七年级数学上册第二章有理数知识点总结
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七年级上册数学第二单元知识点七年级上册数学第二单元知识点:第二章有理数解读有理数的有关概念一、正数与负数:1.正数:大于0的数叫正数。
像+1.8,+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数,前面加上“+”号,也可以省略不写。
2.负数:小于0的数叫负数。
像-3、-4754、-50、-0.6、-15%等。
※而负数前面带“-”号,而且不能省略。
3.零既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界点。
注意:对于正数与负数,不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。
例如-a不一定是负数,因为字母a代表任何一个有理数,当a是0时,-a是0,当a是负数时,-a是正数。
二、有理数及其分类:有理数:整数与分数统称为有理数。
整数包括三类:正整数、零、负整数。
分数包括两类:正分数和负分数。
注意:小学学过的零表示没有,而引入负数后,就不能把“零”完全当作没有了,如0℃就是一个特定的温度;现在我们学过的数,除p和与p有关的数外,其他的数都是有理数;引入负数后,数的范围扩大为有理数,奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
三、数轴:1.数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意:①数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;②数轴有三要素:原点、正方向、单位长度三者缺一不可;③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定,都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法:1一条水平的直线;2直线的适当位置选取一点作为原点,并用0表示这点;3定向右为正方向,用箭头表示出来;4选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次为-1,-2,-3。
四、相反数:代数意义:只有符号不同的两个数互为相反数。
如-2和2.规定零的相反数是零。
几何意义:位于原点的两侧且与原点的距离相等的点所表示的两个数。
注意:相反数是成对出现的,不能单独存在,如+2与-2互为相反数,说明+2的相反数是-2,-2的相反数是+2,单独一个数不能说相反数;“只有”的含义说明像+5与-3这样的两个数不是互为相反数。
有理数的概念一、提纲1、正数和负数2、有理数3、数轴【重点】4、相反数5、绝对值6、倒数(小学内容)7、有理数比较大小8、有理数加法9、有理数减法10、有理数的乘法11、有理数除法12、有理数的乘方13、近似数与科学计数法14、有理数的混合运算15、补充内容二、学习指导本节知识点比较多,同学们要认真学习并加以总结,用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。
三、知识要点一、正数和负数(1)、大于0的数叫做正数。
(2)、小于0的数叫做负数。
在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
(3)、数0既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界。
(4)、在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数(1)凡能写成分数形式的数,都是有理数,整数和分数统称有理数.(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数<====>0和正整数;a >0 <====>a 是正数; a <0 <====>a 是负数;a ≥0<====>a 是正数或0<====>a 是非负数; a ≤0<====>a 是负数或0<====>a 是非正数.3、数轴【重点】(1)、用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
它满足以下要求:即:数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。
(2)、画数轴的步骤:一画(画一条直线并选取原点);二取(取正反向);三选(选取单位长度);四标(标数字)。
数轴的规范画法:是条直线,数字在下,字母在上。
注意:所有的有理数都可以用数字上的点表示,但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
(4)、一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
4、相反数(1)、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
七年级(上)数学第二章有理数的运算知识点小结一、有理数的加法1、法则:1)同号两数相加,取相同的负号,并把绝对值相加;2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值;3)一个数同0相加,仍得这个数2、步骤:先定号,再定值例:(1)180+(-10)(2)(-10)+(-1)3、运算律:加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)二、有理数的减法1、法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;a-b=a+(-b)有理数的减法可以转化为加法来进行。
1)减法变加法;2)减数变相反数2、步骤:先定号,后定值三、加减混合运算1、省略括号和加号,奇负偶正2、步骤:1)减法转化为加法;2)省略加号和括号;3)运用运算律运算注意:1)小数化为分数2)交换加数位置,连同符号一起交换四、有理数的乘法1、法则:两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘;0乘任何数得0 (1)一个数同+1相乘,得原数;一个数同-1相乘,得相反数(2)乘积是1的两个数互为倒数。
(3)几个有理数相乘,积的符号由负因数的个数确定:奇负偶正(4)步骤:先定号,后定值(5)乘法运算律:交换律:ab=ba结合律:abc=(ab)c=a(bc)分配律:a(b+c)=ab+ac2、数字与字母相乘的书写规范:(1)数字与字母相乘,乘号要省略,或用“ ”(2)带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。
3、去括号法则:括号前是“+”,把括号和括号前的“+”去掉,括号里各项都不改变符号。
括号前是“-”,把括号和括号前的“-”去掉,括号里各项都改变符号。
五、有理数的除法:1、法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不为0的数都得0;除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
a ÷b =a ·b 1(b ≠0)2、先定号,再定值3、乘积为1的两个数互为倒数1)将小数化为分数;2)将带分数化成假分数;3)0没有倒数因为有理数的除法可以化为乘法,所以可以利用乘法的运算性质简化运算。
1.1正数和负数比0大的数叫做正数,比0小的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界点。
在正数前面加上符号“-”的数就是负数。
例1、3.2、0.4、25%、15等都是正数;-3.2、-0.4、-25%、-15等都是负数。
正数前面可以加上符号“+”,也可以省略这个符号。
但负数前面的符号“-”不能省略。
例2、13可以写成+13,+13也可以省略“+”号,写成13 。
但是-13不能省略“-”号写作13 。
0和正数统称为非负数,0和负数统称为非正数。
正数和负数可以分别用来表示相反意义的量。
例3、存入100元记为+100,则取出200元记为-200 。
例4、向北走50米记为+50,则向南走70米记为-70 。
0不仅可以表示“没有”,还可以表示其它意思。
例5、0是正数和负数的分界。
例6、0℃不代表没有温度,相反,0℃是一个确定的温度。
1.2有理数正整数、0、负整数统称为整数,即:整数{ 正整数0负整数正分数、负分数统称为分数,即:分数{正分数负分数整数和分数统称为有理数。
有理数的分类:按定义分类 按性质分类有理数{ 整数{ 正整数0负整数分数{正分数负分数 有理数{正有理数{正整数正分数0负有理数{负整数负分数与小学不同,在初中,如果一个小数能化成分数,那么这个小数也是分数。
例1、因为0.2=15,1.5=32,2.666=223,所以0.2、1.5、2.666都是分数。
例2、无限不循环小数,如π、1.010010001…等都不是分数。
引入负数之后,奇数和偶数的范围扩大了。
例3、不仅1、3、5、7……是奇数,而且-1、-3、-5、-7……也是奇数。
例4、不仅0、2、4、6、8……是偶数,而且-2、-4、-6、-8……也是偶数。
用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
它满足以下要求:①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。
②通常规定直线上从原点向右为正方向,从原点向左为负方向。
在一些特殊情况下,也可以规定直线上从原点向上为正方向,从原点向下为负方向。
人教版七年级数学上册各章知识点总结第一章:有理数1. 有理数和整数的关系- 自然数是有理数,因为每个自然数都可以表示为分子为自然数、分母为1的有理数。
- 整数是有理数,因为每个整数都可以表示为分母为1的有理数。
- 分数是有理数,因为每个真分数都可以表示为分母不为0的有理数。
2. 有理数的加减法- 同号两数相加,取相同的符号,并将绝对值相加。
- 异号两数相加,取绝对值较大的符号,并将绝对值较大的数减去较小的数的绝对值。
3. 有理数的乘除法- 同号两数相乘,积为正数。
- 异号两数相乘,积为负数。
- 有理数相除,分子乘以倒数。
第二章:代数初步1. 代数式的基本概念- 代数式由变量、常数和运算符号组成。
- 代数式可以通过代入变量的具体数值来求得结果。
2. 代数式的计算- 同类项相加或相减,保持字母不变,系数相加或相减。
- 不同类项之间无法进行运算。
3. 代数式的应用- 通过列式子,可以将一个具体问题转化为代数式,从而解决问题。
第三章:小数1. 小数的定义和读法- 小数是有理数的一种表示形式,可以用分数的形式表示。
- 小数读法遵循读整数部分,读小数点,读小数部分的规则。
2. 小数的加减法- 小数相加减时,要保持小数点的位置对齐,然后按照整数加减法的规则进行运算。
3. 小数与分数的相互转化- 将小数转为分数,小数点后的位数作为分母,去掉小数点后的位数作为分子。
- 将分数转为小数,分子除以分母。
第四章:倍数和约数1. 倍数的概念- 如果一个数能被另一个数整除,则这个数是另一个数的倍数。
2. 倍数和公倍数- 两个数的公倍数是能同时整除这两个数的数。
- 两个数的最小公倍数是能整除这两个数的最小正整数。
3. 约数的概念- 如果一个数能整除另一个数,则这个数是另一个数的约数。
4. 因数和公因数- 两个数的公因数是能够同时整除这两个数的数。
- 两个数的最大公因数是能够整除这两个数的最大正整数。
第五章:比例1. 比例的基本概念- 比例是两个数之间的比较关系,可以用两个等比例的分数表示。
北师大版七年级数学上册第二章知识点整理北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念:数轴上0右边的数即比0大的数叫正数,形如+1,+0.5,+10.1,0.001…l 负数的概念:数轴上0左边的数,形如-3,-0.2,-100…(负号不能省略). l 0既不是正数也不是负数,0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法:盈利,亏损;足球比赛胜,负;收入,支出;提高,降低;上升,下降;② 不投入不支出,不盈也不亏,海平面的海拔,某一个标准或基准….用0表示;2.数轴:概念:规定了原点,正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线,数轴有三要素:原点,正方向,单位长度;画法:首先画一条直线;在这条直线上任取一点,作为原点;再确定正方向,一般规定向右为正,画上箭头,反方向为负方向;最后选取适应的长度作为单位长度;数轴上的点与有理数的关系:任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比较:在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.3. 相反数:(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数(在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧,并且到原点的距离相等),0的相反数是0;a,b互为相反数 a+b=0;(2)求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数,当原数是多个数的和差时,要用括号括起来再添“-”;下面的a,b即可以是数字,字母,也可以是代数式;(3)一般地,数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数,可以是正数、负数、0.4. 绝对值:(1)几何定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值;(2)代数定义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;互为相反数的两个数的绝对值相等.(3)对于任何有理数a,都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性;若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数同时为0;(4)比较两个负数,绝对值大的反而小;5.倒数:(1)乘积为1的两个数互为倒数,所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a,0没有倒数;(2)求一个整数的倒数,写成这个整数分之一;求一个小数的倒数,先将其化成分数,再求其倒数;求一个带分数的倒数,先将其化为假分数,再求出倒数.(3)用1除以一个非0数,商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算:⑴ 加法法则:① 同号两数相加,符号不变,把绝对值相加;② 异号两数相加,绝对值相等时(即互为相反数的两个数)相加得0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加,仍得这个数;有理数加法运算律:交换律和结合律(互为相反数的可先相加;相加可得整数的可先相加;同分母的分数可先相加;符号相同的可先相加;易于通分的可先相加).⑵ 减法法则:① 减去一个数,等于加上这个数的相反数,依据加法法则② 加减混合运算,通过减法法则将减法转化为加法,统一成只含有加法运算的和式;减法没有交换律.⑶ 乘法法则:① 两数相乘,同号得正,异号得负,把绝对值相乘;② 任何数同0相乘,得0;(另外1乘任何数都等于这个数本身;-1乘以任何数都等于这个数的相反数.)③ 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是奇数时,积为负;当负因数的个数是偶数时,积为正.乘法的运算律:交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则:① 两数相除,同号得正,异号得负,把绝对值相除;② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数,等于乘上这个数的倒数,即 .⑸ 乘方:① 求几个相同因数积的运算,叫做乘方;乘方的结果叫做幂;,表示n个相同因数乘积的运算;② 负数乘方要用括号括起来;分数乘方要用括号括起来;当指数是1时,可省略不写;③ 正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数(奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n);0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算:① 从左到右的顺序进行;② 先乘方,再乘除,后加减;如有括号,应先算括号里面的;7. 科学记数法(1)把一个大于10的数表示成的形式(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1,),这种记数方法叫科学记数法;(2)准确数与近似数:与实际完全相符的数是准确数;与实际相接近的数是近似数;(3)精确度:近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示;一般地,把一个数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到了那一位;所以,精确度是描述一个近似数的近似程度的量;(4)有效数字:在近似数中,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字;一共包含的数字的个数,叫做有效数字的个数;。
七年级数学上册有理数知识点、重点、难点、易错点归纳总结一、 知识框架图知识点详列:1、正数和负数:数0既不是正数也不是负数。
正数和负数是表示两种具有相反意义的量。
2、 有理数分类(1)按定义分类: (2)按性质符号分类: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴:通常,用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
它满足以下要求:(1) 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;(2) 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;(3) 选取适当的长度为单位长度。
4、相反数:绝对值相等,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数仍是0.5、绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做|a|。
由绝对值的定义可得:|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.6、有理数比较大小正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。
7、有理数的四则运算(1)有理数的加法加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.③一个数同0相加,仍得这个数。
运算律:加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(2)有理数的减法可转化为加法进行,减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)。
正-正=正+负;正-负=正+正;负-正=负+负;负-负=负+正。
(4)有理数的乘法乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
②任何数同0相乘,都得0.③乘积是1的两个数互为倒数。
④几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积为负。
第二章有理数及其运算一、有理数1.用正、负数表示具有相反意义的量2.有理数的分类(1)按定义分类(2)按符号分类二、数轴1.数轴的概念规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.2.用数轴上的点表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.3.比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.(2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数.三、绝对值1.相反数的概念及性质(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数(2)互为相反数的两个数到原点的距离相等2.绝对值的概念及性质(1)一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值(2)一个正数的绝对值是它本身.(3)一个负数的绝对值是它的相反数.(4)0的绝对值是0.3.比较两个负数的大小两个负数,绝对值大的反而小.三、有理数的运算1.有理数的加法(1)加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加,仍得这个数。
(2)加法的运算律加法的交换律加法的结合律2.有理数的减法减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.3.有理数的乘法(1)乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘,都得0.(2)乘法的运算律乘法的交换律乘法的结合律乘法对加法的分配律4.有理数的除法除法法则:除以一个数,等于乘以这个数的倒数.5.有理数的乘方乘方运算规律:(1)正数的任何次幂都是正数.(2)负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.(3)0的任何正整数次幂都是0.(4)a的偶次幂是正数,即a n≥0(其中n为偶数).6.有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的.四、科学记数法1.科学记数法的概念一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法.2.a与n的取法在a×10n形式中,n的值是原数整数位数减1,a 则是将原数保留一位整数得来的.。
知识点解读:有理数知识点一:正数和负数(基础)正数:像+12,1,3,2.3等大于零的数叫正数.(“﹢”通常省略不写)负数:像-2,-3,-2.3等小于零的数叫负数.(“-”不能省略)正数与负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量.(1)为了用数表示具有相反意义的量,我们把某种量的一种意义规定为正的,而把与它相反的一种意义规定为负的.负数是根据实际需要而产生的.(2)0既不是正数也不是负数,它是一个非负、非正的数,正、负数以0为界,规定:0是最小的自然数.【典例】1、下列各组中的两个量是互为相反意义的量的是()A.上升18℃与下降18 mB.增产10吨粮食与减产-10吨C.向东走3km与向南走3kmD.篮球比赛胜5场与输5场分析:在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.解答:解:A、一个是温度单位,一个是长度单位,不是互为相反意义的量,故选项错误;B、减产-10吨,就是增产10吨,与增产10吨不是互为相反意义的量,故选项错误;C、向东走与向西走才是具有相反意义,故选项错误;D、胜5场与输5场是有相反意义的量,故选项正确.故选D.2、用正数和负数表示.零上8℃记作____,低于海平面50米记作____,零下12℃记作____,工资收入1800元记作____.分析:此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:零上记为正,则零下就记为负;高于海平面记作正,则低于海平面就记作负;向南走记作负,则向北就记作正,直接得出结论即可.解答:零上8℃记作+8℃,低于海平面50米记作-50米,零下12℃记作-12℃,工资收入1800元记作+1800元;故答案为:+8℃,-50米,-12℃,+1800元.知识点二:有理数及其分类(重点)有理数按不同标准进行分类有两种:(1)按有理数的定义分类:正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数(2)按有理数的性质分类:正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数注:熟悉掌握有理数及其分类,根据不同的分类方法来理解掌握不同的分类结果.【典例】1、有理数分为正有理数和负有理数.()判断正误分析:有理数分为正有理数和负有理数和零.故此命题错误.2、绝对值最小的有理数是_____.分析:根据绝对值的定义,绝对值就是到原点的距离,距离为0最小.解答:正数的绝对值是正数;负数的绝对值是正数;0的绝对值是0,正数大于0,所以绝对值最小的数是0.故应填0.。
七年级上册数学第二章知识点归纳在七年级上册数学的第二章中,我们主要学习了有理数的运算和性质。
有理数包括整数和分数,它们可以表示为两个整数的比,其中分母不为零。
这一章节的知识点归纳如下:首先,我们学习了有理数的分类。
有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
正有理数是大于零的数,负有理数是小于零的数,而零既不是正数也不是负数。
其次,我们掌握了有理数的加减法。
在进行有理数的加法运算时,如果两个数的符号相同,我们直接将它们的绝对值相加,并保留相同的符号。
如果两个数的符号不同,我们需要取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
有理数的减法可以转化为加法,即减去一个数等于加上这个数的相反数。
接着,我们学习了有理数的乘除法。
在乘法运算中,如果两个数的符号相同,结果为正;如果符号不同,结果为负。
乘法运算中,绝对值相乘。
对于除法,除以一个数等于乘以这个数的倒数。
需要注意的是,除数不能为零。
此外,我们还了解了有理数的乘方运算。
乘方表示一个数自乘若干次。
例如,一个数的平方是这个数乘以它自己,立方是这个数乘以它自己两次。
在这一章中,我们还学习了有理数的混合运算。
在进行混合运算时,我们需要遵循运算的优先级,即先乘除后加减,同级运算从左到右进行。
最后,我们探讨了有理数的大小比较。
正有理数大于零,零大于负有理数,正有理数大于负有理数。
在比较两个负有理数的大小时,绝对值大的数实际上是较小的数。
通过这一章的学习,我们对有理数有了更深入的理解,为后续更复杂的数学学习打下了坚实的基础。
七年级上册数学第二章知识点总结七年级上册数学第二章知识点总结「篇一」代数式中的一种有理式:不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。
(分母中含有字母有除法运算的,那么式子叫做分式)1.单项式:数或字母的积(如5n),单个的数或字母也是单项式。
(1)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
(如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。
(2)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。
2.多项式(1)概念:几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
(2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(3)多项式的排列:把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意:(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
b.确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。
3.整式:单项式和多项式统称为整式。
4.列代数式的几个注意事项(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“· ”乘,或省略不写;(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式;(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成3/a的形式;(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a .整式的加减运算1.同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项。
第一章有理数概念、定义:1、大于0的数叫做正数(positive number)。
2、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数(negative number)。
3、整数和分数统称为有理数(rational number)。
4、人们通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴(number axis)。
5、在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin)。
6、一般的,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value)。
7、由绝对值的定义可知:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
8、正数大于0,0大于负数,正数大于负数。
9、两个负数,绝对值大的反而小。
10、有理数加法法则(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
11、有理数的加法中,两个数相加,交换交换加数的位置,和不变。
12、有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
13、有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数。
14、有理数乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值向乘。
任何数同0相乘,都得0。
15、有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数。
16、一般的,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
17、三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
18、一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
19、有理数除法法则除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
20、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
21、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。
有理数及其运算知识总结一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算,我们可以将本章的内容分为三大部分:第一部分:主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类,判断一个数是正数还是负数,运用正、负数表示生活中具有相反意义的量.其次是认识数轴,用数轴上的点表示有理数,借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系,利用数轴比较有理数的大小.第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值,利用绝对值比较两个负数的大小,通过应用题解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.第二部分:学习有理数的加减法运算,通过探索有理数加法法则和运算律的过程,理解有理数的加法法则和运算律,利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算,并利用运算律简化运算;通过探索有理数减法法则的过程,理解有理数的减法法则,利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算;利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算,并适当利用运算律简化运算;综合运用有理数及其加法、减法的有关知识,解决简单的实际问题,体会数学与现实生活的联系.第三部分:主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算.经历探索有理数乘法法则及运算律的过程,发展观察、归纳、猜测、验证等能力 .根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算,运用乘法运算律简化计算;根据有理数除法法则进行有理数的除法运算,求有理数的倒数;根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算,通过实例感受当底数大于1时,乘方运算结果的快速增长.根据有理数混合运算顺序的规定,进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算,在运算过程中,合理使用运算律简化运算;使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算,使用计算器进行实际问题的复杂运算.二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数;在正数前面加上“-”号的数叫做负数;0既不是正数,也不是负数.为了突出数的符号,可以在正数前面加“+”号,一般地“+”号往往省略不写,但负数前面的“-”号不能省略.对于正数和负数的概念,不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数:正数、负数和零也统称为有理数.整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数;正数包括正整数和负整数;负整数包括负整数和负分数.到目前为止,我们学过的数细分有五类:正整数、正分数、零、负整数、负分数,因为有限小数和无限循环小数可以化为分数,所以把有限小数和无限循环小数都看作分数.有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为 1的分数,但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.通常把正整数和零统为非负数;负数和零统称为非正数;正整数和零统称为非负整数,即为自然数;负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义:一是说数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;二是说数轴具有原点,正方向和单位长度三要素,三者缺一不可;三是说数轴原点的选定,正方向的取向、单位长度大小的确定,是根据实际需要规定的.画数轴的步骤:(1)画一条直线,一般画成水平的直线;(2)在直线上选取一点为原点,用实心点表示,在原点下边标上0;(3)用箭头表示正方向,一般规定向右为正;(4)选取适当的长度为单位长度,用细短线画出,并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数,特别地,0的相反数是0.在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离相等,这就是相反数的几何意义.一般地,数a的相反数是-a,这里a表示任意一个数,可以是正数、负数或零,还可以代表任意一个代数式,表示或求一个数的相反数,只要在这个数的前面添上一个“-”号就可以了.相反数是成对出现的,不能单独存在,单独的一个数不能说是相反数;不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数,只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值,数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,这就是绝对值的代数意义,也可表示为:6、绝对值的有关性质(1)对任意有理数a,都有|a|≥0;(2)若|a|=0,则a=0;(3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(4)若|a|=b(b>0),则a=±b;(5)若|a|+|b|=0,则a=0且b=0;(6)对任意有理数a,都有|a|=|-a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于 0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小 .8、有理数加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加 .异号两数相加,绝对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并把较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0相加,仍得这个数.9、有理数加法运算律加法交换律: a+b=b+a加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)10、有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数,即: a-b=a+(-b).11、代数和的意义几个正数或负数的和叫做代数和,代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示,代数和不仅表示有理数相加的结果,而且还可表示加法运算.12、有理数加减混合运算步骤(1)把加减混合运算统一成加法;(2)写成省略加号、括号的代数和;(3)利用加法法则及运算律进行计算.13、有理数乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数同零相乘都得0.14、多个非零因数相乘,积的符号规律n个不等于零的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数为偶数个时,积为正.n个数相乘,有一个因数为0,积就为0.15、有理数乘法的运算律(1)交换律:两个因数相乘,交换因数的位置,积不变.即a·b=b·a;(2)结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变,即(a·b)·c=a·(b·c);(3)分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两数相乘,再把所得的积相加.即a(b +c)=ab+ac.16、倒数的概念乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b=1时,a与b互为倒数.由于任何一个有理数与0的积为0,不可能是1,所以0没有倒数.倒数还可以说成是:1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数,如a≠0,a的倒数为1a.17、有理数的除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都得0.18、利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式,例如:6÷3可以写成63,还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化,所以可以利用除法化简分数.19、乘方的概念求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,即在n a中,a叫做底数,n叫做指数,n a叫做幂.na的读法有两种:(1)读作a的n次幂.(2)读作a的n次方.20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.21、学记数法a 的形式,其中a的整数位数只有一位,这种记数的方法,叫做学记数把一个大于10的数记成10n法.22、有理数的混合运算有理数的运算中,加减为一级运算,乘除为二级运算,乘方(及开方——乘方的逆运算,以后将讲到)为三级运算.对于有理数的混合运算,要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减,对于同级运算,一般从左到右依次进行.如果有括号,就先算括号内的,且一般先算小括号内的,再算中括号内的,最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算,可变更上面的运算顺序,灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,为了满足实际需要,引入了负数、负数是由于实际需要产生的,负数也是客观存在的数 .正数和负数通常表示具有相反意义的量,若正数表示某种意义的量,则负数就表示其相反意义的量,反之亦然 .2、数集的概念把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集,类似地,所有整数组成的数集叫做整数集,所有正数组成的数集叫做正数集,所有负数组成的数集叫做负数集,等等 .3、多重符号的化简规律单独一个有理数前面的“+”号和“-”号,一般都是性质符号,读作“正”号或“负”号 .括号前是“+”号时,去掉括号和“+”号后,括号内的数不变,括号前是“-”号时,去掉括号和“-”号后,括号内的数就变成它的相反数 .在一个数的前面添加一个“+”号,仍然与原数相同;在一个数的前面添加一个“-”号,就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较两个负有理数的大小比较与其它数一样,可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点,右边的数总比左边的数大 .两个负有理数的大小比较,还可以利用绝对值,求这两个数的绝对值,比较两个数绝对值的大小,绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .6、积的符号的确定方法有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则:几个不等于0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个数,积为负;当负因数有偶数个数,积为正;几个数相乘,有一个因数为0,积为0,根据积的符号法则,在有理数乘法中,不管有多少个不为0的数相乘,都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号,这样做的好处是既简练又准确.7、几个非0的有理数相除,商的符号的确定几个非0的有理数相除,商的符号由负数的个数决定:当负数的个数为奇数时,商为负;当负数的个数为偶数时,商为正.如: (-12)÷(-2)÷(-3)——三个负数:负=-(12÷2÷3)=-2(-12)÷2÷(-3)——两个负数:正=+(12÷2÷3)=28、有理数混合运算中应注意的问题(1)要注意运算顺序;(2)要灵活运用运算定律进行简便运算,不要搞错符号,特别是乘方的符号;(3)要灵活进行小数、分数的互化;(4)互为相反数的和,互为倒数的积,有因数为零,特殊运算先行结合.典型例题例1:一个物体沿着南北两个相反方向运动,如果把向南的方向规定为正,那么走 6km,走-4.5km,走0km的意义各是什么?分析:正数与负数可表示具有相反意义的量,正数表示向南运动,则负数表示向北运动 .0表示原地不动,0表示正数与负数的分界,在实际问题中也有确定的意义.解:走 6km表示物体向南走6km;走- 4.5km表示物体向北走4.5km;走 0km表示物体原地不动.例2:某老师把某一小组五名同学的成绩简记为:+ 10、-5、0、+8、-3,又知记为0的实际成绩表示90分,正数表示超过90分,则这五位同学的平均成绩为多少分?分析:由题意先求出这五位同学的实际成绩,如简记为+ 10的学生实际成绩为100,然后再求平均成绩.解:依题意知,五位同学在实际成绩分别为:100、85、90、98、87,其平均成绩为:1(10085909887)92().5++++=分例3:如图所示的数轴上, A、B、C、D、E各点分别表示什么数?分析:根据各点在原点的左侧,右侧还是在原点上,来确定数是负数,正数还是 0,根据各点距离原点多少个长度单位,来确定数的值.解:点A表示数132;点B表示数12;点C表示数0;点D表示-3;点E 表示数142-. 例4:在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”连接起来;分析:首先画出数轴,三要素要齐全;再把各数在数轴上的对应点找出来;然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小,再用“<”连接起来.解:这些数在数轴上的表示如图所示.它们从小到大的排列为:111132101242242<-<-<<<< 例5:利用绝对值比较下列有理数的大小 .(1)-0.6,-60234(2) ,,345--- 分析:比较负数的大小,先求出各数的绝对值,关键是比较绝对值的大小,绝对值大的反而小,比较分数大小,一般要化成同分母的分数来比较 .解:(1)|-0.6|=0.6, |-60|=60∵ 0.6<60,∴ -0.6>-60.224033454448(2) ||||||336044605560404548 ,606060234 .345---<<∴->->-==,==,==, 例6:已知 |a +2|+|b -3|=0,求a 和b 的值.分析:由绝对值的非负性可知, |a +2|≥0,|b -3|≥0,而且只有当|a +2|和|b -3|都等于0时,|a +2|+|b -3|=0才成立,因为只有0的绝对值等于0,所以a=-2,b=3.解:∵ |a +2|+|b -3|=0,又 ∵ |a+2|≥0,|b -3|≥0,∴ |a +2|=0,|b -3|=0.∴ a +2=0,b -3=0.∴ a=-2,b=3.例7:计算分析:进行有理数加减混合运算时,应先把加减运算统一成加法运算,再写成省略加号和括号的代数和,最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算,能够简化运算的尽量简化运算 .解:(1)原式=(-5)+(-3)+(-9)+(+7)=-5-3-9+7=(-5-3-9)+7=-17+7=-1034210(2)()()()()10757++++-+-原式=例8:计算题:2322232183(1)(1)(1)(0.51);362141(2)(3)12(2).3(2)÷-+⨯------÷--- 268491(1)()()3721168471 76834922 (2)29(8)1⨯-+⨯---++-⨯-----解:原式==121=1684-6原式====-1 注:(1)要按运算顺序进行计算.(2)乘方时要看清楚底数与指数,先确定幂的符号.例9:计算题:242112518(1){[(2)]()(2)}();23639131(2)0.25()(1)(12 3.75)24.283--÷---÷--÷-⨯-++-⨯112518(1){[2)]()2)}()23639251 []631 3 3131 (2)16(1)124224 3.7521683+÷-+÷-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯-⨯解:原式=169=(-)+2(-)589=(-5+2)(-)889=(-)(-)38=原式=4 1+33+56-900== 注:第(1)小题先由里及外逐层去掉括号,同时把除法转化为乘法进行运算,第(2)小题应用乘法分配律使运算得以简化.例10:用学记数法表示下列各数.(1)270.3; (2)3870000;(3)光的速度约为300 000 000米/秒;(4)0.5×9×1000000; (5)10.解:(1)270.3=2.703×100=2.703×102.(2)3870000=3.87×1000000=3.87×106.(3)300000000=3×100000000=3×108.(4)0.5×9×1000000=4.5×106.(5)10=1×10.说明:学记数法a ×10n 中,a 是小于10且大于等于1的数,n 比原数位的整数位数少1,比如:3870000000是10位数,指数n 就是9.这就是说n 等于原数的整数位数减1,而不是比所有的数位和少1.如179.4=1.794×102,而不是179.4=1.794×103.例11:某地探空气球的气象观测资料表明,高度每增加1千米,气温大约降低6 ℃,若该地地面温度为21 ℃,高空某处温度为-39 ℃,求此处的高度是多少千米?解: 1×{[21-(-39)]÷6}=1×(60÷6)=10(千米)因此:此处的高度是10千米.。
七年级数学上册第二章有理数的概念讲义 考试要求:重难点:1.理解正负数的意义;2.理解数轴.相反数.绝对值的概念;3.着重理解绝对值的几何意义,并能利用其解决相关问题; 4.能利用相关知识解决实际问题.例题精讲:模块一 正负数的概念正数:像3.1.0.33+等的数,叫做正数.在小学学过的数,除0外都是正数.正数都大于0.负数:像1-. 3.12-.175-.2008-等在正数前加上“-”(读作负)号的数,叫做负数.。
负数都小于0.0既不是正数,也不是负数.一个数字前面的“+”,“-”号叫做它的符号.正数前面的“+”可以省略,注意3与3+表示是同一个正数.用正.负数表示相反意义的量:如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义,反之亦然. 譬如:用正数表示向南,那么向北3km 可以用负数表示为3km -. “相反意义的量”包括两个方面的含意:一是相反意义;二是相反意义的基础上要有量.【例1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米,那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作()A.150 B.-150 C.150米D.-150米【难度】1星【解析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.【答案】“正”和“负”相对,所以高于海平面536米记作+536米,那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米.故选D.【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.【例2】飞机上升了-80米,实际上是()A.上升80米B.下降-80米C.先上升80米,再下降80米D.下降80米【难度】1星【解析】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.【答案】负号表示与上升意义相反,即下降,则飞机上升了-80米,实际上是下降80米.故选D.【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.【例3】下列语句:①不带“-”号的数都是正数;②带“-”号的数一定是负数;③不存在既不是正数也不是负数的数;④0℃表示没有温度.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【难度】1星【解析】首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.【答案】①0不带“-”号,但是它不是正数.②-0带负号,但是它不是负数.③0既不是正数也不是负数.④0℃表示有温度,温度为0度,温度可以为负数(零下)也可以为正数(零上).【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确正数和负数的定义,并且注意0这个特殊的数字,既不是正数也不是负数.【例4】生活中常有用正负数表示范围的情形,例如某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃,由此可知在___18℃~22℃范围内保存该药品才合适.【难度】1星【解析】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题.【答案】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃表示20℃以上记作“正”,低于20℃记作负,由此可知在18℃~22℃范围内保存该药品才合适.故答案为18℃~22℃范围内保存该药品才合适.【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.【例5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响,一突击队乘汽车抢修供电线路,南记为正,则北记为负.某天自A地出发,所走路程(单位:千米)为:+8,-6,-2,+4,-5,+2问:①最后他们是否回到出发点?若没有,则在A地的什么位置?答:他们____(填:有或没有)回到出发点,在A地的正______南方向,距A地____千米.②若每千米耗油1.5升,则今天共耗油_______40.5升.【难度】2星【解析】首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.【答案】①根据题意可得:南记为正,北记为负,则距A的距离为(+8)+(-6)+(-2)+(+4)+(-5)+(+2)=+1.最后他们没有回到出发点,在A地的正南方向,距A地1千米.②从A地出发,汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km;故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5(升).【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.模块二 有理数的分类有理数: 整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注:⑴正数和零统称为非负数;⑵负数和零统称为非正数; ⑶正整数和零统称为非负整数; ⑷负整数和零统称为非正整数.【例6】下列各数中:+3.-2.1..9. .-(-8).0.-|+3|,负有理数有( )A .2个B .3个C .4个D .5个 【难度】1星【解析】把各式化简得:3,-2.1,- ,9,1.4,8,0,-3. 【答案】-2.1为负数有限小数,- 为负数无限循环小数,-是负整数,所以是负有理数. 共3个.【点评】判断一个数是有理数还是无理数,要把它化简成最后形式再判断.概念:无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 整数和分数统称为有理数【例7】下列四种说法:①0是整数;②0是自然数;③0是偶数;④0是非负数.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个【难度】1星【解析】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案,注意:2002年国际数学协会规定,零为偶数;我国2004年也规定零为偶数.【答案】①0是整数,故本选项正确;②0是自然数,故本选项正确;③能被2整除的数是偶数,0可以,故本选项正确;④非负数包括正数和0,故本选项正确.所以①②③④都正确,共4个.故选A.【点评】本题主要对0的特殊性的考查,熟练掌握是解题的关键.【例8】下列说法正确的是()A.非负有理数就是正有理数B.零表示没有,是有理数C.正整数和负整数统称为整数D.整数和分数统称为有理数【难度】1星【解析】根据有理数的分类,采用排除法判断.【答案】0是非负有理数,但不是正有理数,A错误;零不是没有,它是整数,也是有理数,B错误;0也是整数,C错误;整数和分数统称为有理数,这是定义,D正确.故选D.【点评】本题主要考查有理数学习中概念的理解,必须熟练掌握.【例9】既是正数,又是分数的数是( )A .+2B .0C .3.5D .312- 【难度】1星【解析】按照有理数的分类进行选择即可.【答案】A .+2虽然是正数,但不是分数,不合题意,故A 错误;B .0既不是正数,也不是分数,故B 错误;C .符合题意,故C 正确;D .312-虽然是分数,但不是正数,故D 错误. 故选C .【点评】认真掌握正数.负数.整数.分数的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数.【例10】最小的正整数是 _____1,最大的负整数是 _______. 【难度】1星【解析】根据有理数的相关知识进行解答. 【答案】最小的正整数是1,最大的负整数是-1.【点评】认真掌握正数.负数.整数的定义与特点.需注意的是:0是整数,但0既不是正数也不是负数.【巩固】有理数中,是整数而不是正数的数是 _______0和负整数,是负数而不是分数的是 ________。
一:人教版七年级数学知识点归纳(上册)第一章 有理数1.1 正数和负数(1)正数:大于0的数;负数:小于0的数;(2)0既不是正数,也不是负数;(3)在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;(4)-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;(5)自然数:0和正整数统称为自然数;(6)a>0 ⇔ a 是正数; a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数;a <0 ⇔ a 是负数; a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.1.2 有理数(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数;(2)正整数、0、负整数统称为整数;(3)有理数的分类:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (4)数轴:规定了原点、正方向、单位长度的一条直线;(即数轴的三要素)(5)一般地,当a 是正数时,则数轴上表示数a 的点在原点的右边,距离原点a 个单位长度;表示数-a 的点在原点的左边,距离原点a 个单位长度;(6)两点关于原点对称:一般地,设a 是正数,则在数轴上与原点的距离为a 的点有两个,它们分别在原点的左右,表示-a 和a ,我们称这两个点关于原点对称;(7)相反数:只有符号不同的两个数称为互为相反数;(8)一般地,a 的相反数是-a ;特别地,0的相反数是0;(9)相反数的几何意义:数轴上表示相反数的两个点关于原点对称;(10)a 、b 互为相反数⇔a+b=0 ;(即相反数之和为0)(11)a 、b 互为相反数⇔1-=b a 或1-=ab ;(即相反数之商为-1) (12)a 、b 互为相反数⇔|a|=|b|;(即相反数的绝对值相等)(13)绝对值:一般地,在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值;(|a|≥0)(14)一个正数的绝对值是其本身;一个负数的绝对值是其相反数;0的绝对值是0;(15)绝对值可表示为:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a (16)0a 1a a >⇔= ; 0a 1a a<⇔-=;(17)有理数的比较:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序。
七年级数学上册第二章有理数知识点总结1.1 正数和负数⒈正数和负数的概念负数:比0小的数。
正数:比0大的数。
0既不是正数,也不是负数。
注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。
(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
(3)0表示一个确切的量。
如:0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。
1.2 有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
3,整数也能化成分数,也是有理数注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 (0不能忽视)正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数3.数轴⒈数轴的概念规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不是有理数)3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=04.相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。
化简得-5a-b);⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)5.相反数的表示方法⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)5.绝对值⒈绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0.可用字母表示为:①如果a>0,那么|a|=a;②如果a<0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。
)②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。
)经典考题如数轴所示,化简下列各数|a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c|解:由题知道,因为a>0 ,b<0,c<0, a-b>0, a-c>0, b+c<0,所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。
所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。
即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;⑶任何数的绝对值都不小于原数。
即:|a|≥a;⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。
即:若|x|=a(a>0),则x=±a;⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)经典考题已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值解:因为|a+3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0所以|a+3|=0 ,|2b-2|=0 ,|c-1|=0即a=-3 ,b=1 ,c=1所以a+b+c=-3+1+1=-14.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简①当a≥0时, |a|=a ;②当a≤0时, |a|=-a6.已知一个数的绝对值,求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
如:|a|=5,则a=土51.3 有理数的加减法1.有理数的加法法则⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;⑶互为相反数的两数相加,和为零;⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律⑴加法交换律:a+b=b+a⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。
即:⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b<a ⑶当b=0时,a+b=a4.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。
如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)解:原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合)=-49+41 (运用加法法则一进行运算)=-8 (运用加法法则二进行运算)Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)解:原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合)=4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论)Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)−35 - 12 + 34 - 25 + 12 - 78 解:原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87) =-1+0-81 =-181 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)(+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25) 解:原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141) =81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032 =221-3+1032 =-3+1361 =1061Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合) -351+10116-12221+4157 解:原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221) =-1+154+2211 =-1+308+3015 -307 Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69解:原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆项后结合(1+3+5+7...+99)-(2+4+6+8 (100)1.4有理数的乘除法1.有理数的乘法法则法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)法则二:任何数同0相乘,都得0;法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·1a=1(a≠0),就是说a和1a 互为倒数,即a是1a的倒数,1a是a的倒数。