第11课时 第二章有理数整章复习(二)

第十一讲 第二章 有理数的运算 单元测试（提高）一、单选题1．下列各式，计算正确的是（ ） A ．|2||3|5----=B ．411252⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭C ．34334344-÷⨯= D ．231172(2)(2)24⎛⎫---+-÷-= ⎪⎝⎭2．有理数﹣32，（﹣3）2，|﹣33|，13-按从小到大的顺序排列是（ ） A ．13-＜﹣32＜（﹣3）2＜|﹣33| B ．﹣32＜13-＜（﹣3）2＜|﹣33|C ．|-33|＜﹣32＜13-＜（﹣3）2D ．13-＜﹣32＜|﹣33|＜（﹣3）23．如果n 是正整数，那么([11)nn ⎤--⎦的值( )A ．一定是零B ．一定是偶数C ．一定是奇数D ．是零或偶数4． 如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a ，a b +，b ，那么原点的位置可能是（ ）A ．线段AM 上，且靠近点AB ．线段AM 上，且靠近点MC ．线段BM 上，且靠近点BD ．线段BM 上，且靠近点M5．2007年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星发射升空飞向月球，已知地球距离月球表面约为38400千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ） A ．43.8410⨯千米B ．53.8410⨯千米C ．538.410⨯千米D ．438.410⨯千米6．已知a ，b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 等于-2的2次方，则式子()1201720184a b cd x +++的值为（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．20207．下列说法：①整数包含正整数、负整数；②335表示3个35相乘；③互为倒数的两个数符号相同；④一个非负数的绝对值一定是正数；⑤几个有理数相乘，当有奇数个负因数时积为负，正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设三个互不相等的有理数，既可表示为 1、a b +、a 的形式，又可表示为 0、ba、b 的形式，则20212021a b +的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．29．根据如图所示的流程图计算，若输入x 的值为–1，则输出y 的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．7D ．1710．求23201913333+++++的值，可令S=23201913333+++++ ①，①式两边都乘以3，则3S=3+32+33+34+…+20203②，②-①得3S-S=20203-1,则S=2020312-仿照以上推理，计算出234201915555......5++++++的值为（ ）A ．202051-B ．2020514-C ．2019514-D ．201951-11．设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数为（ ）A ．18B ．20C ．24D ．2512．已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3二、填空题 13．从3.5中减去34-与12的和是____________． 14．如表是北京与国外几个城市的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的数表示同一时刻比北京时间晚的时数．试求出东京与巴黎的时差：_______．城市 巴黎 纽约 东京 芝加哥时差/时7-13- 1+ 14-15．计算：42413133(2)7144(14)1715171515-⨯+-⨯-⨯-=____． 16．某商店经销一种品牌的空调，其中某一型号的空调每台进价为1000元，商店将进价提高30%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号空调的零售价为______元．17．中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．图1表示的是计算-4+3=-1的过程．按照这种方法图2表示的是________．18．一跳蚤在一直线上从O 点开始，第一次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依次规律跳下去，当它跳第2021次落下时，落点处离O 点的距离是______________个单位．19．瓶内装满一瓶水，第一次倒出全部水的12，然后再灌入同样多的酒精，第二次倒出全部溶液的13，又用酒精灌满，第三次倒出全部溶液的14，再用酒精灌满…依此类推，一直到第九次倒出全部溶液的110，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的________． 20．计算111111261220309900+++++⋅⋅⋅+的值为____________． 21．如图，有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示： 则下列结论：①a+b-c ＞0：②b-a ＜0：③bc-a ＜0：④|a|b |c|-+=1a |b|c．其中正确的是_______．22．对于正整数a ，规定1()1f a a=+，如：11(4)145f ==+，11414514f ⎛⎫==⎪⎝⎭+，则111(2017)(2016)(2)(1)220162017f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭____________．23．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了3425850⨯=的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a ，b ，c ，d 均为自然数，且c ，d 都不大于5，则a 的值为________，该图表示的乘积结果为________．24．对于正整数n ，定义2,10()(),10n n F n f n n ⎧<=⎨≥⎩，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字的平方和，例如：2(6)636F ==，22(123)1310F =+=．规定1()()F n F n =，()1()()k k F n F F n +=（n 为正整数）．例如：1(123)(123)10F F ==，()21(123)(123)(10)1F F F F ===．按此定义，则有2(4)F =______，2020(4)F =______．三、解答题 25．计算： （1）()31111232128⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭； （2）()231610.751343⎛⎫-+-⨯⨯-÷- ⎪⎝⎭ 26．计算：（1）()221531924043354⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯--÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）()832521118532369⎡⎤⎛⎫---+-⨯-÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦27．计算题：（1）（﹣8）﹣（﹣15）+（﹣9）﹣（﹣12）；（2）（﹣3.5）+214+3.75+（﹣212）；（3）﹣81÷94×49÷（﹣16）；（4）7777()()48128--÷-；（5）0﹣|﹣5|+（+6）×（﹣1）5； （6）21111()(|1|)2322-+⨯--； （7）﹣12×[（1﹣9）÷8]3﹣12÷（﹣2）2； （8）11113557792527++++⨯⨯⨯⨯．28．下面是某同学计算130⎛⎫-⎪⎝⎭÷211231065⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的过程： 解：130⎛⎫-⎪⎝⎭÷211231065⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝130⎛⎫-⎪⎝⎭÷23＋130⎛⎫- ⎪⎝⎭÷110⎛⎫- ⎪⎝⎭＋130⎛⎫- ⎪⎝⎭÷16＋130⎛⎫- ⎪⎝⎭÷25⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－130×32＋130×10－130×6＋130×52＝－120＋13－15＋112＝16． 细心的你能看出上述解法错在哪里吗？请给出正确的解法．29．现有5张写着不同数字的卡片-5,-3,0,3,4，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的和最小．这两张卡片上的数字分别是______，和为 ． (2)从中选择三张卡片，使这三张卡片上数字的乘积最大．这三张卡片上的数字分别是_____，积为 __ (3)从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先让两个数相乘再与第三个数相除的结果最大？最大值是多少？30．在一次测量中，小丽与欣欣利用温差来测量山峰的高度，小丽在山顶测得温度是–5℃ ，欣欣此时在山脚测得的温度是1℃，已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，则这个山峰的高度大约是多少米? 31．小明家想要从某商场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从,A B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示．目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示．表1：洗衣机和烘干机单价表表2：商场促销方案你认为有哪几种购买方案？请通过计算为小明家选择支付总费用最低的购买方案． 32．请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a （a ＞0，a≠1）的b 次幂等于N ，即指数式a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，对数式记作：logaN ＝b ．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 416＝2. （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36； ②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式： ①log 525＝2； ②log 327＝3； （3）计算：log 232 33．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”．一般地，把(0)n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷≠个记作34=③④读作“a 的圈n 次方”（初步探究）（1）直接写出计算结果：2=③________，12⎛⎫-= ⎪⎝⎭④________． （2）关于除方，下列说法错误的是________ A ．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B ．对于任何正整数n ，1=1 C ．34=③④D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式(3)-=④________；5=⑥_________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑩_______（4）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式是________（5）算一算：24111123323⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④③④．。

解:(1)100×3+10-6-8=296(个), 所以前三天共生产296个. (2)18-(-12)=18+12=30(个), 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个. (3)这一周多生产的总个数是10-6-8+15-12+18-9=8(个), 10×700+12×8=7096(元). 答:该厂工人这一周的工资总额是7096元.
解:若在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,则这两个 数到原点的距离分别是3和6,所以这两个数是-3, 6或6,3.若在数轴上表示这两数的点位于原点的同侧,则这两 个数到原点的距离分别是9和18,所以这两个数是-18,-9或 18,9.
·导学建议· 本章所涉及的概念较多,相互之间联系紧密,所以要特别注 意概念的巩固.像第3题这种答案有两种情况的题目学生易出错, 尽量让学生用画图的方法反复体会,形象直观地理解、记忆.
解:(1)正整数;正分数. (2)如图所示:
正确理解有理数有关的概念
例2 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,|m|=2,求a4+mb+m-3cd 的值.
解:因为a、b互为相反数, 所以a+b=0. 因为c、d互为倒数, 所以cd=1. 因为|m|=2, 所以m=±2. 所以,原式=0+2-3=-1或原式=0-2-3=-5.
变式训练
去年10月初,由于受台风影响,某地区的水位发生了变化,该 区10月6日的水位是2.83米,由于各种原因,水位一度超过警戒线, 下表是该区10月7日至12日的水位变化情况(单位:米).
日期 7 8 9 10 11
12
水位 +0.41 +0.09 -0.04 +0.06 -0.45

第一章有理数复习与巩固【学习目标】1.理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用;5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】（2）整数和分数统称有理数。

注意：0即不是正数，也不是负数；-口不一定是负数，+Q 也不一定是正数；不是有理数； 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位•长度的直线. 要点诠释：（1） 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 兀.（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1 •有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类:止有理数负有理数「整数负分数有理数 非负数非正数3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的.（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.（3）若a + b = O,则a、b互为相反数.4.绝对值：（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.数a的绝对值记作同.（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.a（d > 0）（3）绝对值可表示为：|。

|= 0 （a = 0）；绝对值的问题经常分类讨论；-a （a < 0）、 a a（4）——= l«6Z>0 : — = —lOGVO；a a（5）|a|是重要的非负数,即|a|N0；注意：|a| • |b| = |a・b|,b \b\5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数.注意：0没有倒数；倒数是本身的数是±1；要点二、有理数的运算1・法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的界号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b二a+（-b）・（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘•②任何数同0相乘，都得0.(4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数•即a—b=a・一(bHO).b(5)乘方运算的符号法则：①负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；②正数的任何次幕都是正数，0的任何非零次幕都是0.注意：当斤为正奇数时：(―d)" = —d"或(d — b)" = —(b — d)"；当n为正偶数时：= /或(a-b)n = (b-Q)”.当底数为负数或分数时要用括号把底数括起来.(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：“奇负偶正” 口诀的应用：(1)多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一［—(一3)］二一3,一［+(—3)］二3.(2)有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(一3) X (-2) X (-6) =-36,而(一3) X (-2) X6二36.(3)有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数吋，指数为奇数，则幕为负；指数为偶数，则幕为正,例如：(—3)2=9, (-3)3=-27.2.运算律：< 1)交换律：①加法交换律:a+b二b+a;②乘法交换律:ab=ba;(2)结合律：①加法结合律：(a+b) +c=a+ (b+c);②乘法结合律：(ab) c=a(bc)(3)分配律：a(b+c) =ab+ac要点三、有理数的大小比较.比较大小常用的方法有：(1)数轴比较法；(2)法则比较法：正数大于0, 0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法.(4)作商比较法；(5)倒数比较法. 要点四、科学记数法1.科学记数法：把一个大于10的数表示成QX1O”的形式(其«Pl<p/|<10,斤是正整数)，此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=2xlO5.2•有效数字：从一个数的左边第一•个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：0. 000 27有两个有效数字：2, 7.注意：万=104,亿二108【典型例题】类型一、有理数相关概念俄.若-个有理数的：⑴相反数；(2)倒数；⑶绝对值⑷平方；⑸立方，等于它本身.则这个数分别为(1) _______ ;⑵_________ ; (3) ________ :⑷_________ : (5) ________变式练习：2 2 2(1)一1 一的倒数是；-1—的相反数是；一1 一的绝对值是3 3 3-(-8)的相反数是；-丄的相反数的倒数是______------ 2(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，贝卜5. 8元的意义是________ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 _________ •(3)上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 ________________ m / mi n.2⑷若日、力互为相反数，c、d互为倒数,则3cd +兰(d + b)= ___________ •3(5)近似数0. 4062精确到____________ 位，有_____________ 个有效数字；近似数5.47X 105精确到________________ 位，有_______________ 个有效数字；近似数3. 5万精确到 ___________ 位，有______________ 个有效数字.(6) 3 . 40 30X 105保留两个有效数字是_______________ ，精确到千位是 _______________ •©A.如果(x-2)2+|y-3|=O,那么(2x-y)2005的值为(V 3.在下列两数之间填上适当的不等号: 2005200620062007 •变式练习：比较大小：(1) 一-- ________ 0. 001；99类型二、有理数的运算).A. 1B. -1C. 22(X)6D. 3 2005(2) -- -0. 683ST /、(2、< 八< 1> (\\ 4. (1) -4- —-3-—-6- +-2 -I 3< 3k 2 J< 4 -12x(-15 + 2“)'1 〈3 7 7)「5 (n 1-+ 1 ------------ 十— —2.5 —x3 <4 8 12J< 8丿6 <~3> (2丿⑷ -25-(-4)X_53 _(_!)-_12,'1 ) < 22)1 + -1-32X 2⑸变式练习:计算：(1)z■¥+S1- + 2--13- 訶丿< 2< 434；(-2)X -4--X (-2)；(2)X24~(-O,2)32 2【答案】(1) (―2)x*・*x(—2) = (—l)+*x(—2) = (—l)x2x(—2) = 41——X16+ <45 7丄55] < 5； <4 丁34 J(2)原式=45 55丄兰 x24 + ?x24 — j + 125 40 I 4-丄+ 270 + 56-330 + 125 =-— + 121 = 120—4040 40类型三、数学思想在本章中的应用5. (1)数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则乩-a, 1的大小关系.A. ~a<a<lB. l<~a<aC. l<-a<aD. a<l<-a(2)分类讨论思想：已知|x|=5, lyl=3”・求x-y 的值.变式练习:若a 是有理数，|a 卜a 能不能是负数?为什么? 类型四、规律探索繆6. （2009 •山东聊城）将1,一丄，一丄，…，按一定规律排列如下:2 3 4 5 610请你写出第20行从左至右第10个数是 ________（3）转化思想：计算:-35A 14丿+（弓）1112 1314 15。

即： an a a a
n
a是底数， n是指数， a n 是幂。
运算律：
1、加法交换律： abba
2、加法结合律： a (b c) (a b ) c
3、乘法交换律： abba 4、乘法结合律： (a)bca(b)c
5、分配律： a(bc)ab ac
有理数混和运算的运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号就先
4、 (1)2002(22)＿＿＿4＿＿。
5、如果 a2 16 ，那么 a__4_。__
6、 若a3,b5,则ab_8_或_2 ______
7、计算：
（1）1(21)23732 2 3 48 3
1 24
（2）0.25 (2)(13)0.6 1
35
因为0.20 <0.60<0.61<0.66< 0.69 <0.97 <1.01
所以周二水位最高，周一水位最低。
例2 ：计算
(1）
-14
-（
1 - 0 .5 ）
1 3

2
（

3）2

（ 2 ) 1 2 （ 1 1 1 ） 623
（ 3)-25 3 -25 5 25 3
例:
比较大小 : 2 __ 0 . 6 3
解:
因为 : 2 2 , 0 . 6 0 . 6 33
2 0 .6 3 所以 : 2 0 . 6
3
7、乘方
• 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。 a· a· a·…· a=an
• 注意底数、指数、幂
正数的任何次幂都是正数。 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 0的任何次幂都是0。

第二课时教学目标1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律；2．使学生能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算； 3．注意培养学生的运算能力；４.掌握科学计数法、近似数和有效数字． 教学重点:有理数的混合运算．教学难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题． 教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题 1．计算(五分钟练习)：(5)-252； (6)(-2)3；(7)-7+3-6； (8)(-3)×(-8)×25；(13)(-616)÷(-28)； (14)-100-27； (15)(-1)101； (16)021； (17)(-2)4； (18)(-4)2； (19)-32； (20)-23；(24)3.4×104÷(-5)．2．说一说我们学过的有理数的运算律： 加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：a b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯； 乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(． 二、讲授新课前面我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，含有以上的混合运算，按怎样的顺序进行运算？1．在只有加减或只有乘除的同一级运算中，按照式子的顺序从左向右依次进行．审题：(1)运算顺序如何？(2)符号如何？说明：含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同．课堂练习审题：运算顺序如何确定？注意结果中的负号不能丢．课堂练习计算：(1)-2.5×(-4.8)×(0.09)÷(-0.27)；2．在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．例3 计算：(1)(-3)×(-5)2； (2)［(-3)×(-5)］2；(3)(-3)2-(-6)； (4)(-4×32)-(-4×3)2．审题：运算顺序如何？解：(1)(-3)×(-5)2=(-3)×25=-75．(2)［(-3)×(-5)］2=(15)2=225．(3)(-3)2-(-6)=9-(-6)=9+6=15．(4)(-4×32)-(-4×3)2=(-4×9)-(-12)2=-36-144=-180．注意：搞清(1)，(2)的运算顺序，(1)中先乘方，再相乘，(2)中先计算括号内的，然后再乘方．(3)中先乘方，再相减，(4)中的运算顺序要分清，第一项(-4×32)里，先乘方再相乘，第二项(-4×3)2中，小括号里先相乘，再乘方，最后相减．课堂练习计算：(1)-72； (2)(-7)2；(3)-(-7)2；(7)(-8÷23)-(-8÷2)3．例4 计算：(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．审题：(1)存在哪几级运算？(2)运算顺序如何确定？解： (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4=4-(-25)×(-1)+87÷(-3)×1(先乘方)=4-25-29(再乘除)=-50．(最后相加)注意：(-2)2=4，-52=-25，(-1)5=-1，(-1)4=1．课堂练习计算：(1)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；(2)2×(-3)3-4×(-3)+15．3．在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．课堂练习计算：三总结反思拓展升华教师引导学生一起总结有理数混合运算的规律．1．先乘方，再乘除，最后加减；2．同级运算从左到右按顺序运算；3．若有括号，先小再中最后大，依次计算．四、作业1．计算：2．计算：(1)-8+4÷(-2)； (2)6-(-12)÷(-3)；(3)3·(-4)+(-28)÷7； (4)(-7)(-5)-90÷(-15)；3．计算：4．计算：(7)1÷(-1)+0÷4-(-4)(-1)；(8)18+32÷(-2)3-(-4)2×5．5*．计算(题中的字母均为自然数)：(1)(-12)2÷(-4)3-2×(-1)2n-1；(4)［(-2)4+(-4)2·(-1)7］2m·(53+35)．。

第11课时 小结与思考预学目标1．熟练运用勾股定理解决直角三角形中相关边的计算问题，在综合题中通过寻找或构造直角三角形灵活运用勾股定理；当三角形的三边长为勾股数时，能快速判断出它是直角三角形．2．回顾平方根、算术平方根、立方根的概念，理解平方与开平方、立方与开立方是互逆运算；熟悉正数、负数、0的平方根和立方根的情况，会表示一个非负数的平方根和立方根．3．熟记无理数和实数的概念，能说出无理数和有理数之间的区别并正确判断一个数是无理数还是有理数．理解实数与数轴上的点之间一一对应的关系，会对实数进行估算和大小比较．4．理解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，会在实数范围内求相反数、倒数、绝对值，并能对实数进行加、减、乘、除、乘方混合运算．5．熟记有效数字和近似数的概念，能正确说出近似数的精确度及有效数字，会根据要求取近似值及用科学记数法表示数据．知识梳理回忆本章知识并填空：例题精讲例1 (1)()2x y =+，则x －y 的值为 ( )A ．－1 C ．2 D ．3(2)已知a ( )A ．aB ．－aC ．－1D ．0提示：负数没有平方根，因此根号里的数都不能是负数．解答：(1)C ； (2)D ． 点评：第(1)题，根号里的x －1和1－x 是相反数，而两个数互为相反数只有两种情况：一正一负或两个都为0．因为负数没有平方根，所以它们都必定为0．同理，第(2)题中的－a 2也只能是0．例2 的整数部分是a ，小数部分是b ，则(－a )3＋(b ＋2)2＝______．解答：，即23<，∴a ＝2．a ＋b ＝2＋b ，∴b －2．∴()()())2232322228880a b -++=-++=-+=-+=点评：此题考查估算能力及实数的运算．例3 已知2a －l ，3a －2b ＋l 的平方根是±3，求4a －b 的算术平方根． 提示：平方和开平方是互逆的运算，由此确定2a －l 和3a －2b ＋l 的值，解方程组求a 、b 的值．解答：由题意，得2133219a a b -=⎧⎨-+=⎩∴21a b =⎧⎨=-⎩ 3==．点评：此题把平方根和方程组综合起来，3的平方，再列方程组． 例4 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上的一点．求证：(l)△ACE ≌△BCD ． (2) AD 2＋DB 2＝DE 2．提示：全等三角形的对应边、对应角相等，第(2)题要用第(1)题的结论解答．解答：(1) ∵∠ACB ＝∠ECD ．∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠ACE ，即∠BCD ＝∠ACE ．∵BC ＝AC ，DC ＝EC ，∴△ACE ≌△BCD ．(2) ∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝45°．∵△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠B ＝45°，AE ＝DB ．∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°．∴AD 2＋AE 2＝DE 2．∴AD 2＋DB 2＝DE 2．点评：第(2)题要说明的结论是勾股定理的形式，显然要寻找含这些边的直角三角形． 例5 如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得点A 位于北偏东60°方向，点B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进3米到达C 处，此时点A 恰好位于正北方向，点B 正好位于正南方向．求点A 与点B 之间的距离( 1.732，结果精确到0.1米)．提示：题中的两个三角形都是直角三角形，利用“等角对等边”定理和勾股定理解决问题，解答：由题意，得∠ACP ＝∠BCP ＝90°，∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°． 在Rt △BPC 中，∵∠BCP ＝90°，∠BPC ＝45°，∴BC ＝PC ＝3．取AP 的中点D ，连接CD ．则DA ＝DP ＝12AP ． ∵∠ACP ＝90°，DA ＝DP ，∴CD ＝12AP ．∴CD ＝DA ． ∵∠ACP ＝90°，∠APC ＝30°，∴∠A ＝60°．∴△ACD 是等边三角形．∴AC ＝AD ＝12AP ．设AC ＝x ，则AP ＝2x ．∵AC 2＋CP 2＝AP 2，∴x 2＋32＝(2x ) 2．解得x 即AC∴AB ＝AC ＋BC ＝3 4.7(米)．答：点A 与点B 之间的距离大约为4.7米．点评：此题由中考题改编，考查勾股定理及直角三角形的有关计算，当直角三角形中含有30°、60°或45°的锐角时，已知一边，可以直接或间接地列方程运用勾股定理求另外两边．热身练习1．9的算术平方根是_______，(－5)0的立方根是______的平方根是______．2．算术平方根等于本身的数是_______；立方根等于本身的数是______；平方根等于本身的数是_______；一个正数的两个平方根的和是______，商是______．3．若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2，则△ABC 中最大角的度数是______．4．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是_____________．5．一个高3米、宽4米的大门，需在相对角的顶点间加一根加固木条，则木条的长为____．6．若5x ＋6的平方根是±1，则x ＝_______ ；若“＋(b ＋27) 2＝0，则______．7． 一个正数x 的算术平方根是a ，那么x ＋2的算术平方根是_____，x ＋1的立方根是_____．8．6.510³104精确到______位，有______个有效数字，分别是_______．9(y ＋6) 2＝0，则x ＋y ＝_______．10．一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长度为______．11．下列运算正确的是 ( )A ．a 3²a 2＝a 6B ．(π－3.14)0＝1C ．112-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－2 D 3 12．下列三角形中，是直角三角形的是 ( )13．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是______．14．如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，其中，斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______．15．估计20的算术平方根在 ( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间165112=4±2=-1145=+ 920= ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个17．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a ，那么a 的取值可以有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个18n 的最大值为 ( )A ．12B ．11C ．8D ．319．一个三角形三条边的比是3：4：5，则这三条边上的高的比是 ( )A ．3：4：5B ．5：4：3C ．10：8：3D ．20：15：1220．在△ABC 中，∠B ＝90°，两直角边AB ＝7，BC ＝24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是______．21．已知x 、y 都是实数，且y 3，则x y ＝_______．22．求下面各式的值．(1) (2))2231-+- ．23．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝17，BC ＝16，求△ABC 的面积．24．如图，有一块地，其中AD ＝8 m ，CD ＝6 m ，∠ADC ＝90°，AB ＝26 m ，BC ＝24 m ．求这块地的面积．参考答案1．3 1 ±2 2．0和1 0、1和－1 0 0 －1 3．90° 4．4 ±2 5．5米6．－1 －178．十 4 6、5、1、0 9．－2 10．13 11．B 12．D 13．76 14．4 15．C 16．D 17．C 18．B 19．D 20．3 21．822．(1) 2(2) 3－23．120 24．96m2。

嘉升教育学生教案教学内容：1、有理数加法法则：（1）、同号两数相加，取原来的符号，并把绝以值相加。

（2）、异号两数相加，先看哪一个加数的绝对值大，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2、有理数的减法：3.注意：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0。

如：（-37）⨯（-2）⨯（-45）⨯8的符号为________4.有理数除法规则：两个有理数相除，同号得_______（填“正”或“负”），异号得_______（填“正”或“负”），并把绝对值__________.5.有理数混合运算时的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

6.科学记数法：把一个大于10的数，写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是_______，这种方法叫做科学记数法.注意：（1）1≤a＜10（２）当大数是大于１０的整数时，n为整数位减去１课堂练习：一．选择题1.若│a │=3，│b │=1，则代数式a+b 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．2或-2D ．±2或±4 2.若mn >0,则m ,n （ ） A.都为正 B.都为负 C.同号D.异号3.下列结论中：①0的倒数是0；②一个不等于0•的数的倒数的相反数与这个数的相反数的倒数相等；③倒数等于自身的数是±1；④若a 、b 互为倒数，则-34ab=-34．•其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．（-213）÷（-45）÷（+45）等于（ ）A ．213B ．-213C ．373 D ．以上结果都不对5．||||a b a b （ab ≠0）的所有可能的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.下列各组数中，其值相等的是（ ）A ． 和B ．和C ．和D ．和7.下列各式计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8.下列说法正确的是（ ）A ． 与 互为相反数B ．当 是负数时， 必为正数C ． 与 的值相等D ．5的相反数与 的倒数差大于－2．9.－32的值是（ ）A 、－9B 、9C 、－6D 、610.下列各对数中，数值相等的是（ ）A 、 －32与 －23B 、－23与 (－2)3C 、－32与(－3)2D 、(－3×2)2与－3×2211.下列说法中正确的是（ ）A 、23表示2×3的积B 、任何一个有理数的偶次幂是正数C 、－32 与 (－3)2互为相反数 D 、一个数的平方是94，这个数一定是3212.下列各式运算结果为正数的是（ ）A 、－24×5B 、(1－2)×5C 、(1－24)×5D 、1－(3×5)613.如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ） A 、－2 B 、2 C 、4 D 、2或－2 10、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ）A 、 0B 、0或1C 、－1或1D 、0或1或－1 11、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数 12、－24×(－22)×(－2) 3=（ ）A 、 29B 、－29C 、－224D 、22414、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数D 、奇数 15、(－1)2001＋(－1)2002÷1-＋(－1)2003的值等于（ ）A 、0B 、 1C 、－1D 、216、一天中有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年中有多少秒呢？（ ） A.3.1536×109秒 B.3.1536×107秒 C.3153.6×104秒D.3.1536×108秒二．填空1.(1)如果a ＜0，b ＞0，那么，ab____0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么，ab____0； (3)当a ＞0时，a____2a ； (4)当a ＜0时，a____2a ．2.若a >0,b <0,则ba _______0,ab _______0.3.若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，则2c +2d －3ab =_______.4.根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ； 5.平方等于641的数是 ，立方等于641的数是 ；6.一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ；7.平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ； 8.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=⎪⎭⎫⎝⎛-343 ，=-433； 9.如果44a a -=，那么a 是 ；10.()()()()=----20022001433221 ；11.如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ；12.将9.045×105 还原成大数为______________ 三．计算1.()()3322222+-+--（4）()34255414-÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷（5）()⎪⎭⎫⎝⎛-÷----721322246 （6）()()()33220132-⨯+-÷---四．解答题1.有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折10次，那么它会有多厚？2.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？3.你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？4.观察下列各式 32343112==+，43494122==+，545165132==+，656256142==+……设n 为正整数，请用关于n 的等式表示这个规律为： + = 5.将正偶数按下表排成5列.A 、第125行第1列B 、第125行第2列C 、第250行第1列D 、第250行第2列6.用火柴棍按下图所示的方式搭图形,并按规律填表.教学主任签字：。

正整数 零
负整数
正分数
自然数
负分数
正有理数
正整数 正分数
有理数
零 负有理数
负整数 负分数
第五页，共二十四页。
1.下列语句用到的数,哪些属于计数?哪些属于 测量结果?哪些属于标号或排序?
(1)2009年我校共有七年级新生611名; (2)TCL手机(shǒu jī)的售价为1875元;
(3)钱塘江大桥全长1453米,是我国第一座自行
Ａ整数 Ｂ负数 Ｃ非负数 Ｄ非正数
13、在有理数中最小的正整数是________，最大的负整数 (zhěngshù)是________，绝对值最小的有理数是_____，相反数 是它本身的数是_______。
14.绝对值大于 2 而小于 8 的自然数有_____________
3
3
第十三页，共二十四页。
；绝对值等于
它本身的数是
；绝对值是它的相反数的
是
;绝对值最小的数
.
10.数轴(shùzhóu)上离原点2.5个单位长度的点表示的数 是__________
11.一个数在数轴上的对应点与它的相反数在
数轴上的对应点的距离(jùlí)为2个单位长度,则这
个数是
.
第十二页，共二十四页。
12、在数轴上，原点及原点左边所表示(biǎoshì)的数（D ）
第七页，共二十四页。
3、下列(xiàliè)说法不具有相反意义的量的是 （ D）
（A）向东2.5千米和向西2千米
（B）上升3米和下降1.5米 （C）零上6 ℃ 和零下5 ℃ （D）收入5000元和亏损5000元
第八页，共二十四页。
4.把以下数填在相应的大括号里。
1， 4 ，8.9，-7，

3、
1
1 9
9
的相反数的倒数是＿＿1＿0 ＿＿。
4、 (1)2002 (22 ) ＿＿＿4 ＿＿。
5、如果 a2 16 ，那么 a ___4__。
6、若a 3,b 5,则a b ___8或 __2____
7、计算：
（1）
1
(2
1)
2
3
7
3
2
1
2
3 4 8 3 24
（2） 0.25 ( 2) (13) 0.6 1
选择题
－a 表示的数是（ D
A、负数 C、正数或负数
） B、正数 D、a的相反数
复习题2
知识点6:倒数 1.倒数概念：乘积等于1的两个数互为倒数。
2.互为倒数的两个数符号一定__相__同___ 1
3.有理数a（a≠0）的倒数可以表示为 a。
4.倒数的运算：互为倒数的两个数的积为 1 。 5. 0有倒数吗？ 没有
1、近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。
4.7精确到 位，4.70精确到
位。
2、带单位的数，最后一个数字的真实数位是什么，就
精确到什么位。1.23万精确到
位。
3、科学记数法表示的数，要还原成原数再判断。如：
1.23×105精确到
位。
测试一：
1、一个数的绝对值是6.5，这个数是＿＿6.＿5 ＿。 2、绝对值小于3的非负整数是＿＿＿0,1＿,2 ＿＿＿。
1.绝对值小于7的整数积为： 。 2.若∣a－3∣＝0，则a＝ ；
若∣a∣＝5,则a＝ 。 3.若︱x+5︱+︱y-6︱＝0，则x= ，y=___。
4．已知|a|=3，|b|=5，且a＜0，b＞0，则a－b＝ ．

分类讨论一般按以下四个步骤：
1）确定分类讨论的对象； 2）进行合理的分类； 3）逐类进行讨论； 4）归纳分类结果，得出问题答案 所谓合理分类，是指分类时应按同一标 准进行，并做到不“重复”，不“遗漏”
（四）观察方法
在有理数这一章中的一些主要概念和性 质，例如：数轴、相反数、绝对值、有理数大 小比较、有理数的运算法则和运算律的研究都 离不开观察。
解：由条件可画出图
ac 0b
观察图形可知a+c-b<0，a-b-c<0
∴ |a+c-b|+|a-b-c|=-a-c+b-a+b+c=2b-2a，
故选D。
二、解题方法与技巧
方法1：数形结合法
[例1]已知数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且 |a|>|b|，则|a|-|a+b|-|b-a|化简后得（ ）
根据数轴上表示的两个
bc 0 a
数，右边的数总比左边的数大。
|c-a|+|c-b|+|b-a|=a-c+c-b+a-b=2a-2b
2、选择题及其解法
选择题是标准化试题的主要形式，选择题一般由
“解题指令”、“题干”、“答案”三部分构成。初中 数学的选择题一般指明在备选答案中只有一个正确，大
都属于单项选择题。下面介绍几中常用方法。 （1）直接法 从题干给出的条件出发，联想有关的基 础知识，通过推理、计算得到结论，从而确定选择支 是正确的。此法为常用方法。 [例1]下列说法中，正确的是（ ） A.在有理数中，0的意义仅表示没有 B.正有理数和负有理数组成全体有理数 C.0.7不是正数，也不是分数，因此它不是有理数 D.零既不是正数，也不是负数 解：直接判断后，选择D

第二章《有理数》复习课学习目标：一、1.体会引入负数的必要性，感受有理数应用的广泛性，感悟数学知识与现实生活的密切联系。

2.能应用正、负数表示现实世界中具有相反意义的量，会将有理数分类。

3.知道零是一个特殊的数，能举出实例说明它的意义。

二，1．理解数轴的意义，弄清数轴的三要素，能正确的画出数轴。

2.会由数轴上的已知点，说出它所表示的数；能将有理数用数轴上的点表示出来。

3.会用数轴表示有理数的大小。

三．1.了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系。

2.初步理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。

一、自主梳理：（先由学生复习课本，然后针对学案中的复习指导进一步回顾课本，并独立完成教案中所涉及的基础知识）1.什么是有理数？有理数的分类？2.数轴的三要素？3. －154的相反数是 ，2是 的相反数， 的相反数是3，0的相反数是 ，a 与 互为相反数。

4. 用“＞”、“＜”或“=”填空: －54 －43;︱－3.6︱ －（－3.6）； －722 －3.14；－∣+4︱ +∣－4∣. 5. 某数学俱乐部有一种“秘密”的记帐方式。

当他们收入300元时，记为+300元，用去360元时，记为－360元，当他们用去100元时，可能记为多少？当他们收入100元时，可能记为多少？说明你的理由。

6.绝对值大于3且小于8的负整数有： 。

7.若∣a －3∣＝0，则a ＝ ；若∣a ∣＝5,则a ＝ 。

8.若︱x+5︱+︱y-6︱＝0，则x= ，y= 。

9.在数－２，５，７，－８，－310中，绝对值最大的数是 。

１０.︱－54︳的相反数的倒数是 。

１１.某食品包装袋上印有“净含量３８５５克”字样，这种食品的合格净含量范围是 。

１２.如果一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 。

１３.已知点A 和点B 在同一数轴上，点A 表示数3，点B 与点A 相距5个单位长度，那么点B 表示的数是 。

七年级（上）数学《第二章 有理数及其运算》复习行为培养习惯，习惯养成性格，性格决定命运。

第一部分，知识要点一、负数，有理数的分类1、负数的意义：上升1m 表示为＋1m ，则下降2m 表示为2m -。

2、某品牌纯净水标着505±ml ”，则这瓶纯净水最多 55 ml ，最少 45 ml 。

3、0π⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩正整数整数有理数负整数分数（有限小数和循环小数属分数，但是无限不循环小数，不是分数）4、非负数即不是负数，包括0和正数。

5、因为a 可以表示正数、0和负数，所以a 不一定是正数，－a 不一定是负数。

二、数轴 1、数轴的三要素：正方向、原点和单位长度。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

最小的正整数是 1 ，最大的负整数是1-。

2、相反数：两个数只有符号不同，我们称一个是另一个的相反数。

2和－2，a 和－a ，2x y z --和2x y z -++。

3、0的相反数等于它本身的数是0。

两个相反数相加等于0.4、x ＋y 的相反数是x y --，a －b 的相反数是a b -+。

5、（1）a>0时，－a<0； (2)a<0时，－a>0；(3)a ＝0时，－a=0.6、表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的 距离 相等。

7、符号的化简：－（－2）＝2；－（＋2）＝2-；－（x ＋y ）＝x y --.三、绝对值1、在数轴上，一个数a 所对应的点到原点的 距离 叫做该数的绝对值。

记作：||a 。

任何数的绝对值一定 大于或等于 0，即：||0a ≥.2、(0)||(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数3、绝对值等于它的本身的数是正数或0 ；绝对值等于它的相反数的数是负数或0 。

4、|x|=3,则x ＝3±。

0 a|a| ⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数0负有理数5、两个负数，绝对值大的反而小。

小结复习（二）
一、本章知识结构图
有理数的相关概念
正数 和负数
有理数
点 与 数 的 对 应
数轴
相反数 绝对值 比较大小
有理数的运算
加法 转 减法 化
乘法 转 除法 化
乘方
初中数学
二、有理数的运算法则
加法： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 如 1 (2) 3
2.绝对值不相等的异号两数相加， 转 取绝对值较大的加数的符号， 化 并用较大绝对值减较小绝对值. 如 (2) 1 1
想一想：这个算式有哪几种运算？运算顺序又是怎么样的？
乘方、乘法，加法混合运算
负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂运为正算数. 顺序：先乘方，同步算出第一个小括号内的值，
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
在进行有理数的运算时， 0的任何正整数次幂都是0.
再乘除，最后减法.
想一想：这个算式有哪几种运算？运算顺序又是怎么样的？
0的任何正整数次幂都是0.
想分一母想 相：同这或个易算通式分有的哪分几数种等运；算？最运算后顺序在又是每怎么一样的步？的运算过程中，先定符号、再定绝对值.
求n个相同因数的积的运算.
需要注意的问题： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
有括号，先做括号内的运算，
例1 判断下列结论是否正确，并说明理由.
3
4 2 1 32 2
底数是带分数的Biblioteka 化成假分数再运算；最后进行绝对值的运算.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
运并用用乘 较法大的绝运对算值想律减将较一一小些绝想特对殊值：的. 乘这数先个结合算在一式起 有哪几种运算？运算顺序又是怎么样的？
接着算乘法，最后减法和加法.

解题技巧总结与分享
利用数轴解题
在解决与有理数相关的问题时，可以画出数轴来辅助解题，使问 题更加直观化、简单化。
巧妙运用法则
在进行有理数运算时，可以巧妙运用加法法则、乘法法则等，使计 算更加简便、快捷。
实际问题数学化
在解决实际问题时，要善于将问题转化为数学问题，利用有理数的 相关知识进行求解。
后续章节学习建议
混合运算顺序与简化
01
02
03
04
先乘方，再乘除，最后加减。
如有括号，先算括号里面的。
示例：3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13，注意不是(3 + 5) × 2 =
16。
简化运算：利用运算律和性质 ，如结合律、交换律、分配律
等，使计算更简便。
04 有理数性质深入探讨
交换律、结合律应用
相反数、绝对值概念
相反数
只有符号不同的两个数互为相反数， 如+3和-3。
绝对值
一个数到0的距离称为该数的绝对值， 记作|a|。绝对值总是非负的。
有理数大小比较方法
01
02
03
数轴比较法
在数轴上表示出两个数， 右边的数总比左边的数大。
差值比较法
求两数的差，若差大于0， 则被减数大于减数；若差 小于0，则被减数小于减 数；若差等于0，则两数 相等。
$a(b+c)=ab+ac$。分配律是有理数 运算中的重要性质，它建立了乘法与 加法之间的联系。
应用
在解决有理数运算问题时，灵活运用 分配律可以化难为易，化繁为简。例 如，利用分配律可以将复杂的式子拆 分成简单的部分进行计算。
乘方运算性质及拓展
乘方运算性质

中1≤|a|＜10，n为正整数.
4. 与实际非常接近的数，称为近似数，在实际生活中，我
们常会遇到和用到近似数.
5. 绝对值与偶次幂的结果都是非负数，如果几个非负数的
和等于零，那么这几个非负数都等于零.
专 题
1
倒数
例 1 [中考·娄底] 2 023的倒数是(
A. 2 023
B.－2 023
解：2 023的倒数是
15
2
原式＝－
5 2 31 9
5 31
2 9
1
1
× × × ＝(－ × )×( × )＝－ ×1＝－ ；
31 9 15 2
31 15
9 2
3
3
4 3
5 1
(2)0.7×19 ＋2 ×(－14)＋0.7× ＋ ×(－14)；
9
4
9 4
4 5
3 1
原式＝0.7×(19 ＋ )－14×(2 ＋ )＝0.7×20－14×3＝－28；
3
3
原式＝－64＋8×1＋12× ＝－64＋8＋18＝－38；
2
3
(4)－32×2－[－(1－0.2÷ )×(－3)2].
5
1
2
原式＝－9×2－[－(1－ )×9 ]＝－18－(－ ×9)＝－18＋6＝－12.
3
3
2
利用乘法的运算律进行计算：
(1)
5
2
2
1
×(－ )×(－2 )×(－4 )；
31
9
A. －6或－12
B. －2或－8
C. 2或－2
D. 2或－16
6
已知有理数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d 互为相反

第二章七年级数学上册-第二章有理数知识点复习-华东师大版（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）有理数一、有理数的意义复习内容：有理数的意义、数轴、相反数、绝对值等概念，有理数的大小比较．(一)用正、负数表示具有相反意义的量１、如果用正数表示某种意义的量，那么负数就表示其相反意义的量．２、常用的一些符号和数学语言的含义：⑴a>0，表明a是正数．⑵a<0，表明a是负数．⑶a≥0，表明a是非负数，即a是正数或a为0．⑷a≤0，表明a是非正数，即a是负数或a为0．(二)数轴１、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．２、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．３、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．(三)相反数１、只有符号不同的两个数称互为相反数．２、零的相反数是零．３、数a的相反数是-a．说明：要表示一个数的相反数，只在这个数的前面添上一个“—”号就行了．(四)绝对值１、 a (a>0)|a|＝0 (a＝0)-a (a<0)说明：求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值符号．因此，在具体求一个数的绝对值时，首先要判断它的正负，然后利用法则求出它的绝对值．二、有理数的运算重点复习有理数的混合运算，并复习近似数和有效数字，并掌握科学记数法．(一)有理数的加法１、法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．⑵绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．⑶互为相反数的两个数相加得零．⑷一个数与零相加，仍得这个数．(二)有理数的减法１、法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．(三)有理数的加减混合运算１、方法和步骤：⑴将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号．⑵运用加法法则、加法运算律进行简便运算．(四)有理数的乘法１、法则：⑴两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．⑵任何数与零相乘，都得零．⑶几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．【简记为“奇负偶正”】⑷几个数相乘，有一个因数为零，积为零．(五)有理数的除法１、法则：⑴除以一个数等于乘以这个数的倒数．⑵两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．⑶零除以任何一个不等于零的数，都得零．⑷乘积为1的两个数互为倒数．(六)有理数的乘方１、法则：⑴正数的任何次幂都是正数．⑵负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．(七)有理数的混合运算１、运算顺序：⑴先算乘方，再算乘除，最后算加减．⑵同级运算，按照从左到右的顺序进行．⑶如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的．(八)科学记数法、近似数和有效数字１、科学记数法：把一个大于10的数记成n的形式．a10说明：⑴a是一个只有一位整数的数．⑵10的指数n比原数的整数数位少1．２、⑴近似数的精确度表示：⑴精确到×位⑵保留几个有效数字⑵有效数字：一个近似数从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字．说明：①问精确到哪一位，看最右边的有效数字所在的位置属哪一位．②用科学记数法表示的近似数的有效数字位数只看“×”号前的部分．第三章整式的加减⑴复习内容：主要复习列代数式，求代数式的值．(一)代数式的有关知识１、代数式是用运算符号(加、减、乘、除以及乘方)把数和表示数的字母连结而成的式子．▲ 单独一个数或一个字母也是代数式．２、代数式的书写格式：①若是数字与数字相乘，仍然用“×”号；若是字母与字母相乘，通常省略乘号，且按字母的顺序排列．例如b ×a 应写成ab ．②数字与字母相乘，或数字与小括号相乘时，乘号可省略不写，但数字要写在前面．例如4×a 应写成4a ；3×(m+n)应写成3(m+n)． ③代数式中出现除法运算时，应写成分数的形式．例如y x 2应写成yx 2 ④代数式中出现带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数． 如b a 225不能写成b a 2212． ⑤代数式的最后运算是加减运算时，如需注明单位的必须用括号把整个式子括起来．如(a-b)元不能写成a-b 元．３、列代数式：一般是根据“先读先写”的原则来列代数式．(二)代数式的值１、方法与步骤：⑴用数值代替代数式中的字母，简称“代入”．⑵按照代数式指定的运算顺序计算出结果，简称“求值”．说明：代数式的值是由代数式中的字母所取的值决定的．因此，在代入前，必须先写“当……时”．第三章整式的加减⑵复习内容：整式、单项式、多项式、同类项的概念，合并同类项，去括号，添括号及整式的加减运算．(一)单项式１、定义：表示数字与字母的积的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．２、单项式中的数字因数叫做单项式的系数．３、一个单项式中所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数．(二)多项式１、定义：几个单项式的和叫做多项式．２、多项式的项：多项式中，每一个单项式叫做多项式的项．不含字母的项叫做常数项．３、多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数．４、多项式的排列：⑴升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列．⑵降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列．(三)同类项、合并同类项１、定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．▲所有的常数项也是同类项２、判断标准：⑴所含字母相同⑵相同字母的次数相同３、合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的次数保持不变．(四)去括号与添括号１、去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号．括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都要变号．２、添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号．所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要变号．(五)整式的加减１、步骤：①若有括号，则先去括号②如有同类项，再合并同类项第四章图形的初步认识复习内容：立体图形的三视图、展开图， 最基本的图形——点和线，角，相交线，平行线．(一)立体图形的三视图：正视图、左视图、俯视图(二)立体图形的展开图(三)最基本的图形——点和线１、两点之间，线段最短．２、连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．３、经过两点有一条直线，并且只有一条直线．（两点确定一条直线）４、把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点．(四)角１、一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．２、⑴如果两个角的和是90º，这两个角叫做互为余角． ⑵如果两个角的和是180º，这两个角叫做互为补角． 说明：①若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2＝90º．②若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝180º．３、⑴同角(或等角)的余角相等．⑵同角(或等角)的补角相等．４、用角度表示方向：旋转的角度表示方向．如图，OA示为北偏西60º．５、对顶角相等．(五)相交线１、在同一平面内，经过直线上(或外)一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．２、垂线段最短。

第4周课题1第2章《有理数》复习课一、复习目标1、借助生活中的实例，理解有理数的意义。

2、理解五个重要概念：有理数、数轴、相反数、绝对值。

3、在学习数轴的过程中，感受数形结合思想，在借助数轴理解相反数和绝对值的意义的过程中，发展几何直觉。

4、在相反数、绝对值等概念的探索中，体会归纳、思考、交流、发现等数学活动在解决问题中的作用。

二、重点、难点和关键重点是有理数的概念，并能熟练地运用它解决简单的应用题。

难点是负数的概念、有理数大小的比较和绝对值的应用。

关键是建立以数轴为基础的数形结合的数学思想。

三、回忆总结本章主要学习了哪些内容？总结一下，并与同学交流。

列出知识网四、精讲点拨例1、把各数分别表示在数轴上，并填在相应的集合里。

8、-1/8、-1、-8、-（-1/8）、0。

整数集合（）分数集合（）正数集合（）负数集合（）正整数集合（）有理数集合（）例 2、指出绝对值小于5的整数，并按从小到大的顺序把它们排列起来。

五、有效训练1、填空（1）是最小的正整数；是最大的负整数；的绝对值是它的本身。

（2）9与-13的和绝对值是。

（3）数轴上到原点的距离等于3的点对应的数是。

（4）绝对值小于2.1的整数是。

（5）A、B、C、D四位同学一次立定跳远的成绩分别是1.75米、1.60米、2米、1.80米；若以D同学的成绩为基准，记为0，则A同学的成绩记为米；B同学的成绩记为米；C同学的成绩记为米。

2、比较下列各组数的大小：（1）；8765--和 （2）-（-0.01）和- 10。

（3）-π和-3.14；六、归纳小结1、你学到了什么数学方法和数学思想？学生总结：教师总结：1、有理数是初中代数的基础，概念要明确、系统地掌握。

2、引进负数后，只要提到数就要确定它是正数，是负数，还是零。

•条件复杂了考虑问题的方法也要随之变化，注意克服小学习惯的单一考虑问题的方法，否则就建立不起负数概念。

3、对“零”要有新的认识，零是正数与负数的分界数；零不是正数，也不是负数，•但它是整数；零不是有理数，零不是奇数，但它是偶数；零在有理数的运算中有着特殊意义。