2010年全国高中数学联赛试题及答案
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2010年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=
的值域是 .
2. 已知函数x x a y sin )3cos (2
-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线12
2
=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .
4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中
3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，
则=+βα .
5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a
x f x x
在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区
间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .
8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.
10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且
421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.
11.（20分）证明：方程02523
=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得
+++=3215
2
a a a r r r .
解 答
1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知
)(x f 的值域为]3,3[-.
2. 122
3
≤≤-
a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.
由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2
≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知
03)1(≤-+-t at 即
3)(2-≥+t t a . （1）
当1,0-=t 时（1）总成立；
对20,102
≤+<≤ <<-t t t .从而可知 122 3 ≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为 99 1 (99)99494851k k =-=⨯=∑. 又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯. 3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2） （1）代入（2）得961292 ++=+d d d ，求得9,6==q d . 从而有βα+=-+-1 9log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对 一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα，333+=+βα. 5. 4 1- 提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.