一种用于估计信号的功率谱密度的方法。

功率谱密度指的是一个信号在频域上的能量分布情况。

常见的功率谱密度估计方法有：
1. 周期图法：将信号分成一系列周期为N的子段，对每个子
段进行傅里叶变换，然后求平均得到估计的功率谱密度。

2. 平均势谱法：将信号分成若干个重叠的子段，对每个子段进行傅里叶变换，然后对各个子段的功率谱密度进行平均得到估计的功率谱密度。

3. Welch方法：在平均势谱法的基础上，将信号分成多个子段，并对每个子段进行窗函数加权处理，然后对加权后的子段功率谱密度进行平均得到估计的功率谱密度。

4. 自相关法：通过计算信号的自相关函数来估计功率谱密度。

自相关函数表示信号的不同时间点之间的相关性。

这些方法在实际应用中有各自的优缺点，选择合适的方法需要考虑信号的特点以及其他要求，例如信号的长度、频率分辨率等。

《功率谱估计》课件

《功率谱估计》课件

实验数据展示 功率谱估计结果对比 误差分析 实验结论与展望
结果分析：对比不同方法的结果，分析优缺点 实验误差来源：讨论实验误差的来源，如设备、环境等因素 改进方向：提出针对实验误差的改进措施，提高实验精度 未来展望：探讨功率谱估计在未来的应用和发展趋势
功率谱估计的应用 案例
语音信号处理：用于语音分析和编码，提高语音质量 图像和视频信号处理：用于图像和视频的压缩和传输，降低带宽需求 雷达和声呐信号处理：用于目标检测和跟踪，提高定位精度
通信领域：用于调制解调、频 谱管理、频谱监测等
生物医学工程：用于心电图信 号处理、脑电图信号处理等
总结与展望
介绍了功率谱估计的基本概念和原理 分析了功率谱估计的常用方法 探讨了功率谱估计在实际应用中的优势和局限性 总结了本次PPT的主要内容和知识点
功率谱估计技术的进一步优化 拓展应用领域，如语音、图像等 结合深度学习等先进技术，提高估计精度 探索与其他领域的交叉研究，如信号处理、通信等
信号的分类
信号的时域和频域 表示
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的应用 场景
功率谱估计的方法
FFT算法原理 FFT算法优缺点分析
FFT算法实现步骤
FFT算法在功率谱估计中的应 用
最小二乘法的基本 原理
功率谱估计的数学 模型
基于最小二乘法的 实现过程
算法的优缺点及改 进方向
卡尔曼滤波原理
功率谱估计与卡尔 曼滤波结合
《功率谱估计》PPT 课件
汇报人：PPT
目录
添加目录标题
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的方法
功率谱估计的原理 与步骤
功率谱估计的实验 与分析
功率谱估计的应用 案例
添加章节标题

功率谱估计

功率谱估计
已知信号：
W(n)为零均值方差为1的AWGN，n=1,2,3……,128
1.1周期图法：
我们知道随机信号的功率谱和自相关函数是一对傅式变换对：
而自相关函数定义为：
对于平稳随机过程，并由功率谱的偶函数特性得：
实际得到的随机信号只能是它的一个样本的片断，因此只能用有限长的样本序列来估计功率谱，这相当于用一个有限宽度（N）的窗函数 去乘样本序列，于是有（用离散频率K代替ω）：
title('周期图法');
xlabel('Hz');
ylabel('dB/Hz');
window1=hamming(128);
noverlap=20; %数据20%的重叠
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,'onesided');
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
仿真结果：
2.现代功率谱估计
现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。主要方法有最大熵谱分析法（AR模型法）、Pisarenko谐波分解法、Prony提取计点法、Prony谱分解法以及Carpon最大似然法。其中AR模型应用较多，具有代表性。常用的模型有ARMA模型、AR模型、MA模型。
这就是用样本序列片断的DFT来估计功率谱的式子。由于加了矩形窗，使得这种直接的周期图估计平滑性、一致性和分辨率不能满足实际要求，因此有必要对上式作一些修改，这些修改主要有两种方法：
1.分段平均：即将长度为N的数据分成L段（允许有重叠），分别求出每一段的功率谱，然后即以平均。这样L个平均的方插笔每个随机变量的单独方差小L倍。

功率谱估计的经典方法PPT课件

功率谱估计的经典方法PPT课件
无关，PDF和pdf是随时间变化的，则称其为广义平稳随机过程。
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)

Ryy(m) zm



Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p





Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p

Sxx(z)Shh (z)
m n


S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换

Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有

Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。

功率谱估计

功率谱估计
1 1 N −1 N −1 jω 2 I N (ω ) = X (e ) = ∑ ∑ x(k ) x(n)e jω k e − jω n N N n =0 k =0
2 var[ I N (ω )] = E[ I N (ω )] − E 2 [ I N (ω )]
下面先求周期图的均值，再求其均方值：
1 1 ∞ ∞ jω 2 E[ I N (ω )] = X (e ) = ∑ ∑ E[ x(k ) x(n)]RN (k ) RN (n)e− jω ( n −k ) N N n =−∞ k =−∞
经典谱估计
BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出， 先估计自相关函数，再计算功率谱。 周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数 去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但 直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。 这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方， 除以N得到功率谱。
11
将 ω = ω1 = ω2 代入上式，得 sin( N ω ) 2 2 E[ I N (ω )]=σ x4 2 + N sin(ω )
sin( N ω ) 2 2 var[ I N (ω )]=E[I N (ω )]-E 2 [I N (ω )]=σ x4 1 + N sin(ω ) 显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋 于功率谱真值的平方，即
N −1 1 N −1 − jω k = ∑ x(k )e ∑ x* (n)e jω n n =0 N k =0
1 N −1 N −1 = ∑ ∑ x(k ) x* (n)e − jω ( k − n ) N k =0 n =0 令 m = k − n，即 k = m + n，则

《功率谱估计》课件

《功率谱估计》课件
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目录
• 引言 • 功率谱估计的基本原理 • 常见功率谱估计方法 • 现代功率谱估计方法 • 功率谱估计的性能评估 • 实际应用案例分析
01
引言
功率谱估计的定义
功率谱估计是对信号的频率内容进行描述的方法，通过分析信号在不同频率的功 率分布情况，可以了解信号的特性。
功率谱估计可以分为非参数方法和参数方法两类，其中非参数方法包括傅里叶变 换、Welch方法等，而参数方法则包括AR模型、MA模型、和ARMA模型等。
非参数模型
不假设信号的功率谱具有特定参数形式，而是直接从数据中估计功率谱。
03
常见功率谱估计方法
直接法
定义
直接法是通过测量信号的样本值，利用离散 傅里叶变换（DFT）直接计算信号的频谱。
特点
计算简单，但容易受到频率偏移和相位失真的影响 。
应用场景
适用于信号频率稳定且对相位精度要求不高 的场合。
间接法
THANKS
感谢观看
分辨率与假峰率
分辨率（Resolution）
衡量功率谱估计中能够区分两个相近频率成分的能力。分辨率越高，说明估计的功率谱能够更好地分 辨出相近的频率成分。
假峰率（False Peak Rate）
衡量估计的功率谱中出现的虚假频率峰的概率。假峰率越低，说明估计的功率谱中虚假频率峰的出现 概率越小。
06
特点
能够减小频谱泄漏效应，提高频 谱分辨率。
应用场景
适用于信号持续时间较短或需要 高分辨率频谱分析的场合。
最大熵法
定义
最大熵法是一种基于信息论的方法，通过最 大化熵函数来估计信号的功率谱。
特点
能够提供平滑且连续的功率谱估计，但计算 复杂度较高。

功率谱功率谱估计

功率谱功率谱估计

(3)去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号， 方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性 增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于 其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。
四、估计质量的评价
设a是广义平稳随机过程 x ( n) 的一个数字特征 ˆ 是a的一个估计 a 1、偏倚 ˆ ] E{a a ˆ } a E{a ˆ} b[a 它表示了估计值与实际值的接近程度。 ˆ ] 0, 叫无偏估计 b[a ˆ ] 0, 叫有偏估计 b[a 2、方差 2 ˆ ˆ var[a] E{[a E{a}] } 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。
k 1
p q
h(n)
x(n)
若u(n)是一个方差为 的白噪声,则x(n)的功率谱 j 2 j 2 S x (e ) | H ( e ) |
2
B( z ) B (1 / z ) 或 S x ( z ) H ( z ) H (1 / z ) A( z ) A* (1 / z * )
最大熵 参数化 最小交叉熵 ……
三、随机信号分析的预处理
要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题， 一般信号都很少满足要求，所有需作预处理 (1)取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的 前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计 取样间隔。 ~ (2)去均值 x ( n) x ( n) m x
H (z)
1 1 ak z k
k 1 p
称为AR模型
（ 3 ）若ak 和br均不为 0,
x( n) a k x( n k ) br u( n r ) H ( z )
k 1 r 0 p q

q
称为ARMA模型

课程设计功率谱估计

课程设计功率谱估计

课程设计功率谱估计一、教学目标本章节的教学目标是使学生掌握功率谱估计的基本概念、方法和应用。

具体来说，知识目标包括：了解功率谱估计的定义、意义和基本原理；掌握常用的功率谱估计方法，如矩估计、最大似然估计等；了解功率谱估计在信号处理、通信等领域中的应用。

技能目标包括：能够运用功率谱估计方法解决实际问题；能够使用相关软件工具进行功率谱估计。

情感态度价值观目标包括：培养学生的创新意识和团队合作精神；使学生认识到功率谱估计在工程实际中的重要性，激发学生对相关领域的研究兴趣。

二、教学内容本章节的教学内容主要包括功率谱估计的基本概念、方法和应用。

具体包括以下几个方面：功率谱估计的定义和意义；常用的功率谱估计方法，如矩估计、最大似然估计等；功率谱估计的性质和性能比较；功率谱估计在信号处理、通信等领域中的应用。

三、教学方法为了实现本章节的教学目标，我们将采用多种教学方法，如讲授法、讨论法、案例分析法、实验法等。

在教学过程中，我们将注重理论与实践相结合，引导学生通过实际案例来理解和掌握功率谱估计的方法和应用。

同时，我们将鼓励学生积极参与讨论，培养学生的创新意识和团队合作精神。

四、教学资源为了支持本章节的教学内容和教学方法的实施，我们将准备以下教学资源：教材和相关参考书，用于引导学生学习和理解功率谱估计的基本概念和方法；多媒体资料，用于展示和分析功率谱估计的实例；实验设备，用于让学生亲手实践功率谱估计的方法和应用。

同时，我们还将利用网络资源，提供相关的学习资料和软件工具，以便学生能够更好地学习和应用功率谱估计。

五、教学评估本章节的教学评估将采用多元化的评估方式，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。

评估方式包括平时表现、作业、考试等。

平时表现主要考察学生的课堂参与度、讨论发言等，以评估学生的主动性和积极性。

作业主要考察学生对功率谱估计方法和应用的理解和掌握，通过布置相关的练习题和案例分析题，让学生能够巩固所学知识。

功率谱估计概念

功率谱估计概念

功率谱估计概念
功率谱估计是对信号的功率谱密度进行估计的过程，是信号处理中的基本问题之一。

功率谱密度描述了信号中不同频率分量的功率分布，对于分析信号的频域特性、噪声抑制、信号识别等领域具有重要意义。

在许多实际应用中，我们常常需要从采集到的信号数据中估计其功率谱。

这是因为功率谱是描述信号本质特征的重要手段，能帮助我们了解信号中各个频率分量的强度和分布情况。

比如在通信、雷达、音乐、语音处理、生物医学工程等领域，都需要对信号的功率谱进行估计和分析。

传统的功率谱估计方法包括周期图法、自相关法、Burg法等。

但这些方法通常需要较长的数据样本，并且对数据的预处理和窗函数选择敏感，计算复杂度也较高。

随着现代信号处理技术的发展，新的功率谱估计方法不断涌现，如基于小波变换的方法、基于神经网络的方法等。

这些新方法能够更准确地估计信号的功率谱，并且对噪声和干扰具有较强的鲁棒性。

在估计信号的功率谱时，我们需要关注估计的精度、稳定性、计算复杂度等问题。

不同的应用场景对功率谱估计的要求也不同，需要根据实际情况选择合适的方法。

同时，功率谱估计也是信号处理领域中一个富有挑战性的研究方向，仍有许多问题需要进一步研究和探索。

总的来说，功率谱估计是信号处理中的一项重要技术，广泛应用于各个领域。

随着科技的不断发展和进步，相信未来会有更多高效、准确的功率谱估计方法出现，推动相关领域的技术进步和应用创新。

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[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)][ N m k ]
一般观测数据量N很大， N m k
mk N m k N (1 )N N
N ˆx (m)] var[来自 ( N m )2N m 1 k 1 m N

[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
估计量的方差：
ˆx (m)] E{r ˆx (m) E[r ˆx (m)])2} E[r ˆx2 (m)] rx2 (m) var[r
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法 可以证明，
1 ˆx (m)] var[r ( N m )2
N m 1 k 1 m N

2 N m 1 k 1 m N

[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法
ˆx(m)] 0 ，并且 当 N 时，var[r
ˆx(m)] var[r ˆx (m)] var[r ˆx(m) 虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计 r ˆx (m) 的方差。实际应用中多用这种有 量的方差小于 r ˆx (m) 表示。 偏自相关估计。也用符号 r
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法
此式表明，只有当 N m, N 时，估计量的方差才趋于 0，此估计是渐近一致估计。但是当 m N 时，方差将很大， 因此，这种方法在一般情况下不是一种好的估计方法。虽然是 无偏的，但不能算是一致的。
有偏自相关函数的估计 ˆx(m) 表示，估计器为 有偏自相关函数用 r
2. 周期图法 周期图法都是用获得的 N个数据对随机信号进行谱估 计可利用FFT 进行计算，因而有计算效率高的优点， 在谱分辨率要求不高的地方可用这种方法进行谱估计 ，但它又一个突出的缺点就是谱分辨率低。因为周期 图法隐含着对无限长数据在时域加了一个长度为N的 矩形窗。时域中与矩形窗函数的相乘对应于频域中与 矩形窗频谱相卷积，所以估计谱就相当于真实谱与矩 形窗频谱相卷积的结果。矩形窗频谱为
WR ( )
n
RN ( n )e

jn
e jn
n 0 N 1 2
N 1
1 e jN sin N 2 j e j 1 e sin 2
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 它的频谱图如图所示。得到的功率谱估计是它 与真实功率谱的卷积，由于它与 函数比较有二 方面的差别，一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣 ，因此卷积的结果必然造成失真。
▲
■
8.2.1 经典方法
1. BT法 BT法功率谱估计采用有偏自相关函数估计法，
1 N m 1 ˆx (m) r x(n) x( n m) N n 0
对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率谱估计 值为
jm ˆ (e ) r ˆ P ( m ) e , M N 1 BT x j m M M

▲
■
8.2.1 经典方法
1. BT法
x
x
x
1 N m 1 ˆx (m) r x(n) x(n m) N m n 0
自身估计的需要，功率谱估计的需要。
▲
■
8.2.1 经典方法
1. BT法 利用观测到的实随机序列 x(n)(n 0,1, , N 1) ，估计 自相关函数的两种方法是：无偏和有偏自相关函数 估计。 无偏自相关函数的估计 估计器为
(5)
Px (e j ) 是随机变量，必须对其取统计平均值，得到
2 N 1 j j n Px (e ) lim E x(n)e N n N 2 N 1
(6)
上式被认为是功率谱的另一定义。
▲ ■
8.1 总述
▲
■
8
8.1 总述
▲
■
9
经典谱估计方法大多 属于非参数化的谱估 计方法
(4)
将(4)式代入(1)式，得到
Px (e ) rx (m)e jm
j m
N 1 * j m lim x ( n ) x ( n m ) e N m 2 N 1 n N N 1 * j n j ( n m ) lim [ x ( n ) e ][ x ( n m ) e ] N m 2 N 1 n N
矩形窗频谱的幅度函数
▲
■
8.2.1 经典方法
由于主瓣不是无限窄的，与主瓣卷积后使功率向附近 频域扩散，使信号模糊，降低了分辨率，主瓣愈宽分辨率 愈差，如下图所示。图（a）是真实谱的两个峰；（b）矩 形窗谱与真实谱得卷积结果；（c）是两个峰离得比较远的 情况，此时原峰还能分辨；（d）是两个峰离得比较近的情 况，此时无法分辨出两个峰的位置。
▲
■
8.2 功率谱估计的非参数化方法
经典方法 经典方法的改进算法
▲
■
8.2.1 经典方法
1. BT法 由R.Blackman J.Tukey 1958年提出，又称自相关 函数法或间接法。
Px (e ) rx ( m)e jm
j m j m ˆ = rx (m)e m
8.2.1 经典方法
1. BT法 估计量的方差： 由两种估计的关系式
Nm ˆx(m) ˆx (m) r r N
(m) 的方差为 ˆxx 知估计量 r
Nm 2 ˆx(m)] ( ˆx (m)] var[r ) var[r N
Nm N ˆx(m)] var[r 2 N ( N m )
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其 一是PSD主瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能 量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与 旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情 况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主 瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中而无 法检测出来。
X N ( )= x(n)e jn
n 0 N 1
是周期函数
▲ ■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法
N 1 1 j j n ˆ (e ) P x ( n ) e PER N n0 2
上式的绝对值符号内的部分可以用FFT计算，这样 周期图法的计算框图如下图所示。
▲
■
8.2.1 经典方法
（N 1 ） m N 1
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法 估计性能分析： 估计量的偏差：
ˆx (m)] rx (m) B E[r
1 N m 1 ˆx (m)] E[r E[ x(n) x(n m)] rx (m) N m n 0
B 0 ，这是一种无偏估计。
基本思想：以傅立叶变换为基础，附以加窗、平均、平 滑等预处理或后处理。 优缺点 优点：简单易行、计算效率高 缺点：分辨率低、旁瓣效应，数据短时缺点更突出 适用范围：长数据 主要方法：自相关法（B－T法）、周期图法 两种方法相互关系 － 二者存在联系，均采用加窗(加窗平均)来改善特性 － FFT的出现使二者获得新生，并引入细化FFT － 都存在致命缺点：分辨率(区分2个邻近谱峰的能力)低
1 N m 1 ˆx (m) r x ( n ) x ( n m) 0 m N 1 N m n 0 （N 1 ） m0 ˆx (m) r ˆx (m) r
也可写成一个表达式
1 N m 1 ˆx (m) r x(n) x(n m) N m n 0
rx (m) E[ x* (n) x(n m)]
(3)
对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可 以用时间平均代替，可推出功率谱的另一个定义。
▲ ■
8.1 总述
将(3)式中的集合平均用时间平均代替，得
N 1 * rx (m) lim x (n ) x (n m ) N 2 N 1 n N
■
第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计
8.6 多重信号分类法 8.7 扩展Prony方法
▲
■
8.1 总述
信号和系统进行分析方法：
1.时域 维纳-卡尔曼滤波和自适应滤波 2.频域方法。 确定性信号利用傅里叶变换，随机信号，其傅里叶变 换不存在，因此研究它的功率谱。在实际应用中，通常只能 采集或观测到平稳随机过程的一个抽样序列的一段(有限个) 数据，如果根据这有限个已知数据来估计随机过程的功率谱 的问题，简称谱估计(谱分析)问题。
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■
10
8.1 总述
图a BT法
图b 最大熵法
图c Pisarenko谐波分解法
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第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计
8.6 多重信号分类法 8.7 扩展Prony方法
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■
8.2 功率谱估计的非参数化方法

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8.1 总述
令 l n m ，则
j N 1 j n * jl Px (e ) lim [ x ( n ) e ] [ x ( l ) e ] N l 2 N 1 n N
N 1 j n lim x ( n ) e N 2 N 1 n N 2
m ˆx(m)] B rx (m) E[r rx (m) N
ˆx(m)] E[r Nm rx (m) N