北师大版七年级上册第二章有理数及其运算知识点总结

第二章有理数及其运算■通关口诀：学好有理并不难；基本概念要通关。

整分统称有理数；小数有理也无理。

数轴加上反绝倒。

还有负数非负数。

六个概念先学好；五种运算无漏洞。

科学记数表大数；寻找规律有方法。

■正奇数学学堂第一讲：有理数与数轴【知识点一】正数、负数和0。

1．相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。

2．具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。

3．正负数：正数：大于0的数；负数：小于0的数。

其中正数的正号可省略不写。

负数的负号必须写出。

4．0：不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。

同时也是具有相反意义的量的基准量。

既不是正数又不是负数。

5．正数与负数的分界：数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号。

6．重新认识两个符号——⑴“+”：运算符号表示加；性质符号表正数。

⑵“-”：运算符号表示减；性质符号表负数。

★正奇点睛：1．其实上述两个符号还有“自己”和“相反”的意思。

学了相反数自会明白。

2．注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系。

〖母题示例〗1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________________；负数有____________________．4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是（）A．向东行进50m C．向北行进50mB．向南行进50m D．向西行进50m5．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果规定向东为正，那么从起点先走+40米，再走－60米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？8．10筐橘子，以每筐15㎏为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。

北师大版七年级数学上册第二章知识点整理北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）. l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；（2）代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算：⑴ 加法法则：① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.⑵ 减法法则：① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶ 乘法法则：① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则：① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸ 乘方：① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算：① 从左到右的顺序进行；② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；（2）准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；（4）有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。

新版北师大版初中数学知识点汇总目录七年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章丰富的图形世界错误!未定义书签。

第二章有理数及其运算ﻩ错误!未定义书签。

第三章字母表示数ﻩ错误!未定义书签。

第四章平面图形及位置关系ﻩ错误!未定义书签。

第五章一元一次方程ﻩ错误!未定义书签。

第六章生活中的数据错误!未定义书签。

七年级下册知识点总结ﻩ错误!未定义书签。

第一章整式的运算错误!未定义书签。

第二章平行线与相交线ﻩ错误!未定义书签。

第三章生活中的数据错误!未定义书签。

第四章概率ﻩ错误!未定义书签。

第五章三角形错误!未定义书签。

第六章变量之间的关系ﻩ错误!未定义书签。

第七章生活中的轴对称ﻩ错误!未定义书签。

八年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章勾股定理错误!未定义书签。

第二章实数ﻩ错误!未定义书签。

第三章图形的平移与旋转错误!未定义书签。

第四章四平边形性质探索错误!未定义书签。

第五章位置的确定ﻩ错误!未定义书签。

第六章一次函数错误!未定义书签。

第七章二元一次方程组错误!未定义书签。

第八章数据的代表ﻩ错误!未定义书签。

八年级下册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组错误!未定义书签。

第二章分解因式错误!未定义书签。

第四章相似图形错误!未定义书签。

第五章数据的收集与处理ﻩ错误!未定义书签。

第六章证明（一)错误!未定义书签。

九年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章证明(二)ﻩ错误!未定义书签。

第二章一元二次方程ﻩ错误!未定义书签。

第三章证明(三)错误!未定义书签。

第四章视图与投影错误!未定义书签。

第五章反比例函数错误!未定义书签。

第六章频率与概率ﻩ错误!未定义书签。

九年级下册知识点汇总错误!未定义书签。

第一章直角三角形边的关系错误!未定义书签。

第二章二次函数ﻩ错误!未定义书签。

第三章圆错误!未定义书签。

第四章统计与概率错误!未定义书签。

七年级上册知识点汇总（注：※表示重点部分;¤表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;）第一章丰富的图形世界¤1。

七年级上册第一章丰富的图形世界第二章有理数及其运算第三章整式及其加减第四章基本平面图形第五章一元一次方程第六章数据的收集与整理第一章:丰富的图形世界一、生活中的立体图形分类1.棱柱的相关概念（初中只讨论直棱柱，即侧面是长方形）①棱：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱②侧棱：在棱柱中，相邻两个侧面的交线叫做侧棱③根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱......④棱柱所有侧棱都相等，棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形①点：线和线相交的地方是点，它是几何中最基本的图形②线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线③面：包围着体的是面，分为平面和曲面④体：几何体也简称体⑤点动成线，线动成面，面动成体二、展开与折叠1.常见立体图形的展开图①圆柱：两个圆，一个长方形②圆锥：一个圆，一个扇形③三棱锥：四个三角形④三棱柱：两个三角形，三个长方形⑤正方体展开图：共有11种，141（6种）,231（3种）,33（1种）,222（1种）⑥要展开一个正方体，需要切开7条棱⑦正方体平面展开图找对立面：相间、Z端三、截一个几何体1.常见立体图形的截面2.用一个平面去截一个正方体，可能得到三边形、四边形、五边形、六边形（3456）四、三视图（主视图、左视图、俯视图）1.三视图的6种题型：（1）已知实物图画三视图；（2）已知俯视图，画主视图和左视图；（3）已知主视图、左视图和俯视图，确定小立方体的个数；（4）已知主视图和俯视图，确定小立方体最多和最少个数；（5）已知左视图和俯视图，确定小立方体最多和最少个数；（6）已知主视图和左视图，确定小立方体最多和最少个数。

五、多边形的一些规律1.从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。

2.从一个n边形的一边上的一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-1）个三角形。

3.从一个n边形的内部的一个点出发，分别连接这顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成n个三角形。

北师大版《数学》（七年级上册）知识点总结第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……(按名称分) 锥圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n 边形分割成（n-2）个三角形。

弧：圆上A 、B 两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

第二章 有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数负有理数或 整数有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

北师大版七年级数学上册知识点总结前言：七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点在六年级涉及过，现在是对六年级的加深与拓展。

重点难点章节有三个：第二章有理数及其运算、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。

第一章丰富的图形世界单元备注：易错点在1、图形的展开与折叠2、“三视图”判断图形个数1、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……(按名称分) 锥圆锥棱锥2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

4、正方体的平面展开图：11种3—3型2—2—2型总结规律：一线不过四，田凹应弃之；相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知。

5、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形6、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

第二章有理数及其运算备注：1*、数轴是新知识很多地方用到2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中的一个重要数学思想）3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。

北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算有理数:有理数=整数+分数整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数,形如+1,+0.5,+10.1,0.001…l负数的概念：数轴上0左边的数,形如-3,-0.2,-100….l0既不是正数也不是负数,0是整数也是偶数.①正负数的表示方法：盈利,亏损；足球比赛胜,负；收入,支出；提高,降低；上升,下降；②不投入不支出,不盈也不亏,海平面的海拔,某一个标准或基准….用0表示；数轴：概念：规定了原点,正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线,数轴有三要素：原点,正方向,单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点,作为原点；再确定正方向,一般规定向右为正,画上箭头,反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数,0的相反数是0；a,b互为相反数a+b=0;求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数,当原数是多个数的和差时,要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字,字母,也可以是代数式；一般地,数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数,可以是正数、负数、0.绝对值：几何定义：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.对于任何有理数a,都有a的绝对值≥0,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数同时为0；比较两个负数,绝对值大的反而小；倒数：乘积为1的两个数互为倒数,所以数a的倒数是1/a,0没有倒数；求一个整数的倒数,写成这个整数分之一；求一个小数的倒数,先将其化成分数,再求其倒数；求一个带分数的倒数,先将其化为假分数,再求出倒数.用1除以一个非0数,商就是这个数的倒数.有理数的四则运算：⑴加法法则：①同号两数相加,符号不变,把绝对值相加；②异号两数相加,绝对值相等时相加得0；绝对值不相等时,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律.⑵减法法则：①减去一个数,等于加上这个数的相反数,依据加法法则②加减混合运算,通过减法法则将减法转化为加法,统3 / 5一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶乘法法则：①两数相乘,同号得正,异号得负,把绝对值相乘；②任何数同0相乘,得0；③几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是奇数时,积为负；当负因数的个数是偶数时,积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷除法法则：①两数相除,同号得正,异号得负,把绝对值相除；②0除以任何非0的数都得0.③除以一个数,等于乘上这个数的倒数,即.⑸乘方：①求几个相同因数积的运算,叫做乘方；乘方的结果叫做幂；,表示n个相同因数乘积的运算；②负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时,可省略不写；③正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；0的正整数次幂都是0.⑹混合运算：①从左到右的顺序进行；②先乘方,再乘除,后加减；如有括号,应先算括号里面的；科学记数法把一个大于10的数表示成的形式,这种记数方法叫科学记数法；准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；精确度：近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示；一般地,把一个数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到了那一位；所以,精确度是描述一个近似数的近似程度的量；有效数字：在近似数中,从左边个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数,叫做有效数字的个数；5 / 5。

第二章 有理数及其运算思维导图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⨯+⨯=+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⎩⎨⎧++=+++=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧的形式的数表示成科学记数法：把大于分配律：结合律：交换律：乘法结合律：交换律：加法运算律混合运算的积的运算个相同因数乘方：求除法乘法减法加法运算法则运算—近似数—计算器的使用对值大的反而小两个负数比较大小，绝，正数大于负数，负数小于正数大于，右边的总比左边的大数轴上两个点表示的数大小比较另一个数的倒数，那么称其中一个数是为如果两个有理数的乘积倒数反数负数的绝对值是它的相的绝对值是正数的绝对值是它本身性质距离数所对应的点与原点的概念：在数轴上，一个绝对值的相反数是数，个数为另一个数的相反中一有符号不同，那么称其相反数：如果两个数只向和单位长度—三要素：原点、正方—数轴称为有理数有理数：整数和分数统有关概念和分数按整数、分数分：整数、负有理数理数、按正数、负数分：正有分类有理数n a c a b a c b a c b a c b a a b b a c b a c b a a b b a a n 1010)()()()()(001:00.000考点精讲特别提醒：（1）到现在为止，我们学过的数可分为五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为：正有理数、零、负有理数三类进行讨论．（2）通常把正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（也叫做自然数），负整数和零统称为非正整数．（3）在对有理数进行分类时，以须按同一准进行分类，不能混淆标准．考点二数轴数轴1.数轴的概念画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.特别提醒：数轴的概念包含三层含义：第一层含义是数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，但直线不一定是数轴；第二层含义是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是原点的选定、正方向的选取（一般规定向右为正）、单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，但同一数轴上的单位长度必须一致2.数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示0（在原点下边标上“0”）.（3）确定正方向（一般规定向右为正），应箭头表示出来.（4）选取某一长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3，…. 用数轴上的点表示有理数数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示．特别提醒：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，（以后学习的无理數也可以用数轴上的点表示）（2）在数轴上表示一个数，一般用实心点表示，把要表示的数写在数轴上所对应的点的上方.利用数轴比较有理数的大小1.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.2.正数大于0，负数小于0，正数大于负数相反数的概念1.相反数的代数定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．2.一地，数a的相反数是-a．这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或0.3.相反数的几何定义：在数轴上位于原点的两侧，与原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数.4.相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与考点七有理数的乘法特别提醒：（1）若a≠0，则a的倒数为a1，0没有倒数；（2）互为倒数是两个数而言的，单独的一个数无所谓倒数.若a，b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a，b互为倒数．（3）倒数为它本身的数为士1.有理数乘法法则的推广（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.（2）几个数相乘，有一个因数为0，则积为0.特别提醒：（1）多个非零有理数相乘,一定要先确定积的符号,再把绝对值相乘.积的符号由负因数的个数决定.（2）在有理数乘法运中，若有带分数与小数应先將带分数化成假分数，小数化成分数，以便约分.有理数乘法的运算律拓展：（1）乘法交换律和乘法结合律可以推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积都不变.（2）分配律对于一个有理数同两个以上有理数的和相乘的情形仍然成立，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am.考点八有理数的除法有理数的除法法则（一）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得0.特别提醒：（1）进行有理数除法运算，应先确定商的符号，再确定商的绝对值.（2）0不能作除数，0作除数无意义.（3）如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则（一）进行计算，先确定商的符号，再将两数的绝对值相除.有理数的倒数用1除以一个非0的数，商就是这个数的倒数．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.有理数的除法法则（二）除以一个数（不等于0）等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×b1.特别提醒：如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选择法则（二）进行计算.学记数法（2）确定n一般有两种方法：方法一：利用整数的位数来求n，n等于原数的整数位数减1.例如，3 500是一个四位整数，则n＝4-1=3.方法二：看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n就等于几.例如，从3 500到3.5，小数点向左移动了3位，则n＝3.特别提醒：（1）科学记数法是一种记数方法，用科学记数法表示一个绝对值大于等于10的数，只改变这个数的书写形式,并不改变它的大小.（2）用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后一致.当a=1时,可以省略不写,如1×104=104.考点十一有理数的混合运算有理数混合运算的法则1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.2.有理数混合运算需注意的几个问题：（1）有理数的运算，加减法是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方和开方（以后学）是第三级运算．一个式子中如果含有多级运算时，先做第级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算．同一级运算按照从左到右的顺序进行；有括号时，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算（2）灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算.特别提醒：（1）在运算过程中,一般先把带分数化为假分数、小数化为分数,再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤.另外，有些运算同时进行也可简化解题步骤.（2）进行混合运算时，除遵守以上规则外，还需注意灵活使用运算律，使运算准确、简便.有理数混合运算的应用“24点”游戏是这样进行的：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．由于任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到24或－24具有不确定性，因此大家要灵活运用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试、多探索.考点十二用计算器进行运算计算器的认识1.计算器具有运算快、操作简便、体积小等特点在信息高速发展的时代，它已成为人们广泛使用的计算工具.2.按照功能，计算器可分为简单计算器、科学计算器、图形计算器等几种类型．计算器的面板由键盘和显示器两部分组成.3.计算器的使用近似数及其精确度1.所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也就是精确度.2.一数地，一个近似数四含五人到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.如331＝3.333…，结果取3，就说精确到个位；取3.3，就说精确到十分位（或精确到0．1）；取3.33，就说精确到百分位（或精确到0．01）特别提醒：（1）取一个精确到某一位的近似数时，应对这一位后面的第一个数字进行四舍五入.（2）一个近似数末尾的0不可省略，如0.50中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度.。

《有理数的加法》知识点解读知识点1 有理数的加法法则（重点）有理数的加法法则如下：（1）同号两数相加，取相同的符合，并把绝对值相加.（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符合，并用较大数的绝对值减去较小的绝对值.（3）一个数同0相加，仍得这个数.归纳：有理数的运算涉及两个方面：（1）符合的确定；（2）绝对值的计算.因此运用有理数加法法则进行计算时要按照“一观察，二确定，三求和”的步骤进行，即第一步观察两数的符合是同号还是异号；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果.典例剖析【例1】计算下列各题：23(1)(30)(6);(2)()();341(3)( 3.6)( 1.9);(4)()0;3(5)( 2.5)( 3.1);(6)(5)(5).-+--++-++-+-++++- 解析：先观察两个加数的符号，并比较两个加数的绝对值的大小，再根据相应的法则计算. 答案：(1)(30)(6)=(30+6)=36;23321(2)()()();(3)( 3.6)( 1.9)(3.6 1.9) 1.7;11(4)()0;33(5)( 2.5)( 3.1)(3.1 2.5)0.6;(6)(5)(5)0.-+----++=+-=+-++=--=--+=--++=+-=+++-= 方法归纳：（1）有理数加法运算的一般步骤：①首先判断是同号两数相加还是异号两数相加；②再判断结果是正好还是负号；③最后判断是利用绝对值的和还是差进行计算.（2）有理数加法法则口诀：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑，绝对值相等“零”正好；数零相加变不了.其中“大”“小”指加数的绝对值的大小.【类题突破】下列各式，p ，q 互为相反数的是（ ）A.pq=1B.pq=-1C.P+q=0D.p-q=0答案：C知识点2 有理数加法的运算律（难点）有理数加法的运算律（1）加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a（2）加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b ）+c=a+（b+c ）说明：式子中的字母a ，b ，c 表示任意有理数.交换律和结合律对两个以上的数也使用，使用运算律是为了简化运算，在使用时，一般先把具有以下特征的数相加：（1）互为相反数的两个数；（2）符号相同的数；（3）相加能得到整数的数；（4）分母相同的数；（5）易于通分的数.典例剖析【例2】计算下列各题：(1)15(19)18(12)(14);(2)(13.5)22.5(13.26)(8.5)19.4;521(3)(3)(15.5)(18)(5);77211(4)(18)(71).42+-++-+--++-+-+-+-+-+++-解析：几个有理数相加，可以先把正数和负数相加，这样能简化计算，几个带分数相加，可以先把每个带分数拆成整数部分与真分式部分相加的形式，再把整数部分与真分数部分分别结合在一起，再相加.答案：(1)15(19)18(12)(14);=15+18+[(-19)+(-12)+(-14)]=33+(-45)=12;(2)(13.5)22.5(13.26)(8.5)19.4;22.519.4[(13.5)(13.26)(8.5)]41.9(35.26)6.64;521(3)(3)(15.5)(18)(5)7725=[(3)7+-++-+---++-+-+=++-+-+-=+-=-+-+-+-+21(18)][(15.5)(5)]7222(10)32;11(4)(18)(71).4211[(18)()][(71)()]4211(18)()(71)()4211(18)(71)[()()]42153()4153.4-+-+=-+-=-++-=++++-+-=++++-+-=++-+++-=-+-=-方法提示：将带分数拆成整数部分与真分数相加的形式要注意：（1）分开的整数部分进而小数部分必须保持原带分数的符合；（2）运算符号和数的性质符号要同括号区分开，如2+（－3）这个符号不能连在一起写成“2+－3”.【类型突破】计算52315(9)17(3)6342-+-++-. 答案：原式=5231[(5)()][(9)()](17)[(3)()]63425231[(5)(9)17(3)][()()()]6342110(1)1.44-+-+-+-+++-+-=-+-++-+-+-++-=+-=-。

《有理数的减法》知识点解读知识点有理数的减法运算（难点)★有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数，即().a b a b-=+-★有理数减法运算的步骤：（1）减法运算变加法运算；（2)运用加法法则进行计算，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法，再按有理数的加法法则运算。

注意：①在运用减法法则时,注意两个符号的变化，一是运算符号，减号变为加号，二是性质符号，减数变成它的相反数；②减法法则不能与加法法则的异号两数相加混淆；③有理数的减法中，被减数与减数不能互换，即减法没有交换律。

典例剖析【例1】计算下列各题：（1）－(17）－(+14);（2）（+32）－（－78）；（3）（－114）－14；(4）0－（－5.2）.解析:这是有理数的减法,根据有理数的减法法则，先将减法变为加法，再运用有理数加法法则进行计算.答案：（1)－（17）－（+14）=（－17）+(－14）=－31；（2）（+32）－(－78)=(+32）+（+78)=110;（3）（－114）－14=－114+（－14)=－112；（4）0－(－5.2）=0+5.2=5。

2.错因分析：减法转化加法时，减号与后面的减数的性质符号要同时改变，如0－（－5。

2），初学时容易出现0－（－5。

2）=0－5.2的错误。

【类型突破】计算：（1)(－32)－（－12）－5－（－15）；（2)2151()()()().3263--+---- 答案：原式=（－32）+（+12）+(－5）+（+15)=[(－32）+（－5)]+［ （+12）+（+15)]=(－37)+(+27）= －10;（2）原式=2151()+()()()32632151[()+()][()()]32632151()()3263770.66--++++=--++++=-+++=-+= 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。