泰勒公式的应用
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泰勒公式 应用场景
泰勒公式应用场景泰勒公式是一种数学工具，可以用来近似计算函数的值。
它的应用场景非常广泛，在科学、工程、经济等领域都有重要的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
第一个应用场景是在物理学中的运动学问题。
泰勒公式可以用来近似计算物体在某一时刻的位置、速度和加速度。
例如，在研究自由落体运动时，可以利用泰勒公式来计算物体在某一时刻的下落距离，以及在下落过程中的速度和加速度变化。
第二个应用场景是在工程领域的信号处理中。
泰勒公式可以用来近似计算信号的频谱分布。
例如，在音频处理中，可以利用泰勒公式来近似计算音频信号的频谱，从而实现声音的分析和处理。
第三个应用场景是在经济学中的金融建模。
泰勒公式可以用来近似计算金融市场的波动性和价格变动。
例如，在期权定价模型中，可以利用泰勒公式来近似计算期权价格的变动，从而进行风险管理和投资决策。
第四个应用场景是在计算机图形学中的曲线绘制。
泰勒公式可以用来近似计算曲线上的点的坐标。
例如，在计算机游戏中，可以利用泰勒公式来近似计算角色或物体的运动轨迹，从而实现逼真的动画效果。
第五个应用场景是在生物医学工程中的信号处理和图像处理。
泰勒公式可以用来近似计算生物信号的频谱分布和图像的灰度变化。
例如，在脑电图信号处理中，可以利用泰勒公式来近似计算脑电图信号的频谱，从而实现对大脑活动的分析和诊断。
第六个应用场景是在天文学中的星体运动研究。
泰勒公式可以用来近似计算星体的位置、速度和加速度变化。
例如，在研究行星运动时，可以利用泰勒公式来近似计算行星的轨道和运动速度，从而揭示宇宙的奥秘。
以上只是泰勒公式的一些常见应用场景，事实上，泰勒公式在数学和物理的其他领域中也有广泛的应用。
通过使用泰勒公式，我们可以更好地理解和描述自然界中的各种现象，推动科学和技术的发展。
希望以上介绍能给读者带来一些启发和思考。
常用泰勒公式
常用泰勒公式泰勒公式是一种近似计算函数值的方法，它是通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值。
在数学和物理学领域，泰勒公式被广泛应用于函数近似、函数求导和数值计算等方面。
下面将介绍泰勒公式的常用形式和应用。
泰勒公式的一般形式是：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中，f(x) 是要求解的函数，在点 x 处的近似值；f(a) 是函数在点 a 处的值；f'(a) 是函数在点 a 处的导数值；f''(a) 是函数在点 a 处的二阶导数值；以此类推。
泰勒公式的原理是利用导数将函数表示为一系列单项式的和，然后根据需要的精度截断级数，得到函数的近似值。
当级数的项数增加时，近似值的精度也会提高。
泰勒公式的应用十分广泛。
例如，在计算机科学领域，泰勒公式被用于开发数值计算算法，例如计算机图形学中的曲线和曲面绘制，以及物理引擎中的碰撞检测和运动模拟等。
在物理学中，泰勒公式被用于近似解析解不存在的问题，例如非线性的运动方程。
此外，泰勒公式还可以用于求解微积分中的极限、导数和积分等问题。
泰勒公式有很多变种形式，例如麦克劳林级数、希尔伯特级数和泊松级数等，它们在不同的数学和物理学问题中具有不同的应用。
总结起来，泰勒公式是一种常用的近似计算函数值的方法。
它通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值，具有广泛的应用领域和实际价值。
无论是在数学、物理还是计算机科学领域，我们都可以看到泰勒公式的身影。
泰勒公式的应用与技巧
泰勒公式的应用与技巧
泰勒公式又称为差分量化展开式，它具有极强的多项式和多元函数近似扩展能力，能够精确地表示一个函数曲线的关系，在工程领域应用广泛。
以下是泰勒公式的应用与技巧：
1. 应用
(1) 在离散系统分析中，泰勒公式可以提供系统动态响应曲线以及各自对输入信号的响应，从而降低系统设计的复杂性。
(2) 在数值分析中，泰勒公式可以用来估算函数值及其发散性，进而可以估算函数的零点及其根的估计精度。
(3) 在经济学领域，泰勒公式用来分析一系列宏观经济指标的变化对经济效果的影响，以此决定政策制定的深度和维度。
(4) 在电子工程领域，泰勒公式可以用来表征电路作用功能，求解电路实现特定功能的最优解，从而提高电路设计的效率。
2. 技巧
(1) 避免系数繁多带来的计算量大，可以将展开项作简化处理，以消除多余系数，且减少复杂度。
(2) 对于数据情况复杂的情况，可以采用交叉验证的方法，令数据集分割成多组，轮流用作训练集和测试集进行模型训练和验证，从而可以更准确地识别数据趋势。
(3) 充分利用光滑点和区间插值减少计算量，使用雅可比条件数字求
导法应对多变量多元函数及其导数求解。
(4) 针对大量样本，可以采用分类、线性回归、判别分析等机器学习模型，来更精确地分析泰勒公式的表达结果。
泰勒公式的应用超强总结
泰勒公式的应用超强总结泰勒公式（Taylor series）是一种用来近似表示函数的方法，它将一个光滑的函数表示为多项式的形式。
在实际应用中，泰勒公式有着广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
以下是泰勒公式的一些超强应用总结。
1.函数逼近：泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近成一个多项式，用来简化计算。
这在数值计算和科学建模中广泛应用。
比如，在物理学中，我们可以使用泰勒公式将一个非线性运动的函数逼近成一个线性函数，从而简化计算。
2.误差估计：通过泰勒公式，我们可以对近似函数的误差进行估计。
在实际计算中，我们通常使用有限项的泰勒公式近似计算，而丢弃高阶项将会引入误差。
通过估计误差，我们可以更好地控制近似结果的精度，从而提高计算效率。
3.求解无解析解的问题：有些函数在数学上没有解析解，即无法用一个简单的表达式表示。
泰勒公式可以帮助我们近似求解这些问题。
比如，在微积分中，我们可以使用泰勒公式近似求解一些复杂的微分方程，从而得到数值解。
4.数值积分：泰勒公式可用于数值积分的近似计算。
在实际计算中，我们通常使用数值积分方法来计算曲线下面积或求解积分方程。
泰勒公式可以将被积函数展开成无穷级数，再通过对级数进行近似计算来求解积分。
5.精确度改善：通过对泰勒公式进行适当的变换和近似，可以提高计算结果的精度。
在数值计算中，我们经常会遇到舍入误差和近似误差等问题，通过泰勒公式的应用可以对这些误差进行修正和改善，从而得到更精确的计算结果。
6.其他应用领域：泰勒公式还可以应用于信号处理、图像处理、优化问题等领域。
例如，在信号处理中，泰勒公式可以用来进行信号的近似重构和滤波。
在优化问题中，泰勒公式可以用来近似目标函数，并帮助我们求解最优化问题。
总之，泰勒公式在科学和工程中具有广泛的应用。
通过对函数的逼近和近似，我们可以简化计算、提高精度、解决无解析解的问题，以及在数值计算、积分、优化等领域中得到更好的结果。
因此，掌握泰勒公式的应用是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
泰勒公式的应用
Taylor 公式在高等数学解题中的应用1 预备知识Taylor 中值定理 如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(a ，b )内具有直到(n +1)阶的导数，则∀x ∈(a ，b )，有f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…!)(0)(n x f n (x -x 0)n +R n (x ) (1) 其中R n (x )=10)1()()!1()(++−+n n x x n f ξ， 这里ξ是x 0与x 之间的某个值，称(1)式为Taylor 公式．2 Taylor 公式的应用2.1求函数的近似值在微分的近似计算中，有函数的近似公式：))(()()(000x x x f x f x f −'+≈，但它的精度往往比较低。
事实上，它只是Taylor 公式的一阶近似，利用高阶Taylor 公式可以使精度达到我们所要求的水平：如M x f n ≤+)()1(，d x x ≤−0，则)(!)())(()()(00)(000x x n x f x x x f x f x f n −++−'+≈ ， 其误差110)1()!1()()!1()()(++++≤−+=n n n n d n M x x n f x R ξ。
2.2求多项式的表达式例 1 三次多项式)(x p 在1=x 处的函数值及各阶导数值为1)1(=p ，2)1(−='p ，4)1(=''p ，6)1(='''p ，求)(x p 。
解： 注意到)(x p 在1=x 处有三阶导，不妨考虑将)(x p 在1=x 处展开为带Lagrange 型余项的Taylor 公式，则)1(,)1(!4)()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(4)4(32x x p x p x p x p p x p <<−+−'''+−''+−'+=ξξ 又)(x p 为三次多项式，则0)()4(=ξp ，所以43)1()1(2)1(21)(2332+−−=−+−+−−=x x x x x x x p2.3求未定式的极限在寻找未定式极限时常用等价无穷小替换法，如x e x ~1−，x x ~sin （0→x 时），以及洛必达法则。
泰勒公式应用
泰勒公式应用1.一句话概括泰勒展开式：用多项式无限逼近一个函数，就是函数在一点的泰勒展开。
泰勒级数是将函数展开成幂项相加的形式。
目的是用相对简单的函数来拟合复杂的函数。
这时候相对简单就看你的需求了。
第一级扩展的最大数量是1，第二级扩展的最大数量是2。
泰勒公式的几何意义是用多项式函数逼近原函数。
因为多项式函数可以随时求导，所以计算简单，很容易求解极值或者判断函数的性质。
因此，函数的信息可以通过泰勒公式得到。
同时，对于这种近似，必须提供误差分析以提供近似的可靠性。
2.为什么需要扩张？(泰勒展开有什么用？)a.方便求一些函数值，因为泰勒展开是多项式，而多项式的值一般都很好求，只要代入变量，就可求出因变量。
而很多函数的函数值很难求，例如sinx，lnx这类的。
b.方便计算，简化问题：泰勒公式应用 4泰勒公式余数有两种:一种是定性的钢琴余数，一种是定量的拉格朗日余数。
这两种剩余物品本质相同，但功能不同。
一般来说，不需要定量讨论余数的时候，可以用钢琴余数(比如求不定极限，估计无穷小阶)；当我们需要定量讨论余数时，就要用到拉格朗日余数(比如用泰勒公式近似计算函数值)二、应用1.一阶泰勒展开梯度下降法和一阶泰勒展开泰勒展开包括梯度。
从梯度(最大方向导数)的定义出发，可以得到优化方向:负梯度。
这个有手工公式，下次再补充。
对了:为什么要用梯度下降？在机器学习领域中，建模需要loss损失函数，模型越优，loss越小，函数求导=0找极值。
机器学习中，有两种求极值的办法，一种是解析解，一种是梯度下降（特征维度超多时，如one-hot后用）当你建模的特这个x的维度特别大，超过1000维度，那么解析解计算就很费事，所以借助梯度下降来牺牲时间换空间的方式来计算,得到一个近似解那为什么梯度下降就可以使得我这个x越来越靠近极值点，为什么不朝着其他的方向尽进行下降，重点：梯度下降具有最快下降到极值点的性能。
具有最快的下降速度这个就用到一阶泰勒展开2.二阶泰勒展开xgboost和二阶泰勒，以及二阶泰勒的优势因为这样做使得我们可以很清楚地理解整个目标是什么，并且一步一步推导出如何进行树的学习。
浅谈泰勒公式的应用
浅谈泰勒公式的应用泰勒公式是数学中的一个重要工具，它可以将一个光滑函数在一些点的附近用无穷阶的多项式来近似表示。
泰勒公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、金融等多个领域。
以下将从几个方面来浅谈泰勒公式的应用。
一、函数近似表示泰勒公式可以将一个函数在一些点附近用多项式来近似表示。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
比如，在数值计算中，我们常常需要对函数进行逼近计算，而泰勒公式可以提供一个简单而准确的方法。
此外，在物理学中，泰勒公式也常用于描述物理量的变化规律，比如速度、加速度等。
二、数值计算在数值计算中，泰勒公式可以用于求解函数的近似值。
通过选择适当的展开点和多项式次数，可以得到满足精度要求的近似解。
泰勒公式的应用在数值积分、数值微分和数值方程求解等方面都有重要作用。
比如，在求根算法中，泰勒公式可以用于构造迭代格式，从而提高求解效率。
三、物理建模泰勒公式在物理建模中也有广泛的应用。
物理现象往往可以用函数来描述，而泰勒公式可以将函数在其中一点附近展开成多项式，从而方便对物理现象进行研究。
比如，在力学中，我们可以利用泰勒公式来研究物体的运动规律，推导出牛顿第二定律等重要定理。
此外，在电磁学中，泰勒公式也可以用于描述电场和磁场的变化规律。
四、金融工程泰勒公式在金融工程中也有一定的应用。
金融市场中的价格变动往往是连续的，而泰勒公式可以将价格变动用多项式来逼近。
这对于金融衍生品的定价和风险管理非常重要。
比如，在期权定价中，可以利用泰勒公式将期权价格展开成多项式，从而方便计算和分析。
此外，在风险管理中，泰勒公式也可以用于计算金融产品的敏感性，帮助投资者进行风险控制。
总之，泰勒公式是数学中的一个重要工具，它的应用涵盖了各个领域。
无论是数值计算、物理建模还是金融工程，泰勒公式都发挥着重要的作用。
通过泰勒公式，我们可以对函数进行近似表示，进行数值计算，描述物理现象和分析金融风险。
因此，熟练掌握泰勒公式的应用是非常重要的。
泰勒公式的基本概念和应用
泰勒公式的基本概念和应用泰勒公式是一种用于描述函数的近似方法，通过在某个点处对函数进行不断求导，求出函数在该点处的各阶导数，然后利用这些导数来构造一个多项式近似函数。
泰勒公式可看作是函数的泰勒级数展开式的一个特例，而泰勒级数是一类函数级数，能够用来表示函数在一个点附近的局部信息。
一、基本概念泰勒公式的基本形式如下：$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。
泰勒公式主要用于对函数在某个点的局部近似，即在 $x=a$ 处对 $f(x)$ 进行展开。
若 $a=0$，则展开式称为麦克劳林级数。
泰勒公式的应用非常广泛，如计算机图形学中的三维模型表面细分算法（Subdivision Surface）、数值分析中的数值积分和数值微分等。
二、应用举例1. 计算三角函数三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数分别为：$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+···$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+···$对于一个给定的 $x$ 值，我们可以通过计算级数的一部分来计算三角函数的值。
例如，使用 $\sin x$ 的前 $5$ 个项来计算$\sin(2)$，我们有：$\sin 2=2-\frac{2^3}{3!}+\frac{2^5}{5!}-\frac{2^7}{7!}≈0.909`2. 计算指数函数指数函数 $e^x$ 的泰勒级数为：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+···$同样地，我们可以使用级数的前 $n$ 项来计算 $e^x$ 的近似值，以得到 $e$ 的近似值。
《高等数学》课程中泰勒公式的应用
《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。
泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。
1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。
我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。
2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。
对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。
通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。
3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。
当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。
通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。
4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。
当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。
将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。
5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。
在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。
在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。
泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。
通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。
了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。
4.11 泰勒公式的应用
例3. 设 f ( x)在 [0,1] 上二阶可导，且 f ( x) a , f ( x) b ,
则对任意 c (0,1) , 有 f (c) 2a b .
2
证明 f ( x) f (c) f (c)( x c) 1 f ( )( x c)2
2
（其中 介于 x 与 c 之间）
x) sin x ex3
x
.
解
原式
lim
x
x2 2
(
x
2
)
x
x3 3!
(
x
3
)
x0
1
x2 2!
(
x2
)
1
x3
( x3 )
ln(1 x) x x2 x3 23 x3 x5
sin x x 3! 5! x2 x4
cos x 1 2! 4!
ex 1 x x2 2!
2
证明
上述两式相减并化简得
f (c)
f (1)
f (0)
1 2
c 2
f
(1
)
(1
c)2
f (2 )
f (c)
f (1)
f
(0)
1 2
c 2
f (1 ) (1 c)2
f (2 )
2a
b 2
c 2
(1 c)2
2a
b c
2
(1 c)2
2a
b 2
.
例4. 设 f ( x) 在 [a, b] 上具有二阶连续导数，则存在 (a, b) , 使
a
2
b
(b
a)2 4
f () .
从而 m f ''(1 )+f ''(2 ) M
泰勒公式和运用范文
泰勒公式和运用范文泰勒公式（Taylor series）是数学中一个非常重要的工具，它被用于在给定函数的其中一点附近近似展开这个函数。
泰勒公式的运用广泛，既用于数学推导，还用于物理、工程等领域中的问题求解。
本文将介绍泰勒公式的原理，并给出一些常见的应用例子。
一、泰勒公式的原理泰勒公式可以用来近似表示一些函数在其中一点附近的值。
公式的具体形式如下所示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)代表原函数在点x处的值，f(a)代表原函数在点a处的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别代表原函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数的值。
x-a表示x相对于点a的偏移量。
泰勒公式可以通过不断添加高阶导数项来提高近似的精度。
当阶数无限逼近时，就得到了原函数的精确表达。
大多数情况下，我们只需要保留前几项就能够得到足够精确的近似结果。
二、泰勒公式的应用举例1.正弦函数的泰勒展开正弦函数是一个周期为2π的函数，我们可以将其在其中一点进行泰勒展开。
假设我们要在点a附近展开正弦函数，那么泰勒公式的表达式为：sin(x) = sin(a) + cos(a)(x-a) - sin(a)(x-a)²/2! - cos(a)(x-a)³/3! + ...当a=0时，泰勒展开简化为：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...这个公式可以用来计算比较小角度范围内的正弦值，由于幂函数和阶乘函数的增长速度很快，展开后的结果准确度相对较高。
2.自然指数函数的泰勒展开自然指数函数e^x是一个在整个实数域上定义的函数，我们可以将其在点0附近进行泰勒展开。
泰勒公式的表达式为：e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...这个公式可以用来计算自然指数函数的近似值，只需要保留前几项即可得到足够精确的结果。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
《高等数学》课程中泰勒公式的应用
《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一种常用的数学工具，它可以将一个函数在某点附近展开成无穷次幂的形式，从而方便我们进行运算和近似计算。
泰勒公式的应用非常广泛，下面将介绍一些泰勒公式的常见应用。
一、泰勒公式的定义及展开形式泰勒公式是数学中的一种近似计算方法，它是由英国数学家James Gregory和Brook Taylor独立发现的，所以又称为Gregory-Taylor公式。
对于任意可导的函数f(x)，泰勒公式可以将其在某一点a附近展开成无穷次幂的形式，表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a) (x-a)^2/2!+f'''(a) (x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rnf'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘，Rn表示剩余项。
二、泰勒公式的应用1.函数的近似计算泰勒公式可以通过截取展开式的前几项，近似计算一个函数的极限。
特别是当函数在某点处的极限存在但不容易计算时，我们可以利用泰勒公式进行近似计算，从而得到更精确的结果。
3.函数的图像绘制由于泰勒公式将一个函数表示为一系列多项式的和，因此可以利用这个特性，将一个函数的图像近似为一系列多项式的图像的和。
如果我们截取展开式的前几项，就可以得到近似于原函数图像的图像，从而方便我们进行观察和分析。
4.误差估计剩余项Rn在泰勒公式中起到了重要的作用，它表示了使用泰勒公式近似计算的误差。
通过对剩余项的分析和估计，我们可以得到一个近似值的误差范围，从而判断近似结果的有效性，并进行误差的控制和优化。
泰勒公式是一种非常重要的数学工具，在高等数学的学习中具有广泛的应用。
它在函数的近似计算、极限计算、图像绘制和误差估计等方面都发挥着重要的作用。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用泰勒公式是数学中一种用于近似函数值的方法，它可用来在其中一个点附近的小区间内用多项式来表示一个函数。
泰勒公式可以用于求解函数的近似值、研究函数的性质以及优化算法等方面的应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)处处可导，且规定x为实数。
若在开区间(a,b)内有无限次可导的函数f(x)则对于(a,b)内的任意实数x及正整数n，有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)其中，x0为(a,b)内的任意固定点，Rn(x)为用(x-x0)^n的余项，且满足lim Rn(x)=0。
泰勒公式的应用广泛，以下介绍几个常见的应用：1.近似计算：泰勒公式可以用于计算函数在其中一点附近的近似值。
通过截取泰勒级数的前几项，可以用一个简单的多项式代替原函数，从而简化计算。
例如，可以用泰勒公式来近似计算指数函数、三角函数等复杂函数在其中一点附近的函数值，从而简化计算过程。
2.函数展开：泰勒公式可以将一个任意函数在其中一点附近展开成多项式的形式，从而研究函数的性质。
通过观察和分析泰勒展开式的形式，可以推导出函数的导数、极值、拐点等重要性质，进一步理解函数的行为特征。
3.数值优化：泰勒公式可以用于求解优化问题中的极值。
通过将目标函数在极值点展开为泰勒级数，可以通过近似的方式来确定极值点的位置。
这种方法常用于计算机算法中的数值优化问题，例如梯度下降法等。
4.工程应用：泰勒公式在工程中有广泛的应用。
例如，在电子电路设计中，可以使用泰勒公式来近似计算非线性元件的响应特性，从而简化电路的分析和设计。
在物理学中，泰勒公式可以用于解析力学、电磁学等领域的问题，通过近似计算来简化复杂的数学模型。
总结起来，泰勒公式是数学中一个重要的工具，它可以用于近似计算、函数展开、数值优化和工程应用等多个方面。
在实际问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们理解和求解复杂的函数及其性质，进而提供了有效的计算和分析方法。
泰勒公式的实际应用
泰勒公式的实际应用
嘿，你知道吗，泰勒公式那可真是个超厉害的东西！它在好多地方都大显神威呢！
比如说在近似计算中，你看啊，假如我们要计算一个很难算的数值，就像要算出根号 5 的精确值。
这时候泰勒公式就像一个神奇的魔法棒，能让我们用简单的多项式来近似它，而且精度还很高呢！这多酷啊！
再想想物理中的振动问题，就像钟摆的摆动。
泰勒公式能够帮我们很好地描述和理解这种复杂的运动，难道不是很神奇吗？它就像是一把解开物理奥秘的钥匙呢！
还有在函数图像的绘制上，当我们想大致画出一个复杂函数的图像时，泰勒公式又能出马了。
就如同给我们指引方向的明灯，让我们清楚地知道函数大概的形状走势，这可帮了大忙了，不是吗？
总之啊，泰勒公式在各个领域都有着不可或缺的作用，就像一个隐藏的高手，默默地发挥着巨大的威力！你是不是也对它充满了好奇和惊叹呢？。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用泰勒公式是微积分中一个重要的定理，它允许我们通过多项式的Taylor级数来近似复杂函数的值。
本文将介绍泰勒公式的几种证明及应用。
1.麦克劳林级数证明：泰勒公式的一种常见证明方法是通过麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，即当参数a=0时的泰勒级数展开。
假设函数f(x)存在无限阶的导数，将f(x)在x=a处展开为幂级数，则有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过截取级数的前几项，我们就可以用一个多项式来近似原函数的值。
2.极限证明：另一种证明泰勒公式的方法是使用极限。
考虑函数f(x)在x=a处的n阶导数f^(n)(a)，则可以证明当x趋向于a时：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示当x趋向于a时，高于(x-a)^n的项的阶数。
这个证明方法其实是利用了极限的定义，将函数值的误差与展开式中的余项进行比较。
3.应用：泰勒公式是微积分中非常重要的一个工具，它可以应用于众多的数学和物理问题中。
以下是几个泰勒公式的应用案例：-函数近似：通过泰勒公式，我们可以将复杂的非线性函数近似为多项式的形式，从而简化计算。
这在数值计算、数据分析以及物理模型的建立中非常常见。
-数值积分：泰勒公式可以用于数值积分的方法之一，即将被积函数在其中一点处展开成泰勒级数，并对多项式项进行数值积分。
这种方法可以提高计算的精度和效率。
-数值解微分方程：在数值解微分方程的过程中，泰勒公式可以用于将微分方程转化为一组代数方程，从而实现数值迭代解法。
-物理模型建立：在物理学中，泰勒公式可以用于建立物理模型，例如近似计算质点的运动轨迹、估算电路中的电流大小等。
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
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摘要泰勒公式是微积分中一个重点和难点内容，它能将某些复杂函数近似地表示成简单的多项式函数，体现了微积分“逼近法”的思想精髓，成为解决数学问题的有力工具.基于此，本论文探讨了泰勒公式在诸多数学问题中的应用.为此，首先阐述了泰勒公式的基本思想理论；其次，重点总结介绍了泰勒公式在求解极限、证明不等式与等式、计算行列式，研究函数性态和近似计算与误差估计等方面的应用；同时,每种应用下都给予了相应的典型例题加以具体说明.通过本文的探讨介绍，充分显示出泰勒公式在解题中所发挥出的重要作用.关键词：泰勒公式，高阶导数，行列式，误差估计ABSTRACTTaylor formula is an important and difficult content in the Calculus,it can take some complex functions approximately expressed as the simple polynomial functions, and it reflects the essence of "approximation method" of the calculus, so it is a powerful tool to solve many mathematical problems. Based on this, this paper discussed the application of Taylor formula in solving many mathematical problems. For this reason, firstly , described the basic idea and theory of Taylor formula; Secondly, summaried and described the application of Taylor formula in solving problems like limit calculation, proving the inequalities and the equation s, studying the state of function, approximate calculation and error estimation and so on; At the same time, the corresponding typical examples are given under each application for the specific descriptions. Through the introduction of this paper, demonstrated fully the significant role of Taylor formula in solving a lot of mathematical problems.Key words：Taylor formula，Higher derivative，Determinant，Error estimation目录摘要 (I)ABSTRACT ............................................................................................................................................ I I 引言 .. (1)1 泰勒公式 (2)1.1 泰勒公式的引入 (2)1.2 常见函数的泰勒展开式 (4)2 泰勒公式的应用 (6)2.1 证明不等式与等式 (6)2.2 求解极限 (9)2.3 计算有理函数的不定积分 (11)2.4 判别级数敛散性 (12)2.5 研究函数性态 (15)2.5.1 判断函数的极值 (15)2.5.2 求函数的拐点 (17)2.5.3 判别函数的凹凸性 (19)2.6 求高阶导数 (20)2.7 计算行列式 (21)2.8 证明中值定理 (23)2.9 近似计算与误差估计 (27)3 结束语 (31)参考文献 (32)致谢 (33)榆林学院本科毕业论文引言多项式函数是各类函数中最简单的一种，对于一些比较复杂的函数，为了便于数值计算和理论分析，可以用多项式逼近函数，为了更好更方便地研究一些函数，则需要寻求更广泛，更高精度的近似公式来表示函数，这就引入了泰勒公式.泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓.泰勒公式在微分学中占有很重要的位置，尤其在解决一些计算和证明问题中有十分重要的作用.泰勒公式适用于函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题，它的一般应用多见于近似计算.而在诸多数学分析教材中，对泰勒公式的介绍仅局限在如何进行函数的泰勒展开，并未对其展开深入的阐述说明.实际上，泰勒公式除应用于近似计算外，还在其他方面有着广泛且重要的应用.如用泰勒公式来求函数极限，用泰勒公式证明不等式，讨论级数收敛等等.本文详细介绍几种泰勒公式的应用，以典型例题进行具体说明，以期举一反三，拓宽思路，从而加深对泰勒公式的认识和理解.泰勒公式的应用1泰勒公式1.1 泰勒公式的引入 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，这类函数对于数值计算和理论分析都很方便.如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求，那么就可以用多项式表示出此函数.若函数()p x 是n 次多项式2012()n n p x a a x a x a x =++++将它改写为01()()()n n p x b b x a b x a =+-++-则 ()()!k k p a b k =，0k =，1，2， ，n (0)()()p a p a =于是 ()2()()()()()()()()1!2!!n n p a p a p a p x p a x a x a x a n '''=+-+-++- 对任意一个函数f (x )，只要函数f (x )在a 点存在n 阶导数，就可以写出一个相应的多项式()2()()()()()()()()1!2!!n n n f a f a f a T x f a x a x a x a n '''=+-+-++- ()n T x 称为函数f (x )在a 点的n 次泰勒多项式，那么n 次泰勒多项式()n T x 与函数f (x )在a 点的邻域上有何种联系呢？下面的定理回答了这个问题.定理1 若函数f (x )在a 点存在n 阶导数()()n f a ，则()2()()()()()()()()()1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n '''=+-+-++-+ （1-1） 其中榆林学院本科毕业论文()n R x 0(())n x a =- ()x a →则（1-1）式称为f (x )在a 点的泰勒公式，其中()n R x 为泰勒公式的余项.综上，得出泰勒公式的一般形式是f (x )=f (0x )+f '(0x )(x -0x )+0()2!f x ''20()x x -+…+()0()!n f x n 0()n x x -+()n R x （1-2） 其中()n R x 为泰勒公式的余项，有以下两种类型:(i) 拉格朗日余项 (1)()(1)!n f n ξ++10()n x x +-（0x <ξ<x ） (ii) 佩亚诺余项 00(())n x x -根据所带余项类型的不同，可以将泰勒公式分为以下两种类型：(a ) 带有佩亚诺余项的泰勒公式函数f (x )在[,]a b 上具有n 阶导数，则对任意[,]x a b ∈,有()f x =()()()f a f a x a '+-+(2)()2!f a ()2x a -+…+()()!n f a n ()0(())n n x a x a -+- 即 00()lim 0()n nx x R x x x →=-，()0(())n n R x x a =-. (b ) 带有拉格朗日余项的泰勒公式函数f (x )在含有0x 的某个开区间（,a b ）内具有直到1n +阶导数，则对任意 (,)x a b ∈，有000()()()()f x f x f x x x =+-+…+()0()!n f x n 0()()n n x x R x -+ （1-3） 其中 (1)00(())()!n n f x x x R x n θ++-=10()n x x +- (01)θ<< 形如 ()n R x =(1)00(())!n f x x x n θ++-10()n x x +-的余项称为拉格朗日型余项. 在式（1-3）中，令 0x =0，得到f (x )在0x =点的泰勒公式泰勒公式的应用()(0)()()f x f f x x '=++…+()()!n f x n ()()n n x R x + 上式称为麦克劳林公式.1.2 常见函数的泰勒展开式根据函数f (x )在任一点0x 点的泰勒公式()20000000()()()()()()()()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+ 可得到几个常见函数在任一点0x 点处的泰勒公式，如下：00002000()()()1!2!!x x x x x n e e e e e x x x x x x n =+-+-++-+ ； 02000000sin()cos sin 2sin sin ()()()1!2!!n k x x x x x x x x x x x n π+-=+-+-++-+ ； 0000cos()sin 2cos cos ()()1!!n k x x x x x x x x n π+-=+-+⋯+-+⋯； 12200000(1)(1)(1)(1)(1)()()1!2!x x x x x x x x ααααααα--+-++=++-+-+00(1)(2)(1)(1)()!nn n x x x n ααααα----+++-+ ；21200000(1)(1)ln(1)ln(1)()()1!2!x x x x x x x x --+-++=++-+-+100(1)!(1)(1)()!nn n n x x x n ---+⋯+--+⋯； 23210000000(1)11()(1)()(1)()111!n n x x x x x x x x x x x -----=+-+--+⋯+--+⋯--； 令00x =，就得到了上述函数在0点处的泰勒公式，也就是上述的麦克劳林公式.212!xx e x =+++…+!nx n +…； 35sin 3!5!x x x x =-+-…+211(1)(21)!n n x n -+-+-…；榆林学院本科毕业论文 24cos 12!4!x x x =-+-…+2(1)(2)!n n x n -+…； (1)(1)12!x x αααα-+=++2x +(1)(2)3!ααα--3x +…；23ln(1)23x x x x +=-+-…+1(1)n n x n--+…； 111x x =++-2x +…+n x +….泰勒公式的应用2 泰勒公式的应用2.1 证明不等式与等式利用泰勒公式证明不等式或等式，主要有下面两步：(i ) 构造一个函数()f x ，选一个展开点0x ，0()f x x 然后写出在处的带有拉格朗日余项的泰勒公式，接下来需要选择在哪一点处把函数展开为泰勒公式.函数在一个区间的性质常常可由该区间中的一些特殊点来反映，如：端点、分点（中点，三等分点，四等分点等）、零点、驻点、极值点和最值点，拐点.此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点.运用泰勒公式时，就是将以上这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.如果函数在区间中的任意点处的导数信息较为充分，那么这个任意点也可作为展开中心.(ii ) 根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式等对(,)a b ξ∈进行放缩.如设函数0()y f x x =在点附近二阶可导，由泰勒公式得出以下结论 （a ）若()0f x ''>，000()()()()f x f x f x x x '≥+-则有；（b ）若()0f x ''<，000()()()()f x f x f x x x '≤+-则有，等号在0x x =时成立. 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式替代，往往可使证明方便简捷一些.例1 设(0,1),(1)x x ∈+试证明22ln (1)x x +<.证明 设辅助函数()(1)f x x =+2ln (1)x +-2x ⇒(0)0f =2()ln (1)2ln(1)2f x x x x '=+++-⇒(0)0f '=2()[ln(1)]1f x x x x''=+-+⇒(0)0f ''= 22ln(1)()0(1)x f x x +'''=-<+ (0,1)x ∈则()0f x =的二阶泰勒公式（带有拉格朗日余项）为 (0)()(0)(0)2!f f x f f x '''=++2()3!f x ξ'''+3()3!f x ξ'''=30x <即 ()0f x < 01x <<.如果函数()f x 的二阶及二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式来证明这类不等式的一般思路是：（A ）写出比最高阶导数低一阶的泰勒展式； （B ）恰当选择等式两边的0x x 与；（C ）根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩.例2 设()f x 在[,]a b 上有二阶导数，且()()0,f a f b ''==试证：在(,)a b 内至少存在一点24()(),()()f b f a f b a ηη-''≥-使.证明 由于()f x 在[,]a b 上具有二阶导数，故()f x 在0x 处一阶泰勒公式成立000()()()()()2!f f x f x f x x x ξ'''=+-+20()x x - （2-1）其中ξ在0x x 与之间,0x [,]a b ∈ 在（2-1）中,令 0x =a ，2a bx +=，则 11()()()222!a b a b f f a f a a f ξ++'''=+-+22a ba +-又 ()0f a '= 故11()()22!a b f f a f ξ+''=+22b a- 12a b a ξ+≤≤ （2-2） 在（2-2）中,令0x b =，2a bx +=又 ()0f b '= 故21()()22!a b f f a f ξ+''=+22b a- 22a b b ξ+≤≤ （2-3） （2-3）减（2-1）,并取绝对值，得1()()8f b f a -=221()(()())b a f f ξξ''''-+ 取12()max{(),()}f f f ηξξ''''''= a b η≤≤则24()()()()f b f a f b a η-''≥-.例3 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 具有二阶导数，且存在相等的最大值()()f a g a =，()()f b g b =，证明：存在(,)a b ξ∈,()()f g ξξ''''=使得.分析 本题考查的知识点是连续函数介值定理与罗尔定理的应用，在参考答案中运用了两次罗尔定理来证明，此题也可用泰勒公式证明.令()()()x f x g x ϕ=-，就成为证明存在1,212(,),a b ξξϕξϕξ''''∈使得()与()异号，从而证明存在(,),()0a b ξϕξ''∈=使得.证明 令()()()x f x g x ϕ=-，由已知条件，可得()0a ϕ=，()0b ϕ=设 12(,),(,)x a b x a b ∈∈ 设 12x x < 使得12[,][,]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===那么111()()()0x f x g x ϕ=->；222()()()0x f x g x ϕ=-< 根据连续函数介值定理，存在0(,)x a b ∈，使得0()0x ϕ=. 将()x ϕ在点0x 处展开为泰勒公式，则0001()()()()2a x x a x ϕϕϕ'=+-+1()ϕξ''20()0a x -= 10(,)a x ξ∈ 00021()()()()()2b x x b x ϕϕϕϕξ'''=+-+20()0b x -= 20(,)x b ξ∈注意到0()x ϕ，由以上两式可得1020()()()()x a x b ϕξϕξ''''-=-因00x a ->，00x b -< 故12()()ϕξϕξ''''与异号 设1()0ϕξ''>，2()0ϕξ''< 则存在3412,(,),x x ξξ∈使得31()()x ϕϕξ''>，42()()x ϕϕξ''>说明12()[,]x ϕξξ'在上必取得最大值，从而存在12[,](,)a b ξξξ∈⊂使得 ()0ϕξ''=.2.2 求解极限目前为止，在求解极限问题中，除个别函数极限如0sin lim1x xx→=用特殊方法外，很大一类函数极限是利用初等函数的性质（连续性，极限性质）及极限运算法则求出的.例如,216(5)arctan 34lim2x x x x e e eππ→+==，这类极限都是可以直接确定的. 此外，还有一些“不定型”，即以下几种形式：“0/0”、“/∞∞”、“ 0∞⋅”、“∞-∞”、“ 0∞⋅”、“ 0⋅∞”，“ 1⋅∞”.其中“0/0”、“/∞∞”是基本的两类，其它类型可化为这两类.确定待定型的极限，有两种基本方法 (i )用洛比达法则；(ii )将原式中某些（较复杂的）函数换作它的泰勒展式（带佩亚诺余项），经过化简后求极限.现在来举例说明利用泰勒公式求上述不定型的极限的技巧，以体现数学以简驭繁的精神.例4 求极限260tan arctan lim x x x x x →-.解 由260lim(tan arctan )lim 0x x x x x x →→-==知这是0/0型，若用洛比达法则求极限，计算会非常繁琐，现利用泰勒公式展开求其极限.260tan arctan lim x x x x x →-=3355662602[0()][0()]31535lim x x x x x x x x x x x→+++-++- 666020()29lim 9x x x x →+==. 在计算过程中应注意，无穷小的计算和泰勒展开式的项数，本题极限分子中的tan x ，arctan x 只要展开到5x 就够了，因为分母是6x ，这就要求分子的裴亚诺余项是比6x 的无穷小.由上述例子能够发现,可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题，因此，满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:(a)用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁琐.(b)分子或分母中有无穷小的差，且此差不易转化为等价无穷小替代形式.(c)所遇到的函数容易展开为泰勒公式.当确定了要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数.如果分母（或分子）是n 阶，就将分子或分母展开为n 阶麦克劳林公式.如果分子分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.例5 计算0tan(tan )sin(sin )limtan sin x x x x x→--.解 此题是0/0型，但用洛比达法则很难求出.不难验证出分子的两项tan(tan )sin(sin )(0,)x x δ和都在0内三阶可微，因为331sin 0()3!x x x x =-+，331tan 0()3!x x x x =++ 3333111tan sin 0()0()3!3!3x x x x x x -=++=+ 从而可见分母tan sin x x -是3的三阶无穷小，故写出的分子上各函数三阶泰勒展开式关于3x 较高阶无穷小可省略去,又331sin(sin )sin 0()3!x x x x x =-+=-13!313!x -333330()0()3!3x x x x x x -+=-+ 33332tan(tan )tan 0()0()3!3x x x x x x x =++=++故33tan(tan )sin(sin )0()x x x x -=+ 所以，原式结果为3.2.3 计算有理函数的不定积分泰勒公式对0()()n mP x dx x x -⎰（其中()n P x 是关于x 的n 次多项式）类型的有理函数不定积分的计算很简便，此时将()n P x 展成在0x 点的泰勒公式级数共有1n +项.0000()()()()()1!2!n n n n p x p x p x p x x x '''=+-+20()x x -+…+()0()!n n p x n 0()n x x - 则000120000()()()()()()()2!()n n n n m m m m p x p x p x p x x x x x x x x x --'''=+++----…+()00()!()n n m np x n x x -- 此时，等式右端的每一项积分都很容易求得.例6 计算43246541(2)x x x dx x -++-⎰.解 设432()6541,2f x x x x x =-++=将其在点展开，有234148(2)236(2)258(2)144(2)()731!2!3!4!x x x x f x ----=++++故 4432()73148118436(2)(2)(2)(2)2f x dx dx dx dx dx dx x x x x x =++++-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =32737411843ln 263(2)(2)2x x c x x x ---+-++---.2.4 判别级数敛散性关于级数收敛的判别方法有很多，对于正项级数的收敛判别法常见的有比较判别法，柯西判别法，达朗贝尔判别法等.而当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便于利用判敛法则.下面利用泰勒公式把一些级数1n n u ∞=∑的通项n u 近似表示成幂函数1(1)nn n αβ-和的线性组合，误差为高阶无穷小，根据级数111(1)nn n n nαβ∞∞==-∑∑和的收敛情况比较容易地判别级数1n n u ∞=∑的敛散性，下面引用级数收敛得一些[]1性质.性质1 正项级数11n nα∞=∑，1α≤当时，级数发散；当1α>时，级数收敛. 性质2 交错级数1(1)nn n α∞=-∑，当0α≤时，级数发散；当01α<≤时，级数条件收敛；当1α>时，级数绝对收敛.性质3 若级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑都收敛，则级数1()(,)n n n ku lv k l ∞=+∑为常数收敛.性质4 级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑都是正项级数，且lim (0,0),nn n nu l u l v →∞=≠<<+∞则级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑同敛散. 性质5 若级数级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑都绝对收敛，则级数1()n n n u v ∞=±∑绝对收敛.性质6 若级数1n n u ∞=∑绝对收敛，级数1n n v ∞=∑条件收敛，则级数1()n n n u v ∞=±∑条件收敛.性质7 若级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则对1n n u ∞=∑进行任意重排，得到的级数1n n v ∞=∑也绝对收敛.例7 设()0f x x =在的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0x f x x→=，证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.分析 由题设条件“()0f x x =在的某一邻域内具有二阶连续导数”这一信息可知能够使用泰勒公式，又根据条件0()lim0x f x x→=易推得(0)(0)0f f '==，这使得()0f x x =在点的展开式更加简单，便于利用比较判别法判断敛散性.证明 由 0()lim0x f x x→=，并且()0f x x =在的某一邻域内具有二阶连续导数，可得(0)0f =，(0)0f '=将()0f x x =在的邻域内展成一阶泰勒公式22()()()(0)(0)2!2!f x f x f x f f x ξξ'''''=++= (0)x ξ<<根据题设条件，()f x ''在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续,故存在M ，且0M >使得()f x M ''≤于是221()()22M f x f x x ξ''=≤ 令 1x n=则211()2M f n n≤⋅因为211n n ∞=∑收敛，所以11()n f n ∞=∑绝对收敛.例8讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析 直接由通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而无法适当地选择判敛方法，但注意到11ln ln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n的幂的. 解 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n n n+=+=-+-+< 因此故0n u =>故该级数是正项级数. 因为) =>=3/212n=-所以3/23/211)22nun n=<-=由于级数3/2112nn∞=∑收敛，故由正项级数比较判别法知原级数收敛.本题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，这是应用比较判别法时经常会用到的技巧.2.5 研究函数性态2.5.1 判断函数的极值应用带有佩亚诺型余项的泰勒公式，将函数极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到函数极值的另外一种判别法.定理2 若()f x在点x及邻域()U x内具有n阶连续导数，且(1)()0000()()()0,()0n nf x f x f x f x-'''====≠（i）若n为奇数，则x不是极值点；（ii）若n为偶数，则当()()0nf x<时，()f x为极大值；当()()0nf x>时，()f x为极小值.证明由已知条件及泰勒公式有()()()()!nf xf x f xn=+00()0[()]n nx x x x-+-则()00()()()!n f x f x f x n -=00()0[()]n n x x x x -+- （2-4）因()0()0n f x ≠，则存在点0x 的某一邻域0()U x ，使得当0()x U x ∈时，式（2-4）等号右端由第一项决定符号.当n 为奇数，在点0x 的某一邻域0()U x 内，当00()0n x x x x <-<时，； 当n 为偶数，且当()0()0n f x <时，有0()()0f x f x -<.即对一切0()x U x ∈，有0()()f x f x <，故0()f x 为极大值.同理可证()0()0n f x >时，0()f x 为极小值.当0x x >时，0()0,n x x ->即在点0x 的左右侧，式（2-4）右端变号，因此0x 不是极值点.例9 已知函数()f x 在x a =邻域内二阶可导，()0f x ''≠且当x a =时取得极小值()0f a =，问2()3()()1g x x a f x =--+在x a =能否取得极值，如有极值，求出极值.解 ()f x 在x a =处的泰勒公式22()()()()()()0(())2!f a x a f x f a f a x a x a ''-'=+-+++- 由于()f x 在x a =时取得极小值()0f a =，因此()0f a '=，()0f a ''>.此时22()()()0(())2!f a x a f x x a ''-=++- ()g x 可以表示为443()()()10(())22!f a x ag x x a ''-=-⋅++-因为()1g a =又 3()2f a ''-4()0x a -= 故()g x 在x a =处取得极大值，极大值为1.2.5.2 求函数的拐点利用数学分析教材中运用二阶导数的符号判定拐点，进一步可得到下面结论：定理3 若()f x 在点0x 及邻域0()U x 内具有三阶连续导数，且0()0f x ''=，0()0f x '''≠，00(,())x f x 则为曲线的拐点. 证明 由导数定义有00000()()()()limlimx x x x f x f x f x f x x x x x →→''''''-'''==-- 由于 0()0f x '''≠ 可设 0()0f x '''>由极限的保号性，存在点0x 的某一去心邻00()U x 00()x U x ∈当时，有00()0f x x x ''>-.即当00x x ->时，()0f x ''>；00x x -<当时，()0f x ''<.因此点00(,())x f x 为曲线的拐点.由以上结论可以得到更一般的情形，概括为下面的定理4. 定理4 若()f x 在点0x 及邻域0()U x 内具有n 阶连续导数，且00()()f x f x '''''==…=(1)0()0n f x -=，()0()0n f x ≠，则（i ）若n 为偶数，则点00(,())x f x 一定不是曲线的拐点； （ii ）若n 为奇数，则点00(,())x f x 为曲线的拐点. 证明 情形（i ），令()()g x f x ''=，()()g x f x ''''=，…，(3)(1)()()n n g x f x --=由条件00()()f x f x '''''==…=(1)0()0n f x -=可得00()()g x g x '==…(3)0()0n g x -==，(2)()00()()0n n g x f x -=≠.若n 为偶数，则2n -为偶数，由极值判定定理可知()g x 在0x 处取得极值，也就是在点0x 取得极值.由极值定义，在点0x 的某个去心邻域内，对任意一x ，有0()()f x f x ''''>或0()()f x f x ''''<，故00(,())x f x 一定不是拐点.情形（ii ），令()()x f x ϕ'=，()()x f x ϕ'''=…，(2)(1)()()n n x f x ϕ--=可得00()()x x ϕϕ'''==…(2)0()0n x ϕ-==，(1)0()0n x ϕ-≠.若n 为奇数则1n -为偶数，由定理可知()()x f x ϕ'=在点0x 取得极值.因此二阶导数()f x ''在点0x 两侧异号，故00(,())x f x 为拐点.例10 求函数43()(2)f x x x =+的拐点. 解 由32()(2)(78)f x x x x '=++ 所以求得函数的驻点为10x =，22x =-，387x =-.求得()f x 的二阶导数为22()6(2)(7168)f x x x x x ''=+++⇒(0)0f ''=，(2)0f ''-=，8()07f ''-<.所以，()f x 在87x =-时取得极大值，三阶导为32()6(3512012032)f x x x x x '''=+++⇒(0)0f '''=，(2)0f '''->.由定理知，3n =为奇数.()f x 在2x =-不可能取得极值，由定理知(2,0)-为曲线的拐点.四阶导为(4)32()24(3590608)f x x x x =+++所以(4)(0)0f > 由定理知，4n =为偶数.所以()f x 在0x =时取得极小值，则由定理得(00)，点一定不是曲线的拐点.2.5.3 判别函数的凹凸性定义1 设()f x 在[,]a b 上连续，如果对(,)a b 内的任意两点1x 与2x ，恒有关系式1212()()()22x x f x f x f ++<成立，则称()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；如果恒有12()2x x f +>12()()2f x f x +，则称()f x 在[,]a b 上的图形是凸的.此处利用二阶泰勒展开式给出一个凹凸性判别定理，并证明了定理. 定理5 （凹凸性判别定理）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶及二阶导数，那么（i ）若在(,)a b 内，()0,f x ''>则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （ii ）若在(,)a b 内，()0,f x ''<则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的. 证明 情形（i ），设12,(,)x x a b ∈设 12x x < 记1202x x x +=，2001x x h x x -==- 则 10x x h =-，20x x h =+ 由泰勒公式，知2100011()()()()()()2f x f x h f x f x h f h ξ'''=-=-+110x x ξ<< （2-5） 2200021()()()()()()2f x f x h f x f x h f h ξ'''=+=-+ 022x x ξ<< （2-6）120000()()2()()()2()f x f x f x f x h f x h f x +-=++--2121(()())02f f h ξξ''''=+> （2-7）因此12120()()()()22f x f x x xf x f ++>=所以，()f x 在[,]a b 上的图形是凹的.情形（ii ），若 ()0f x ''<，则根据（2-7）式可推出1212()()()22f x f x x xf ++<.所以，()f x 在[,]a b 上的图形是凸的.2.6 求高阶导数在解题中经常会遇到这样一类问题，即已知函数()f x ，求解()0()n f x .一般地，由()f x 的较为复杂的形式导致()0()n f x 求解困难.而如果从()f x 的已知泰勒展开式中求()0()n f x 会很容易.定理6 若在0x 的邻域I 内，已知()f x 的泰勒展开式 2010200()()()()nnf x a a x x a x x a x x =+-+-++-+x I ∈ （2-8） 则()0()!n n f x n a =证明 对（2-8）两端对x 分别求导后，将0x x =代入，得01()f x a '=02()2!f x a ''=()0()!n n f x n a =推论 若在0x =的邻域I 内已知()f x 的麦克劳林展开式2012()n n f x a a x a x a x =+++++ x I ∈，则()(0)!n n f n a =.例11 求2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数()(0)n f (3)n ≥. 解 由泰勒公式()(0)()(0)(0)!n f f x f f x n '=+++ 0()nn x x +以及2322212l n (1)[(1)0()]232n n n x x x x x x x x n ---+=-+-+-+-4531(1)0()232n n n x x x x x n -=-+++-+- ()1(0)1(1)!2n n f n n -=-- 故1()(1)!(0)2n n n f n --=-2.7 计算行列式对于行列式值的求法，常用的是代数知识.现可从泰勒公式入手，若一个行列式可看作x 的函数（一般为x 的n 次多项式），记为()f x ，只要函数行列式函数的各阶导数较易计算，那么按泰勒公式在某点0x 处展开就可以求得一些行列式的值，使得计算行列式值变得很便利.下面介绍如何利用泰勒公式来计算行列式得值，一般思路为 （a ）根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数；（b ）把这个行列式函数按泰勒公式在某点处展开； （c ）求出行列式函数的各阶导数值.例12 求n 阶行列式的值：n a b b bca b b D cc a b ccc a= . 解 把行列式n D 看做x 的函数，即()n x b b bcx b b D x cc x b cc c x= 则 ()n n D D a =将()n D x 在x b =处按泰勒公式展开为()()()1!n n n D x D x D b '=+()()2!n D x x b ''-+()2()()!n n D b x b n -++ ()n x b -这里 1()n n b b b bc b b bD b b c c c b b c c c b-==-以下求行列式函数()n D x 的各阶导数（根据行列式求导法则），有10000100()0001n x b b b x b b bc x b b c x b b D x c c c x c c c x '=+++1()n nD x -=类似地，有1()()nn D x D x -'''=， ，()(1)1()()n n n n D x D x --= 由递推关系还可推出12()(1)()nn D x n D x --'=-， ，21()2()D x D x '=，1()1D x =(())n D x x =因 则有21()()()n n n D b nD b nb b c--'==-312()()(1)()(1)()n nn n D b nD b n n D b n n b b c ---'''==-=-- 123()()(1)()(2)()nn n n D b nD b n n D b n n D b ---''''''==-=- 4(1)(2)()n n n n b b c -=---，(1)1()(1)2()(1)2n n D b n n D b n n b -=-=- ，()()!n n D b n =代入()n D x 在x b =的泰勒展开式2312()(1)()()()()()1!2!n n n n nb b c n n b b c D x b b c x b x b ------=-+-+-+…1(1)2()()(1)!n n n n bx b x b n --⋯+-+--若 b c =则 11()00()()()[(1)]n n n n D x nb x b x b x b x n b --=++⋯+-+-=-+- 若 b c ≠ 则 1()()()()()()1!n n n n n b n bD x b c b c x b x b b c b c b c-=-+--+⋯+----- ()()()n nb xc c x b b c ---=-令 x a =，则当 b c =时，n D =1()[(1)]n a b a n b --+-；当 b c ≠时，n D =()()n nb ac c a b b c----.2.8 证明中值定理泰勒公式法证明中值定理适用于函数()f x 具有二阶或二阶以上连续导数的命题.首先将函数在所需点处进行泰勒展开（一般根据右边表达式确定展开点），然后对泰勒余项进行适当处理（一般是利用介值定理），如下给出例题具体说明.例13 设()[,],f x c a b ∈在(,)a b 内二阶可导，证明存在(,)c a b ∈使2()()2()()()22a b b a f a f f b f c +-''-+=.分析 函数()f x 具有二阶或二阶以上连续导数的命题，联想到进行泰勒展开. 首先将函数()f x 在所需点2a b+处进行泰勒展开；然后将,a b 分别代入泰勒展式，最后用达布定理处理余项.证明 将函数()f x 在点2a b+处进行泰勒展开，并代入,a b 得 ()()()()222a b a b a b f a f f a +++'=+-+21()()2!2f c a b a ''+- 12a ba c +<< ()()()()222ab a b a b f b f f b +++'=+-22()()2!2fc a b b ''++- 22a bc b +<< 上述两式左右相加，得212()()()()()2()()242f c f c a b b a f a f b f ''''++-+-=2()()4b a fc -''=例14 设函数()f x 在(,)a b 上具有连续的二阶导数，证明在(,)a b 内存在一点ξ，使31()()()()()224baa b f x dx b a f b a f ξ+''=-+-⎰. 分析 定积分的证明，应先作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰，再按前面说明的步骤进行展开与处理并证明.证明 令 ()()x aF x f t d t=⎰ 则()0F a =，()()F x f x '=，()()F x f x '''=，()()F x f x '''''=()F x 在点02a bx +=处的二阶泰勒公式为 ()()()()222a b a b a b F x F F x +++'=+-+31()()3!2a b F x ξ+'''⋯+-31()()()()()2223!2a b a b a b a b F f x f x ξ++++''=+-+⋯+-其中2a bx ξ+<<得 x b =，x a = 并分别代入上式，相减，得 312()()1()()()()()()2242f f a b F b F a b a f b a ξξ''''++-=-+- 其中 12,22a b a bb a ξξ++<<<< 不妨设12()()f f ξξ''''< 则1212()()()()2f f f f ξξξξ''''+''''≤≤由2()f ξ''的连续性及介值定理，可知在12,ξξ之间至少存在一个(,)a b ξ∈，使12()()()2f f f ξξξ''''+''=故31()()()()()()()224baa b f x dx F b F a b a f b a f ξ+''=-=-+-⎰. 例15 设函数()f x 在[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，以及(0)0f '=，证明在(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=.证明 由麦克劳林公式，得 2311()(0)(0)(0)()2!3!f x f f x f x f x η''''''=+++ (0)x η<< 分别令1x =-，1x = 并将所得两式相减，得12()()6f f ηη''''''+= 12(10,01)ηη-<<<<由()f x '''的连续性知，()f x '''在12[,]ηη上有最大值M 和最小值m ，则有121[()()]2m f f M ηη''''''≤+≤由连续函数得介值定理知，至少存在一点12[,](1,1)ξηη∈⊂-，使得121()[()()]32f f f ξηη'''''''''=+=.例16 设()f x 在[,]a b 上二阶连续可微，其中0a b <<，则在该区间上存在一个η，使223311()()()[()()]()()2!3!ba f x dx bfb af a b f b a f a b a f η''''=---+-⎰. 证明 令()()xa F x f t dt =⎰将()F x 在()x t a t b =≤≤处展成二阶泰勒公式为2311()()()()()()()()2!3!F x F t f t x t f t x t f x t ξ'''=+-+-+- （2-9） 令 0x =，t a = 则由（2-9），可得23111(0)()()()()()()2!3!F F a f a a f a a f a ξ'''=+-++- （2-10） 令0x =，t b = 则由（2-9），可得23211(0)()()()()()()2!3!F F b f b b f b b f b ξ'''=+-++- （2-11） （2-10）减（2-11），得22332111()()()()[()()][()()]2!3!F b F a bf b af a b f b a f a b f a f ξξ''''''-=---+- 令{}12min (),()m f f ξξ''''=，{}12max (),()M f f ξξ''''= 又因30a -> (0)a < 则有33333321()()()()m b a b f a f M b a ξξ''''-≤-≤-因为()f x ''在[,]a b 上连续，据介值定理知存在η，使得332133()()()b f a f f b a ξξη''''-''=-. 所以1()()()2!b a f x dx bf b af a =--⎰22331[()()]()()3!b f b a f a b a f η''''-+-. 2.9 近似计算与误差估计泰勒公式对已知的函数在给定点的附近用多项式近似表达所给函数的公式.例如：x e ，sin x ，cos x ，ln(1)x +，(1)n x +等几个常用的基本初等函数在0x =点的展开式，因此可以对其式在误差允许的范围内进行近似计算并进行误差估计.例17分析 ==数()f x =.若展开到x 的一次项2()(0)(0)()f x f f x R x '=++这里22()()2f c R x x ''=0c x << 因为()f x =()f x '=231()(1)4f x x -''=+-⇒ (0)1f =，1(0)2f '=则 11()(0)(0)12P x f f x x '=+=+所以11()(0)(0)12P x f f x x '≈=+=+111 1.010204249≈+⋅=. 有了上面的讨论，现在来估计误差.222/32()1()(1)2!8f c R x x c x -''==-+ 0c x << 22/342211111()(1)0.00011049849849R c --=+≤⋅≤=. 如果要求误差不超过0.01或0.001，则上述近似公式已达到了要求；如果要求误差不超过510-，则不能使用上述公式了，还需要进一步把()f x 多展开几项.例如，展开到含有x 的二次项23(0)()(0)(0)()2f f x f f x x R x '''=+++ 33(0)()3!f R x x '''= 0c x << 再进一步算出(0)1/4f ''=-，2/33()(1)8f x x -'''=+，2211()128P x x x =+- 得211128x x ≈+-211111 1.010*********≈+⋅-⋅= 32/332/3333()1111()(1)()(1)3!16491649f c R x x c x R c --'''==+==+⋅ 5311101649-≤⋅≤. 因而如果要求误差不超过510-，则用2()P x 作近似就行了，把算出的近似值乘上7.一般地，如果预先给定一个精度的要求，例如要求误差不超过正数，则需要考虑不等式()0()()()!n n n f c R x x x n ξ=-≤（上例中00x =）为了达到上述要求，通常这样考虑：如果x 预先给定（上例中149x =），则需要规定n ，使保证上述不等式成立，一般说来，n 越大，精确度越高，但计算也变得复杂（因为对应的多项式二次数也越高）.通常在保证满足精确度的要求下，尽量把n 取小些；如果预先已经确定n ，即预先限定用多少次多项式作近似，则为了能达到所要求的精确度，需从上述不等式确定x 的适用范围.例18 求定积分10sin x dx x ⎰的近似值. 解 该被积函数的原函数不是初等函数，故用N L -公式是无法求出其精确解的，而若用泰勒展开则能方便的求出其近似解.3577sin()2sin 3!5!7!x x x x x x πθ+=-+- 2467sin()sin 213!5!7!x x x x x x πθ+=-+- 所以3511160007sin()sin 2()|33!55!7!x x x x dx x x dx x πθ+=-+-⨯⨯⎰⎰ 因为7sin()12x πθ+< 故10sin 1111111111110.094613!35!57!73!35!5x dx x >-⋅+⋅-⋅≈-⋅+⋅≈⎰ 其中3110.5107!7R -<⋅<⨯. 实际上，能够精确计算定积分的函数只是大量函数中很少的一部分.在实际计算定积分时大量采用的是近似计算的方法，而在这其中运用泰勒公式对某些函数的定积分进行近似计算不失为一种很好的方法.例19 求正弦曲线sin (0)y x x π=≤≤的弧长，并精确到0.01.解 弧长02s π==⎰ 2462230111321cos cos cos 222!23!x x x dx π⋅=+-+-⋯⨯⨯⎰ 由于22210(2)!cos 2!!n n n xdx n n ππ+=⋅⋅⎰4257214!131352()(1)222!222!2!23!3!464256s ππππ⋅⋅⋅=+-⋅+-=+-+-⋅⋅⋅⋅⋅ 如取上述写出的诸项近似表示弧长s 的值，则其误差为4923528!104!224!4!10π⋅⋅<∆<⋅<⋅⋅⋅ 于是3.14(10.250.050.02s ≈+-+≈.这样就得到了符合精度要求的结果.3 结束语泰勒公式是微积分中一个重要内容，其核心是用简单的多项式高精度地逼近一些复杂的函数，从而便于函数的研究.本论文首先简要阐述泰勒公式基本理论的基础上，其次重点总结介绍了泰勒公式在上述方面中的应用及技巧，最后，通过典型例题予以具体阐述与说明.由此可知，泰勒公式在计算和证明中的应用的确是非常广泛而重要的，它在解决数学问题中具有非常明显的简化解题步骤的作用.除了能够进行近似计算和误差估计，也可用以计算函数极限，讨论正项级数收敛性，计算行列式，等等.本文详细介绍了泰勒公式在以上九个方面的应用，藉此拓宽解题思路，利于今后寻找更加新颖的计算证明方法，具有一定的参考价值.参考文献[1] 同济大学数学系，高等数学（第六版）[M].高等教育出版社，2007.[2] 刘立山等.数学分析辅导讲义[M].2006.10.[3] 钱吉林等.数学分析解题精粹[M].崇文书局.2003年版.[4] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.1991.[5] 孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和方法[M].长沙：湖南科学技术出版社，1992.[6] 江泽坚.数学分析[M].北京:人民教育出版社，1998,188-189.[7] 薛宗慈等编.数学分析习作课讲义[M].北京：北京师范大学出版社，1984,3.[8] 刘玉琏.数学分析（第二版）[M].高等教育出版社，2000.[9] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993：171-184.[10] 白岩.考研数学全面辅导[M].长春出版社，2000.致谢对于本论文的研究，首先要感谢我的论文指导老师闫树熙，他认真而严谨的帮助与指导，使我在很多次困惑的情况下，看到了解决问题的方向.在此期间，闫老师在我查阅资料、整理思路、形成体系，完善内容以及格式修正的每个阶段都给予我孜孜不倦的指导与帮助，使我树立了科学严谨的行文态度，受益匪浅.在此，我要衷心地向我的论文指导闫树熙老师致以诚挚的感谢.同时，我要感谢我的同学们，是他们热情的帮助使我及时发现了论文存在的问题，并热心地帮助我进行纠正修改，最终圆满地完成了论文.在此我要真诚地向他们致以深深的感谢，还有在大学即将结束的时候我要感谢我的所有老师们，是他们教会了我知识，使我终身受用，谢谢你们.最后，我再次感谢闫老师严格认真的指导以及各位论文评审老师辛苦的审核，谢谢你们.杨奇妹。