高二数学竞赛综合练习(3)

第七章 随机变量及其分布 单元综合测试卷一、单选题1．（2022·湖南·高二课时练习）某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（ ）A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元2．（2022·全国·高二单元测试）计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11a =，()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345X a a a a a =++++，当程序运行一次时，3X =的概率为（ ）．A ．6581B ．2527C ．827D ．793．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.754．（2022·北京八中高二期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =（ ）A ．112B ．29 C ．13 D ．235．（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X 通常被认为服从正态分布．若某物理量做n 次测量，最后结果的误差，Xn ~N (0，2n)，则为使|Xn |≥14的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ） 6．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）A ．0.01245B ．0.05786C ．0.02865D ．0.037457．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X ，Y ，已知X ，Y 均服从正态分布，()211,XN μσ，()222,Y N μσ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B ．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C ．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D ．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值8．（2022·全国·高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID -19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（） A ．61 B 6C 3D ．31 二、多选题9．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则1()2D X = B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ== D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=10．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）A ．1A 、2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=11．（2022·全国·高三专题练习）已知X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则下列说法正确的是（ ）A ．E (Y )＝2B ．E (Y )＝6C ．D (Y )＝2.4 D ．D (Y )＝5.612．（2021·全国·高二单元测试）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()20.9372,0.0139X N ~，则下列说法正确的是（ ）（附：若()2,X N u σ~，则()2295.4%P X μσμσ-≤≤+≈，()3399.7%P X μσμσ-≤≤+≈，500.9770.3124≈）A ．()0.90.5P X ≤<B ．()()0.4 1.5P X P X <>>C ．()0.97890.0015P X >≈D ．假设生产状态正常，记Y 表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于2μσ+的数量，则()10.3124P Y ≥≈三、填空题13．（2022·山东德州·高二期末）某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X 服从正态分布()2120,N σ，若()1001200.495P X ≤≤=，则成绩在140分以上的大约为______人．14．（2022·全国·高三专题练习）现有A ，B 两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中每人答对的概率分别为23，23，12，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，则()P MN =___________.15．（2021·全国·高二学业考试）将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的均值为______．16．（2021·全国·高二课时练习）某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X 的标准差为______．四、解答题17．（2022·辽宁大东·模拟预测）制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.十八世纪中叶开启工业文明以来，世界强国的兴衰史和中华民族的奋斗史一再证明，没有强大的制造业，就没有国家和民族的强盛.打造具有国际竞争力的制造业，是我国提升综合国力、保障国家安全、建设世界强国的必由之路.某企业制造的一批零件，分为三个等级：一等、二等、三等，现从该批次零件中随机抽取500个，按照等级分类标准得到的数据如下： 等级 一等 二等 三等个数 150250 100(1)若将样本频率视为概率，从这批零件中随机抽取6个，求恰好有3个零件是二等级别的概率；(2)若采用分层抽样的方法从这500个零件中抽取10个，再从抽取的10个零件中随机抽取3个，X 表示抽取的一等级别零件的数量，求X 的分布列及数学期望()E X .18．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示： 周末体育锻炼时间()min t [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 频率0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[)40,60内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[)50,60内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .19．（2022·河南·模拟预测（理））某大型超市为调查2022年元旦购物者的消费情况，从当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取100名进行调查，得到如下统计表： 消费金额（单位：元）[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,250 [)250,+∞ 顾客人数（单位：人） 10 15 35 25 15(1)从这100名购物者中随机抽取1人，估计该人消费金额低于200元的概率；(2)以频率估计概率，从元旦当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取3人，记消费金额不低于200元的购物者人数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（2021·重庆一中高三阶段练习）为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进人实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为12、23、34、25，且假定每人能否完成实验相互独立. (1)求实验能被完成的概率；(2)根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.21．（2022·全国·高二课时练习）2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg )的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg .称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg )的平方和为117.附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111n n i i i i s t t t nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑，（2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+=；(33)0.9973P X μσμσ-≤≤+=.(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数z 和方差2s ；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X 服从正态分布()2,N μσ，用z 作为μ的估计值，用2s 作为2σ的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,2.71]的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼儿质量在[1.21,2.71]的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望.22．（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望； （2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算2192.44s =.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？192.4413.9，()0.6827P X μσμσ-<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=，()330.9974P X μσμσ-<+=.。

高中数学比赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)v1.0 可编写可改正同余的见解与应用见解与性质1. 定义：若整数 a,b 被整数 m(m ≥1) 除的余数同样 , 则称 a 同余于 b 模 m,或 a,b 对模 m 同余 . 记为 a ≡b(modm). 余数 r:0 ≤r<1.2. 性质： ( ⅰ)a ≡b(modm)m|a-b, 即 a=b+mk,k ∈Z.( ⅱ) 若 a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm).( ⅲ) 若 a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则 a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm);nnn-1 x n-110n nn-1 x n-110是两个整系数多项式 i≡( ⅳ) 设 f(x)=a x +a+ +a x+a ,g(x)=bx +b+ +b x+b , 知足 ab (modm)(0≤i ≤n). 若 a ≡b(modm),则 f(a) ≡f(b)(modm).( ⅴ)ac ≡bc(modm)a ≡b(modm ),i(c, m)( ⅵ) 若 m ≥1,(a,m)=1, 则存在整数c 使得 ac ≡1(modm).称 c 为 a 对模 m 的逆或倒数 , 记为 c=a -1 (modm);a b(mod m 1 ) ab (mod[m 1,m 2]); ( ⅷ) 若 a ≡b(modm 1),a ≡b(modm 2), 且(m 1,m 2)=( ⅶ)同时建立a b(mod m 2 )1, 则 a ≡b(modm 1m 2).3. 节余类： 设 m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分红 m 类，相应 m 个会合记为： K 0,K 1 , ,K m-1, 此中 K r ={qm+r|q ∈Z,0 ≤余数 r ≤m -1} 称为模 m 的一个 节余类 。

2023全国高中数学竞赛试题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023全国高中数学竞赛试题2023年全国高中数学竞赛将于下个月举行，为了更好地帮助同学们备战竞赛，我们特为大家准备了一份模拟试题。

以下是一部分试题，希望大家认真思考，尽力做出最好的成绩。

题一：已知a、b、c、d为正整数且a+b+c+d=20，求a、b、c、d的可能取值组合数。

题二：已知正整数m,n，且m/n为一个最简分式，满足m+n=2023，求m和n的取值。

题三：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，且f(1)=9，f(2)=21，求a、b、c的值。

题四：在平面直角坐标系内，已知直线l1与直线l2分别过点A(2,4)、B(3,5)，且l1:l2=1:2，求l1、l2的方程。

题五：已知数列{an}满足an=3n^2+5n+7，求数列{an}的前10项和。

题七：已知圆心为O的圆C1方程为x^2+y^2=25，点A(3,4)在圆C1上，求点A与圆心O之间的距离。

题九：已知集合A={x|0<x<2π}，集合B={y|y=2sinx+cosx}，求B的最大值和最小值。

题十：已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，AB=3，BC=4，求AC的长度。

以上是部分模拟试题，希望同学们认真对待每一道题目，并在竞赛中取得优异的成绩。

祝愿大家取得理想的成绩，加油！第二篇示例：2023全国高中数学竞赛试题第一部分：选择题1. 若直线5x+12y=23 在x 轴上的截距为a，在y 轴上的截距为b，则a+b=A. 23/5B. 23/12C. 5/23D. 12/232. 若集合A=\{x | -3<x<5\}, 集合B=\{y | 2\leq y\leq7\}，则A \cap B =A. \{2,3,4\}B. \{2,3,4,5\}C. \{3,4\}D. \{4\}3. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2x-5 上任意两点x_1,x_2 处的切线斜率之差为9，则f(x) 在x=1 处的导数为A. -3B. -5C. 1D. 34. 若\triangle ABC 中，\angle A=60^{\circ}，\angleB=45^{\circ}，AB=2，则\sin C =A. 1/\sqrt{2}B. \sqrt{3}/2C. 1/2D. 2/\sqrt{3}5. 若函数f(x)=ax^2+bx+c，且f(0)=5，f(1)=1，f(2)=7，则a+b+c=A. 3B. -3C. 4D. -46. 若a，b，c 是等比数列，且a=2，c=32，则b=\underline{\hskip 2cm}.7. 设A，B 为两线性无关的2\times2 矩阵，则cA + dB = I的条件是c= \underline{\hskip 2cm}，d= \underline{\hskip 2cm}.9. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1，求f(x) 的增减性和极值点.10. 设P 是椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上一点，F_1(-c,0)，F_2(c,0) 是椭圆的两个焦点，PF_1+PF_2 的最小值为多少？第三篇示例：2023全国高中数学竞赛试题在数学领域，竞赛是提高学生数学能力的一种重要方式。

初一数学竞赛讲座第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设, 并从此假设出发, 经过正确的推理, 导出矛盾的结果, 这就否定了作为推理出发点的假设, 从而肯定了原结论是正确的。

反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立, 而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发, 通过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确, 产生矛盾的原因在于“反设”的谬误, 既然结论的反面不成立, 从而肯定了结论成立。

运用反证法的关键在于导致矛盾。

在数论中, 不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数, 那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。

上式可化简为 80a=b+c, 而这显然是不可能的, 因为a≥1, b≤9, c≤9。

这表明所找的数是不存在的。

说明：在证明不存在性的问题时, 常用反证法：先假设存在, 即至少有一个元素, 它符合命题中所述的一切要求, 然后从这个存在的元素出发, 进行推理, 直到产生矛盾。

例 2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒, 再将得到的数与原来的数相加。

试说明, 得到的和中至少有一个数字是偶数。

解：假设得到的和中没有一个数字是偶数, 即全是奇数。

在如下式所示的加法算式中, 末一列数字的和d+a为奇数, 从而第一列也是如此, 因此第二列数字的和b+c≤9。

将已知数的前两位数字a, b与末两位数字c, d去掉, 所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒, 得到的数与它相加, 和的数字都是奇数”这一性质。

照此进行, 每次去掉首末各两位数字, 最后得到一位数, 它与自身相加是偶数, 矛盾。

故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。

但对其他位数的数不一定成立。

如12+21, 506+605等。

例3 有一个魔术钱币机, 当塞入1枚1分硬币时, 退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时, 退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时, 退出3枚1分硬币。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A．417+B．417-C ．417D ．以上答案都不对3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦10．（2023·全国·高三专题练习）设0()n ii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nn k k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk kn i i i kD C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111n n k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，有2111122222w z w x y w w x w x y x y x y y +-+≥+=++-≥+-≥-，等号当1::::12x y z w =12-．2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A ．417+B ．417-C ．417D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据题设条件可设1ab =，利用柯西不等式可求最小值.【详解】由111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭可得22111a b c ab a b ab c +⨯=⨯++，由对称性可设1ab =，则条件即1()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭即221a b c c a b ++=+，从而2221a b a b a b+≥⇒+≥++根据柯西不等式()()24444444411a b c a b a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭242()4()3a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦417≥+等号当1,1c a b =+=417+3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对【答案】B【分析】利用非负性可求最小值.【详解】根据题意，有5a b c ++=≥=，等号当cyc (,,)(5,0,0)a b c =时可以取得，因此所求最小值为5．二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．【答案】6+++【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【详解】记题中代数式为M ，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=，于是tan tan 2tan tan 3tan tan M A B B C C A=++2(1cot cot cot cot cot cot A B B C C A ≥++2(16=+=+，等号当tan tan tan tan tan :tan :tan A B B C C A A B C ==⇒=时取得，因此所求最小值为6+++5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．【详解】由柯西不等式知()()()22220201212232220112232021a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ ()2122201a a a ≥+++= ，且()()()1223202012a a a a a a ++++++= ，所以2222201212232020112a a a a a a a a a +++≥+++ ，且当12202012020a a a ==== 时取到等号．故答案为：12.6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.【答案】7316【详解】由题意可得1abc d=，且a b c d ，则()222222911141f a a b c a b c a b c abc=+++++++，原问题等价于求函数()f a 的最小值.322291()2214()d f a a a b c a b c d a '-⎛⎫=-+⋅-⋅- ⎪+++⎝⎭322221924()a da a a d a abcd --=+⋅-⋅+++()22223232229()4()a d a d a d a d a a b c d d --=-+++()()222222328()9()4()a d a b c d a d a d a a b c d d -+++--=+++()2223228()()94()a d a d a b c d a d a a b c d d -=⋅++++-+++，3a b c d a d ++++ ，22()(3)12a b c d a d ad ∴++++ ，2228()()9a d a b c d a d ∴++++-[]228()129332()3a d ad a d ad a d ad +⋅-=+- ，令()32()3g a a d ad =+-，则()323g a d '=-，由a b c d可得1d ≤，则()()'0,g a g a >单调递增，2()()643(643)0g a g d d d d d ∴=-=-> ，则()()'0,f a f a >单调递增，()()f a f d ≥，此时1a b c d ====，73()(1)16f a f =.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．【答案】1【详解】解析：最大值为1记01202011min,1,11ii i k ii k kk a S x a x a ≤≤====+=+∑∑，则1i i i a x x -=-，故111i i i i i x x xS x x ---≤=-，即11i ix S x --≥，对1,2,3,,2020i = ,求和，并结合算术-几何平均不等式，有120202020101202020202020(1)202020202i i i x x S x x -=⎛⎫-≥≥⨯=⎪⎝⎭∑，故1S ≤1(((1,2,3,,2020)i i i a i -=-= 时取到．所以原式的最大值为18．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．【答案】52或2.5【分析】巧妙利用换元2log z x =得到111022z y ++=+，将12y y M x +=取对数运算得到2log (1)(1)1M y z =++-，将所求问题转化为求(1)(1)y z ++的最大值问题，由111022z y ++=+使用两次基本不等式可求出(1)(1)y z ++的最大值，考查等号取得条件即可.【详解】设12y y M x +=，则22log (1)log M y y x =++，设2log z x =，则2z x =，可知225z y +=，2log (1)(1)(1)1M y y z y z =++=++-.1111210222222z y z y +++++=+≥⋅≥⋅，(当且仅当z y =，即522yx ==时取等号.)所以5≥，故(1)(1)y z ++有最大值22(log 5)，所以2log M 就有最大值，即12y y M x +=有最大值.【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①225z y +=及111022z y ++=+，为求(1)(1)z y +++最大值做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，(1)(1)(1)1y y z y z ++=++-，产生了(1)(1)y z ++与上面(1)(1)z y +++遥相呼应，可以使用基本不等式.三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出2[()]f x ，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.【详解】22200[()]()()nni si i ji s i j sf x a x a a x==+===∑∑∑，于是s iji j sb a a+==∑，222000001111[(1)]()(2)(2)2222n n i i i j i j i j i i i j n i j n i j n f a a a a a a a a ==≤<≤≤<≤≤<≤==+≥=∑∑∑∑∑001ni j j i j n j a a a a =<≤=≥=∑∑，因为00,1,2,,i a a i n ≤≤= ，则211211001010111[(1)]2nn i j n n n n n ji j n j b a a a a a a a a a a a a a a a a f +--+=+===+++≤+++=≤∑∑ ，所以211[(1)]2n b f +≤.10．（2023·全国·高三专题练习）设0()nii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式(),()f x g x 的对应项系数的关系，再按||1r ≤和||1r >讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.【详解】因为()()()g x x r f x =-，即1110101()()n n nn niii ii n i i i i i i n i i i i i c x x r a x a xra x ra a ra x a x +++-======-=-=-+-+∑∑∑∑∑，则有()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，于是2211121101231,,,,nn n n n n n n n n n a c a c rc a c rc r c a c rc r c r c +-+--++==+=++=++++ ，若1r ≤，则1111,||2n n n n n n n a c c a c rc c r c c +-++=≤=+=+⋅≤，2221111||3,n n n n n n n a c rc r c c r c r c c --+-+=++≤+⋅+≤ ，()22012311231||||||||||||||||1n n n n a c rc r c r c c r c r c r c n c ++=++++≤+⋅+⋅++⋅≤+ ，所以()1i a n c ≤+，于是()1a n c ≤+，若1r >，则11,r<由()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，得()0011111,1,2,,,i i i n n a c a a c i n a c r r r-+=-=-== ，于是00101012120122321111111111,,,,a c a a c c c a a c c c c r r r r r r r r r r =-=-=--=-=--- 101111111,n n n n n n a c c c a c r r r--+-=----= ，于是0001010122111111,2a c c c a c c c c c r r r r r r =-=<=--≤+<，201201232321111113,,a c c c c c c c r r r r r r=---≤++< 1011011111111111,n n n n n n n n n a c c c c c c nc a c c r r r r r r---+--=----≤+++<=≤ ，所以i a nc <，于是()1a n c <+，综上得：()1a n c ≤+.11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤.于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++.则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．【详解】设22sin x t a =，则不等式化为20at t+-≥．当01a <<时，2[,1]t a ∈；当1a =时，1t =；当1a >时，2[1,]t a ∈．因此不等式可化为220t t a +≥-．设2()2f t t t a =-+，考虑()f t 在1和2a 之间恒小于零，则2(1)0,()0,0f f a a <<>，故()()21110a a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，1a <<．所以a的取值范围是10,[1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥ ⎝⎦．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．【详解】（1）不妨设x y z ≤≤，则||||||-+-+-=-+-+-x y y z z x y x z y zx2()=-=≤≤=z x .（2）因为2023为奇数，则1220231,, i x x x x x 中必存在1,i i x x +（令20241=x x ）同号，不妨设12,x x 同号，则：20233232023112112211232++===-=-+-≤-+++=∑∑∑ii i i i i i i xx x x x x x x x x x S ．不妨设210≥≥x x ，则122122-++=x x x x x，所以：20232322=⎫⎫=+≤≤=⎪⎪⎪⎪⎭⎭∑i i S x x当且仅当124130,,====== x x x xx或124130,,====== x x x x x 因此12232022202320231-+-++-+- x x x x x x xx 的最大值为14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．【分析】第一步化简原式，第二步利用AM GM -不等式即可得到1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨证明1k =的时候成立，所以原式成立.【详解】由已知22121,1,2,,i i njj mx x i nx==+=⋅⋅⋅∑，得22121ni jj i mx x x ==-∑，故221i i mx x -全相等．注意到若实数a b ¹满足2211a b a b =--，则ab a b =+，即1b a b =-．因此,1i b x b b ⎧⎫∈⎨⎬-⎩⎭，0,1,2,,b i n ≠= ．设i x 中有1bb -，21n k m k -=+-个b ，则有201k m ≤≤+，且()2222221(1)1b mb k m k b b b ⋅++-=--，即()21(1)21km k b m b ++--=-．由AM GM -不等式，若201k m <<+，()21(1)21km k b m b ++--≥≥-，因此必取等，即1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨1k =，则21(1)21m b m b +-=-，知11b m -=，则1,1m b a m m+==+．若0k =，则()21(1)2m b m +-=，即222(1)(1),12m m b a m m++==+．若21k m =+，则2121m m b +=-，即222(1)(1),21m m b a m m ++==+．综上可知，12,,,n x x x 要么1个21,+m m 个1m m +；要么全是22(1)1m m ++．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nnk k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．【分析】先取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，通过对其求和可得λ的范围，再利用放缩法可得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ，最后求出最大的正实数λ的值.【详解】一方面，取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，得1111322nn kk λ-=-≥∑即1113122n n λ-⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭．令n →∞，得3λ≤．另一方面对正实数x ，y 有114x y x y+≥+，故0101114x x x x +≥+，012012114x x x x x x +≥+++，01230123114x x x x x x x x +≥+++++，……01101114n n nx x x x x x x -+≥++++++ ．以上各式相加，得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ．故3λ=时，原不等式恒成立．综上，λ的最大值为3．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.【详解】不妨1210x x x ≤≤≤ ，设()(,)i j j i f i j x x x x =-，当010i j ≤≤≤时，因为()()()22333i j j i i i j j j i j i x x x x x x x x x x x x -≤++-=-，即333(,)j i f i j x x ≤-，当且仅当i j =时，等号成立.故()()10103311131,1i i i i f i i x x -==-<-<∑∑，所以存在{1,2,,10}i ∈ ，使得13(1,)10f i i -<，即1(1,)30f i i -<.所以存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.【分析】构造一个直角三角形，，<cos )2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b +=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222⎫+=⎪⎪⎭.①（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b +=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”<.α=，α=.cos )24πααα⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭∴2<成立.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证.=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =.再以2a bBC +=为斜边，2a b CD -=为直角边构造Rt BCD，则BD =最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE a b BC a b=='+，由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥【详解】证法一：由AM-GM 不等式有：()=120222022ni i i x x +∏=11=2022nk i i k x ≠+∑∏()11i n n =⎛≥- ⎝∏()()=11=2022nn i i n x -+∏，2022≥.证法二：不妨设12022i i y x =+,则12022,1iix i n y =-≤≤.从而原题转化为:已知111=,0<<20222022ni i i y y =∑,求证()=11ln 2022ln 20221ni i n n y ⎛⎫-≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑.令()11ln 20222022i f y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭,则()()2214044=2022''y f y y y --.不失一般性,我们设12n y y y ≤≤≤ ,则：(1)若1214044n y y y ≤≤≤≤,由Jesen 不等式有：()()1111ln 202212022nn i i i f y nf y nf n n n n ==⎛⎫⎛⎫≥==-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑.(2)若12114044n n y y y y -≤≤≤≤≤ .容易得到()1ni i f y =∑取得最小值当且仅当121n y y y -=== .20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.【分析】解法一：设12x m λ=-，22x m λ=+，()30x m t t =+>，利用韦达定理可化简所求式子为解法二：由()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x +-=+-+-+-可令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，由此可化简所求式子为3922n n λλ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，令0n t λ=>，()()39202g t t t t =->，利用导数可求得()max g t ，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：12x m λ=-，22x m λ=+，()31212x x x m >+= ，∴可令()30x m t t =+>，由韦达定理得：()()123221223312232123332444a x x x m t b x x x x x x m mt c x x x m m t m t λλλ⎧⎪=-++=-+⎪⎪=++=+-⎨⎪⎪=-=--++⎪⎩，则()323222327929292727244a ab a a b m m t m t t λλ-=-=+---，3222272727272744c m m t m t λλ=--++，则323332279942a c abt t λλλ+--=要取得最大值，则23940t t λ->，()3223322791942a c abt t λλλ+-=-2=（当且仅当222948t t λ-=，即t=时取等号），又t =满足23940t t λ->，∴取0m =，2λ=，则t =，此时11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =时，3322792a c ab λ+-=，332279a c abλ+-∴解法二：323227927273333a a a a a c ab a b c f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12312327333333a a a x x x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------=------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又123a x x x -=++，()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x ∴+-=+-+-+-，令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，322339227922224a c ab n n n n n λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233339222799422n n a c ab n n λλλλλ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅- ⎪⎝⎭；令0nt λ=>，则3332279922a c abt t λ+-=-，令()()39202g t t t t =->，则()2962g t t '=-，令()0g t '=，解得：t =，∴当0,2t ⎛∈ ⎝⎭时，()0g t '>；当,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '<；()g t ∴在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()max22482g t g ⎛⎫∴==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；∴当2λ=，n =11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =332279a c ab λ+-=332279a c abλ+-∴21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk k ni i i k D C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．【详解】任取121,,,k i i i a a a + ，由柯西不等式，有：()()1211211212111(1)(1)k j k k k j i i i i i i i i i i k a a a a k a a a a a a ++++=+≥+++-++++-+++∑ 1212(1)1k i i i k k a a a ++=⋅+++ ．所以()1211212111(1)1k k jk j i i i i i i i k k aa a aa a a +++=+++++++-∑∑∑．其中求和对1，2，…，n 的所有1k n C +个1k +元组合进行．上式左边实际上是一些k 元组合的求和，因对任意k 元组合12,,,k i i i a a a ，选这k 个数的1k +元组合有n k -个（余下的n k -个数中任意一个数都与其构成一个1k +元组合），故121121111()k j kk j i i i i i i i n k a a a a a a a ++==-+++-+++∑∑∑ ．这样便有1212121(1)1()k k i i i i i i k n k a a a k aa a ++-≥++++++∑∑ ，所以1212121(1)1C ()C k k kkni i i ni i i kk a a a n k aa a ++≥+++-+++∑∑ ．再注意到1()(1)k k n n n k C k C +-=+，即得：121211111C C k k k k ni i i n i i i k k aa a a a a +++≥++++++∑∑．这就证明了1k k D D +≥，其中1,2,,1k n =- ．即有121k k n D D D D D +≥≥⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅≥．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立.（1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112nn nii i i i i i i a aa a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立.（2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a ----- 必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn nii i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122a a a a a -++=，所以：23A 2222ni i a a ==+≤≤=⎝∑当且仅当124130,a a a a a =======L L124130,,a a a a a ======L L .23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i j j j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏ ．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+- ()()3311(1)2ni i i a n a n =-≤-+-∑33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ．由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111((1)4(1)(1)=≤++--∑∑i i i a a a a a a ()()2131111411a a a a ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111nn k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．【详解】由题意2112a a =+=．对2n ≥，我们有：11nn k k na n a +==+∑；()1111n n k k n a n a -=-=-+∑．两式相减，得：11n n na na +-=，即()111n n a a n n+=+≥．对2n ≥有1111n n k a k-==+∑．取403621n =+，则114035220211122i i n n k i k a k k +-===+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑1403521021122i i i i k ++==+⎛⎫>+ ⎪⎝⎭∑∑403501220202i ==+=∑，从而403621n =+满足要求．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．【答案】3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩【详解】当4n ≥时，令1(1,2,,1)k k a xa k n +==- ，则2221111(1)11nk n k k k a x n a a x x -=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．当0x →时，2211(1)111n x n x x -⎛⎫⎛⎫-+→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．令1k k k a x a +=，则问题化为：121n x x x = ，证明：21111n k k x =⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．当4n =时，首先证明：22111111x y xy⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．①①式332212x y xy x y xy ⇔++≥+，由均值不等式知成立．由①式知2412341123412341234211111111k k x x x x x x x x x x x x x x x x x =⎛⎫++≥+== ⎪++++++⎝⎭∑．假设n k =时，对任意正实数12,,,k x x x 结论成立．则1n k =+时，由对称性不妨设121,,,,k k x x x x + 中1k x +最大，则11k x +≥，所以22211111111k k k k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由归纳假设知，此时结论成立．由数学归纳法知，2111nk k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．故1M =．当1233,n a a a ===时，231134k k k k a a a =+⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑．由于24111k k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑，令34a a =，则231134k k k k a a a =+⎛⎫≥⎪+⎝⎭∑，所以34M =．综上所述，3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .【详解】原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C--- .在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++ .而上式左边8=，故原不等式得证27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【详解】332211a b a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()55234234222211(1)(1)11a b a b a aa ab b b b a b a b ----++++++++==()()23423411a aa ab b b b ab++++++++=23231111a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭231ab ⎫≥++++⎪⎭（柯西不等式），122a b +=，令t =231()1g t t t t t=++++，其中102t <≤，则2213()12341104g t t t t =-+++≤-+++<'，所以131()28g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭．所以2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】解同除!n ：()()11111!3!2nnn nn n n n ++⋅<<，设()1!nnn a n +=，原题即证：23n nn a <<，而()2211111111C C 2nn nn n n n n n n aa n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++⋅+⋅⋅⋅+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以112121···2n n n n n a a a a a a ----⋅⋅⋅>，即1122n nn a a ->⋅=，1n >，又2211111C C nn n n n n a a n n -⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+211112222n -<+++⋅⋅⋅+11332n -=-<，所以112121···<3n n n n n a a aa a a ----⋅⋅⋅，即1133n nn a a -<⋅<，1n >，综上可得：1n >时，23nnn a <<，即11!32n nn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.【分析】由特例可得当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0，当n 为奇数时，问题可转化为“给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.”，利用逐步调整法可证后者.【详解】当n 为偶数时，取10n a a =⋯==，故1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，也可只取121,1a a =-=，其余为0，此时1||2ni i a ==∑，下证当n 为奇数时，12ni i a =≥∑恒成立.（利用换元可以得到更直观的形式如问题2）.问题2：给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.证明：注意到若10i i x x +⋅≥同号，即有111i i i i x x x x +++≥-，因为n 为正奇数，则必定存在一组0010i i x x +⋅≥同号，否则若1,i i x x +均异号，则111,nni i i i x x +==∏∏的符号必定相异.若还存在其他组10i i x x +≥，则可得111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑成立，若无其他组10,i i x x +≥同号，不妨10n n x x +≥，可设10,0n n x x +>>，（若等于0的可以进行小范围微调，只要不影响绝对值内数值的符号即可）.因为无其他组10,i i x x +≥同号，故122221221110,0,,0,0,0,0,,0,0,0k k k k n n n x x x x x x x x x --+-+><<>><<>> ，此时11,n x x +同号.记1i i i x d x +=，则11ni i d ==∏且对1i n ≤≤，11111.1i i i ii i i i i i x x d x x x x x x d ++++--+==-++设1121|1|1(,,,)11n i n n i i nd d f d d d d d -=-+=++-∑ ，下面将在11n i i d ==∏条件下进行调整.①若存在1,1k d k n >≤-.令()1,,,,n n k n i k i d d d d d d d i k n '==>='≠'则()()()()()'''1212211,,,,,,0.111n k k n n k n n k d d d f d d d f d d d d d d d --⋯-⋯=+>+--②若存在,1,1k l d d k l n <<≤-.令()'''1,,,,k l k l i i d d d d d d i k l ===≠则()()1212111,,,,,,111k l k l n n k l k l d d d d f d d d f d d d d d d d '''---⋯-⋯=+-+++()()()()()()1110111k l k l k l k l d d d d d d d d ---=>+++由上述讨论知，经过有限次调整可得：对1i n ≤-，除至多一个1i d ≠（设为)1d 外，其余1i d =.因此就有11n d d =，不妨设1n d >，则101d <<，故1121|1|1(,,,)11n i n n i i n d d f d d d d d -=-+⋯=++-∑111111n n n nd d d d -+≥+-+1111n n n n d d d d -+=++-2≥，原不等式得证.至此我们完成了问题2在奇数情况下的解答，即所求()max 2n λλ==.综上，当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，1||ni i a =∑的最小值为2.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑，由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=≥∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xyx y x xyxyz xxy ++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥13≥，所以()8445221x y z x y z +≥+∑,所以原不等式成立.。

高三数学竞赛练习题问题1：已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x，求f(x)的极值点和极值。

问题2：若二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像经过点(3, 1)，且开口向上，求a，b，c的值。

问题3：已知集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 4}，集合B = {y | y = 3x + 2}，求A与B的交集和并集。

问题4：已知等差数列的第一项是6，公差是3，求第10项的值。

问题5：已知等比数列的第一项是2，公比是3/2，求前10项的和。

问题6：已知三角形ABC，AB = AC，∠BAC = 80°，BD是BC边的角平分线，求∠BDC的度数。

问题7：已知函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2，求f(x)的零点及对称轴。

问题8：已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 8cm，∠BAD = 120°，求平行四边形的面积。

问题9：已知△ABC中，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm，求△ABC的外接圆的半径。

问题10：已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A与B的差集。

以上是一些高三数学竞赛练习题，希望能给同学们提供一些学习和训练的机会。

这些问题涵盖了高中数学中的不同知识点，包括函数、数列、三角形、几何等等。

通过解答这些问题，可以巩固基础知识，提升解题能力。

在解题过程中，不仅要理解题意，还要灵活运用数学定理和方法来解决问题。

祝愿大家在高三数学竞赛中取得好成绩！。

高二数学竞赛班二试第五讲 组合恒等式班级 姓名一、知识要点：数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。

解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。

同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。

因此，在各类数学竞赛中经常被采用。

1．基本的组合恒等式简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。

事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。

课本中的组合恒等式有：①r n r n nC C -=； ②111r r rn n n C C C +++=+；③11k k n n kC nC --=； ④r m m r mn r n n m C C C C --=；⑤0122n nn n n n C C C C ++++=L ；⑥()01210.nnn n n n C C C C -+++-=L2．解题中常用方法① 运用基本组合恒等式进行变换；② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标；⑤ 运用赋值法进行证明；⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。

二、经典例题例1．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L .例1．证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：左边0121111112n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=⋅=L 右边例2．求和式21nk nk k C=∑的值。

例2．基本思路：将2k n k C 改写为k n k kC ⋅，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然后再将11k n kC --变形成为()11111k k n n k C C -----+，而()111k n k C ---又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数中均不含有变动指标k 了。

高等数学综合练习题（30题）解答1、设0>a ，}{n x 满足：,00>x ,2,1,0(211 =+=+n x a x x nn n 证明：}{n x 收敛，并求。

n n x ∞→lim 分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明}{n x 单调且有界。

证明:（1）证明：易见，),,2,1,0(,0 =>n x n 则a x x nx ann =≥+1，从而有：02)(2121≤-=-+=-+nn n n n n n x x a x x ax x x ，故}{n x 单调减少，且有下界。

所以}{n x 收敛。

（2）设l x n n =∞→lim ，在)(211n n n x ax x +=+两边同时取极限得1lim +∞→=n n x l ),(21)(lim 21la l x a x nn n +=+=∞→解之得a l =，即a x n n =∞→lim 。

2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且310)(1 lim e x x f x xx =⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。

再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。

另外求一点的导数往往要用定义。

解由310)(1[lim e xx f x xx =++→得3])(1ln[lim=++→xx x f x x ，因为分母极限为零，从而分子极限为零，即0])(1ln[lim 0=++→xx f x x ，可以得到0)(lim=→xx f x ，同样，我们有)0(0)(lim 0f x f x ==→，由导数的定义得00)0()(lim)0('0=--=→x f x f f x 。

因为)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得)0)((0)0("21)(22→+=x x x f x f ）两边取极限得2])(0)0("21[lim 220=+→xx f x ，故4)0("=f 。

16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42

高年级数学竞赛综合练习（一）姓名得分1、找规律：0、1、3、8、21、（）、144。

2、如果△＋△＋△－□－□＝12，□＋□＋□－△－△＝2。

那么△＝（），□＝（）。

3、王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付156元。

已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。

每千克荔枝（）元，每千克桂圆（）元。

4、将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方框里，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。

○×○＝□＝○÷○5、用长18厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是（）平方厘米。

6、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝（）。

7、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。

如果被减数不变，差增加42，减数应变为（）。

8、两数相除，商是4，余数是10。

如果被除数和除数同时扩大50倍，商是（），余数是（）。

9、小明在计算除法时，把被除数1350写成1305，结果得到商是52，余数是5，正确的商应该是（）。

10、从1——8这八个数中，每次取两个数，要使它们的和大于8，有（）种取法。

11、城东小学有篮球、足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数是篮球只数的2倍。

篮球有（）只，足球有（）只，排球有（）只。

12、有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开，某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要（）秒。

13、一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形，原来长方形的面积是（）平方分米。

14、假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有（）位同学相约互通电话。

15、小明买5本日记本比买1本故事书多用5.8元，已知一本故事书的价钱正好是一本日记本价钱的3倍。

一本日记本的价钱是（）元，一本故事书的价钱是（）元。

16、A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行车要25小时，王亮从A 城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。

数学竞赛指数与对数的综合算式练习题在数学竞赛中，指数和对数是常见的数学概念和运算方法。

本文将通过综合算式练习题的形式，帮助读者加深对数学竞赛中指数和对数的理解和应用。

1. 练习题一：指数的运算计算以下表达式的结果：a) $2^3 \times 2^5$b) $4^2 \div 4^3$c) $(3^4)^2$解答：a) $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$b) $4^2 \div 4^3 = 4^{2-3} = 4^{-1}$c) $(3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8$2. 练习题二：对数的性质根据对数的性质，计算以下表达式的结果：a) $\log_{2} 8$b) $\log_{3} 1$c) $\log_{5} 125$解答：a) $\log_{2} 8 = 3$，因为$2^3 = 8$b) $\log_{3} 1 = 0$，因为$3^0 = 1$c) $\log_{5} 125 = 3$，因为$5^3 = 125$3. 练习题三：指数和对数的综合运算根据指数和对数的运算规则，计算以下表达式的结果：a) $2^{\log_{2} 5}$b) $\log_{4} (2^4)$c) $\log_{3} (3^{2x})$解答：a) $2^{\log_{2} 5} = 5$，因为$\log_{2} 5$表示以2为底，结果为5的对数，2的指数为5，因此结果为5。

b) $\log_{4} (2^4) = 4\log_{4} 2$，因为$4^{\log_{4} 2}$表示以4为底，结果为2的对数，4的指数为2，因此结果为2。

c) $\log_{3} (3^{2x}) = 2x$，因为$\log_{3} (3^{2x})$表示以3为底，结果为$3^{2x}$的对数，3的指数为$2x$，因此结果为$2x$。

4. 练习题四：指数与对数的实际应用某城市人口增长率每年为3%，现有人口为100万人。

2017年高中数学竞赛练习卷编制单位：东北育才学校科学高中部牟欣学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共32小题，共160.0分)1.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A.13πB.12πC.11πD.10π2.设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A.3B.2C.1D.03.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}则A∩（∁R B）=（）A.（0，2）B.[2，+∞）C.（-∞，0]D.（2，+∞）4.在射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击至少有一次没有击中目标”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q5.不等式3tanx+＞0的解集是（）A.，B.，C.，D.，6.已知函f（x）是定义在的奇函数，其最小正周期为当x∈-0）时，（）=log（1-x）则（04）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.27.双曲线-=-1的渐近线方）A. B.y=±2x C. D.8.在△AC中，若2，b=2，B=60，则角A的小为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°9.已知方程x2-（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（）A.（，-2]B.（-∞，-2]C.[2，）D.[2，+∞）10.（1-i）2016+（1+i）2016的值是（）A.21008B.21009C.0D.2201611.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（）A. B. C. D.12.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax-b=0没有实根B.方程x3+ax-b=0至多有一个实根C.方程x3+ax-b=0至多有两个实根D.方程x3+ax-b=0恰好有两个实根13.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）14.数列{a n}中，a1=1，a n，a n+1是方程x2-（2n+1）x+的两个根，则数列{b n}的前n项和S n=（）A. B. C. D.15.水平放置的正方体的六个面分别用“前面，后面，上面，下面，左面，右面”表示，如图是正方体的表面展开图，若图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，则“孝”“高”“助”分别表示正方体的（）A.左面，后面，上面B.后面，上面，左面C.上面，左面，后面D.后面，左面，上面16.若关于x的方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是（）A.y≥B.y≥8C.y≥18D.y＞-17.一元二次方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，则（1+x1）（1+x2）的值为（）A.3B.6C.-3D.18.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.19.已知向量=（2，3），=（-4，7），则向量在向量的方向上的投影为（）A. B. C. D.20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），则f（2014）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.221.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A. B. C. D.22.若x为复数，则方程x4=1的解是（）A.l或lB.i或-iC.1+i或1-iD.1或-1或i或-i23.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（）A.7B.8C.9D.1024.求满足2x（2sinx-）≥0，x∈（0，2π）的角α的集合（）A.（0，）B.[，]C.[，]D.[，]25.若将如图的展开图还原成成正方体，则∠ABC的度数为（）A.120°B.90°C.60°D.45°26.设f（x）=x（ax2+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A.（a，b）B.（a，c）C.（b，c）D.（a+b，c）27.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.πB.C.D.π28.下列各式的因式分解中正确的是（）A.-a2+ab-ac=-a（a+b-c）B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy）C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）D.+xy（x-y）29.若sinθ=，θ∈R，则方程的解集为（）A.{θ|θ=+2k，k∈Z}B.{θ|θ=+2k，k∈Z}C.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}D.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}30.把x3-9x分解因式，结果正确的是（）A.x（x2-9）B.x（x-3）2C.x（x+3）2D.x（x+3）（x-3）31.-1+2i是下列哪个实系数方程的一个根（）A.x2-4x+5=0B.x2+4x+5=0C.x2-2x+5=0D.x2+2x+5=032.展开式中的常数项为（ ）A.15B.20C.-1D.-20二、填空题(本大题共24小题，共120.0分) 33.= ______ ．34.已知函数f （x ）=， ＞，，则f （2）= ______ ． 35.设f （x ）=x 8+3，求f （x ）除以x +1所得的余数为 ______ ． 36.用（x +2）（x -1）除多项式x 6+x 5+2x 3-x 2+3所得余式是 ______ ．37.一个圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面展开图是扇角为 ______ （填扇角的度数）的扇形． 38.方程sin 2x =cosx ，x ∈[0，2π]的解集是 ______ ． 39.已知函数，， ＞则的值为 ______ ． 40.因式分解：x 3-2x 2+x -2= ______ ．41.集合{x |cos （πcosx ）=0，x ∈[0，π]}= ______ （用列举法表示） 42.若0≤x ＜π，则满足方程tan （4x -）=1的角的集合是 ______ ． 43.分解因式：5x 2+6xy -8y 2= ______ ．44.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f （x ）=，其中a ∈R ，若f （- ）=f （），则f （5a ）的值是 ______ ．45.当0≤x ≤2π时，则不等式：sinx -cosx ≥0的解集是 ______ ．46.已知tan α，tan β是方程x 2+6x +7=0的两个根，且α，β∈（，），则α+β= ______ ． 47.已知tan α、tan β是方程x 2+6x +7=0的两根，则tan （α+β）= ______ ．48.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，1）时，f （x ）=x ，则= ______ ． 49.观察分析下表中的数据：______ ．50.已知θ∈（0，2π）且sin θ，cos θ是方程x 2-kx +k +1=0的两根，则k 的值为 ______ ． 51.已知z = ，i 是虚数单位，则1+z 50+z 100= ______ ．52.定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）等于 ______ ． 53.设f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x +3）=-f （x ），f （-1）=2，则f （2012）= ______ ．54.若f（x+1）=x2，则f（3）= ______ ．55.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是______ ．56.若sinx=，，，则x= ______ ．（结果用反三角函数表示）三、解答题(本大题共14小题，共168.0分)57.已知函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数f（x）的单调区间，对称中心；（2）若关于x的方程2cos2x+mcosx+2=0在，上有实数解，求实数m的取值范围．58.已知等差数列{a n}中，a3+a7＜2a6且a3，a7是方程x2-18x+65=0的两根，数列{b n}的前项和S n=1-b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n，并证明＜．59.解方程：cos2x=cosx+sinx．60.分解下列因式（1）5x2+6xy-8y2（2）x2+2x-15-ax-5a．61.为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）62.f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=-，3a＞2c＞2b，求证：（I）a＞0且-3＜＜-；（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（III）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则≤|x1-x2|＜．63.已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．64.已知关于x的方程cos2（x+π）-sinx+a=0．（1）若x=是此方程的解，求a的值；（2）若此方程有解，求a的取值范围．65.已知x1=1-i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a，b的值．66.已知复数z=1-sinθ+icosθ（＜θ＜π），求z的共轭复数的辐角主值．67.已知曲线C x 2-y2=1及直线l：y=kx-1．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．68.已知在区间[-1，1]上是增函数（I）求实数a的取值范围；（II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x1，x2．①求|x1-x2|的最大值；②试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．69.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，数列{a n}，{b n}定义为：a1=，2a n+1=f（a n）+15，b n=（n∈N*）．（1）求实数a，b的值；（2）若将数列{b n}的前n项和与数列{b n}的前n项积分别记为S n，T n证明：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值；（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.已知函数，a为常数（1）若f（x）＞2的解集为（2，3），求a的值（2）若f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2017年高中高三年级数学竞赛试题评分标准1.A2.C3.B4.A5.D6.A7.A8.A9.C 10.B 11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.B 17.D 1 8.A 19.B 20.A 21.A 22.D 23.A 24.B 25.C 26.A 27.C 28.B 29.D 30.D 31.D 32.D33.034.035.436.-x+537.180°38.{，，，}39.-40.（x-2）（x2+1）41.{，}42.{，，，}43.（x+2y）（5x-4y）44.-45.，46.47.148.49.F+V=E+250.-151.i52.053.-254.455.56.57.解：（1）∵函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．∴=，，．令2kπ-π≤2x+≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ-，可得函数的单调递增区间，；同理，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的调递减区间，．令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数的对称中心为，．（2）令t=cosx，t∈（0，1）则2t2+mt+2=0在（0，1）上有解，m=-2（t+），令，任取0＜t1＜t2＜1，有＞，因此在（0，1）上单调递减，因此m＜-2k（1）=-4，所以m范围{m|m＜-4}．58.（1）解：由a3+a7=2a5＜2a6得a5＜a6，所以数列{a n}是递增数列．…（1分）所以a3＜a7．由x2-18x+65=0解得a3=5，a7=13…（2分）公差，所以a n=a3+（n-3）d=2n-1（n∈N*）…（3分）由S n=1-b n得，当n=1时，；…（4分）当n≥2时，b n=S n-S n-1，得…（5分）所以{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以…（6分）（2）证明：由（1）得，…（7分）所以由错位相减法得＜…（9分）因为＞所以{T n}是递增数列，所以故＜…（13分）59.解：∵cos2x=cosx+sinx，∴cos2x-sin2x=cosx+sinx，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx）-（cosx+sinx）=0，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0．如果cosx+sinx=0，则得1+tanx=0，tanx=-1，解x=kπ-（k为整数）．如果cosx-sinx-1=0则得cosx-sinx=1，∴cos（x+）=，∴x+=2kπ±，∴x=2kπ或2kπ-（k为整数）．综上，x=kπ-或2kπ或2kπ-（k为整数）．60.解：（1）5x2+6xy-8y2=（5x-4y）（x+2y）（2）x2+2x-15-ax-5a=（x+5）（x-3）-a（x+5）=（x+5）（x-3-a）61.解：（1）在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为，可得不患心肺疾病的人共有16人．大于40的有4人．患心肺疾病有24人，小于等于40岁有8人．将2×2列联表补充完整如图；患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16 4 20小于等于40岁8 12 20合计24 16 40（2）K2===＞6.635．所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关．62.证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）又2c=-3a-2b由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b∵a＞0∴＜＜…（4分）（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且＜∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）②当c≤0时，∵a＞0∴＜且＞∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根∴，…（12分）∴∵＜＜∴＜…（15分）63.（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，则x3=0，x1+x2=-3，x1x2=-9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x-3）=a（x-1）（x+3）．令f （x）=0 解得：x=1，x=-3故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f （x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f （0）=c，f （2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）①当c＞0时，因为f （0）=c＞0，＜0，而f （x）在区间（0，1）内连续，则f （x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f （x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f （x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f （2）=a-c＞0，则f （x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f （x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=-，mn==．所以|m-n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤-1，即≥-1，或≤-3又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-a．因为a＞0，所以-3＜＜-．综上分析，的取值范围是[-1，-）．64.解：（1）若x=是此方程的解，则cos2（+π）-sin+a=0，∴-+a=0，∴a=-；（2）∵cos2（x+π）-sinx+a=0，∴a=-cos2x+sinx=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-，∵-1≤sinx≤1，∴-≤a≤1．65.解：∵x1=1-i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=-（x1+x2）=-（1+i+1-i）=-2．b=x1x2=（1+i）（1-i）=2．故答案为：a=-2，b=266.解：z=1+cos（+θ）+isin（+θ）=2cos2+2isin cos=2cos（cos+isin）．当＜θ＜π时，＜＜．∴=-2cos（-cos+isin）=-2cos（+）（cos（-）+isin（-））．∴辐角主值为-．67.解：（1）由消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0．∵l与C左支交于两个不同的交点∴＞且x1+x2=-＜0，x1x2=-＞0∴k的取值范围为（-，-1）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-，x1x2=-．又l过点D（0，-1），∴S△OAB=|x1-x2|=．∴（x1-x2）2=（2）2，即（-）2+=8．∴k=0或k=±．68.解：（I）…1分）∵f（x）在[-1，1]上是增函数∴f'（x）≥0即x2-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立（1）（3分）设φ（x）=x2-ax-2，则由（1）得解得-1≤a≤1 所以，a的取值范围为[-1，1]．…（6分）（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}由即得x2-ax-2=0∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根∴x1+x2=a，x1x2=-2，又由（1）-1≤a≤1∴（9分）∴|x1-x2|的最大值为3．②要使m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立即m2+tm+1＞3即m2+tm-2＞0对∀t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则由（2）得＞＞解得m＞2或m＜-2故存在实数m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）满足题设条件（14分）69.（1）解：设方程2x2+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，∴x2+ax+b=0的两个实根为α，β，由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，从而2a n+1=a n（a n+2），即，，∵2a n+1=a n（a n+2），∴===，，∴T n=b1•b2•b3…b n==．S n=b1+b2+…+b n=（）+（）+…+（）=，n∈N*．∴对任意正整数n，2n+1T n+S n=+=2为定值．（3）证明：∵a1＞0，，∴a n+1＞a n＞0，n∈N*即{a n}为单调递增的正数数列，∵，，∴{b n}为递减的正数数列，且，∴，，∵，，∴对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.解：（1）由解集为（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，所以f（x）＞2即＞可化为a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，由解集形式知：a-2＜0，所以x＜②，由①②得2＜x＜，所以=3，解得a=1，；（2）f（x）＜x-3即＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，等价于a＜对任意的x∈（2，+∞）恒成立，又=（x-1）+-3≥2-3=2-3，当且仅当x=+1时取等号，所以a＜2-3；【解析】1. 解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==•3x•3x•（9-6x）≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为4=13π．故选A．正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．2. 解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．利用函数的周期性结合函数在在区间（-2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3. 解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴∁R B=（-∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（∁R B）=[2，+∞），故选：B根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．4. 解：∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”（￢p）∨（￢q），故选：A由已知，结合容斥定理，可得答案．本题考查的知识点是事件的表示，容斥定理，难度不大，属于基础题．5. 解：由3tanx+＞0，可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象可得-+kπ＜x＜kπ+，k∈z，故选D．由条件可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象求得x的范围．本题主要考查正切函数的图形特征，属于基础题．6. 解：∵20÷3=67…1，0163=672，∵当∈（-，0），f（=log2（1-），f（2014）==-f（-1），f（206）0）=0，∵函数f（x）定在R的奇函数，其最周期为3，故选：函的周期性把f204）f（2016）变形，再利用奇偶及当∈（-，0）时，fx）og2（1-x），定出求式的值即可．此题考了周期数，函数的偶性和周期性及简单的对数运熟练掌握函数的解本题的关键．7. 解：令，得，即双曲渐近线为，故选：根双曲线渐近方程的求法行解即可．题主考查双曲渐近线方的求解，令-1变0是解决的关键．8. 解：a=2，b=2，B60°，∴由正弦理，得=°，又a＜b，∴A0°．故选：接利用正弦理求sn A，结合三角的大边对大角得答案．本题查弦定的应用，考查了三形解法，是中档题．9. 解：令x2-（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得＞，＞解得2≤m＜，故选C．由题意可得＞，解不等式组求得m的取值范围．＞本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10. 解：（1-i）2016+（1+i）2016=（-2i）1008+（2i）1008=[（-i）1008+i1008]•21008=21009，故选：B．利用复数的周期性即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，考查了计算能力，属于基础题．11. 解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为．故选：C．圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的弧长就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．本题考查圆锥的结构特征，旋转体的侧面展开图，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．12. 解：用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+ax-b=0没有实根，故选：A．用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的思路，命题的否定，属于基础题．13. 解：（1）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选：B分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．14. 解：依题意，a n+a n+1=2n+1，∴a n+1+a n+2=2（n+1）+1，两式相减得：a n+2-a n=2，又a1=1，∴a3=1+2=3，a5=5，…∵a n+a n+1=2n+1，a1=1，∴a2=3-1=2，a4=2+2=4，…∴a n=n；又=a n a n+1=n（n+1），∴b n==-，∴S n=b1+b2+…+b n=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故选D．利用韦达定理可求得a n+a n+1=2n+1，而a1=1，从而可求得a n=n；再由=a n a n+1，可求得b n，从而可得答案．本题考查数列的求和，突出考查等差关系的确定，考查韦达定理的应用，属于中档题．15. 解：由题意可知正方体的直观图如图：则“孝”“高”“助”分别表示正方体的：后面，上面，左面．故选：B．画出正方体的直观图，使得图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，推出结果．本题考查几何体的表面展开图的应用，考查空间想象能力．16. 解：∵方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，∴△=4m2-4（m+6）≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，则y=（x1-1）2+（x2-1）2=（x1+x2）2-2x1•x2-2（x1+x2）+2=4m2-2（m+6）-4m+2=4m2-6m-10，故当m=3时，y取最小值8，无最大值，即y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是y≥8，故选：B由方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，可得：△≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，进而可将y=（x1-1）2+（x2-1）2化为：y=4m2-6m-10（m≤-2，或m≥3）的形式，结合二次函数的图象和性质可得答案．本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．17. 解：∵方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1•x2=，∴（1+x1）（1+x2）=x1•x2+x1+x2+1=+3+1=，故选：D根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=3，x1•x2=，然后将其代入所求的代数式（1+x1）（1+x2）求值即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=中的a、b、c所表示的意义．18. 解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．19. 解：根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞===．故选：B．根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．20. 解：∵2014÷3=671…1，2016÷3=672，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，∴f（2014）=f（1）=-f（-1），f（2016）=f（0）=0，∵当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），∴原式=-f（-1）+0=-f（-1）=-1．故选：A．利用函数的周期性把f（2014）与f（2016）变形，再利用奇偶性及当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），确定出所求式子的值即可．此题考查了周期函数，函数的奇偶性和周期性，及简单的对数运算，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．21. 解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（π+ϕ）=cos=．∵0≤φ＜π，∴≤π+ϕ≤，∴π+ϕ=，解得φ=．故选：A．由题意可得sin（π+ϕ）=cos=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题22. 解：因为：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）．所以x4-1=0即（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）=0．解得x=1，-1，i，-i．即在复数集中，方程x4=1的解为1，-1，i，-i故选：D．方程x4=1可化为方程x4-1=0．对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解，注意要分解彻底本题考查运用平方差公式分解因式的能力．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题需注意，第一次运用平方差公式分解以后，余下的多项式仍然可以运用平方差公式再次分解．23.解：如图：几何体的图形，P-ABE是正四面体，ABCDEF是正八面体，组合后，平面PAB与平面ABC是同一个平面，平面PBE与平面BDE是同一个平面，所以结合体共有7个平面．故选：A．画出几何体的图形判断多面体的面数即可．本题考查几何体的平面个数的判断，基本知识的考查．24. 解：∵满足2x（2sinx-）≥0，2x＞0．∴，∵x∈（0，2π），∴，故选：B．满足2x（2sinx-）≥0，化为，由于x∈（0，2π），利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．25. 解：还原正方形，连接ABC三个点，可得图形如图所示．可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°故选：C．将展开图还原成正方体，进行求解即可．本题看出棱柱的结构特征，是基础题．本题考查学生的空间想象能力．26. 解：∵f（x）=x（ax2+bx+c）=ax3+bx2+cx，∴f （x）=3ax2+2bx+c，∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，∴1，-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根，∴1+（-1）=-，=-1，故b=0，c=-3a≠0；可排除B、C、D．故选A．根据题意先对f（x）=x（ax2+bx+c）求导，导函数为二次函数，再利用韦达定理求得b=0，从而可解决问题．本题考查根与系数的关系及函数在某点取得极值的条件，着重考查根与系数的关系中韦达定理的使用，属于中档题．27. 解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想28. 解：A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），因此不正确；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），正确；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），因此不正确；D.=xy（x+y），因此不正确．故选：B．A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），即可判断出；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），即可判断出；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），即可判断出；D.=xy（x+y），即可判断出．本题考查了因式分解的方法，属于基础题．29. 解：当θ∈[0，2π）时，由sinθ=，可得或．∴sinθ=，θ∈R，此方程的解集为{θ|或2k，k∈Z}．故选：D．当θ∈[0，2π）时，方程sinθ=的解为或．再利用三角函数的周期性即可得出．本题考查了三角方程的解法、三角函数的周期性，属于基础题．30. 解：x3-9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）．故选：D．提取公因式，然后利用平方差公式分解即可．本题考查因式分解，平方差公式的应用，考查计算能力．31. 解：若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，由韦达定理可得：（-1+2i）+（-1-2i）=-2=-b，（-1+2i）（-1-2i）=5=c，故所求方程为x2+2x+5=0，故选：D根据实系数二次方程虚根成对定理，可得若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，进而由韦达定理可求出系数b，c．本题考查的知识点是实系数二次方程虚根成对定理，韦达定理，难度不大，属于基础题．32. 解：（x-）6的二项展开式的通项公式为：T r+1=（-1）r•x6-r•x-r=（-1）r•x6-2r．令6-2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为：-=-20，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．33. 解：=+0=0，故答案为0．直接计算相应的反三角函数的值，即可得出结论．本题考查反三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．34. 解：f（2）=22-4=0．故答案为0．把x=2代入函数解析式计算．本题考查了函数值的求解，是基础题．35. 解：由余数定理得：f（-1）=（-1）8+3=4，故答案为：4．根据余数定理计算f（-1）的值即可．本题考查了余数定理的应用，求出f（-1）的值是解题的关键，本题是一道基础题．36. 解：由题意，x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），∴用（x+2）（x-1）除多项式x6+x5+2x3-x2+3所得余式是-x+5．故答案为-x+5．利用多项式的除法，可得x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），即可得出结论．本题考查多项式的除法，考查学生的计算能力，比较基础．37. 设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，扇角为α，扇形弧长为c截面为正三角形，所以R=2r又2πr=c，c=αR联立解得α=π故扇角为180°圆锥的母线长对应扇形的半径，圆锥底面圆周长对应扇形的弧长．列出方程组求解．考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长公式，各量之间的对应关系．属于基础题．38. 解：方程sin2x=cosx，即2sinxcosx=cosx，即cosx=0或sinx=．由cosx=0，x∈[0，2π]，可得x=或；由sinx=，x∈[0，2π]，可得x=或x=，综上可得，方程sin2x=cosx，x∈[0，2π]的解集是{，，，}，故答案为：{，，，}．方程即cosx=0或sinx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π]，分别求得x的值，可得结论．本题主要考查三角方程的解法，正弦函数、余弦函数的图象，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．39. 解：∵函数，，＞，则=f（-）=3×（-）=-，故答案为-．由题意可得=f（-）=3×（-），运算求得结果．本题主要考查求函数的值，体现了转化的数学思想，属于基础题．40. 解：原式=x2（x-2）+（x-2）=（x-2）（x2+1）．故答案为：（x-2）（x2+1）．分组提取公因式即可得出．本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．41. 解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=-，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={，}．故答案为：{，}．由已知得，或，由此能求出结果．本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．42. 解：由题意，4x-=kπ+，k∈Z∴x=kπ+，∵0≤x＜π，∴x=，，，，故答案为{，，，}．由题意，4x-=kπ+，求出x，根据0≤x＜π，即可得出结论．本题考查正切函数的图象与性质，考查学生的计算能力，比较基础．43. 解：5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）．故答案为：（x+2y）（5x-4y）．将多项式第三项分为2y与-4y的乘积，第一项分为x与5x，利用十字相乘法，得到分解结果．本题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中的阅读材料是解本题的关键．44. 解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=，∴f（-）=f（-）=-+a，f（）=f（）=|-|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+=-，故答案为：-根据已知中函数的周期性，结合f（-）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．45. 解：如图所示，∵0≤x≤2π时，当sinx=cosx时，x或．∴不等式：sinx≥cosx的解集是，．故答案为：，．如图所示，即可得出不等式的解集．本题考查了三角函数的单调性、数形结合思想方法，属于基础题．46. 解：∵tanα，tanβ是方程x2+6x-7=0的两个根，∴tanα+tanβ=-6，tanαtanβ=7，有tanα、tanβ均小于零，则α，β∈（，0）；则tan（α+β）===1．又由α，β∈（，0），则α+β∈（-π，0）则故答案为：由tanα，tanβ为已知方程的两根，利用韦达定理表示出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后把所求的角的正切利用两角和的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．此题考查了韦达定理，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．47. 解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7．由此可得tan（α+β）===1．故答案为：1由一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=-6且tanα•tanβ=7．由此利用两角和的正切公式加以计算，可得tan（α+β）的值．本题给出一元二次方程的两根恰好是α、β的正切之值，求tan（α+β）．着重考查了两角和的正切公式、一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．48. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴=-f（）=，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．比较基础．49. 解：由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱锥，6+6=10+2，立方体，6+6=10+2，猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是：F+V=E+2．故答案为：F+V=E+2．直接利用表格的数据，找出面数、顶点数、棱数的关系即可．本题考查欧拉定理的基本知识的应用，是基础题．50. 解：∵sinθ，cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两根，∴①②，①平方得，1+2sinθcosθ=k2，将②代入得，k2-2k-3=0，解得k=3或-1，当k=3时，sinθcosθ=4，这与sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，当k=-1时，经验证符合条件．则k的值为-1，故答案为：-1．根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围．本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围．51. 解：∵z=，∴z2=i，z4=-1，∴1+z50+z100=1+i-1=i．故答案为：i．由z=，可得z2=i，z4=-1，即可求出1+z50+z100．本题考查复数及其指数形式，考查学生的计算能力，比较基础．52. 解：由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，所以-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），所以f（1）=0．故答案为：0．根据奇函数和周期函数的性质可以知道，由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，可得-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（1）=0．本题主要考查奇函数和周期函数的定义，考查学生的推理能力．53. 解：∵f（x+3）=-f（x），f（-1）=2，。

五年级数学竞赛综合练习（一）姓名姓名得分1、找规律：0、1、3、8、21、（）、144。

2、如果△＋△＋△－□－□＝12，□＋□＋□－△－△＝2。

那么△＝（），□＝（）。

3、王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付156元。

已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。

每千克荔枝（）元，每千克桂圆（）元。

4、将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方框里，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。

○×○＝□＝○÷○5、用长18厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是（）平方厘米。

6、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝（）。

7、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。

如果被减数不变，差增加42，减数应变为（）。

8、两数相除，商是4，余数是10。

如果被除数和除数同时扩大50倍，商是（），余数是（）。

9、小明在计算除法时，把被除数1350写成1305，结果得到商是52，余数是5，正确的商应该是（）。

10、从1——8这八个数中，每次取两个数，要使它们的和大于8，有（）种取法。

11、城东小学有篮球、足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数是篮球只数的2倍。

篮球有（）只，足球有（）只，排球有（）只。

12、有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开，某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要（）秒。

13、一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形，原来长方形的面积是（）平方分米。

14、假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有（）位同学相约互通电话。

15、数一数下图中共有（）个三角形。

16、A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行车要25小时，王亮从A 城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。

江苏高二排列组合练习题排列组合是高中数学中的一个重要概念，也是数学竞赛中常见的考点。

以下是几道江苏高二级别的排列组合练习题，供同学们参考和练习。

1. 某班级有10名学生，其中3名学生将被选为班级干部，另外2名学生将被选为班级学习委员。

问有多少种不同的结果可能？解析：首先选出3名干部有 C(10, 3) 种不同的选择方式，然后从剩下的7名学生中选出2名学习委员有 C(7, 2) 种不同的选择方式。

所以总共有 C(10, 3) * C(7, 2) 种不同的结果可能。

2. 某市有5所高中校园，其中将选取3所举办合唱比赛。

问有多少种不同的选择方式？解析：从5所高中校园中选出3所有 C(5, 3) 种不同的选择方式。

3. 一批商品有6种不同的型号和4种不同的颜色可供选择。

若要选购其中3种商品，请问有多少种不同的选择方式？解析：对于每种商品型号，有选或不选两种选择。

由于一共有6种不同的型号，所以共有 2^6 种选择方式。

对于颜色也是同样的道理，有 2^4 种选择方式。

所以总共有 2^6 * 2^4 = 2^10 = 1024 种不同的选择方式。

4. 有6个小朋友排成一排，要选出其中3个小朋友，使得这3个小朋友不能连续站在一起。

问有多少种不同的选择方式？解析：首先从6个小朋友中选出3个小朋友的组合有 C(6, 3) 种方式。

将这3个小朋友放置在一排时，可以将剩下的3个小朋友插入其中的4个间隔中（起始位置、末尾位置和选中小朋友之间的3个间隔）。

所以总共有 4 种插入方式。

所以最终的结果是 C(6, 3) * 4 种不同的选择方式。

5. 由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 组成一个8位数，要求该数字中不能包含重复的数字。

问有多少种不同的数字可以满足要求？解析：首先从 8 个数字中选出 8 位数的排列有 8! 种方式。

但由于题目要求不能包含重复的数字，所以我们还需要剔除掉那些有重复数字的排列。

数字 1、2、3、4、5、6、7、8 一个数字只能选一次，所以我们只需计算有重复数字的排列数量即可。

本讲收录了1998年以来所有的联赛二试代数真题二试代数向来是联赛的必考内容甚至在最近10年中最少有4年占两道.从以往试题来看，二试代数问题往往偏于对学生代数功力的考察，其主要类型为不等式（占50%）、方程组求解等代数经典问题（占30%）以及数列相关问题（占20%）.在08年前只考三道题的时候，为了尽可能全面考察四大板块，经常还出现代数与数论、组合相交叉的综合性问题,不等式问题占的比重相对较小.从09年开始变为四道题之后，四道题分别考察四个独立的内容成为可能，这也使以前联赛问题总是与其它主流竞赛问题“不像”这个问题得以解决.但是这明显让绝大部分未进行过专业数论、组合板块训练的同学失去对竞赛的兴趣和信心（因为最后两道题很难得分，前面的题目也不一定就能拿到高分）.为了解决这个问题，从今年开始又将一试分数调整到120分，相应地二试从每题50分变到两道40分题加上两道50分题.虽然从理论上说，二试的两道40分题可能为四个板块中任意两种，但因为数论与组合常规下总是较难，所以绝大部分情况下二试问题结构为第一题平几与第二题代数40分，第三题数论与第四题组合各50分.在不与数论、组合发生交叉的情况下，代数问题仍以不等式为主（也可能以递归数列形式出现的不等式），但不排除其它两种可能.下面的例习题也将按此比例大致分配.考虑到代数部分极可能为40分题，因此其难度不会太大；但联赛代数历年来也不会命那些只要简单的几步即可完成的题，总是会出现较大的计算量(一般在20行内难以完成)以实现分步给分.如果是不太难的不等式，则总是会出现两问或“两头堵”以增加难度，实现选拔功能.板块一 不等式与极值不等式是联赛二试改为四道题之后代数部分最主要的题型，其解决方法多样，内容繁多，且基本没有通法，需要考生创造性地解决问题.以下内容为联赛考察重点：1、 均值不等式，在用均值的时候往往需要根据取等条件来凑配相应的系数；2、 柯西不等式，特别要注意柯西不等式的几个重要变形特别是主动变形即222221211111()()ni i n nn ni i ii i i ni i i i ii a b a ba b a b======≥⇔≥∑∑∑∑∑∑二试代数概述例题精讲第1讲二试真题分析（1）代数右方这个式子的诸i b 往往是根据题目特点主动构造的.3、 对离散量或整值问题按照逐步调整（或磨光变换）方法得到极值；4、 有时需要用到其它的重要不等式（如排序，切比雪夫不等式等），但用的不多；5、 由于三元轮换对称不等式的普通变式基本已经被研究透彻，且容易被暴力破解；新的三元不等式往往极难，因此这种几年前的主流不等式问题近年来已越来越少见. 6、 利用某方法（如构造某函数并利用增减性、求导等）得到局部不等式并求和得证的问题近年较多见，其主要难点在于局部不等式的右方为何种形式难以想到.根据单墫、陈计等不等式专家的观点，不等式问题最关键的是培养大小的感觉，也就是说做不等式问题第一步不是考虑用哪个不等式，而是对题目中各变量对大小的影响有一个较明晰的感觉并将这种感觉细化与具体化.这种感觉需要长期的培养与练习，一般可以通过固定其它变量单独看某变量变化的方法来进行.【例1】 (2010年第3题)给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 【解析】 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kniii i k ak an k ==+<≤<≤-∑∑。

高中数学练习题书推荐高二高中数学是一个重要的学科，对于学习者来说，掌握好数学知识是非常关键的。

为了帮助高中二年级的学生提高数学水平，以下推荐几本适合的数学练习题书。

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2.《高中数学专题强化训练》该书是针对高中数学各个专题的强化训练题集，适合进行有针对性的复习。

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4.《高中数学竞赛习题集》这是一本专门为高中数学竞赛准备的题库，但其中的题目也非常适合高二学生进行练习。

书中的题目设计有创意，涉及的数学知识点广泛，难度适宜。

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5.《高中数学全程应试攻略》这本书是一本全面梳理高中数学知识的综合教材，其中包含了大量的例题和习题。

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以上是几本适合高中二年级学生的数学练习题书推荐。

不同的书对于不同学生的需求有所适应，学生可以根据自身的情况选择适合自己的一本或多本进行练习。

数学竞赛中的数论问题第二部分 数论题的范例讲解主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．一、奇数与偶数整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n ，奇数可以表示为21n -或21n +．一般地，整数被正整数m 去除，按照余数可以分为m 类，称为模m 的剩余类(){}mod i C x x i m =≡，从每类中各取出一个元素i i a C ∈，可得模m 的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用． 关于奇数和偶数，有下面的简单性质：（1）奇数≠偶数．（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9． （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；． （4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．（5）除2外所有的正偶数均为合数；（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半． （7）偶数乘以任何整数的积为偶数．（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，()mod2a b a b +≡-． （9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数． （10）n 个偶数的积是2n的倍数．（11）()11k-=的充分必要条件是k 为偶数，()11k-=-的充分必要条件是k 为奇数．（12）()()()()()()22220mod 4,211mod 4,211mod8n n n ≡-≡-≡． （13）任何整数都可以表示为()221mn k =-．……例1 （1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---是偶数．类似题：例1-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数．（127,,,a a a 中奇数与偶数个数不等）例1-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数．（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,,14？例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？例4 有n 个数121,,,,n n x x x x -，它们中的每一个要么是1，要么是1-．若1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，求证4|n ．例5 n 个整数121,,,,n n a a a a -，其积为n ，其和为0，试证4|n ．例6 在数轴上给定两点1内任取n 个点，在此2n +个点中，每相邻两点连一线段，可得1n +条互不重叠的线段，证明在此1n +条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．二、约数与倍数最大公约数与最小公倍数的求法． （1）短除法．（2）分解质因数法．设1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=≥=， 1212,0,1,2,,k k i b p p p i k ββββ=≥=．记 {}{}min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==， 则 ()1212,k k a b p p p γγγ=， []1212,k k a b p p p δδδ=．（3）辗转相除法()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -======．例7 （1）求()8381,1015，[]8381,1015； （2）()144,180,108，[]144,180,108．例8 正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．．例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？例10 对每一个2n ≥，求证存在n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，使i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j n i j ∈≠成立．例11 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约．例12 不存在这样的多项式 ()1110mm m m f n a n a na n a --=++++，使得对任意的正整数n ，()f n 都是素数． ．三、平方数若a 是整数，则2a 就叫做a 的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．（3）()()()()2220mod 4,211mod 4n n ≡-≡． （４）()()2211mod8n -≡．（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个．（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足222a b c +=的整数(),,a b c 叫做勾股数．勾股数的公式为2222,2,,a m n b mn c m n ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩其中,m n 为正整数，(),1m n =且,m n 一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．2．平方数的证明方法 （1）反证法． （2）恒等变形法．（3）分解法．设a 为平方数，且a bc =，(),1b c =，则,b c 均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法（1）若()221n x n <<+，则x 不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数． （4）同余法：满足下式的数n 都不是平方数．()2mod3n ≡， ()23mod4n ≡或， ()23mod5n ≡或，()23567mod8n ≡或或或或，()2378mod10n ≡或或或．（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数．例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数,a b ，斜边为正整数c ，若a 为素数，求证()21a b ++为平方数．例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．例16 ()2311986,IMO -设d 是异于2，5，13的任一整数．求证在集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b ，使得1ab -不是完全平方数．例17 (296IMO -)设,a b 为正整数，1ab +整除22a b +．证明221a b ab ++是完全平方数．四．整除整除的判别方法主要有7大类．1．定义法．证b a a bq ⇔=，有三种方式． （1）假设a qb r =+，然后证明0r =．（定理4） （2）具体找出q ，满足a bq =． （3）论证q 的存在．例18 任意一个正整数m 与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除．2．数的整除判别法． ()1011010mod3n n a a a a a a -++⨯+≡++++， ()1011010mod9n n a a a a a a -++⨯+≡++++如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或或13整除． 1210a a a()13132101001n n a a a a a a a -⨯--，()13210132101001n n n a a a a a a a a a a a --⇔⨯-，1113⨯，而7,11,13均为素数知，m 能被7或11或13）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被)mod11，有()()()()11101110101010111mod11.n n n n nn n n a a a a a a a a ----⨯+⨯++⨯+≡-+-++-+3．分解法．主要用乘法公式．如()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．例19 试证()()555129129++++++．例20 ()2111979,IMO -设p 与q 为正整数，满足111112313181319p q =-+--+， 求证p 可被1979整除（1979p ）例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．4． 余数分类法．例21 试证()()3121n n n ++．例22 k个连续整数中必有一个能被k整除．例23 k个连续整数之积必能被!k整除．n≥），若顺序相邻的3人中恰有一例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（3-．个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a b例25 （1956，中国北京）证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．五、同余根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．例26 正方体的顶点标上1+或1-，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．．例27 设多项式()n n n na x a xa x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．例28 解方程719213x y +=．例29 求方程3222009x x y +=的整数解．例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．（1988，高中联赛）例31（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足21323, 3a a a a -≥-≥， 那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？七．数论函数主要是[]x 高斯函数，()n ϕ欧拉函数．例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为(A)10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (C) 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D)510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）例33 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．例34 50!的标准分解式中2的指数．八、综合练习例35 整数勾股形中，证明（1）必有一条直角边长是3的倍数； （2）必有一条直角边长是4的倍数； （3）必有一条边长是5的倍数； （4）三角形的面积是6的倍数．例36 已知ABC 内有n 个点，连同,,A B C 共有3n +个点，以这些点为顶点，把ABC 分割为若干个互不重叠的小三角形，现把,,A B C 分别染上红色、蓝色、黄色，而其余n 个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）例37 对整点25边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．高中数学竞赛训练讲义一、选择题1、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）．A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；2、设 ()11x f x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2007f x =（ ）． A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-； 3、设α为锐角，xy 2sin cos sin cos z αααα=+，则,,x y z 的大小顺序为（ ）． A 、x y z ≥≥； B 、 x z y ≥≥； C 、z x y ≥≥； D 、z y x ≥≥；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.52，则其侧面与底面的夹角为( ).A 、3π； B 、4π； C 、6π； D 、12π.6、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）． A 、119 B 、120； C 、151； D 、154.二、填空题 7、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则x y += . 8、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为 ． 9、计算01sin10= . 10、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .11、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .12、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a = ．三、解答题13、数列{}n a 满足：()()111,211nn n na a a n na +==++；令12,k k x a a a =+++12111,1,2,k ky k a a a =+++=；求1nk kk x y=∑．A B CD15、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；答案：C ；解：若a b >，则22222a c b c bc +>+≥，不合条件，排除,A D ，又由()222a c c b c -=-，故a c -与b c -同号，排除B ；且当b a c >>时，222a c bc +=有可能成立，例如取()(),,3,5,1a b c =，故选C ． 2、设 ()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2007f x =（ ）A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-； 答案：B ；解：()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x +++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因2007为43n +型，故选B . 3、设α为锐角，x =y =2sin cos sin cos z αααα=+， 则,,x y z 的大小顺序为（ ）A 、x y z ≥≥；B 、 x z y ≥≥；C 、z x y ≥≥；D 、z y x ≥≥；答案：A；解：sin cos 1sin cos x y αααα+=≥=+，2sin cos sin cos z y αααα=≤==+，故x y z ≥≥.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.答案：D ；解：选两色有24C 种，一色选择对角有2种选法，共计24212C =种；选三色有34C 种，其中一色重复有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计432248⨯⨯⨯=种；四色全用有4!24=种（因,,,A B C D 为固定位置），合计84种.52，则A B CD其侧面与底面的夹角为( ).A 、3π； B 、4π； C 、6π； D 、12π .答案：A ；解：设底面正方形边长为1，棱锥的高为h ，侧面三角形的高为l ，则AC，2l =，则sin 2h PMH l ∠==，3PMH π∠=. 6、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）． A 、119 B 、120； C 、151； D 、154.答案：C ；解：用k A 表示集k A 的元素个数，设1k A n =+，由20071nk =+，得2006n k=，于是172006111917A =+=，59200613559A =+=，175910032006131759A A A ==+=⨯；从而175917591003119353151A A A A A =+-=+-=．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则x y += .答案：1010332356+++； 解：据条件，10102,3是关于t 的方程33156x y t t +=++的两个根，即()233560t x y t -+--+=的两个根，所以1010332356x y +=+--；1010332356x y +=+++．8、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 ． 22y px =，则顶点及焦点坐标为()0,0,,02p O F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若设点M 坐标为(),M x y ，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭()222222224313234444x px x px px x px x p xpx ++=≤=+++++，故MO MF ≤（当()(),,M x y p p =或()(),,M x y p p =时取等号）9、计算001sin10cos10-= . 答案：4.解：01sin10=()000000012cos102sin 3010241sin10cos10sin 202⎛⎫ ⎪-⎝⎭==． 10、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 . 答案：2214536x y+=；解：设直线l 上的点为(),9P t t +，取()13,0F -关于直线l 的对称点()9,6Q -，据椭圆定义，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥= ，当且仅当2,,Q P F 共线，即22PF QF K K =，也即96312t t +=--时，上述不等式取等号，此时5t =-， 点P 坐标为()5,4P -，据3,c a ==得，2245,36a b ==，椭圆的方程为2214536x y +=. 11、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .答案：5；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明4个不够，若为4个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积12≤，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高1≤，故四个不同的四面体的体积之和112411323⎛⎫≤⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭，不合； 所以5k ≥，另一方面，可将单位正方体切割成5个四面体； 例如从正方体1111ABCD A BC D -中间挖出一个四面体11A BC D ，剩下四个角上的四面体，合计5个四面体.12、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a = ．答案：133113； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有3个；两位好数有3412⨯=个；三1A位好数有23448⨯=个；…，k 位好数有134k -⨯个；1,2,k =，记1134n k n k S -==∑，因562007S S <<，52007984S -=，即第2007个好数为第984个六位好数；而六位好数中，首位为1的共有541024=个，前两位为10,11,12,13的各有44256=个，因此第2007个好数的前两位数为13，且是前两位数为13的第9843256216-⨯=个数；而前三位为130,131,132,133的各64个，则2007a 的前三位为133，且是前三位数为133的第21636424-⨯=个数； 而前四位为1330,1331,1332,1333的各16个，则2007a 的前四位为1331，且是前四位数为1331的第24168-=个数；则2007a 的前五位为13311，且是前五位数为13311的第844-=个数，则2007133113a =．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列{}n a 满足：()()111,211n n n na a a n na +==++；令12,k k x a a a =+++ 12111,1,2,k k y k a a a =+++=；求 1n k k k x y =∑解：改写条件式为()11111n nn a na +-=+，则 ()()()112211111111111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()121n n =-+=+，所以()11n a n n =+，111111111k k k i i i k x a ii k k ==⎛⎫==-=-= ⎪+++⎝⎭∑∑； ()2111111kk k k k i i i i i y i i i i a ======+=+=∑∑∑∑()()()()()121112623k k k k k k k k ++++++=； ()()()()22111121112233236n n k k k k n n n n n x y k k ==+++⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭∑∑()()21311436n n n n +++=．15、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称(),,,a b c d 为n 的数码组，则{},,,1,2,,9a b c d M ∈=； 一、当数码组只含一个值，为(),,,,1,2,,9a a a a a =，共得9个n 值；二、当数码组恰含二个值,a b ，()a b >． ()1、数码组为(),,,a a a b 型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个{}2,,9a ∈，b 可取1a -个值，则数码组个数为()92136a a =-=∑，对于每组(),,,a a a b ，b 有4种占位方式，于是这种n 有364144⨯=个．()2、数码组为(),,,a b b b 型，()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<， M 中a 的个数共得16个数码组，对于每组(),,,a b b b ，a 有4种占位方式，于是这种n 有16464⨯=个．()3、数码组为(),,,a a b b 型，()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，同上得16个数码组，对于每组(),,,a a b b ，两个a 有246C =种占位方式，于是这种n 有16696⨯=个．以上共计1446496304++=个．三、当数码组恰含三个值,,a b c ，()a b c >>．()1、数码组为(),,,a b c c 型，据构成三角形条件，则有2c b a c <<<，这种(),,,a b c c 有14组，每组中,a b 有2412A =种占位方式，于是这种n 有1412168⨯=个．()2、数码组为(),,,a b b c 型，c b a b c <<<+，此条件等价于{}1,2,,9M =中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中,a b 有2412A =种占位方式，于是这种n 有3412408⨯=个．()3、数码组为(),,,a a b c 型，c b a b c <<<+，同情况()2，有2434408A =个n 值． 以上共计168408408984++=个n 值．四、,,,a b c d 互不相同，则有d c b a c d <<<<+，这种,,,a b c d 有16组，每组有4!个排⨯=个n值．法，共得164!384+++=个．综上，全部四位三角形数n的个数为93049843841681。