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两因素方差分析一、两因素方差分析中的基本概念1. 例1-1(pp1)：四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数服用A药，则A＝2,否则A=1；服用B药，则B＝2,否则B=1两因素Stata数据输入格式命令anova x a b a*b其中a 表示A药疗效的主效应，b表示B药疗效的主效应，a*b表示A药与B药对疗效的交互作用结果如下结果表明：对于 =0.05而言H10:没有交互作用并且A药和B药疗效的主效应都没有差异H11：有交互作用或A药主效应有差异或B药主效应有差异F Model=98.75，P值<0.05，因此认为模型是有效的(或有交互作用或有主效应)。
H20:没有交互作用H21：有交互作用F A×B=36.75，P值=0.0003<0.05，因此A药与B药的疗效有交互作用，并且有统计意义。
H30：A药没有差异H31：A药主效应有差异F A=168.75，P值<0.05，A药的主效应有统计意义H40：B药没有差异H41：B药主效应有差异F B =90.75，P 值<0.05，B 药的主效应也有统计意义。
问题：模型是什么？ 模型：..()ab a b ab μμαβαβ=+++其中μab 是x 的总体均数，αa 称为A 因素的主效应，βb 称为B 因素的主效应，(αβ)ab 称为A 因素和B 因素对因变量x(观察指标变量)的交互作用。
2. 主效应的意义A 药B 药平均A 主效应表示未服用服用 未服用 μ11μ1211121.2μμμ+=1...1μμα=+服用 μ21 μ22 21222.2μμμ+= 2...2μμα=+ 平均1121.12μμμ+= 1222.22μμμ+= 11122122..4μμμμμ+++= B 主效应 .1..1μμβ=+ .2..2μμβ=+称α1和α2为A 因素的主效应，β1和β2为B 因素的主效应。
并且可以验证：α1＋α2＝0(即：α1＝－α2)以及β1＋β2＝0(β1＝－β2) 若α1＝α2(即α1=α2＝0)，则对应A 因素的主效应没有作用。
从模型1、模型2 可以看出, 在通常的教学质量评价过程中, 人们只注重对教师教学水平的点评,而对评课人的素质和水平几乎没有讨论。
但事实上, 教师教学水平的高低及提高, 与评课人的水平是密切相关的, 只有评课人与指导者水平高, 对教师教学水平的评价才有较高的可靠性, 教师的教学水平也才会得到提高。
方差分析的结论告诉我们:不但教师之间的水平有显著差异, 评课人的水平也是有显著差异的, 因而要想对被评教师做出客观公正的结论, 不能忽视评课者的素质。
请看下例:某高校评估小组(8人)对该校某教研室教师(6人) 上学期教学水平的评分成绩如表2 所示。
表2 对某教研室教师教学水平的评分教师评课人1234567818.959.088.988.958.959.159.108.9528.809.108.758.859.008.728.958.8138.889.108.758.859.008.728.958.8148.838.608.738.408.758.738.859.0258.958.938.959.058.988.928.958.9869.109.159.158.859.259.209.159.25试对教师之间的教学水平和评估人之间的水平做出你的评价。
这是一个无重复试验的双因素方差分析问题, 因素A是教师,有6个水平A1,A2,,A6;因素B是评课人,有8个水平B1,B2,,B8。
X ij(i=1,2,,6,j=1,2,,8)是因素A,B的水平的每对组合(A i,B j)做一次试验的数据, 其数学模型为检验假设H0A:α1=α2=…=α6= 0,H1A:α1,α2 ,…,α6不全为0;H0B:β1=β2=…=β7 = 0, H1B:β1,β2,…,β7不全为0。
经计算得:S T=2.21073, S A=0.98644, S B=01500 09,S E=S T-S A-S B=017242,从而得方差分析表如表3 所示。
从模型1、模型2 可以看出, 在通常的教学质量评价过程中, 人们只注重对教师教学水平的点评,而对评课人的素质和水平几乎没有讨论。
但事实上, 教师教学水平的高低及提高, 与评课人的水平是密切相关的, 只有评课人与指导者水平高, 对教师教学水平的评价才有较高的可靠性, 教师的教学水平也才会得到提高。
方差分析的结论告诉我们:不但教师之间的水平有显著差异, 评课人的水平也是有显著差异的, 因而要想对被评教师做出客观公正的结论, 不能忽视评课者的素质。
请看下例:某高校评估小组(8人)对该校某教研室教师(6人) 上学期教学水平的评分成绩如表2 所示。
表2 对某教研室教师教学水平的评分试对教师之间的教学水平和评估人之间的水平做出你的评价。
这是一个无重复试验的双因素方差分析问题, 因素A是教师,有6个水平A1,A2,,A6;因素B是评课人,有8个水平B1,B2,,B8。
X ij(i=1,2,,6,j=1,2,,8)是因素A,B的水平的每对组合(A i,B j)做一次试验的数据, 其数学模型为检验假设H0A:α1=α2=…=α6= 0,H1A:α1,α2,…,α6不全为0;H0B:β1=β2=…=β7 = 0, H1B:β1,β2,…,β7不全为0。
经计算得:S T=2.21073, S A=0.98644, S B=01500 09,S E=S T-S A-S B=017242,从而得方差分析表如表3 所示。
取α=0.05,有F A(r-1,(r-1)(s-1))=F0.05(5,35)=2.30F A(s-1,(r-1)(s-1))=F0.05(7,35)=2.14由于F A=10.89529 > 2.30=F0.05(5,35),F B=4.14248 > 2.14=F0.05(7,35) ,因此以95% 的置信度可以认为教师之间的教学水平有显著差异, 同时评课小组成员之间的水平也有显著差异。
由于评课小组成员之间的水平有显著差异, 因此可以讨论如何定量地去比较他们水平的高低。
从模型1、模型2 可以看出, 在通常的教学质量评价过程中, 人们只注重对教师教学水平的点评,而对评课人的素质和水平几乎没有讨论。
但事实上, 教师教学水平的高低及提高, 与评课人的水平是密切相关的, 只有评课人与指导者水平高, 对教师教学水平的评价才有较高的可靠性, 教师的教学水平也才会得到提高。
方差分析的结论告诉我们:不但教师之间的水平有显著差异, 评课人的水平也
是有显著差异的, 因而要想对被评教师做出客观公正的结论, 不能忽视评课者的素质。
请看下例:某高校评估小组(8人)对该校某教研室教师(6人) 上学期教学水平的评分成绩如表2 所示。
表2 对某教研室教师教学水平的评分
教师
评课人
12345678
18.959.088.988.958.959.159.108.95
28.809.108.758.859.008.728.958.81
38.889.108.758.859.008.728.958.81
48.838.608.738.408.758.738.859.02
58.958.938.959.058.988.928.958.98
69.109.159.158.859.259.209.159.25
试对教师之间的教学水平和评估人之间的水平做出你的评价。
这是一个无重复试验的双因素方差分析问题, 因素A是教师,有6个水平A1,A2,,A6;因素B是评课人,有8个水平B1,B2,,B8。
X ij(i=1,2,,6,j=
1,2,,8)是因素A,B的水平的每对组合(A i,B j)做一次试验的数据, 其数学模型为
检验假设
H0A:α1=α2=…=α6= 0,H1A:α1,α2 ,…,α6不全为0;
H0B:β1=β2=…=β7 = 0, H1B:β1,β2,…,β7不全为0。
经计算得:
S T=2.21073, S A=0.98644, S B=01500 09,S E=S T-S A-S B=017242,从而得方差分析表如表3 所示。
取α=0.05,有
F A(r-1,(r-1)(s-1))=F0.05(5,35)=2.30
F A(s-1,(r-1)(s-1))=F0.05(7,35)=2.14
由于F A=10.89529 > 2.30=F0.05(5,35),
F B=4.14248 > 2.14=F0.05(7,35) ,
因此以95% 的置信度可以认为教师之间的教学水平有显著差异, 同时评课小组成员之间的水平也有显著差异。
由于评课小组成员之间的水平有显著差异, 因此可以讨论如何定量地去比较他们水平的高低。
表3 方差分析表
方差来源平方和自由度均方和 F 值
因素A S A=0.98644r-1=5S A=S A/5=0.16441F A=S A/S E=10.89529因素B S B=0.50009s-1=7S A=S B/7=0.01509F B=S B/S E=4.14248误差S E=0.7242(r-1)(s-1)=35S E=S E/35=07242
总和S T=2.21073rs-1=34
X*j为第j个成员对每位教师评分的平均值, 显然不能根据它的大小来度量该成员水平的高低。
考虑到X ij=X i*的含义(第j个成员对第i名
教师评分与所有成员对第i 名教师评分的平均值之差),用
来评价第j名评课人水平的高低是合适的,
δj越小水平越高, δj越大水平则越低对于本例计算D j如表4 所示。
表4 评课人的水平排名
结论: 第1名评课人水平最高,第4名评课人水平最低
评课人δj水平排名
10.0107191
20.0976036
30.0236792
40.4430798
50.0690194
60.0926995
70.0458793
80.1069397附录：
双因素方差分析法计算过程。
