(新课标)2020年高考数学二轮复习 专题能力训练3 平面向量与复数 理

第3讲 复数与平面向量复 数 [考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：选D.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2i解析：选D.因为z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，所以z ＝－1－2i ，故选D. 3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1D ． 2解析：选C.法一：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1，故选C.法二：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i ＋2i （1＋i ）1＋i ＝－1＋i1＋i ，所以|z |＝|－1＋i 1＋i |＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1.故选C.4．(2019·漳州模拟)已知i 是虚数单位，且z ＝2＋4i（1＋i ）2，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z ＝2＋4i （1＋i ）2＝2＋4i 2i ＝1＋2i i ＝－i （1＋2i ）－i 2＝2－i ，则z ＝2＋i ，所以z 对应的点在第一象限．故选A.5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析：选C.由已知条件，可得z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1.故选C.6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．解析：(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部是0，故a ＝2. 答案：2复数代数形式的2种运算方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．[提醒] (1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化． (2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等要熟记． (3)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．平面向量的线性运算[考法全练]1．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD →＝13BC →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．23a ＋13bB ．13a ＋23bC ．13a －23bD ．23a －13b解析：选A.通解：如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A.优解一：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A.优解二：由BD →＝13BC →，得AD →－AB →＝13(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC→＝23a ＋13b ，故选A. 2．(一题多解)(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC 中，AN →＝23NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝tAB →＋13AC →，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．34解析：选C.通解：因为AN →＝23NC →，所以AN →＝25AC →.设NP →＝λNB →，则AP →＝AN →＋NP →＝25AC →＋λNB →＝25AC →＋λ(NA →＋AB →)＝25AC →＋λ⎝⎛⎭⎫－25AC →＋AB →＝λAB →＋25(1－λ)AC →，又AP →＝tAB →＋13AC →，所以tAB →＋13AC →＝λAB →＋25(1－λ)AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝λ25（1－λ）＝13，解得t ＝λ＝16，故选C. 优解：因为AN →＝23NC →，所以AC →＝52AN →，所以AP →＝tAB →＋13AC →＝tAB →＋56AN →.因为B ，P ，N三点共线，所以t ＋56＝1，所以t ＝16，故选C.3．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0， |AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点为D ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝23，故选B.4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，－1)，若a ∥(a ＋b )，则实数m 的值为________．解析：a ＋b ＝(1＋m ，1)，因为a ∥(a ＋b )，所以2(1＋m )＝1，解得m ＝－12.答案：－125．(2019·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF 交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．解析：由题图可设CG →＝xCE →(x >0)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x (CB →＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB →.因为CG→＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.答案：12平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[提醒] 向量线性运算问题的2个关注点(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)注意结论的使用：O 为直线AB 外一点，若点P 在直线AB 上，则有OP →＝αOA →＋βOB →(α＋β＝1)；若点P 满足AP →＝n m PB →，则有OP →＝m m ＋n OA →＋n m ＋nOB →.平面向量的数量积[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，所以12＋（t －3）2＝1，所以t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选B.由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2. 因为|a |＝2|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为π3.故选B.3．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( )A ．13B ．23C ．1D ．2 解析：选C.法一：因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，所以AD →＝23AC →＋13AB →，则AB →·AD →＝AB →·⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →＝23AB →·AC →＋13AB →2＝23×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝1，故选C. 法二：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，因为BD →＝2DC →，所以BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝⎛⎭⎫－83，233，则D ⎝⎛⎭⎫13，233，所以AB →＝(3，0)，AD →＝⎝⎛⎭⎫13，233，则AB →·AD →＝3×13＋0＝1，故选C.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________．解析：由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·（2a －5b ）|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b |a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.答案：235．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：已知|a |＝1，|b |＝2，则(|a ＋b |＋|a －b |)2＝2(a 2＋b 2)＋2|a ＋b ||a －b |＝10＋2a 2＋b 2＋2a ·b ·a 2＋b 2－2a ·b ＝10＋225－4（a·b ）2.由|a |＝1，|b |＝2，得－2≤a·b ≤2，则(a·b )2∈[0，4]，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2∈[16，20]，所以|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25]，所以|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案：4 2 56．已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________．解析：由平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π3，所以|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋9＋2×1×1×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＋2×1×3×cos2π3＝4，所以|a ＋b ＋c |＝2. 答案：2平面向量数量积问题的难点突破(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础． (2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标运算．平面向量在几何中的应用[考法全练]1．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－1解析：选A.通解：因为BC ＝2，AC ＝4，∠C ＝90°，所以AC 的中线BD ＝22，且∠CBD ＝45°.因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以设BP →＝λBD →(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP →·BP →＝(CB →＋BP →)·BP →＝(CB →＋λBD →)·λBD →＝λCB →·BD →＋λ2·BD →2＝λ|CB →|·|BD →|cos 135°＋λ2×(22)2＝8λ2－4λ＝8⎝⎛⎭⎫λ－142－12，当λ＝14时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.优解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2，因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )，(0≤t ≤2)，所以CP →＝(t ，2－t )，BP →＝(t ，－t )，所以CP →·BP →＝t 2－t (2－t )＝2t 2－2t ＝2⎝⎛⎭⎫t －122－12，当t ＝12时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A. 2．(一题多解)(2019·长春市质量监测(二))如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( )A ．3B ．5C ．32D ．52解析：选D.法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，E (2，1)．设|DF →|＝x ，则F (x ，2)，故AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)．因为AF →·AE →＝|AE →|2，所以(x ，2)·(2，1)＝2x ＋2＝5，解得x ＝32，所以|AF →|＝⎝⎛⎭⎫322＋22＝52，故选D. 法二：连接EF ，因为AF →·AE →＝|AF →||AE →|cos ∠EAF ＝|AE →|2，所以|AF →|cos ∠EAF ＝|AE →|，所以EF ⊥AE .因为E 是BC 的中点，所以BE ＝CE ＝1.设DF ＝x ，则CF ＝2－x .在Rt △AEF 中，AE 2＋EF 2＝AF 2，即22＋12＋(2－x )2＋12＝22＋x 2，解得x ＝32，所以AF ＝AD 2＋DF 2＝52.故选D.3．(2019·江苏南通基地学校联考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (3，1)在以原点O 为圆心的圆上．已知圆O 与y 轴正半轴的交点为P ，延长AP 至点B ，使得∠AOB ＝90°，则BP →·OA →＝________，|BP →＋OA →|＝________．解析：由题可得圆O 的半径r ＝3＋1＝2，所以P (0，2)，则AP 所在直线方程为y －2＝2－10－3(x －0)，即y ＝－33x ＋2.设B ⎝⎛⎭⎫x ，－33x ＋2，则OA →＝(3，1)，OB →＝⎝⎛⎭⎫x ，－33x ＋2.由∠AOB ＝90°可得OA →·OB →＝0，所以3x －33x ＋2＝233x ＋2＝0，解得x ＝－3，所以B (－3，3)，所以BP →＝(3，－1)， 所以BP →·OA →＝3×3＋1×(－1)＝2， |BP →＋OA →|＝|(23，0)|＝2 3. 答案：2 23用向量解决平面几何问题的3个步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [提醒] 关注2个常用结论的应用(1)△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的重心．一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为( )A ．－54B ．54C ．54iD ．－54i解析：选B.因为2＋3i 1＋i ＝（2＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝52＋12i ，所以其实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )不平行，且满足(a ＋2b )⊥(a －b )，则x ＝( )A ．－12B ．12C ．1或－12D ．1或12解析：选A.因为(a ＋2b )⊥(a －b )，所以(a ＋2b )·(a －b )＝0，所以|a |2＋a ·b －2|b |2＝0，因为向量a ＝(2，1)，b ＝(2，x )，所以5＋4＋x －2(4＋x 2)＝0，解得x ＝1或x ＝－12，因为向量a ，b 不平行，所以x ≠1，所以x ＝－12，故选A.3．(2019·广州市综合检测(一))a ，b 为平面向量，已知a ＝(2，4)，a －2b ＝(0，8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B.设b ＝(x ，y )，则有a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y )＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＝04－2y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，故b ＝(1，－2)，|b |＝5，|a |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b |＝2－85×25＝－35，故选B.4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，则ED →＝( )A ．56AB →－43AC →B ．43AB →－56AC →C ．56AB →＋43AC →D ．43AB →＋56AC →解析：选A.因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －2b )＝0，则|a ＋b |＝( )A ． 6B ． 5C ．2D ． 3解析：选A.由题意知，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝1－2a ·b ＝0，所以2a ·b ＝1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.故选A.6．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋3i 2，则复数z在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝2，则a 在a －b 方向上的投影为( ) A ．1 B ． 3 C ．6－22D ．6＋22解析：选B.由向量的数量积公式可得a ·(a －b )＝|a ||a －b |cos 〈a ，a －b 〉，所以a 在a －b 方向上的投影|a |·cos 〈a ，a －b 〉＝a ·（a －b ）|a －b |＝|a |2－a ·b |a |2＋|b |2－2a ·b .又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a |·cos 〈a ，a －b 〉＝4－（－2）4＋4－2×（－2）＝3，故选B.8．在如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段BC 上的点，则AE →·DE →的最小值为( )A ．12B ．15C ．17D ．16解析：选B.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，4)，D (2，4)，设E (x ，0)(0≤x ≤2)，所以AE →·DE →＝(x ，－4)·(x －2，－4)＝x 2－2x ＋16＝(x －1)2＋15，于是当x ＝1，即E 为BC 的中点时，AE →·DE →取得最小值15，故选B.9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB →·(AC →＋AE →)＝( )A ．8B ．12C ．16D ．20解析：选D.法一：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝⎛⎭⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t >0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝⎛⎭⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎡⎦⎤（2，t ）＋⎝⎛⎭⎫3，12t ＝(4，0)·⎝⎛⎭⎫5，32t ＝20，故选D.10．(一题多解)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解析：选A.法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A. 11．(多选)下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1解析：选BC.对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，由题可知，A (－1，2)，B (1，－1)，C (3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y ，2x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，x ＋y ＝5，故D 错误．故选BC.12．(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( ) A ．23BA →＋16BC →B ．43BA →－16BC →C ．BA →＋13AE →D ．23BA →＋13AE →解析：选AC.如图所示，设BC 中点为E ，则BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13·12BC →＝23BA →＋16BC →.故选AC.13．(多选)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 的面积为2 3D ．△ABC 的面积为 3解析：选AC.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.二、填空题14．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________． 解析：因为z ＝－1＋i 2i ＝－1＋i 2，所以|z |＝22.答案：2215．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________，a ·(a ＋b )＝________．解析：由题意，设向量a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos θ＝3－23·cos θ＝0，解得cos θ＝32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π6.则a ·(a ＋b )＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝3＋23×32＝6. 答案：π6616．(2019·济南市学习质量评估)已知|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，c ＝12(a ＋b )，|d －c |＝2，则|d |的取值范围是________．解析：不妨令a ＝(2，0)，b ＝(0，2)，则c ＝(1，1)．设d ＝(x ，y )，则(x －1)2＋(y －1)2＝2，点(x ，y )在以点(1，1)为圆心、2为半径的圆上，|d |表示点(x ，y )到坐标原点的距离，故|d |的取值范围为[0，22]．答案：[0，22]17．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________．解析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6.答案：π6。

A 级π31． (2016 全·国卷甲 )若 cos － α＝ 5，则 sin 2α＝ ()471A. 25B ． 51 7C ．－ 5D ．－ 25分析：π3，由于 cos － α＝4 5ππ2π97因此 sin 2α＝ cos 2－ 2α＝ cos 2 4－ α＝ 2cos 4－α－ 1＝ 2×25－ 1＝－ 25.答案：Dπ2．已知△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对边长分别为a ，b ，c ，若 A ＝ 3， b ＝ 2acos B ， c＝1，则△ ABC 的面积等于 ( )3 3 A. 2B ． 4 3 3C. 6D ． 8分析：由正弦定理得sin B ＝2sin Acos B ，π π 故 tan B ＝ 2sin A ＝ 2sin 3＝3，又 B ∈ (0， π)，因此 B ＝3，π 是正三角形，又 A ＝ ＝ B ，则△ ABC31 bcsin A ＝ 1 × 1× 1× 3 ＝ 3因此 S △ ABC ＝2 24.2答案：Bππ3．已知 sin 6－ α＝ cos 6＋ α，则 cos 2α＝ ()A ． 1B ．－ 11C.2D ． 0分析：ππ1 cos α－ 3 3 11 －3由于 sin － α＝ cos ＋ α，因此 2 2sin α＝ 2 cos α－ sin α，即 2 2 6 6 21－ 3 sin α sin α＝－ ＝－ 1，因此 2 2 cos α，因此 tan α＝ cos α 2 2 α＝ cos 2α－ sin 2α cos 2α＝ cos α－ sin 2 2 ＝sin α＋ cos α21－ tan α答案：D4．设△ABC 的内角A， B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ ccos B＝ asin A，则△ABC的形状为()A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立分析：由于 bcos C＋ ccos B222222b ＋ a －c c ＋ a － b＝ b2＋ a2－ c2＋ c2＋ a2－ b22a2＝2a2a＝ a＝asin A，因此 sin A＝ 1.π由于 A∈ (0，π)，因此 A＝，即△ ABC 是直角三角形．2答案：B5．在△ ABC 中，三个内角A，B， C 所对的边分别为a， b，c，若 S△ABC＝ 23， a＋ b＝6，acos B＋bcos A＝2cos C，则 c＝ () cA ． 27B． 23C．4D． 33分析：由于 acos B＋ bcos A＝ sin Acos B＋sin Bcos A＝sin A＋ B ＝1，因此2cos C＝1，c sin C sin A＋ Bπ1absin C＝ 2222因此 C＝ .又 S△ABC＝ 23，则3，因此 ab＝ 8.由于 a＋ b＝ 6，因此 c ＝ a ＋ b －322abcos C＝ (a＋b) 2－2ab－ ab＝( a＋ b)2－3ab＝ 62－ 3× 8＝ 12，因此 c＝ 2 3.答案：B6．(2017 ·国卷Ⅱ全 )△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 2bcos B＝acos C ＋c cos A，则 B＝ ________.分析：法一：由 2bcos B＝ acos C＋ ccos A 及正弦定理，得 2sin Bcos B＝ sin Acos C＋ sin Ccos A.∴2sin Bcos B＝ sin(A＋ C)．又 A＋ B＋ C＝π，∴ A＋ C＝π－ B.∴2sin Bcos B＝ sin( π－B)＝ sin B ．1π又 sin B≠ 0，∴ cos B＝2.∴ B＝3.法二：∵在△ ABC 中， acos C＋ ccos A＝b，1∴条件等式变成2bcos B＝b，∴ cos B＝ .π又 0＜B＜π，∴ B＝3.答案：π37．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A， B 两点处进行丈量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北20°的方向上，仰角为 60°；在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40°的方向上，仰角为 30°.若 A， B 两点相距 130 m，则塔的高度 CD＝ ________m.分析：剖析题意可知，设 CD＝ h，则 AD＝h， BD ＝ 3h，在△ ADB 中，∠ ADB ＝3180 °－ 20°－ 40°＝ 120 °，∴由余弦定理得AB2＝BD2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得 1302＝2＋h 2h·－1，解得 h＝ 1039，故塔的高度为 10 39m.3h－ 2· 3h·2 33答案：10 398．在△ ABC 中，三内角 A，B，C 对应的三边分别为→ →→ →a，b，c，若 ( 2a－ c) ·BA·BC＋ c·CB·AC＝0，则 cos B 的值为 ________．分析：已知可化为(2a－c) ·cacos B＋ c·abcos(π－ C) ＝ 0，即 (2a－c)cos B－ bcos C＝ 0，2acos B＝ ccos B＋bcos C，由正弦定理得，2sin Acos B＝ sin Ccos B＋ sin Bcos C，即2sin2Acos B＝ sin(B＋ C)＝ sin A，∵ sin A≠0，∴ cos B＝2 .答案：22729．已知α，β∈ (0，π)，且 tan α＝ 2， cos β＝－10 .(1)求 cos 2α的值；(2)求 2α－β的值．sin α分析：(1) 由于 tan α＝ 2，因此＝2，即sinα＝2cosα.cos α又 sin2α＋ cos2α＝ 1，解得 sin2α＝4， cos2α＝1.55223因此 cos 2α＝cosα－ sinα＝－ .5π(2)由于 α∈ (0， π)，且 tan α＝ 2，因此 α∈ 0，2 .又 cos 2α＝－ 3<0，故 2α∈ πα＝ 4.， π， sin 2525由 cos β＝－ 7 2， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 2π.10 10 ， β∈ ，π2因此 sin(2α－ β)＝ sin 2αcos β－ cos 2αsin β＝ 47 2－3 2 25 × － 10 － 5 × 10＝－ 2 .又 2α－ β∈ π π ，因此 π－ ， 2 2α－ β＝－ .2 410． (2017 全·国卷Ⅰ )△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c.已知△ ABC 的面积2a为3sin A.(1)求 sin Bsin C ；(2)若 6cos Bcos C ＝ 1， a ＝ 3，求△ ABC 的周长．分析： (1) 由题设得 1acsin B ＝2a ，23sin A1 a即 csin B ＝ .2 3sin A由正弦定理得1sin A2sin Csin B ＝3sin A.2故 sin Bsin C ＝ .3(2)由题设及 (1)得 cos Bcos C － sin Bsin C ＝－ 1，2即 cos(B ＋C)＝－ 1.因此 B ＋C ＝ 2π π，故 A ＝ .2 3 3 由题设得1a2， a ＝ 3，因此 bc ＝ 8.2bcsin A ＝ 3sin A由余弦定理得 b 2＋ c 2－ bc ＝ 9，即 (b ＋ c)2－ 3bc ＝9.由 bc ＝ 8，得 b ＋ c ＝ 33.故△ ABC 的周长为 3＋ 33.B 级1．已知△ ABC 中，三内角 A ， B ， C 对应的三边分别为a ，b ，c ，若 a ＝ 2， sin C ＝ 2sinB 且 sin Acos B ＋3sin Asin B ＝ sin C ＋ sin B ，则 c 的值为 ()3 2 3 A. 3 B ． 3 C. 3D ． 43 3分析： sinAcos B ＋ 3sin Asin B ＝sin C ＋ sin B 可化为 sin Acos B ＋ 3sin Asin B ＝ sinπ 1 π Acos B ＋ cos Asin B ＋ sin B ，即 sin A － ＝，∴ A ＝ ，又 sin Acos B ＋ cos Asin B ＝ 2sin B ，62 33ππ a 4 3则 tan B ＝ 3， B ＝6，则 C ＝ 2， c ＝sin A ＝3 ，应选 D.答案：Da 22．(2017 咸·阳模拟 )已知△ ABC 的三个内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin 2A ＋2 → →b 2 ＝ 2c 2， sin A(1－ cos C)＝ sin Bsin C ， b ＝6， AB 边上的点 ，过点M 的 M 知足 AM ＝ 2MB sin B直线与射线 CA ， CB 分别交于 P ，Q 两点，则 MP 2＋ MQ 2 的最小值是 ()A ．36B ． 37C ．38D ． 39分析：由正弦定理，知a 2b 22 ，即 2＝ 2sin 2 π 2 ＋2＝ 2c C ，∴ sin C ＝ 1，C ＝ ，sin A sin B2π∴ sin A(1－ cos C)＝ sin Bsin C ，即 sin A ＝sin B ，∴A ＝ B ＝ 4.以 C 为坐标原点成立如图所示的平面直角坐标系， 则 M(2,4)，设∠ MPC ＝ θ，θ∈ 0， π，则 MP 2＋MQ 2＝162 ＋ 42＝2 sin θ cos θ 2 2164216(sin θ＋ cos θ) 2 ＋2θ ＝ 20＋ 4tan θ＋2 ≥ 36，当且仅当tan θ＝ 2时等号成立，即sin θ costan θMP 2＋MQ 2的最小值为 36.答案： A3．已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量 m ＝ (2sin A ，2A－ 3)， n ＝ cos 2A ， 2cos 2 － 1 ，且 m ∥ n .(1)求 A 的大小；(2)假如 a ＝ 2，求△ ABC 面积的最大值．分析：(1) 由m ∥ n ，可得2A2sin A ·2cos 2－ 1＋ 3cos 2A ＝ 0，即 2sin A ·cos A ＋3cos 2A＝0，因此 sin 2A ＝－3cos 2A ，即 tan 2A ＝－ 3.由于 A 为锐角，故 0°<2A<180°，因此 2A ＝ 120°，A ＝ 60°.(2)假如 a ＝ 2，在△ ABC 中，由余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，可得 4＝ b 2＋ c 2－bc ≥ 2bc －bc ＝ bc ，即 bc ≤ 4，11×4×3＝3，因此 S＝ bcsin A≤222故△ ABC 面积的最大值为 3.4．如图，在一条海防戒备线上的点A、 B、 C 处各有一个水声检测点，B、C 两点到 A 的距离分别为 20 千米和50 千米，某时辰 B 收到发自静止目标P 的一个声波信号， 8 秒后 A、B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的流传速度是 1.5千米 /秒．(1)设 A 到 P 的距离为x 千米，用 x 表示 B、 C 到 P 的距离，并求出 x 的值；(2)求 P 到海防戒备线AC 的距离．分析： (1) 依题意，有 PA＝ PC＝ x， PB＝ x－ 1.5× 8＝ x－ 12.在△ PAB 中， AB＝ 20，cos ∠ PAB＝PA2＋ AB2－ PB 2 x2＋ 202－ x－ 1223x＋ 32，＝2x·20＝5x 2PA·AB同理，在△ PAC 中， AC＝ 50， cos ∠ PAC＝PA2＋ AC2－ PC2x2＋ 502－ x225 2PA·AC＝2x·50＝x .∵cos ∠ PAB＝ cos ∠ PAC，∴3x＋32＝25，5xx解得 x＝31.(2)作 PD ⊥ AC 于点 D ，在△ ADP 中，由 cos ∠PAD＝25，31得 sin∠ PAD＝ 1－cos2∠PAD ＝4 21，31∴PD＝ PAsin∠ PAD＝31×43121＝4 21.故静止目标P 到海防戒备线AC 的距离为 4 21千米．。

知识决定格局，格局影响命运专题能力训练3平面向量与复数专题能力训练第13页一、能力突破训练1.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.√2D.2答案:D解析:由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|答案:C解析:设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,当满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cosθ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.若复数z满足(1+i)z=|3+4i|,则z的虚部为()A.5B.52C.-52D.-5答案:C解析:由(1+i)z=|3+4i|=2+425,得z=51+i =5(1-i)(1+i)(1-i)=52−52i,其虚部为-52.4.在复平面内,若复数z的对应点与5i1+2i的对应点关于虚轴对称,则z=() A.2-i B.-2-iC.2+iD.-2+i答案:D解析:5i1+2i =5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.2 答案:C解析:∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.已知i为虚数单位,。

层级一 第二练 复数、平面向量限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．(2020·昆明模拟)已知复数z ＝2－1＋i 则( )A ．z 的模为2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：C [根据题意可知,2－1＋i＝2－1－i2＝－1－i,所以z 的虚部为－1,实部为－1,模为2,z 的共轭复数为－1＋i,故选C.]2．已知i 为虚数单位,a ∈R ,若2－ia ＋i 为纯虚数,则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A. 2B.11C. 3D. 6解析：C [由题意可设2－ia ＋i＝t i,t ≠0,∴2－i ＝－t ＋ta i,∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i,∴|z |＝3,故选C.]3．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB →＝(2,3),AC →＝(3,t ),|BC →|＝1,则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：C [∵BC →＝AC →－AB →＝(3,t )－(2,3)＝(1,t －3), ∴|BC →|＝ 12＋t －32＝1,∴t ＝3,∴BC →＝(1,0),∴AB →·BC →＝(2,3)·(1,0)＝2.]4．(2019·北京卷)设点A ,B ,C 不共线,则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：C [本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想．∵A 、B 、C 三点不共线,∴|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2＞|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →＞0⇔AB →与AC → 的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件,故选C.]5．(2020·南昌模拟)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e π3i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：A [根据欧拉公式得eπ3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i,它在复平面中对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32,位于复平面中的第一象限．] 6．(2019·吉林三模)已知z 是纯虚数,z ＋21－i是实数,那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i解析：D [设z ＝a i(a ≠0,a ∈R ),则z ＋21－i ＝a i ＋21－i＝2＋a i 1＋i1－i 1＋i ＝2－a ＋2＋a i2,因为z ＋21－i是实数,所以2＋a ＝0⇒a ＝－2,故z ＝－2i.]7．(2020·兰州诊断考试)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM ＝1,点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →,则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49解析：A [如图,∵AP →＝2PM →,∴AP →＝PB →＋PC →, ∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2,∵AM ＝1且AP →＝2PM →,∴|PA →|＝23,∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49.]8．(多选题)下列命题正确的是( ) A ．若复数z 1,z 2的模相等,则z 1,z 2的共轭复数B ．z 1,z 2都是复数,若z 1＋z 2是虚数,则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z －(z －是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i,z 2＝1－i,z 3＝3－2i(i 是虚数单位),它们对应的点分别为A ,B ,C ,O 为坐标原点,若OC →＝xOA →＋yOB →(x ,y ∈R ),则x ＋y ＝1解析：BC [本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算．对于A,z 1和z 2可能是相等的复数,故A 错误；对于B,若z 1和z 2是共轭复数,则相加为实数,不会为虚数,故B 正确；对于C,由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0,故C 正确；对于D,由题可知,A (－1,2),B (1,－1),C (3,－2),建立等式(3,－2)＝(－x ＋y,2x －y ),即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故D 错误．故选BC.]9．(2019·张家界三模)边长为2的等边△ABC 所在平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →,则MA →·MB →＝( )A ．－89B.49C.69D.89解析：A [CA →·CB →＝2×2×cos π3＝2,MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA→－13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝13CA →·CB →－14CA 2→－29CB 2→＋16CA →·CB →＝23－14×22－29×22＋26＝－89.] 10.在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 的中点,DE 交AF 于H ,记AB →,BC →分别为a ,b ,则AH →＝( )A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b解析：B [如图,过点F 作BC 的平行线交DE 于G , 则G 是DE 的中点,且GF →＝12EC →＝14BC →,∴GF →＝14AD →,易知△AHD ∽△FHG ,从而HF →＝14AH →,∴AH →＝45AF →,AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ,∴AH →＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ,故选B.]11．(2018·浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0,则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－ 3解析：A [设e ＝(1,0),b ＝(x ,y ),则b 2－4e ·b ＋3＝0⇒x 2＋y 2－4x ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1如图所示,a ＝OA →,b ＝OB →,(其中A 为射线OA 上动点,B 为圆C 上动点,∠AOx ＝π3.)∴|a －b |min ＝|CD |－1＝3－1.(其中CD ⊥OA .)]12．(2020·贵阳模拟)在等腰直角△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝BC ＝2,M ,N 为AC 边上的两个动点(M ,N 不与A ,C 重合),且满足|MN →|＝2,则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：C [不妨设点M 靠近点A ,点N 靠近点C ,以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则B (0,0),A (0,2),C (2,0),线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a,2－a ),N (a ＋1,1－a )(由题意可知0＜a ＜1),∴BM →＝(a,2－a ),BN →＝(a ＋1,1－a ),∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32,∵0＜a ＜1,∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.] 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．(2020·潍坊模拟)复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i,若z 1＋z 2是实数,则实数a 的值为________．解析：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数,∴a 2＋2a －15＝0,解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0,∴a ≠－5,故a ＝3. 答案：314．(2019·全国Ⅲ卷)已知a ,b 为单位向量,且a ·b ＝0,若c ＝2a －5b ,则cos 〈a ,c 〉＝____________.解析：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．因为c ＝2a －5b ,a ·b ＝0, 所以a ·c ＝2a 2－5a ·b ＝2,|c |2＝4|a |2－45a ·b ＋5|b |2＝9,所以|c |＝3, 所以cos 〈a ,c 〉＝a ·c |a |·|c |.＝21×3＝23.答案：2315．(双空填空题)设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019,其中i 为虚数单位,则z －的虚部是________,|z |＝________.解析：本题考查复数代数形式的乘除运算、乘方运算及复数的基本概念． ∵1－i 1＋i ＝1－i21＋i 1－i ＝－i, 2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i1＋2i＝i,∴z ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019＝(－i)2 018＋i 2 019＝i 2＋i 3＝－1－i,∴z －＝－1＋i,则z －的虚部为1,|z |＝ 2. 答案：1216．(2019·天津卷)在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝23,AD ＝5,∠A ＝30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE ＝BE ,则BD →·AE →＝____________.解析：如图,过点B 作AE 的平行线交AD 于F , 因为AE ＝BE ,故四边形AEBF 为菱形．因为∠BAD ＝30°,AB ＝23,所以AF ＝2,即AF →＝25AD →.因为AE →＝FB →＝AB →－AF →＝AB →－25AD →,所以BD →·AE →＝(AD →－AB →)⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－25AD →＝75AB →·AD →－AB →2－25AD →2＝75×23×5×32－12－10＝－1.答案：－1。

专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3.(2018全国Ⅲ,理2)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.(2018某某,4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(2018全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为.12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.13.已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.二、思维提升训练15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,+λ,则实数λ=()A.-B.-C.D.16.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.20.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.专题能力训练3平面向量与复数一、能力突破训练1.B解析p1:设z=a+b i(a,b∈R),则R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.D解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.4.D解析=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C解析∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.B解析=1+i,∴复数的共轭复数为1-i.7.D解析如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(t m+n),所以n·(t m+n)=n·t m+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C解析由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=11解析=2,)=又=,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4,=3×2=3,()=-4,即=-4,4-9+3=-4,即-5=-4,解得λ=12.-1解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.52解析由题意可得a2-b2+2ab i=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.14解析由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=二、思维提升训练15.D解析如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则因为+,所以=由△ADE∽△ABC,得,所以,故λ=16.A解析以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B,C(0,t),=(1,0),=(0,1),=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,的最大值为13.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x 的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=令y=,则y2=10+2[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是219.1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0,=0.又因为=0,所以①同理由①+②得,2+()+()=,所以).所以λ=,μ=所以λ+μ=1.20.-2解析i为实数,∴-=0,即a=-2.。

限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。

专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.(天津河西区高三质量调查)若复数z满足(z-3)·(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=()A. B.C. D.a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=+.因为a和长度相等,方向相同,所以a=,故选C.3.设a,b是两个非零向量,下列结论正确的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i2+i所对应的点为(2,1),关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.22a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p41-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2,设=a,=b.则·=(+)·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+a2=a2.8.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-.9.(山东,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.3∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.10在△ABC中,若·=·=4,则边AB的长度为.=4,·=4,得·+·=8,于是·(+)=8,即·=8,故||2=8,得||=2.11.已知a=(cos θ,sin θ),b=(,-1),f(θ)=a·b,则f(θ)的最大值为.(θ)=a·b=cos θ-sin θ=2=2cos,故当θ=2kπ-(k∈Z)时,f(θ)max=2.22解析：由题意可作右图,∵OA=1,AP=,又PA=PB,∴PB=.∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.∴·=||||·cos 60°=××=.13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上取一点P,使·有最小值,则点P的坐标是.P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),·(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.=+=+=+(+)=-+,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.二、思维提升训练15.若z=4+3i,则=()A.1B.-1C.+iD.-iz=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|==5,共轭复数为=4-3i.故=-i,选D.16.(浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=·>0,I1=·<0,I3=·<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.17.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+·=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.6为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+·=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.(天津,文9)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.2-i为实数,∴-=0,即a=-2.19.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= .(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.又1,且a与b的夹角为60°,b·c=0,∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0=t+1-t.∴t=2.20.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以+=0,+=0.又因为+++=0,所以=++.①同理=++.②由①+②得,2=++(+)+(+)=+,所以=(+).所以λ=,μ=.所以λ+μ=1.21.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=b i,则a+b i= .+2i(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=b i,a,b∈R,所以解得故a+b i=1+2i.。

第3讲 复数与平面向量复 数 [考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i详细分析：选D.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.2．(2020·山东高考模拟)已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i 的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1详细分析：选D.根据题意1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，所以a ＋b i ＝i.所以a ＝0，b ＝1，所以a ＋b ＝1，故选D.3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1D ． 2详细分析：选C.法一：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1，故选C.法二：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i ＋2i （1＋i ）1＋i ＝－1＋i1＋i ，所以|z |＝|－1＋i 1＋i |＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1.故选C.4．(2019·漳州模拟)已知i 是虚数单位，且z ＝2＋4i（1＋i ）2，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限详细分析：选A.z＝2＋4i（1＋i）2＝2＋4i2i＝1＋2ii＝－i（1＋2i）－i2＝2－i，则z＝2＋i，所以z对应的点在第一象限．故选A.5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1详细分析：选C.由已知条件，可得z＝x＋y i(x，y∈R)，因为|z－i|＝1，所以|x＋y i－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．详细分析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是0，故a＝2.答案：2复数代数形式的2种运算方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．[提醒](1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化．(2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i等要熟记．(3)利用复数相等a＋b i＝c＋d i列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．平面向量的线性运算[考法全练]1．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD →＝13BC →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．23a ＋13bB ．13a ＋23bC ．13a －23bD ．23a －13b详细分析：选A.通解：如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →＝23AB →＋13AC →＝23a＋13b ，故选A. 优解一：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A.优解二：由BD →＝13BC →，得AD →－AB →＝13(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A. 2．(一题多解)(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC 中，AN →＝23NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝tAB →＋13AC →，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．34详细分析：选C.通解：因为AN →＝23NC →，所以AN →＝25AC →.设NP →＝λNB →，则AP →＝AN →＋NP →＝25AC→＋λNB →＝25AC →＋λ(NA →＋AB →)＝25AC →＋λ⎝⎛⎭⎫－25AC →＋AB →＝λAB →＋25(1－λ)AC →，又AP →＝tAB →＋13AC →，所以tAB →＋13AC →＝λAB →＋25(1－λ)AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝λ25（1－λ）＝13，解得t ＝λ＝16，故选C.优解：因为AN →＝23NC →，所以AC →＝52AN →，所以AP →＝tAB →＋13AC →＝tAB →＋56AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以t ＋56＝1，所以t ＝16，故选C.3．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0， |AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3详细分析：选B.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点为D ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝23，故选B.4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，－1)，若a ∥(a ＋b )，则实数m 的值为________． 详细分析：a ＋b ＝(1＋m ，1)，因为a ∥(a ＋b )，所以2(1＋m )＝1，解得m ＝－12.答案：－125．(2019·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF 交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________．详细分析：由题图可设CG →＝xCE →(x >0)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x (CB →＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.答案：12平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[提醒] 向量线性运算问题的2个关注点(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)注意结论的使用：O 为直线AB 外一点，若点P 在直线AB 上，则有OP →＝αOA →＋βOB →(α＋β＝1)；若点P 满足AP →＝n m PB →，则有OP →＝m m ＋n OA →＋n m ＋nOB →.平面向量的数量积[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3详细分析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，所以12＋（t －3）2＝1，所以t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6详细分析：选B.由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2. 因为|a |＝2|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为π3.故选B.3．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( )A ．13B ．23C ．1D ．2详细分析：选C.法一：因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，所以AD →＝23AC →＋13AB →，则AB →·AD →＝AB →·⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →＝23AB →·AC →＋13AB →2＝23×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝1，故选C. 法二：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，因为BD →＝2DC →，所以BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝⎛⎭⎫－83，233，则D ⎝⎛⎭⎫13，233，所以AB →＝(3，0)，AD →＝⎝⎛⎭⎫13，233，则AB →·AD →＝3×13＋0＝1，故选C.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________．详细分析：由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·（2a －5b ）|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b |a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.答案：235．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．详细分析：已知|a |＝1，|b |＝2，则(|a ＋b |＋|a －b |)2＝2(a 2＋b 2)＋2|a ＋b ||a －b |＝10＋2a 2＋b 2＋2a ·b ·a 2＋b 2－2a ·b ＝10＋225－4（a·b ）2.由|a |＝1，|b |＝2，得－2≤a·b ≤2，则(a·b )2∈[0，4]，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2∈[16，20]，所以|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25]，所以|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案：4 2 56．已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________．详细分析：由平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π3，所以|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋9＋2×1×1×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＋2×1×3×cos2π3＝4，所以|a ＋b ＋c |＝2. 答案：2平面向量数量积问题的难点突破(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础． (2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标运算．平面向量在几何中的应用[考法全练]1．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－1详细分析：选A.通解：因为BC ＝2，AC ＝4，∠C ＝90°，所以AC 的中线BD ＝22，且∠CBD ＝45°.因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以设BP →＝λBD →(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP →·BP →＝(CB →＋BP →)·BP →＝(CB →＋λBD →)·λBD →＝λCB →·BD →＋λ2·BD →2＝λ|CB →|·|BD →|cos 135°＋λ2×(22)2＝8λ2－4λ＝8⎝⎛⎭⎫λ－142－12，当λ＝14时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.优解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2，因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )，(0≤t ≤2)，所以CP →＝(t ，2－t )，BP →＝(t ，－t )，所以CP →·BP →＝t 2－t (2－t )＝2t 2－2t ＝2⎝⎛⎭⎫t －122－12，当t ＝12时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.2．(一题多解)(2019·长春市质量监测(二))如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( )A ．3B ．5C ．32D ．52详细分析：选D.法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，E (2，1)．设|DF →|＝x ，则F (x ，2)，故AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)．因为AF →·AE →＝|AE →|2，所以(x ，2)·(2，1)＝2x ＋2＝5，解得x ＝32，所以|AF →|＝⎝⎛⎭⎫322＋22＝52，故选D. 法二：连接EF ，因为AF →·AE →＝|AF →||AE →|cos ∠EAF ＝|AE →|2，所以|AF →|cos ∠EAF ＝|AE →|，所以EF ⊥AE .因为E 是BC 的中点，所以BE ＝CE ＝1.设DF ＝x ，则CF ＝2－x .在Rt △AEF 中，AE 2＋EF 2＝AF 2，即22＋12＋(2－x )2＋12＝22＋x 2，解得x ＝32，所以AF ＝AD 2＋DF 2＝52.故选D.3．(2019·江苏南通基地学校联考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (3，1)在以原点O 为圆心的圆上．已知圆O 与y 轴正半轴的交点为P ，延长AP 至点B ，使得∠AOB ＝90°，则BP →·OA →＝________，|BP →＋OA →|＝________．详细分析：由题可得圆O 的半径r ＝3＋1＝2，所以P (0，2)，则AP 所在直线方程为y－2＝2－10－3(x －0)，即y ＝－33x ＋2.设B ⎝⎛⎭⎫x ，－33x ＋2，则OA →＝(3，1)，OB →＝⎝⎛⎭⎫x ，－33x ＋2.由∠AOB ＝90°可得OA →·OB →＝0，所以3x －33x ＋2＝233x ＋2＝0，解得x ＝－3，所以B (－3，3)，所以BP →＝(3，－1)， 所以BP →·OA →＝3×3＋1×(－1)＝2， |BP →＋OA →|＝|(23，0)|＝2 3. 答案：2 23用向量解决平面几何问题的3个步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [提醒] 关注2个常用结论的应用(1)△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的重心．一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i 的实部与虚部之积为( )A ．－54B.54C.54i D ．－54i详细分析：选B.因为2＋3i 1＋i ＝（2＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝52＋12i ，所以其实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.2．(2019·广州市综合检测(一))a ，b 为平面向量，已知a ＝(2，4)，a －2b ＝(0，8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45详细分析：选B.设b ＝(x ，y )，则有a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y )＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＝04－2y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，故b ＝(1，－2)，|b |＝5，|a |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b |＝2－85×25＝－35，故选B.3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，则ED →＝( )A.56AB →－43AC →B.43AB →－56AC →C.56AB →＋43AC → D.43AB →＋56AC → 详细分析：选A.因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.4．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －2b )＝0，则|a ＋b |＝( )A. 6B. 5 C ．2D. 3详细分析：选A.由题意知，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝1－2a ·b ＝0，所以2a ·b ＝1，所以|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.故选A.5．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限详细分析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋3i 2，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.6．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝2，则a 在a －b 方向上的投影为( ) A ．1 B. 3 C.6－22D.6＋22详细分析：选B.由向量的数量积公式可得a ·(a －b )＝|a ||a －b |cos 〈a ，a －b 〉，所以a 在a －b 方向上的投影|a |·cos 〈a ，a －b 〉＝a ·（a －b ）|a －b |＝|a |2－a ·b |a |2＋|b |2－2a ·b .又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a |·cos 〈a ，a －b 〉＝4－（－2）4＋4－2×（－2）＝3，故选B.7．在如图所示的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段BC 上的点，则AE →·DE →的最小值为( )A ．12B ．15C ．17D ．16详细分析：选B.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，4)，D (2，4)，设E (x ，0)(0≤x ≤2)，所以AE →·DE →＝(x ，－4)·(x －2，－4)＝x 2－2x ＋16＝(x －1)2＋15，于是当x ＝1，即E 为BC 的中点时，AE →·DE →取得最小值15，故选B.8．(一题多解)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－ 3详细分析：选A.法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0. 设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a－2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.9．(多选)下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z － (z －是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1详细分析：选BC.对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，由题可知，A (－1，2)，B (1，－1)，C (3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y ，2x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，x ＋y ＝5，故D 错误．故选BC.10．(多选)已知向量a ＝(2，7)，b ＝(x ，－3)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的值可以为( )A.212 B ．－67 C.67D ．1 详细分析：选CD.a 与b 的夹角为钝角必须满足a ·b ＝2x －21<0且a 与b 不共线，把各选项逐项代入验证知，C ，D 符合要求．11．(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( ) A.23BA →＋16BC → B.43BA →－16BC → C.BA →＋13AE →D.23BA →＋13AE → 详细分析：选AC.如图所示，设BC 中点为E ，则BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13·12BC →＝23BA →＋16BC →.故选AC.12．(多选)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 的面积为2 3D ．△ABC 的面积为 3详细分析：选AC.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.二、填空题13．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 详细分析：因为z ＝－1＋i 2i ＝－1＋i 2，所以|z |＝22.答案：2214．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________，a ·(a ＋b )＝________．详细分析：由题意，设向量a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，所以(a－b )·a ＝|a |2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos θ＝3－23·cos θ＝0，解得cos θ＝32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π6.则a ·(a ＋b )＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝3＋23×32＝6.答案：π6615．(2019·济南市学习质量评估)已知|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，c ＝12(a ＋b )，|d －c |＝2，则|d |的取值范围是________．详细分析：不妨令a ＝(2，0)，b ＝(0，2)，则c ＝(1，1)．设d ＝(x ，y )，则(x －1)2＋(y －1)2＝2，点(x ，y )在以点(1，1)为圆心、2为半径的圆上，|d |表示点(x ，y )到坐标原点的距离，故|d |的取值范围为[0，22]．答案：[0，22]16．在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________．详细分析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6.答案：π6。

能力升级练(二) 平面向量与复数一、选择题1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i 2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)+i)2=i ·2i =-2,不是纯虚数,排除A;i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;(1+i)2=2i,2i 是纯虚数.故选C .2.设z=11+i +i(i 为虚数单位),则|z|=( ) A.12 B.√22 C.√32 D.2z=11+i +i =1-i (1+i )(1-i )+i =1-i 2+i =12+12i,所以|z|=√(12)2+(12)2=√22.3.设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反B.a 与λ2a 的方向相同C.|-λa |≥|a |D.|-λa |≥|λ|·aA,当λ>0时,a 与λa 的方向相同,当λ<0时,a 与λa 的方向相反,B 正确;对于C,|-λa |=|-λ||a |,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa |与|a |的大小关系不确定;对于D,|λ|a 是向量,而|-λa |表示长度,两者不能比较大小.4.(2019北京通州二模)已知非零向量a ,b 的夹角为60°,且|b |=1,|2a -b |=1,则|a |=( )A.12 B.1C.√2D.2a ·b =|a |×1×12=|a |2,又|2a -b |=1, ∴|2a -b |2=4a 2-4a ·b +b 2=4|a |2-2|a |+1=1,即4|a |2-2|a |=0,又|a |≠0,解得|a |=12.5.(2019河北石家庄二模)若两个非零向量a ,b 满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b 与a 的夹角为( )A.π3B.2π3C.5π6D.π6|b |=1,则|a+b|=|a-b |=2.由|a+b|=|a-b|,得a ·b=0,故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形,且|a |=√3,设向量a+b 与a 的夹角为θ,则cos θ=a ·(a+b )|a |·|a+b |=a 2+a ·b|a |·|a+b |=|a ||a+b |=√32,又0≤θ≤π,所以θ=π6.6.已知向量a =(2,1),b =(3,4),c =(1,m ),若实数λ满足a +b =λc ,则λ+m 等于( )A.5B.6C.7D.8(5,5)=(λ,λm ),即{λ=5,λm =5,故{λ=5,m =1,∴λ+m=6.7.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12·2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .8.(2019河北豫水中学质检)已知在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D 是△ABC 内一点,且∠DAB=60°,设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λμ=( ) A.2√3 B.√3 C.3 D.2√3,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则B 点的坐标为(1,0),C 点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D 点的坐标为(m ,√3m )(m ≠0).AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,√3m )=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m ,且μ=√32m , 所以λμ=2√33.9.(2019福建普通高中质量检查)若复数z 满足(1+i)z=|√3+i |,则在复平面内,z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,得z=√(√3)2+121+i =2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i,所以z =1+i,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A .二、填空题10.设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= .向量a ,b 不平行,∴a +2b ≠0,又向量λa +b 与a +2b 平行,则存在唯一的实数μ,使λa +b =μ(a +2b )成立,即λa +b =μa +2μb ,则得{λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12.11.(2019陕西西安八校联考)若a+bi i (a ,b ∈R )与(2-i)2互为共轭复数,则a-b= . ∵a+bi=(a+bi )(-i )-i 2=b-a i,(2-i)2=4-4i -1=3-4i,a+bi (a ,b ∈R )与(2-i)2互为共轭复数,∴b=3,a=-4,则a-b=-7,故答案为-7.712.已知A (1,1),B (3,-1),C (a ,b ),若A ,B ,C 三点共线,则a ,b 的关系式为 .AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,b-1), ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.213.(2019广东佛山二模)在Rt △ABC 中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D 为BC 的中点,E 在斜边AC 上,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = .,以B 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则B (0,0),A (1,0),C (0,2),所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2). 因为D 为BC 的中点,所以D (0,1),因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以E (13,43), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13),所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13)·(-1,2)=-13+23=13.三、解答题14.计算(1+i 1-i )6√2+√3i3-2i .=[(1+i )22]6+(√2+√3i )(√3+√2i )(3)2+(√2)2=i 6+√6+2i+3i -√6=-1+i .15.(2019山东潍坊摸底)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(cos(A-B ),sin(A-B )),n =(cos B ,-sin B ),且m ·n =-35.(1)求sin A 的值;(2)若a=4√2,b=5,求角B 的大小及向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.由m ·n =-35,得cos(A-B )cos B-sin(A-B )sin B=-35,所以cos A=-35.因为0<A<π,所以sin A=√1-cos 2A =√1-(-35)2=45.(2)由正弦定理,得a sinA =b sinB, 则sin B=bsinA =5×454√2=√2,因为a>b ,所以A>B ,且B 是△ABC 一内角,则B=π.由余弦定理得(4√2)2=52+c 2-2×5c ×(-35),解得c=1,c=-7(舍去),故向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为 |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=c cos B=1×√22=√22.。