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第四章应力与应变关系汇编

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4.应力应变关系

4.应力应变关系
因此，在塑性变形时，应力和变形的关系是比 较复杂的，有各种理论。总的来说，有增量理论和全 量理论。
Levy-von Mises 增量理论 Prandtl-Reuss 全量理论
Stress-strain relations
4.2.1 Levy-Mises 增量理论
该理论认为应变增量与相应的偏应力分量成正比


2
(d x d y ) ( x y ) d (d y dz )2 ( y z )2 d2 (d z d x )2 ( z x )2 d2
2 2 2
9 2 2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz zx 2
(4-6)
从方程式 (4-3),(4-4)中得，应力可以用应变表示：
ij 2G ij ij
式中,
(4-7)

1 1 2
E
x y z
1 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 2 ( x y ) 2 4G 2 ( x y ) 2

1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2

Байду номын сангаас
6d yz 6 yz d2 2 2 6d zx 6 zx d2 2 2 6d zx 6 zx d2
(4-15)
平衡方程式:
x yx 0 y x xy y 0 y x
(4-16)

第四章 应力和应变的关系

第四章 应力和应变的关系

于是
∂K ∂2 u ∂2 v ∂2 w δK = δ t = ∫∫∫ ρ dτ[ 2 δu + 2 δv + 2 δw] ∂t ∂t ∂t ∂t
第二节 弹性变形过程中的能量 对于物体静止时 可认为 δ K = 0 , 不考虑热交换 ，即 δ Q = 0 δ V = δ U , δ U = δ U1 + δ U 2 其中，
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
σ x = f 1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ z = f 3 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ xy = f 4 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ yz = f 5 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
+
σ ij , j + X i = ρ u i
..
第二节 弹性变形过程中的能量 由平衡方程： σ ij, j + X i = ρ ui ∂δu ∂u ∂ v ∂u 又 ; ∂ δ v ∂δ u =δ = δε = δγ + = δ +

应变和应力关系

应变和应力关系
生物医学工程：利用应变和应力原理，开发出更符合人体生理需求的医疗 器械和生物材料，提高医疗效果和人体健康水平。
新能源技术：利用应变和应力原理，优化风力发电机叶片设计，提高风能 利用率和发电效率。
机器人技术：通过研究应变和应力与机器人关节运动的关系，提高机器人 的灵活性和稳定性，拓展机器人的应用领域。
应变和应力对未来科技发展的影响
增强材料性能：通过深入研究应变和应力，可以开发出性能更强的新型材 料，为未来的科技发展提供物质基础。
智能制造：利用应变和应力的知识，可以优化制造过程中的材料性能，提 高生产效率和产品质量，推动智能制造的发展。
生物医学应用：在生物医学领域，应变和应力的研究有助于更好地理解和 控制人体生理机制，为未来的生物医学应用提供支持。
压痕法：利用压痕仪在物体表面压出一定形状的压痕，通过测量压痕的尺寸来计算应力
应变和应力的相互影响
应变和应力之间的关系：应变是应力作用下的物体形状变化，应力是抵抗变形的力。
应变和应力的测量方法：通过应变计和应力计进行测量，应变计测量物体变形，应力计测量物 体受到的力。
应变和应力的相互影响：应变和应力之间存在相互影响，例如在材料屈服点附近，应变和应力 之间会发生突变。
应力的概念
分类：正应力、剪应力、弯 曲应力等
定义：物体受到外力作用时， 内部产生的反作用力
单位：帕斯卡（Pa） 作用效果：使物体产生形变
应变和应力的关系
应变是物体形状 的改变，应力是 物体内部抵抗变
形的力
应变和应力之间 存在线性关系， 即应变正比于应
力
应变和应力之间 的关系可以用胡 克定律表示，即 应力=弹性模量
应变和应力关系
汇报人：XX
应变和应力的定义 应变和应力的测量方法 应变和应力的应用领域 应变和应力的研究进展 应变和应力的未来展望

第四章应力与应变关系

第四章应力与应变关系

（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
对 ， 可x 得：
x (f1)0(f1x)0x (f1y)0y (f1z)0z
( f1
yz
)0yz
(f1zx)0zx
(f1xy)0xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f 1 际) 0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f 1零) 0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
3 t 2 3
和 称 为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅常数
各向同性体的广义虎克定律
(三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应 力与应变关系
在各向同性弹性体中，设 o为x y任z 意正交坐标系，它
的三个轴与坐标系 应O力12主3 轴的方向余弦分别为 、 (l1 ',m1和',n1 ') (l2，',m因2 ',n为2 ')1，(2l3，',m33 ',轴n3是') 主轴，主轴方向的 剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
系O123各轴的方向余弦，知:
l1 n3 cos180 1 m2 cos0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos90 0
各向同性体的广义虎克定律
因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等
于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应
该不随方向面改变，故取 x, y分, z别为1′，2′和3′轴，同
上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数Cm n(m ,n1,是2, ,6) 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式

第四章应力应变关系

第四章应力应变关系

4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。

由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。

前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。

由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。

应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。

对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。

对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。

分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。

⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。

借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。

本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。

根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。

应变和应力的关系公式

应变和应力的关系公式

应变和应力的关系公式应变和应力是力学中非常重要的概念，它们描述了物体在外力作用下的变形和反抗变形的能力。

应变是物体在外力作用下发生变形的程度，而应力是物体对外力的反抗程度。

应变和应力之间存在着一定的关系，下面将通过分析和解释来阐述这一关系。

我们来看一下应变的定义。

应变通常用来描述物体的形变程度。

当物体受到外力作用时，它的形状会发生改变，这种形变程度就是应变。

应变可以分为线性应变和非线性应变。

线性应变是指物体的形变与受力成正比，比如拉伸或压缩后物体的长度或体积的变化。

非线性应变则是指物体的形变与受力不成正比，比如物体的弯曲或扭转。

而应力则是物体对外力的反抗程度。

当物体受到外力作用时，它会产生内部的应力，以抵抗外力的作用。

应力可以分为正应力和剪应力。

正应力是指物体内部的应力沿着受力方向的成分，比如拉伸或压缩时物体内部的张力或压力。

剪应力则是指物体内部的应力与受力方向垂直的成分，比如物体发生弯曲或扭转时的切向应力。

应变和应力之间的关系可以通过胡克定律来描述。

胡克定律是力学中一个重要的定律，它描述了弹性体的应力和应变之间的线性关系。

根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体产生的应变与外力成正比，且比例常数为弹性模量。

弹性模量是描述物体抵抗形变能力的物理量，通常用符号E表示。

胡克定律的数学表达式为：应力=弹性模量×应变。

这个关系可以简洁地表示了应变和应力之间的关系。

根据这个关系，我们可以推导出应变和应力之间的其他关系。

比如，如果已知应变和弹性模量，可以通过应变乘以弹性模量来计算应力。

同样地，如果已知应力和弹性模量，可以通过应力除以弹性模量来计算应变。

除了胡克定律，还有其他的应变与应力之间的关系，比如柯西应变与柯西应力之间的关系、拉梅应变与拉梅应力之间的关系等。

这些关系都是通过实验和理论推导得到的，它们描述了不同应变与应力之间的关系，适用于不同的物体和力学问题。

总结起来，应变和应力之间存在着一定的关系，可以通过胡克定律或其他相关定律来描述。

应力应变关系

应力应变关系

一个弹性对称面
13个弹性常数
胡克定理6 §4.1 胡克定理
两个弹性对称面
σ x = C11ε x + C12ε y + C13ε z σ y = C21ε x + C22ε y + C23ε z σ z = C31ε x + C32ε y + C33ε z τ xy = C44γ xy τ yz = C55γ yz τ xz = C66γ xz
µ
2
2 2 2 (γ xy + γ yz + γ xz )
应变能2 §4.3 应变能
应力表示的应变能函数
1 2 2 2 [σ x + σ y + σ z − 2ν (σ xσ y + σ yσ z + σ xσ z ) + U0 = 2E 2 2 2 2(1 + ν )(τ xy + τ yz + τ xz )
γ xy = γ yz = γ xz =
τ xy
G
τ yz τ xz
G G
•E为弹性模量 •G为剪切弹性模量 •v为横向变形系数——泊松比
弹性常数2 §4.2 弹性常数
杨
泊松
弹性常数3 §4.2 弹性常数
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为
λ+µ E= , µ(2λ + 2µ) λ v= , 2(λ + µ)
泊松比ν恒小于1，所以U0恒大于零。 单位体积的应变能总是正的。
•工程材料，应力应变关系受到一定的限制 •一般金属材料为各向同性材料
•复合材料在工程中的应用日益广泛
胡克定理3 §4.1 胡克定理
弹性体变形过程的功与能

弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系

弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系

A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成
体积分。
S Fiui dS S ( ijui )n j dS V ( jiui ), j dV
上式代入外力功增量
A ( fi ji, j )ui dV jiui, j dV ijijdV WdVU
弹性主轴
x3 为弹性主轴或材料主轴， 并取另一坐标系 x’i
， 且 x’1
= x1， x’2=x2， x’3=-x3。
4
在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为 13 个独立系数。
Qi’j
x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3
代入
x1
1 0 0 1
x2
0 0 0 -1
x3
0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
2
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
得
x ' x1 ， x ' x 2
1
3 1
，
x ' x3
3
，
x ' x ' x1 x 2
1 2
x ' x ' x3 x1 ， x ' x ' x3 x 2
3 2
应变分量具有相同关系式。
[C]
为对称矩阵
[C]= [C]T。
最后 Eijkl 的独立系数为 21 个——材料为各向异性线弹性材料。 *对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生 剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化 [C] 中系数。 2.2 具有一个弹性对称面的材料 若物体内各点都有这样一个平面， 对此平面对称方向其弹性性质相同，则 称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面 的方向称为弹性主轴。 如取弹性对称面为 x1 —x2 面， x1 x3’ x2 x3

应力和应变之间的关系

应力和应变之间的关系

应力和应变的关系曲线
描述
应力和应变的关系曲线是描述应力与应变之间关系的图形表示。
形状
在弹性范围内，曲线呈直线上升；超过弹性极限后，曲线出现弯曲。
应用
通过应力和应变的关系曲线，可以确定材料的弹性模量、屈服点和 极限强度等机械性能参数。
04
应力和应变的应用
弹性力学
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下 变形和内力的规律的科学。在弹性力学 中，应力和应变是描述物体变形和受力 状态的基本物理量。
公式
σ=Eεsigma = E varepsilonσ=Eε
解释
σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。 当应力增加时，应变也相应增加， 且两者成正比关系。
非线性关系
描述
当材料受到超过其弹性极限的应力时 ，应力与应变之间的关系不再是线性 的，而是呈现非线性关系。
特征
在非线性阶段，应变随应力的增加而 急剧增加，可能导致材料发生屈服或 断裂。
设计优化
优化结构设计
通过对应力和应变的分析，优化结构设计，提高结构的承载能力 和稳定性。
考虑材料特性
在设计过程中，充分考虑材料的力学特性和性能，合理选择和使 用材料，以降低应力和应变对结构的影响。
引入减震和隔震措施
通过引入减震和隔震措施，降低地震等外部载荷对结构产生的应 力和应变，提高结构的抗震性能。
时间
蠕变
在长期恒定应力作用下，材料会发生 缓慢的塑性变形，即蠕变。蠕变会影 响材料的应力和应变关系，特别是在 高温和长期载荷作用下。
时间依赖性
某些材料的力学性能会随时间发生变 化，对应力和应变的关系产生影响。 例如，疲劳和时效等现象会导致材料 性能随时间发生变化。
07
应力和应变在工程实践中的 注意事项

4应力与应变关系

4应力与应变关系

y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
τ max
x
3
k
τ max
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 b所示
可求得
y 1 max 80MPa x 3 max 80MPa z 0
E
p
t 3 m 0
说明材料体积不变，即材料有不可压缩性。
G E 2(1)
G E E
2(1) 3
例题: 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 a 所示。 已知铜的弹性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到 P=300kN 的均布压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积 应变以及最大剪应力。
（D）称为弹性矩阵，将应力与应变的关系写成矩阵形式：
D
各向异性效应
{} [D]{} 或 {} [A]{}
式中：{}为应力列阵；{}为应变列阵；[D] 、[A]为弹性矩阵。
c11c12c13c14c15c16
c21c22c23c24c25
c26
[D]
c31c32c33c34c35c36
证明： 设1、2、3轴是弹性体内任一点的应变主轴，则对应的 剪应变为零。
12 23 31 0
由广义虎克定律可以得到：
2 2‘ 3‘
12 C411 C42 2 C433 1’
O
1
1, 2 , 3
3
为该点的主应变。（对应于1、2、3轴）
将坐标系绕2轴转180，得到坐标轴1’，2‘，3’

应力与应变间的关系

应力与应变间的关系
§7-7 应力与应变间旳关系
一、单向应力状态下应力与应变旳关系
1
1
E
σ1
σ1
E 为材料旳弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2
3
1
二、纯剪切应力状态下应力与应变旳关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变旳关系
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料旳广义胡克定律 （1）符号要求
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上旳压应力为
y
P A
300 103 0.12
y x
30MPa
x
(b) Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ 1 σ 3 τ xy
代入得
1 2
E
(1
2
3)
1 2

弹性力学 第04章应力和应变关系

弹性力学 第04章应力和应变关系

第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。

这样，物体的弹性常数从21个变为13个。

若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。

第四章应力应变关系概要

第四章应力应变关系概要

泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。 在弹性极限内，横向相对缩短
x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
z
z
x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
从数学分析的角度，上述方程是不封闭的，因此没有 唯一的一组解，必须补充六个方程，将方程组封闭起 来
应力应变关系
物理方程的一般形式
ij = ji = fij ( kl )
材料的应力与应变关系一般由实验得到，最早的实验由虎克 （Hooke,R.）的金属丝拉伸实验。 一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为
第四章 应力应变关系（本构方程）
应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一 在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几 何规律（包括协调条件） ij =( ui,j+ uj,i)/2 ji,j+ fi = 0
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，ij=ji， ij=ji，还需要根据材料的物理性质来建立应力与应 变间的关系： ij = ji = fij ( kl )
滞后回线非常窄小，可
以认为加载与卸载是重 合的。因此应力与应变 间可看作是单值对应关 系。
• 弹性本构关系：
应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。
T , a 小变形弹性本构关系
σ T ε 均匀材料的小变形弹性本构关系均 σ C : ε 匀材料的小变形线弹性本构关系
x f1 ( x , y , z , yz , zx , xy ) y f 2 ( x , y , z , yz , zx , xy ) z f 3 ( x , y , z , yz , zx , xy ) yz f 4 ( x , y , z , yz , zx , xy ) zx f 5 ( x , y , z , yz , zx , xy ) xy f 6 ( x , y , z , yz , zx , xy )

应力与应变的关系

应力与应变的关系
材料力学Ⅰ电子教案
一、应力与应变关系的导出
各向同性材料在平面应力状态下，在线弹性且变形微小时 (1) 线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力无关。 (2) 切应变只同平面内的与切应力有关，而与正应力无关。 可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯 剪切应力状态的叠加。
单向应力状态 纯剪切应力状态
6
材料力学Ⅰ电子教案
解：1. 构件的自由表面上无任何应力，故知该点处 于平面应力状态。
2. 根据平面应力状态的胡克定律有
ex
=
1 E
s x
ns y ，e y
=
1 E
s
y
ns x
联立求解此二式得
s
x
=
E
1n
2
e x ne y
= 210109 Pa 1 0.32
ex
=
sx
E
n
sy
E
ey
=
sy
E
n
sx
E

xy
=
tx
G
3
材料力学Ⅰ电子教案
平面应力状态中的应力和应变的关系
ex
=
sx
E
n
sy
EeBiblioteka y=syE
n
sx
E

xy
=
tx
G
G
=
E
21 n

上式即为平面应力状态下的广义胡克定律。
4
材料力学Ⅰ电子教案
例题1 平面应力状态下是否有z轴方向的线应变？
sy
ty
tx
sx
平面应力状态下有 z轴方向的线应变
ez
=

应力应变之间的关系

应力应变之间的关系

应力与应变的关系
你想啊，咱们每天上班下班，跟个陀螺似的转个不停，这不就是生活中的“应力”嘛！有时候，老板给的任务多了点，压力山大啊，感觉就像是被压得喘不过气来。

这时候，咱们不能硬扛，得学会“应变”。

比如，合理安排时间，提高工作效率，或者偶尔偷个闲，跟同事开个玩笑，放松放松心情，这不就是咱们应对压力的“应变”小妙招嘛！
再瞅瞅咱们身边的朋友圈，有时候也会遇到点小摩擦，比如意见不合啦，误会啥的。

这时候，如果都死磕着不放，那友谊的小船说翻就翻。

所以啊，咱们得学会变通，学会理解，学会包容，就像弹簧一样，压一下，弹回来，还能更加紧密。

这就是友情里的“应力与应变”，相互磨合，才能更加坚固。

还有啊，咱们对待自己的身体也得这样。

工作再忙，也不能忽视了健康。

不然，身体一出问题，那可就是大问题了。

这时候，咱们得赶紧调整作息，均衡饮食，适当运动，给身体减减压，让它也能“应变”过来，继续活力满满地陪咱们闯荡江湖。

说到底，应力与应变，就像是生活中的一场场小考，考验着咱们的智慧和心态。

咱们不能一味地逃避，也不能硬碰硬，得学会灵活应对，找到最适合自己的方式去化解压力，享受生活的乐趣。

毕竟，人生嘛，就是一场修行，一场关于如何在压力中成长，在变化中前行的修行。

所以啊，下次当你觉得压力山大的时候，不妨换个角度想想，这也许是个机会，让你学会更多，变得更加强大。

毕竟，没有压力，哪来的动力呢？咱们啊，就在这应力与应变的交织中，一步步成长，一步步走向更加美好的未来！。

应力与应变之间的关系_图文_图文

应力与应变之间的关系_图文_图文

例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。 材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。 求该点处的主应力值数，并求另一应变2的
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
即为平面应力状态，有
联立两式可解得：
主应变2为： 其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为 正，反之为负。
对应的六个应变分量，
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。
对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
应力与应变之间的关系_图文_图文.ppt
3）空间应力状态：
sy
dy
sx txy
tdxzxsttzyxtxyttsyzzzxtxyyttzzyyxstzxtdzxyzsx
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
则可得： 同理可得： 对切应力分量与切应变的关系，有：
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设sz=0，txz=0，tyz=0，有：
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
二向应力状态：
设
有
可见，即使s3 =0，但3 0
而且各向同性材料有
§10-5 广义胡克定律
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x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy
y
C21 x
C22 y
C
C26 xy
z yz
C31 x C41 x
C32 y C42 y
C33 z C43 z
C34 yz C44 yz
C35 zx C45 zx
C36 xy C46 xy
（4-3b）
zx
C51 x
C52 y
C53 z
C54 yz
C55 zx
C56 xy
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy
广义虎克定律
上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是 6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已 指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上 式一致。
对 ，可x 得：
x
(
f1 )0
( f1
x
)0 x
( f1
y
)0 y
( f1
z
)0 z
( f1
yz
)0
yz
( f1
zx
)0
zx
( f1
xy
)0
xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f1际)0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f1零)0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数Cmn (m,n 1,是2, ,6) 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
广义虎克定律
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
)
z f3 ( x , y , z , yz , zx , xy )
yz
f
4
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy
)
zx
f5
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy
)
xy f6 ( x , y , z , yz , zx , xy )
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
'
（4-2）
称为横向变形系数或泊松比。
广义虎克定律--应力应变曲线
(二)屈服阶段——BC段
当 后，B出现应变增加很快，而应力在很小范围
内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增加的
现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 称屈 服S 极限
。
(三)强化阶段——CD段
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力，
各向同性体的广义虎克定律 如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相 同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常 数。 （一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。
X
x
yx
y
zx
z
X
2u
t 2
xy
x
y
y
zy
z
Y
2v t 2
xz
x
yz
y
z
z
Z
2w t 2
平衡运动微分方程
应力与应变关系
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w
x
几何方程
应力与应变关系
要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的关 系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即还 需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的关 系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量的 一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克定 律。
(4-1)
E
广义虎克定律--应力应变曲线
其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性模
量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 则A称为比
例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。
A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B和比例极限 并A 不严格区分。这种情况下，横向应变 与' 轴向应
变 绝对值之比一般是常数，即
C15 C25
C16 C26
x y
z
yz
CC3411
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
z yz
zx
C51
C52
C53
C54
C55
C56
zx
xy C61 C62 C63 C64 C65 C66 xy
(4-4)
可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只有 21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性常 数独立。
要化使，它强增化加阶变段形中必的须最增高加点拉D所力对，应这的种现称象D为称强为度材极料限的。强
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，继 续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
在纯剪应力作用时，与xy 也xy成正比， xy， 比G例xy系
广义虎克定律--应力应变曲线 在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到 应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲 线不同。图4-1给出低碳钢应力应变曲线。从图中 可看出，该曲线大致可分为四个阶段：
图4-1 某材料应力与应变关系曲线
广义虎克定律--应力应变曲线
(一)弹性阶段——OB段
，为即直在变线此形，段完 说内全 明，消 当撤失去。外通力时常时，为(A，,称将成)为沿B线弹O性(性B关,线极系恢限) 即复。回而原OA点段O
地球物理场论 I
海洋地球科学学院 地球探测信息与技术系
宋鹏
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变关系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点分 别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)与 位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位移 分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要6 个方程才能求解弹性动力学问题。
数G称剪切弹性模量
广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分量 ，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。它 们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量形 式表示为：
x f1( x , y , z , yz , zx , xy )
y
f2
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy