一类奇异泛函微分方程边值问题的正解

一类奇异泛函微分方程边值问题的正解

李玉玉

【摘 要】利用锥拉伸与锥压缩不动点理论讨论了一类具有限时滞二阶奇异泛函微分方程三点边值问题正解的存在性，建立了一类奇异泛函微分方程边值问题至少存在一个正解的充分性条件并推广和改进了已有的结果。%By using the fixed-point theorem in cones,the existence of positive solutions is obtained for a

class of boundary value problems of second-order singular functional

differential equations,a corresponding problem for at least one positive

solution of sufficient conditions is established and the known results are

improved and generalized.

【期刊名称】《兰州交通大学学报》

【年(卷),期】2014(000)003

【总页数】5页(P65-69)

【关键词】正解;不动点定理;泛函微分方程;三点边值问题

【作 者】李玉玉

【作者单位】西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070; 甘肃交通职业技术学院，甘肃 兰州 730070

【正文语种】中 文

【中图分类】O175.8

由于在应用数学、物理学等诸多领域的广泛应用背景，非局部边值问题已引起了人们的广泛关注，并且取得了许多深刻的结果.近年来，随着泛函微分方程理论的发展以及其在物理、力学、自动控制理论、生物学、经济学等众多学科中的应用，泛函微分方程边值问题成为关注的一个热点［1-5］.本文利用锥上的不动点理论考虑如下二阶含参数的奇异泛函微分方程三点边值问题

正解的存在性.其中：λ＞0为参数；正解u（t）是指u∈C［－τ，1］∩C 2［0，1］满足式（1）且当t∈［－τ，0］时u（t）≥0，又在［0，1］上不恒为0 的函数.

为了方便，下面给出一些记号，对∀τ∈［0，＋∞），记C＝｛φ|φ∈C［－τ，0］｝，则C在范数下构成Banach空间.记C＋＝｛φ∈C|φ（t）≥0，t∈［－τ，0］｝，令：ut（s）＝u（t＋s），其中：s∈［－τ，0］，t∈［0，1］，则ut∈C.

当τ＝0时，C退化为R，此时边值问题（1）退化为一般的常微分方程边值问题，其正解的存在性已经被许多学者做过研究［3-4］.若f（t，u）≡f（u），λ≡1，φ（0）＝0，则边值问题（1）即为马［4］所研究的三点边值问题，

其中：η∈（0，1）；0≤αη＜1；p∈C（［0，1］，［0，＋∞））；f∈C（［0，＋∞），［0，＋∞））.运用锥上的不动点指数理论，该文获得了当f满足超线性或次线性增长条件时，边值问题（2）的正解存在性.当φ（t）≡0（t∈［－τ，0］）时，边值问题（1）即为王等［8］所讨论的如下滞后型泛函微分方程多点边值问题，

其中：λ＞0为参数，且满足：

是连续函数，且存在常数0≤b＜c≤1－τ，使得.运用锥拉伸与锥压缩不动点定理，该文获得了边值问题（3）正解存在的充分条件.

本文通过构造一个特殊的锥，利用函数的凹性，将文献［8］中对0＜τ＜1的限制放宽为τ≥0，且去掉了τ≡0的要求，运用锥上的不动点定理，得到了边值问题（1）正解存在的充分条件及参数的取值范围，本文的结果推广和改进了文献［4，7-8］中的相关结果.

1 预备工作

本文做以下假设：

（H2）f∶［0，1］×C＋→［0，＋∞）是连续函数，p∶（0，1）→［0，＋∞）连续，可在t＝0和t＝1处奇异，满足，且存在常数

在C［－τ，1］中定义，则C［－τ，1］是Banach空间，在C［－τ，1］中构造一个锥如下：

K ＝｛u∈C［－τ，1］|u（t）≥0，t∈［－τ，1］，u在［0，1］上为凹函数｝.

容易验证边值问题（1）等价于下面的积分方程，

其中：

于是由G（t，s）的定义及（H2），得：

定义算子A∶K →C［－τ，1］如下：

由条件（H1）和（H2）易知在锥K 中，u 是边值问题（1）的解当且仅当u是A 的不动点.

引理1 设X 是Banach空间，如果An∶X →X（n＝1，2，3…）是全连续算子，A∶X →X 且对任意的r＞0有：

那么A 是全连续算子.

引理2 A∶K →K 全连续，这里算子A 由式（6）定义.

证明 由凹函数的定义易知AK ⊂K，下证K的全连续性.对任意的自然数n（n≥2），定义：

则pn∶［0，1］→［0，＋∞）连续，且pn（t）≤p（t），t∈（0，1），令：

首先证明An∶K →K 全连续，易知AnK ⊂K.由f的连续性可知An是连续的.设B是C［－τ，1］中的有界子集，由Arzela-Ascoli定理，只需证明AnB在C［－τ，1］上一致有界且等度连续即可.

显然｛ut|u∈B，t∈［0，1］｝在C＋中关于t∈［0，1］一致有界，且存在常数C0使得

又因为pn在［0，1］上一致连续，从而An（B）在C［－τ，1］上有界.再设u∈B，t1，t2∈［－τ，1］，若0≤t1≤t2≤1，则

若－τ≤t1≤t2≤0，则|Anu（t2）－Anu（t1）|＝|φ（t2）－φ（t1）|；

若－τ≤t1＜0＜t2≤1，则

对于上述任一种情形，由φ在［－τ，0］上一致连续，G在［0，1］×［0，1］上一致连续，且pn在［0，1］上一致连续可知，对∀u∈B，t1，t2∈［－τ，1］，当|t2－t1|→0时，有|Anu（t2）－Anu（t1）|→0，即AnB 等度连续，由此An∶K →K 全连续.

令：，从而对任意的R ＞0取u∈BR＝｛u∈C［－τ，1］｝|‖u‖≤R，则

因此由引理1知A∶K →K 全连续.证毕.

引理3 存在常数γ∈（0，1），使得对∀u∈K，μ ∈［σ，1－σ］都有‖uμ‖C≥γ‖u‖［0，1］.其中：

证明 令，对∀u∈K，μ∈［σ，1－σ］有：

因为u（t）是凹函数且u（t）≥0，所以∃θ∈［0，1］使得u（θ）＝‖u‖［0，1］.下面分3种情况证明

1）若，由u的凹性可知，即

2）若θ≤δ＜μ则，由u的凹性可 知

3）若δ ＜θ ＜μ 则，u（μ）｝，从而又可归结为1），2）的情形.

综上，只要令，就有：，故由式（11）得：‖uμ‖C≥γ‖u‖［0，1］.证毕.

引理4［13-14］ 令：X 为Banach空间，K 为E 中的一个锥，Ω1，Ω2为X 中有界开集且；A∶→K 为全连续算子，若下列条件之一成立：

则A 在中至少有一个不动点.

为方便起见，再给出几个记号：

2 主要结果

定理1 假设条件（H1），（H2）成立，又若成立条件：

则对，边值问题（1）至少存在一个正解.

证明 1）由知，存在一个常数ε＞0，使得：

因为f 0 ＜∞，则存在r1＞‖φ‖ 使得：

于是对∀u ∈K，‖u‖ ＝r1由式（7），（12）-（13）及‖us‖C＜r1有：

又由f∞＞0知存在r2＞r1使得：

取u∈K，‖u‖ ＝r2，由式（6），（15）有：

结合 式（14），（16）及 引 理4 知A 在K ∩中至少有一个不动点u0，且r1≤u0≤r2由于u0在（0，1）上是凹函数，于是u0（t）＞0，t∈（0，1），从而u0是边值问题（1）的一个正解.证毕.

定理2 假设条件（H1），（H2）成立，又若成立条件：

则对，边值问题（1）至少存在一个正解.

证明 1）由知，存在一个常数ε＞0，使得：

因为f0＞0，则存在R1＞0使得：

对u∈K，‖u‖＝R1，由式（7），（17）-（18）及‖us‖C＜R1，得：

由f∞＜∞知存在R2＞R1使得：

下面分两种情况来讨论：

1）若f 有界，则存在N ＞0使得：

取d s，R1｝，则对∀u∈K，t∈［－τ，1］，‖u‖＝R3有：

2）若f无界，则存在R4＞max｛‖φ‖C，R1｝使得：

则对∀u∈K，‖u‖ ＝R4有：

取R5＝max｛R3，R4｝，则

结合式（19），（23）及引理4知A在中至少有一个不动点u*，且R1≤‖u*‖

≤R5，由于u* 在（0，1）上是凹函数，于是u*（t）＞0，t∈（0，1）从而边值问题（1）至少存在一个正解.证毕.

【相关文献】 ［1］Il＇in V A，Moiseev E I.Nonlocal boundary-value problem of the first kind for a

Sturm-Liouvlle operator in its differentia equations［J］.J.Differ.Equation，1987，23：803-810.

［2］Il＇in V A，Moiseev E I.Nonlocal boundary-value problem of the first kind for a

Sturm-Liouvlle operator［J］.J.Differ.Equation，1987，23（8）：979-987.

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