方差分析中的交互作用分析

统计与决策2021年第1期·总第565期摘要：文章引入虚拟变量，将带交互作用的双因素方差分析进行了线性回归模型重构，给出了模型的参数估计，证明了回归分析的误差分解与方差分析的离差分解是一致的，得出方差分析的因素显著性F 检验与回归模型的显著性检验的等价性。

同时对方差分析的多重比较t 检验和线性模型的回归系数检验做了比较，指出了他们之间的联系和差异性，分析了差异来源是由于样本的选择差异，最后通过实例给出了两种方法的具体实现。

关键词：方差分析；多元线性回归；虚拟变量；多重比较中图分类号：O212.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2021）01-0010-05带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模黄伯强1，李启才2（1.南京师范大学中北学院；2.南京师范大学数学科学学院，南京210023）基金项目：国家自然科学基金资助项目（11701288）；南京师范大学青蓝工程项目（2016）；南京师范大学中北学院优秀教学团队建设项目（2018jxtd007）作者简介：黄伯强（1981—），男，江苏宜兴人，硕士，讲师，研究方向：概率论与数理统计。

李启才（1979—），男，安徽东至人，博士，副教授，研究方向：随机控制理论及其应用。

0引言方差分析与回归分析是数理统计中重要的两种统计方法，方差分析主要用来讨论不同试验因素对结果的影响是否存在差异性，分为单因素方差分析与双因素方差分析；回归分析是研究自变量与因变量之间函数关系的模型，比较常见的是线性回归模型。

一般的统计学教材都是单独介绍这两个内容，但这两种统计方法存在一定的相互关系。

许多学者对此做过研究，如刘晓华等（2012）讨论了单因素方差分析与虚拟变量回归，研究了这两种方法下显著性差异检验的等价性，但没有给出双因素方差分析下的回归建模；傅莺莺等（2019）将单因素方差分析纳入线性回归的理论体系，给出了回归系数的几何解释，并比较了单因素方差分析方法下两种统计方法的t 检验基本一致，但也只有单因素方差分析的讨论，缺乏双因素方差分析下回归模型的重构。

交互作用的r语言结果解读在统计学和数据分析中，交互作用（Interaction）是指不同变量之间的相互影响程度。

在R语言中，可以使用线性回归模型（lm函数）和方差分析模型（aov函数）来探索和解释交互作用。

当我们使用lm函数来分析交互作用时，首先需要在模型中添加交互项。

交互项由两个或多个自变量相乘组成，并用冒号（:）连接。

例如，假设我们的数据集包含两个自变量x和y，我们可以用以下代码建立一个包含交互项的线性模型：```model <- lm(y ~ x + x:y, data = dataset)```在模型拟合之后，可以使用summary函数来查看交互作用的结果。

具体地，我们关注的是交互项（x:y）的系数估计值和显著性水平。

如果交互项的系数显著不为零，则表明存在交互作用。

另一种分析交互作用的方法是使用aov函数进行方差分析。

与lm函数类似，我们需要在模型中添加交互项。

例如：```model <- aov(y ~ x + x:y, data = dataset)```然后，我们可以使用summary函数查看结果。

在方差分析表中，我们关注的是交互项（x:y）的显著性水平（Pr(>F)）。

如果交互项的显著性水平小于设定的阈值（通常为0.05），则表示存在交互作用。

在解读交互作用的结果时，除了关注交互项的显著性，还需要考虑各自变量的主效应。

主效应是指自变量对因变量的独立贡献。

如果存在交互作用，那么自变量的主效应可能会受到交互作用的调节。

交互作用的R语言结果解读包括两个方面：首先，我们需要关注交互项的显著性水平，以确定是否存在交互作用；其次，我们还需要考虑各自变量的主效应，以综合分析交互作用的影响。

在实际应用中，可以结合可视化方法来更好地理解和展示交互作用的结果。

报告中如何有效分析实验结果的影响因素与交互作用导言实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以直接观察和控制因素，以验证或推翻假设。

然而，在实验结果分析过程中，仅仅通过简单的单因素分析可能无法全面认识因素对结果的影响，更不能准确把握各因素之间的交互作用。

本文将从统计学的角度出发，介绍如何有效地分析实验结果的影响因素与交互作用。

一、控制实验设计良好的实验设计是可靠分析实验结果的前提。

在设计实验时，应注意控制除研究因素外的其他因素，并将实验样本尽可能随机分配到不同处理组中，以减少干扰因素的影响。

二、单因素分析单因素分析是最常见的实验结果分析方法，通过对各因素的独立效应进行比较，确定其对实验结果影响的强弱。

在单因素分析时，可以使用t检验、方差分析等方法，对不同处理组之间的差异进行比较。

三、因素交互作用的概念因素交互作用是指不同因素之间相互作用产生的效应，其效果不能简单地由各因素的独立效应累加而得。

因素交互作用的存在增加了实验结果分析的复杂性，需要采用一些特定的统计方法进行分析。

四、因素交互作用的检验为了验证因素交互作用的存在，可以使用方差分析中的交叉效应分析方法。

该方法可以比较不同组别之间的差异，并判断此差异是否来源于不同因素之间的交互作用。

另外，还可以通过建立线性回归模型，引入交互项，来检验因素交互作用的存在。

五、因素间的交互作用模式除了检验因素交互作用的存在外，了解因素之间的交互作用模式也是实验结果分析的重要内容。

常见的交互作用模型包括加性模型、乘性模型和混合效应模型等。

在建立模型时，需要根据实验设计的具体情况选择适合的模型。

六、结果解释与应用在得到实验结果后，需要对其进行解释和应用。

在解释结果时，应尽量对影响因素和交互作用进行全面分析，同时注意将结果与实际问题联系起来，提出合理的解释。

在应用结果时，可以根据对影响因素和交互作用的认识，对现有问题进行进一步研究，并为相关决策提供科学依据。

结语实验结果的分析是科学研究中的重要环节，只有通过有效的分析方法，才能全面、准确地认识各因素对实验结果的影响和交互作用。

交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。

在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。

交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。

与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。

在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。

然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。

主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。

交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。

显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。

双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。

通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。

然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。

首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。

其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。

此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。

总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。

通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。

双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。

设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。

以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。

各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。

各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。

试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。

如何进行有交互多因方差分析
1、为了说明如何进行有交互作用多因素方差分析，我们使用盈质统计分析软件打开一个包含例子数据的Excel文件。

这是某烘焙店推出的某新款面包试吃评分，为了得到最优的口感，分别调整了糖含量和添加剂含量，在5%的显著性水平上，我们用有交互的方差分析对评分结果进行分析和分组。

2、在“方差分析菜单”下，点击“多因素方差分析”。

3、响应选择“面包试吃评分”，因子，单击“点击添加按钮”，选择“含糖量”、“是否含添加剂”，添加至右边，确认提交，勾选交互作用选项。

4、点击确定，会自动生成有交互作用的双因素方差分析结果和Tukey多重比较分组结果。

5、我们来看这个例子的分析结果，首先看因子信息，列出了两个因子的各个水平。

重点看方差分析表各个因子的P值，含糖量P值为0，小于显著性水平0.05，说明含糖量对面包的试吃评分有影响；是否含添加剂，P值为0.001，说明是否含添加剂对试吃评分也有影响；含糖量:是否含添加剂的P值为0，说明含糖量与是否含添加剂对面包试吃评分有交互作用的影响。

6、最后看通过Tukey方法给出的多重比较结果分组。

分别按因子进行了比较和
分组。

“含糖量”因子，“中”和“高”同属A组，“低”和“无”分属B和C组。

“是否含添加剂”因子，“不含”和“含”分属A和B组；重点看“含糖量”和“是否含添加剂”交互作用的分组，按评分由高至低排列，得到评分最高的A组为含糖量中等，且含有添加剂，所以，店家决定按这个配方制作该款面包，以得到最优口感。

7、如需查看完整视频或了解更多信息，请百度搜索“盈质统计分析软件”进行查看。

统计学中的方差分解与交互作用统计学是通过收集、分析和解释数据来研究和推断关于整个群体的特征和规律的学科。

在统计学中，方差分解是一种重要的分析工具，用于研究变量之间的关系和变差的来源。

同时，交互作用也是统计学中的一个重要概念，用于描述两个或更多变量之间的相互影响。

本文将探讨方差分解和交互作用在统计学中的应用和意义。

一、方差分解方差分解是将总体或总体样本的变异性分解为几个部分以了解各部分对总体变异性的贡献程度的分析方法。

它可以帮助我们理解数据的来源和影响因素，并量化各种因素对总体变异性的解释程度。

在方差分解中，常常使用方差分析（ANOVA）来进行分析。

方差分解可以将总变异性分为组内变异性和组间变异性。

组内变异性表示同一组内个体数据之间的差异，而组间变异性则表示不同组之间数据的差异。

这种分解可以帮助我们识别影响变量的因素，并量化这些因素对整体变异性的贡献。

方差分解可以用于不同领域的研究，比如医学研究、社会科学研究和经济学研究等。

通过方差分解，研究人员可以深入分析不同因素对总体变异性的影响，从而提供更精确的研究结论和实证分析。

二、交互作用在统计学中，交互作用描述了两个或更多变量之间存在的相互影响。

当变量之间的关系受到其他变量的干扰或调整时，就可能产生交互作用。

交互作用可以帮助我们理解变量之间的复杂关系和相互作用模式。

在回归分析中，交互作用通常通过引入交互项来评估。

交互项是两个或多个变量相乘的结果，并提供了关于变量之间关系的更详细的信息。

通过分析交互作用，我们可以揭示不同变量之间的相互作用效应，从而更好地理解数据背后的机制。

交互作用在统计学中的应用非常广泛。

在医学研究中，交互作用可以帮助探究不同因素对治疗效果的影响。

在市场研究中，交互作用可以帮助分析消费者对产品特性的反应。

通过运用交互作用的概念，我们可以更加全面地了解变量之间的关系和影响，从而做出更精确的推断和决策。

三、方差分解与交互作用的关系方差分解和交互作用在统计学中起着不同的作用，但也存在一定的联系和关联。