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新人教A版选修4-4《极坐标系》ppt课件

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第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)

第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)


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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极 坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替 较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形 的等价性．
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[例4]
已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 返回
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系


3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)

人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)


(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x

M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P

O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件


A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高中数学人教A版选修4-4课件：平面直角坐标系 (共31张PPT)

高中数学人教A版选修4-4课件：平面直角坐标系 (共31张PPT)


例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到 ； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
例1 说出下 图中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4),

2
5 6
C E D O B A

4

4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3

2
5 6

P
C E D B A
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )

10 2 A、 (5, ) B、 ( 5, ) C、 (5, ) 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得 ＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件

高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件

7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______

tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
人教A版选修4-4极坐标系ppt课件

人教A版选修4-4极坐标系ppt课件


24
2
半径为 5 的圆。 2
7、把极坐标 ＝2方 －c4程 os化为直角坐
解：方程可化为 2－ cos 4 即2＝4＋x 两边平方得：4 2＝(x 4)2
4x2 4 y2 x2 8x 16 3x2 8x 4 y2 16
9、确定极坐标方程 4sin( )与
3
3cos sin 80所表示的曲线
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和 计算角度的正方向（通 常取逆时针方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上异于极点的任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示以OX为始边、 OM为终边 的角度。 叫做M的极径， 叫 做点M的极角，有序实数对（，）就叫做M 的极坐标。记作M （，）。
问题：如何规定ρ、θ的范围，使平 面内确定的一点的极坐标是唯一的？
ρ>0，θ∈ [0，2π）时点的极坐 标与平面上的点一一对应（极点除 外）。
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标M（，）,在平面上 可以确定唯一一点。
[2]给定平面上一点，却有无数个极 坐标。
特别的，极点（0，θ），θ取一切 实数。
A、 10cos( ),B、 10cos( )
6
6
C、 10cos( ),D、 10cos( )
32
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,4 ＜θ＜π,
32
∴cosθ= - ，3 sinθ= , 4
5
5
∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,
∴点M的直角坐标为(-3,4).
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系


【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)

第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)

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考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本 讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化 等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为 主．
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真题体验 1．(2012· 安徽高考)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直 π 线 θ＝ (ρ∈R)的距离是________． 6 解析：将 ρ＝4sin θ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，即 x2
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x， 将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1. 52 1 2 化简，得(x－ ) ＋(y＋3) ＝ . 2 4 5 1 该曲线是以( ，－3)为圆心，半径为 的圆. 2 2
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利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼
顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
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[例1]
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离
为4，A、B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程． [解] 如图，以圆心O为原点，OP
1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)

1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)


只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )． 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边， 求正六边形各顶点坐标．
解： 由点的极坐标的定义可知， 正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).
数学：《极坐标系的概念》课件(人教a版选修4-4)

数学：《极坐标系的概念》课件(人教a版选修4-4)


变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点
π 5π 是A(2, ) ,B(2, ) , 4 4
那么顶点C的坐标可能是(
)
3π A.(4, ) 4 C .(2 3, π )
3 π B.(2 3, π )或(2 3, ) 4 4 D .(3, π )
总结
这节课我们学到了什么？
极点 四 极轴 1.极坐标系的建立 要 单位长度 素 角度的正方向 2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [1]给定（,）,就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M. [2]给定平面上一点M，但却有无数个极 坐标与之对应.
课堂练习题
； mes；
；
慢慢の碎裂,声音悠悠の传来丶"师妹,不要伤心丶""生与死本就是壹场轮回,有生即有死,只要你能把握好自己の现在就行。"普智の声音慢慢の消散："来世,若是还有机会,咱们再续师兄妹之缘吧丶""保重丶"普智の身影完全消散了,与死亡之雾壹道,就此消散于天地之间了丶与此同时, 他身后の那座佛殿,此时也随着普智の远去,向更遥远の星空也飘去了丶仿佛是飘到了外域去了,最终化作壹道神光,星辰闪进了这面前の夜色之中丶原本这里浩瀚の方圆上亿里の佛域,此时也因为这佛殿星辰の消失,瞬间就变得黑暗下来丶外面大量の邪煞之气,开始往佛域中涌了,之前普 智苦心经营の这壹片阴魔域中の净土,也会慢慢の消失了丶猫补中文叁玖贰1试过了(猫补中文)叁玖贰1仿佛是飘到了外域去了,最终化作壹道神光,星辰闪进了这面前の夜色之中丶天籁原本这里浩瀚の方圆上亿里の佛域,此时也因为这佛殿星辰の消失,瞬间就变得黑暗下来丶外面大量の 邪煞之气,开始往佛域中涌了,之前普智苦心经营の这壹片阴魔域中の净土,也会慢慢の消失了丶"师兄丶"采薇再壹次流下泪来,她从小便算是这师兄将

人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标和直角坐标的互化课件

第一讲坐标系 二极坐标系
2.极坐标和直角 坐标的互化
人民教育出版社 高中 |选修4-4
基础知识：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
思考：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
老师点拨：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
老师点拨：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4- ： 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件
2.互换的公式
3.互换的基本方法
典型例题1 ：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
分析：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
人民教育出版社 高中 |选修4-4
学生思考，老师总结 ：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
典型例题2 ：
人民教育出版社 高中 |选修4-4
分析：
人民教育出版社 高中 |选修4-4

第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)


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[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
返回
2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼
顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
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[例1]
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离

第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)


方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 返回
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法， 在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ρ、 θ 的关系． [例 3] 1 △ABC 底边 BC＝10， ∠A＝ ∠B， B 为极点， 以 2
BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程．
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3．(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0.
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
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[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，

第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)


所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆
的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．
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设 Q(x，y)，PQ 与 AB 相交于 P1， 4＋x y 则 P1＝( ， )． 2 2 由|PQ|＝|AB|＝2 r2－|OP1|2， 即 x－4 ＋y ＝2
2 2
4＋x 2 y 2 36－[ ＋ ]， 2 2
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
[答案]
8 5 5
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[例 5]
π 在极坐标系中，点 M 坐标是(2， )，曲线 C 的 3
π 方程为 ρ＝2 2sin(θ＋ ); 以极点为坐标原点， 极轴为 x 轴的 4 正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 经过点 M 和极点． (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)直线 l 和曲线 C 相交于两足极坐标方程． 返回
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法， 在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ρ、 θ 的关系． [例 3] 1 △ABC 底边 BC＝10， ∠A＝ ∠B， B 为极点， 以 2
BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程．
返回
[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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解析：解法一 如图所示，
栏 目 链 接
π ∵∠AOB＝ 3 ，又 OA＝OB＝2， ∴△ABO 为等边三角形．∴AB 的长度为 2.
2020/5/30
解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标为
( 3，－1)．
∴A、B 两点间的距离
d＝ ( 3－ 3)2＋[1－（－1）]2＝2.
1．2 极 坐 标 系
2020/5/30
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2020/5/30
1．了解极坐标的基本概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置 的区别． 3．能进行极坐标与平面直角坐标的互化．
2020/5/30
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2020/5/30
题型一 坐标的概念 例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π， 且各线之间间距相等)．
栏 目 链 接
2020/5/30
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ表示 OM 的 长度，θ表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M
的极坐标为(ρ，θ)．
解析：A(5，0)，B2，π6 ，C4，π2 ，D5，3π4 ，E(2，π)，
栏 目 链
接
F5，4π3 ，G3.5，5π3 .
θ， θ得
x＝8cos23π＝－4， y＝8sin23π＝4 3.
即点 M 的直角坐标为(－4，4 3)．
2020/5/30
ρ2＝x2＋y2，
(2)由坐标变换公式 tan
θ＝xy（x≠0），
得 ρ＝ （－ 3）2＋（－1）2＝2 2，
tan
θ＝－ 62＝－3
3 .
栏
∵点 M 在第四象限，ρ＞0，
目 链
θ， ρ＝ x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝xy（x≠0）.
目 链 接
解析：(1)∵x＝1，y＝－ 3，∴ρ＝2，tan θ＝－ 3.
又∵点 P 在第四象限，∴θ＝53π.
2020/5/30
故点 P(1，－ 3)的极坐标为2，5π3 . (2)∵ρ＝3，θ＝－π4 ，
∴x＝ρcos θ＝322，y＝ρsin θ＝－322，
点评：(1)写极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能把 顺序写错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外， 点的极坐标唯一确定．
2020/5/30
►变式训练
1．设点 A2，π3 ，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别
求出点 A 关于极轴、直线 l、极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－
►变式训练
2．(1)把点 M 的极坐标2，3π4 化成直角坐标是________．
栏
(2)把点 P 的直角坐标(0，－2)化成极坐标是________．
目 链
接
．(1)(－ 2， 2)
(2)2，3π2
2020/5/30
例 3 在极坐标系中，已知 A2，π6 ，B2，－π6 ，求 A，B 两 点间的距离．
∴最小正角 θ＝116π.
接
因此，点 M 的极坐标是2
2，116π.
答案：(1)(－4，4 3)
(2)2
2，116π
2020/5/30
点评：直角坐标化极坐标时，先求出tan θ的值，再
由直角坐标确定θ所在的象限，然后求出符合条件的
栏 目
极角，一般只要取θ∈[0，2π)就可以了
链 接
2020/5/30
(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角．
链 接
解析：如下图所示：
2020/5/30
πππ ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝ 2 － 6 ＝ 3 ，
∴△AOB 为正三角形．
(1)A，B 两点间的距离为 3.
栏 目
链
(2)△AOB 的面积 S＝12×3×3sin 60°＝943.
接
(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角为π－π6 ＝56π.
栏
π＜θ≤π)．
目 链
接
解析：如下图所示：
2020/5/30
关于极轴的对称点为
π
B2，－
3
.
栏
关于直线 l 的对称点为 C2，23π.
目 链 接
关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
2020/5/30
点评：点与点的位置关系中，(ρ，θ)关于极点的 对称点为(ρ，θ＋π)，关于直线α＝的对称点为(ρ， π－θ)，关于极轴的对称点为(ρ，－θ)．
栏 目
链
∴点
P3，－π4 的直角坐标为3
2
2，－3 2
2.
接
易错点：直角坐标与极坐标的互化.
【易错点辨析】由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象
限，才能确定 θ 的大小．
2020/5/30
2020/5/30
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
2020/5/30
例(1)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标是什么？
(2)点 P 的极坐标为3，－π4 ，则点 P 的直角坐标是什么？
分析：如果某个极坐标与某个直角坐标表示的同一个点的坐标，
栏
那么它们之间可以互化，则xy＝＝ρρscions
栏 目 链
接
答案：2
点评：在极坐标系中我们没有定义两点间的距离，我们只要画出
图形便可以得到结果或把两点极坐标转化为直角坐标，用直角坐标的
两点间的距离公式求解．
2020/5/30
►变式训练
3．已知两点的极坐标 A3，π2 ，B3，π6 ，求： (1)A、B 两点间的距离；
(2)△AOB 的面积；
栏
目
栏 目 链 接
2020/5/30ຫໍສະໝຸດ 题型二 极坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)把点 M 的极坐标8，23π化为直角坐标形式是________；
(2)把点 M 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2
栏
π)是________．
目 链
接
解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos y＝ρsin