13柱坐标系与球坐标系北师大选修44精品PPT课件

§3 柱坐标系和球坐标系课后篇巩固探究A组1.在空间球坐标系中,方程r=2表示( )A.圆B.半圆C.球面D.半球面,r=2表示半球面,故选D.2.设点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是( )A. B.C. D.M的柱坐标是(r,θ,z),则r==2,θ=,z=3,故点M的柱坐标是,故选C.3.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为( )A. B.C. D.M的球坐标为(r,φ,θ).由坐标变换公式,得r==2,cos φ=,得φ=.∵tan θ==1,∴θ=.∴点M的球坐标为,故选B.4.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为( )A.2B.C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z).∵(r,φ,θ)=,∴∴M(-2,2,2).∴点M到Oz轴的距离为=2.故选A.5.若点M的球坐标为,则点M的直角坐标为.M的直角坐标为(x,y,z),则故点M的直角坐标为.6.导学号73144016在柱坐标系中,已知点M的柱坐标为,则|OM|= .M的直角坐标为(x,y,z).由(r,θ,z)=知x=rcos θ=2cos=-1,y=2sin.因此|OM|===3.7.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,求这两个点的直角坐标.P的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设点B的直角坐标为(x',y',z'),则x'=sin cos,y'=sin sin,z'=cos.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.8.在柱坐标系中,求满足的动点M(r,θ,z)围成的几何体的体积.,满足r=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(r,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示.圆柱的底面半径r=1,h=2.所以V=Sh=πr2h=2π.9.已知在球坐标系中,M,N,求|MN|.方法一)∵由题意知,|OM|=|ON|=6,∠MON=,∴△MON为等边三角形.∴|MN|=6.(方法二)设点M的直角坐标为(x,y,z),则故点M的直角坐标为,同理得点N的直角坐标为,。

柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1－4－1如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点．它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z ∈R .2．球坐标系图1－4－2建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．3．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.4．空间直角坐标与球坐标的关系空间点P (x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ .1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】 ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面．3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置．(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.。

1.3 柱坐标系和球坐标系1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)教材整理1 柱坐标系和球坐标系 1.柱坐标系如图1­3­1，建立空间直角坐标系O ­xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.图1­3­1特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.2.球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图1­3­2).这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图1­3­2特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.( )(2)在柱坐标系M (r ，θ，z )中，θ表示OM 与y 轴所成的角.( ) (3)球坐标中，r 表示OM 的长度.( )【解析】 (1)√ 柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同. (2)× θ表示OM 与x 轴所成的角. (3)√ 球坐标中r 表示OM 的长度. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则填空：(1)柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是________.(2)球坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是________. 【解析】 (1)x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是(1，3，1).(2)x ＝4×sin π4×cos π6＝6，y ＝4×sin π4×sin π6＝2， z ＝4cos π4＝2 2.∴⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是(6，2，22).【答案】 (1)(1, 3，1) (2)(6， 2，22)预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5. 【精彩点拨】 柱坐标――→x ＝r cos θy ＝r sinθz ＝z直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ).(1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝r sin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，∴(－3，1,3)为所求.(2)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴(1,1,5)为所求.点(r ，θ，z )是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且r ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为任意实数.化点的柱坐标(r ，θ，z )为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝rsin θ，z ＝z转化为三角函数的求值与运算即得.1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1；(2)(1，π，0).【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，(1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求.(2)∵(r ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝cos π＝－1，y ＝r sin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，54π；(2)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6.【精彩点拨】 球坐标――――――→x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，5π4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin3π4cos 5π4＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求. (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝r cos φ＝6cos π3＝62，∴⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62为所求.首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.转化为三角函数的求值与运算.2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.(1)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，23π；(2)(3，π，π).【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ).(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，92，3为所求. (2)∵(r ，φ，θ)＝(3，π，π)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y ＝r sin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z ＝r cos φ＝3cos π＝－3，∴(0,0，－3)为所求.探究1 【提示】 设空间中点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角.探究2 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0表示中心轴为z 轴，底半径为r 0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的.方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面.方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示.常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图1­3­3，建立空间直角坐标系A ­xyz ，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.图1­3­3【精彩点拨】 先求C 1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标.【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1).设点C 1的柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ，及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧r ＝2，tan θ＝1，及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2. 所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4， 其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(r ，θ，z )或球坐标(r ，φ，θ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yxx，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr .提醒：在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值.3.已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标.【解】 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1).(－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1，又x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1， ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.1.要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用( ) A.极坐标系 B.空间直角坐标系 C.柱坐标系D.球坐标系【解析】 由题意知D 正确. 【答案】 D2.已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( ) A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,1,1)D.(1,1,1) 【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，r ＝1，θ＝0，z ＝1， 故x ＝r cos θ＝1，y ＝r sin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1). 【答案】 B3.已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为________.【导学号：12990015】【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0). 【答案】 (0,3,0)4.设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则它的柱坐标是________. 【解析】 r ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－3，∵x >0，y <0，∴θ＝5π3，∴柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，45.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标.【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

高中数学第一章坐标系1.3 柱坐标系与球坐标系简介素材北师大版选修４－4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章坐标系１．３柱坐标系与球坐标系简介素材北师大版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1-4-1如图1－4-１所示，建立空间直角坐标系Oxyz。

设Ｐ是空间任意一点.它在Oxy平面上的射影为Ｑ，用(ρ，θ）(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Ｑ在平面Oxｙ上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，ｚ）(z∈Ｒ)表示．建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,ｚ）之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ,θ,z）叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0，0≤θ〈２π，z∈Ｒ.2.球坐标系图１-4-2建立如图１-4-２所示的空间直角坐标系Oｘyz。

设P是空间任意一点，连接ＯＰ,记｜OP｜=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Ｏｘy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组（ｒ,φ，θ)表示．这样,空间的点与（ｒ，φ,θ）之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组（r，φ，θ)叫做点P的球坐标,记做P(r,φ,θ),其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．３．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P(x，y，z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为错误!错误!４．空间直角坐标与球坐标的关系空间点Ｐ(x，y,ｚ)与球坐标（r，φ,θ）之间的变换公式为错误!错误!１.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制?【提示】空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离．２.在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中的什么曲面?在球坐标系中,方程r=1分别表示空间中的什么曲面?【提示】ρ＝１表示以z轴为中心,以１为半径的圆柱面；球坐标系中,方程ｒ＝1表示球心在原点的单位球面．３.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些?【提示】（１)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置.(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组。