浙江省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）
A. 3a ≥
B. 1a ≤-.
C. 1a ≤-或 3a ≥
D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）
A.
D.
4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2
8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =--
C. 22,z i =-+或22z i =-
D. 22,z i =+或22z i =--
5. 已知直线AB 与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足
00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）
。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线
C. 00C A C B ⊥
D. 01
2
C M AB =
6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ）
A. 20
B. 22
C. 24
D. 25
,
7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8
8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。
A.
9. 设函数234()(1)(2)(3)f x x x x x =---
，则函数()y f x =的极大值点为（ ）
A.0x =
B. 1x =
C. 2x =
D. 3x = 10. 已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足
1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪
-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩
，则()h x 的表达式为（ ）。
A.1()2h x x =-
B.1
()2h x x =--
C.1()2h x x =-+
D.1
()2
h x x =+
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）
11. 若1
tan tan 2,sin sin 3
x y x y ==，则x y -=________________。 12. 已知2
()(1)2f x x k x =-++，若当0x >时()f x 恒大于零，则k 的取值范围为_____________ 。
13. 数列1,2,
n =，则数列中最大项的值为______________。
14. 若,x y R ∈，满足2222
222()5x x y y x x x --+-=，则x =_______, y =________。
15. 设直线l 与曲线3
1y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,且AB BC ==则直线l 的方程为_________。
16. 若0,0,a b >>则2211min{max(,,)}a b a b
+=______________________。 17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限,x y 轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有
__________________种不同的运动轨迹。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18. 已知抛物线2
4y x =，过x 轴上一点K 的直线与抛物线交于点,,P Q
两点。证明，存在唯一一点K ，使得2
2
11PK
KQ
+
为常数，并确定K 点的坐标。
正视图：正方形
2
俯视图：边长为2的
正三角形
19. 设二次函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[3,4]上至少有一个零点，求22
a b +的最小值。
20. 设x N ∈满足2013
12014
.2013x x +⎛⎫<
⎪
⎝⎭
数列122013,,,a a a 是公差为2013x ，
首项220121(1)1a x x =+-的等差数列； 数列122013,,
,b b b 是公比为1,x
x
+首项20131(1)b x x =+的等比数列，求证：11220122013b a b a b <<<<< 。
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21. 设,,,3,a b c R ab bc ca +
∈++≥证明555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。
22. 从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。
试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。
2013年浙江省高中数学竞赛答案
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或1
0a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
2. 答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+=。当60sin sin 1αβαβ==⇒+=>，但90αβ+≠。
3. 答案 B 计算得27
33,q a == 4. 答案 D 5. 答案 B
2
()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ∙=-∙-=-++∙ 2
2
min
min{}CM AM CA CB CM
CM l =-⇒∙=⇔⊥。
6. 答案 C 11
1
1
10.9624.
1223
(1)1
S k k k k =
+++
=-≥⇒≤⨯⨯⨯++ 7. 答案 D 设三位数为()()11199(09,99,0),b d b b d b d b d d -+=-≤<-<<≠由
7(11199)7()1,1;2,2;3,3;b d b d b d b d b d -⇒+⇒==-==-==-4,3,4;b d ==-
5,2;6,1;8,1b d b d b d ======-。所以，所有的三位数为210,420,630,147,840,357,567,987
8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。
（图 1 ）
