四阶奇异边值问题的正解

２００７年３月　第３２卷第２期　安徽大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｍａｒｃｈ　２００７　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．２　

一类高阶次线性奇异边值问题的正解　

邓义华　

（衡阳师范学院数学系，湖南衡阳４２１００８）　

摘要：研究一类含有所有偶数阶导数的高阶奇异边值问题的正解．通过构造合适的辅助函数，并　对问题进行适当的转化，然后利用算子的不动点理论，得到了该奇异边值问题在非线性项满足次线性条　

件时存在某类正解的充分必要条件．　

关键词：正解；奇异边值问题；次线性；不动点　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—２１６２（２００７）０２—０００１—０４　

近年来，非线性奇异边值问题正解的存在性问题引起了国内外学者的广泛兴趣和深入研究．文［１］　

讨论了四阶奇异边值问题的正解；文［２］在一种非常特殊的情况下，得到了一类高阶奇异方程存在正解　

的充分条件；文［３］进一步证明了文［２］的条件实际上是充要条件；最近，文［４］在非线性项不带奇性的　

情形下讨论了含有所有偶数阶导数的高阶边值问题的正解，但对非线性项带奇性的情形目前还没有研　

究．本文考虑了一类含有所有偶数阶导数的高阶微分方程的奇异边值问题，得到了该问题存在ｃ　［０，　

１］ｎ　Ｃ　（０，１）正解的充要条件．为此假设　『（一１）　（　ｎ　（ｔ）＝　，　（ｔ），一　”（ｔ），…，（一１）　‘　（ｔ），…，（一１）　‘　（ｔ）），ｔ∈（０，１）　（１）　

【　（　（０）＝　‘　（１）＝０，ｋ＝０，１，…，ｎ一１　（２）　

其中．厂不恒为零且满足下面的条件：　

（　）ｆ∈Ｃ（（０，１）×（０，∞）　，［０，∞）），且存在常数Ａ　，　（一∞＜Ａｆ≤０≤　，　＝１，２，…，ｎ一１），　

使得对于ｔ∈（０，１），　０，　２，　４，…，　２　一２∈（０，∞），有　

（１）当０＜Ｃ≤１时，有　厂（ｔ，　０，　２，…，　２　一２）≤／．（ｔ，ＣＸ０，　２，…，　２　一２）≤ｃＡｏｆ（ｔ，　０，　２，…，　２　一２）　

大　庆　石　油　学　院　学　报　ＪＯＵＲＮＡｌ　（）Ｆ　ＤＡＱＩＮＧ　ＰＥＴＲＯＩ　ＥＵＭ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　第３６卷　第１期　２Ｏｌ２年２月　Ｖｏ１．３６　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．　２０１２　

非线性四阶四点边值问题的正解　

田淑杰，孔令彬　

（东北石油大学数学科学与技术学院，黑龙江大庆　１６３３１８）　

摘　要：利用锥不动点定理，并结合Ｇｒｅｅｎ函数性质，证明一类四阶四点边值问题的正解的存在性　

关键词：四点边值问题；锥；正解　中图分类号：Ｏ１７５．０８　文献标识码：Ａ　文章编号：１　０００—１８９１（２０１２）０１—０１０５　０５　

０　引言　

非线性四阶边值问题来源于流体力学、弹性力学等应用物理领域问题中，其正解具有实际意义　，　

人们建立正解存在性结果　一　．笔者研究含参数的非线性四阶四点边值问题，在非线性项满足超线性或次　

线性的条件下，证明正解的存在性，给出新的结果．　

１　问题与主要定理　

考虑非线性四阶四点边值问题　

ｒ“　（　）一』０　“　（　）一厂（￡，Ｍ（￡）），　

“（ｏ）一０，“（１）：ｄ“（卵），　（１）　

ｔ　（ｏ）一０，　（１）一　（　）．　

式中：ａ，　均为正数，满足Ｏ＜叩＜１，Ｏ＜　＜１，ａ叩＜１，而ｐ＞０是参数．　

假设　ｒ１　（Ｈ　厂（￡，“）于［ｏ，１］×Ｅｏ，＋Ｃｏ）非负连续，且０＜Ｉ　ｆ（￡，“（　））ｄｔ＜＋ｏｃ）；　

（Ｈ，）ｈｍ　ｓｕｐ　一０，ｌｉｍ　ｉｎｆ　一。。；　“一Ｏ，∈Ｅｏ．１］　“　ｃｘ、，∈Ｌ０，１　“　

（Ｈ　）ｌｉｍ　ｓｕｐ　一。。，ｌｉｍ　ｉｎｆ　一０．　一０，∈Ｌ０ｔｌ　“　，Ｃ－Ｅｏ，１　“　定义　称函数“（￡）为边值问题式（１）的正解，如果它满足“∈ｃ　Ｅｏ，１］Ｊ　Ｃ。（Ｏ，１）且在（０，１）内“（ｔ）＞　

０；Ｍ（　）满足式（１）．　

定理ｌ　假设（Ｈ　），（Ｈ：）或（Ｈ　），（Ｈ。），成立，则边值问题式（１）至少存在一个正解．　

２　边值问题式（１）的等价形式及Ｇｒｅｅｎ函数　

第２２卷第６期　２０１１年１１月　陇东学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２２　Ｎ０．６　ＮＯＶ．２０１１　文章编号：１６７４—１７３０（２０１　１）ｏ６－ＯＯＯｌ－Ｏ５　

一类四阶两点边值问题的多重正解　李万军米　（陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳７４５０００）　摘要：讨论一类两参数四阶两点边值问题，利用锥上的不动点指标理论及拓扑度方法，在一定条件下得　到了该问题多重正解的存在性．　关键词：四阶两点边值问题；正解；多解；锥；不动点指数　中图分类号：Ｏ１７５．２　文献标识码：Ａ　Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｆｏｒｔｈ．．Ｏｒｄｅｒ　Ｔｗｏ．．Ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ＬＩ　Ｗａｎ－ｊｕｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ－Ｑｉｎｇｙａｎｇ　７４５０００，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ】　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｄｅｖｏｔｅｄ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｒｔｈ—ｏｒｄｅｒ　ｔｗｏ—　ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ—ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎｄｅｘ　ａｎｄ　ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　ｄｅ—　ｇｒｅｅ　ｍｅｔｈｏｄ－ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｆｏｒｔｈ—Ｏｄｅｒ　Ｔｗｏ—Ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｏ　ｅｘｉｓｔ　ｕｎｄｅｒ　ｓｕｉｔａｂｌｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｆ０ｒｄ１一Ｏｒｄｅｒ　Ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　ＢＶＰ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｃｏｎｅ；ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎｄｅｘ　１介绍　对于四阶常微分方程两点边值问题：　ｆ　ｃｃ　’（ｔ）＝　ｆＩⅡｊｌｆＪ，）０≤ｔ＜１　…　【ｕ（Ｏ）＝ｕ（１）＝ｕ”（０）＝Ｍ”（１）＝０　当ｊ｝线性项与ｕ　（ｆ）无关时，研究工作ｊ｝常多，这里我们不准　备　Ｉ述其他文献，只列举两个与本文工作有关的文献．一是　１９９５年的文献　Ｊ，在该文中，作者利用Ｇｒｅｅｎ函数方法结合　锥上的不动点定理，在所谓零点与无穷远点的超线性和次线　性条件下得到了问题（１）正解的存在性．为了方便，这里将　其主要结果叙述如下．设　（Ｈ１）：，（ｆ，ｕ（ｆ））：［０，１］×［０，∞）＿＋［０，∞）连续，　令　ｆｎ：ｌ　ｉｄ　ｍｉｉｍ　ｄ　，ｆｎ＝　ｍ　ｎ　．　～ｕ　ｔＥ［０，１］　ｕ　ｆ０－－一ｌｉｒａ￣８ｕｐｌ∈　。】　，　

第７卷第２１期２００７年１１月　１６７１－１８１９（２００７）２１－５４７１－０４　科学技术与工程　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．７　Ｎｏ．２１　Ｎｏｖ．２００７　＠２００７　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．　一类Ｌｉｄｓｔｏｎｅ奇异边值问题正解的存在性　刘兰梅刘衍胜　（山东电子职业技术学院，济南２５００１４；山东师范大学数学科学学院　，济南２５００１４）　摘要利用锥拉伸及锥压缩不动点定理，研究了一类Ｌｉｄｓｔｏｎｅ奇异边值问题正解的存在性。　关键词奇异边值问题　不动点定理　正解　中图法分类号０１７５．８　文献标识码Ａ　１预备知识　近年来，奇异边值问题获得了广泛研究，得到　了许多好的结果。目前对二阶和四阶奇异边值问　题的研究结果较多，而对２凡阶奇异边值问题的研究　成果较少。本文利用锥拉伸与锥压缩不动点定理　讨论了Ｂａｎａｃｈ空间中一类带奇异性的２凡边值问题　正解的存在性。　设（Ｅ，ｌｌ・ｌ１）是一个Ｂａｎａｃｈ空间，令，＝［０，　１］，Ｋ为Ｅ上的一个正规锥，它引入了Ｅ中一个偏　序关系≤，　≤，，当且仅当Ｙ一　∈Ｋ。　本文考虑２凡阶Ｌｉｄｓｔｏｎｅ奇异边值问题　『（一１）‘　‘　（ｔ）＝　ｔ，　（ｔ）），ｔ∈（０，１），　【　‘　‘　（０）＝　‘　（１）＝０，０≤　≤／７，一１　（１）　正解的存在性，其中／７，≥１，ｆ（ｔ，　）∈Ｃ［（０，１）Ｘ　Ｋ，　Ｋ］，且　ｔ，　）在ｔ＝０，１处有奇异性。　在ｃ［，，Ｅ］上考虑问题（１），Ｖ　∈Ｃ［，，Ｅ］，令　＝ｍ　ｌｌ　（ｔ）ｌｌ，则（ｃ［，，Ｅ］，ｌｌ・ｌｌｃ）成为　２ｏｏ７年７月４日收到　山东省自然科学基金项目（Ｙ　２００６３．２２）　资助　第一作者简介：刘兰梅，Ｅ－ｍａｉｌ：Ｕａｎｍｅｉ＠１６３．ｅｏｌｎ。　一Ｂａｎａｃｈ空间。　以下谈到问题（１）的解是指　∈Ｃ［，，Ｅ］，并且　满足问题（１）。若还有　（ｔ）≥０，　（ｔ）≠０，０＜ｔ＜１，　则称是问题（１）的正解。　令Ｔｒ＝｛　∈Ｅ，ｌｌ　ｌｌ≤ｒ｝，Ｂ　＝｛　∈Ｃ［，，Ｅ］，　ｌｌ　ｌｌ　≤ｒ｝（ｒ＞０）。则Ｏｔ表示Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉｉ非紧性测　度。有关非紧性测度的定义及性质见文献［１，２］。　设Ｇ　（ｔ，ｓ）是２凡阶微分方程边值问题　『　‘　（ｔ）＝０，ｔ∈［０，１］，　【　‘　（０）＝　‘　（１）＝０，０≤ｉ≤／７，一１　的Ｇｒｅｅｎ函数，Ｇ　（ｔ，ｓ）可表示为　Ｇｆ（ｆ，ｓ）＝【Ｇ（ｆ，　）Ｇ　（　，ｓ）　，２≤ｉ≤凡，　其中　＝　二　下面给出引理　引理１．１…　设Ｐ为Ｅ中一个锥，Ｐ　＝｛　∈Ｐ：　ｒ≤，｛ｌ　ｌｌ≤ｓ｝，且ｓ＞ｒ＞０，设Ａ：Ｐ　一Ｐ为严格集压　缩算子且满足下列两条之一。　（ｉ）当　∈Ｐ，ｌｌ　ｌｌ＝ｒ时，Ａ　≮　且当　∈Ｐ，　ｌｌ　ｌｌ＝ｓ时，　；　（ｉｉ）当　∈Ｐ，ｌｌ　ｌｌ＝ｒ时，Ａ　且当ｘ∈Ｐ，　ｌｌ　ｌｌ＝ｓ时，Ａｘ≤　；　则Ａ在锥Ｐ中有一不动点　，满足ｒ＜ｌｌ　ｌｌ＜ｓ。