二阶奇异边值问题正解的存在性

两类奇异边值问题正解的存在性的开题报告

奇异边值问题是指边值条件在某些特定点上具有奇异性的问题。在数学和应用中都有广泛的应用，例如电磁场、热传导等。两类奇异边值问题正解的存在性是指指定边值条件下，是否存在满足问题条件的解。

一类奇异边值问题指的是一个线性微分方程组，在某些特定点上，其系数矩阵的行列式为0，这种情况称为奇异性。例如，在Poisson方程中，若解在某个点上是无界的，则其系数矩阵的行列式为零，因此具有奇异性。

对于一类奇异边值问题，其正解的存在性取决于边界点的分布。通常，如果边界点的分布呈现均匀性，则解可能存在。例如，对于Poisson方程，在内部无界的情况下，若边界是凸多边形，则其正解一定存在。此外，若边界条件具有特殊的几何形态，例如圆、球等，则其正解也可能存在。

另一类奇异边值问题指的是边界条件具有特殊的奇异性，例如Dirichlet条件和Neumann条件，其常见于电场和磁场的问题中。对于这类问题，其正解的存在性通常取决于边界条件和问题的特定性质。例如对于Dirichlet条件，假设边界条件呈现足够的光滑性，那么解会存在于该区域内，而对于Neumann条件，若边界与问题内部的几何形态相关，则其正解会存在。

综上所述，两类奇异边值问题正解的存在性与问题中的边界条件，几何形态和内部结构有关。在解决这类问题时，需要根据问题的具体特点进行分析，找到合适的解决方法。

第３８卷第１期　２０１２年１月　曲阜师范大学　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｕｆｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｖｏ１．３８　Ｎｏ．１　Ｊａｎ．２０１２　

无穷区间上二阶微分方程　

无穷多点边值问题的正解存在性　

赵林燕，赵增勤　

（曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，山东省曲阜市）　

摘要：利用Ｓｅｈａｕｄｅｒ不动点等定理，研究无穷区间上二阶微分方程无穷多点边值问题，得出了所考虑　边值问题正解的存在性、唯一性及迭代序列，此外还进行了举例应用．　关键词：不动点；无穷区间；正解；边值问题．　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１．５３３７（２０１２）０１－００３０－０７　

１引言与预备知识　

线性二阶常微分方程的多点边值问题由Ｉ１’ｉｎ和Ｍｏｉｓｅｅｖ首先提出　．然后，有许多人开始研究在各　种非线性条件下的非线性二阶多点边值问题．尤其，有许多学者已经关注无穷区间上边值问题的一个或多　

个解的存在性　，这些问题经常出现在求解非线性椭圆方程的径向对称解、气体动力学等过程中．　本文考虑如下非线性微分方程的无穷多点边值问题：　

ｒ　”（ｔ）＋ｑ（　）厂（ｔ，ｕ（ｔ））＝０，ｔ∈　，　Ｊ　＋　（１．１）　【　（０）＝∑Ｏｌｉ“（叼　），“　（＋∞）＝０，　ｌ＝１　

其中Ｒ０＝ＥＯ，＋。ｏ），Ｒ　＝（ｏ，＋∞），ｆ∈Ｃ（Ｒｏ×Ｒ０，Ｒｏ），ｉ∈Ｎ，叼　∈（ｏ，＋∞），Ｊｔ　Ｏ≤∑ＯＬ　＜１，　

（＋∞）＝ｌｉｍｕ　（ｔ）．此外，本文中ｇ（ｔ）还应满足下列条件：　

（Ｈ）ｇ（ｔ）是定义在　上的非负连续函数且ｇ（ｔ）在　上的任意子区间上不恒等于零，并且　＋∞　Ｉ　ｔｑ（ｔ）ｄｔ＜＋∞．　０　文献［７］中，张研究了下列二阶微分方程的ｍ点边值问题：　

ｒ　”（ｔ）＋ｈ（ｔ）ｇ（ｔ，　（ｔ））＝０，ｔ∈Ｒｏ，　｛　ｍ—　【　（０）＝∑　（　），　（ｏ。）＝　≥０，　Ｉ＝Ｉ　其中ｇ∈Ｃ（Ｒ。×Ｒ。，Ｒ。）．非线性项ｇ关于　是增的，ｈ（ｔ），ｔｈ（ｔ）∈Ｌ　（　）．　

大　庆　石　油　学　院　学　报　ＪＯＵＲＮＡｌ　ＯＦ　ＤＡＱＩＮＧ　ＰＥＴＲＯＩ　ＥＵＭ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　第３４卷　第２期　２０１０年４月　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．　２０１０　

偶数阶非线性奇异边值问题正解的存在唯一性　

刘继颖，孔令彬　（大庆石油学院数学科学与技术学院，黑龙江大庆　１６３３１８）　

摘　要：通过扰动技巧、比较原理和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理证明了一类偶数阶非线性奇异边值问题的正解存在性和唯　一性．　关键词：偶数阶边值问题；奇性；正解的存在唯一性；扰动技巧　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—１８９１（２０１０）０２—０１１３一Ｏ４　

近年来，关于非线性微分方程边值问题正解的存在性、唯一性已有一些研究．在非奇异的情形下，文　献［１］中得到了含有所有偶数阶导数的高阶边值问题存在多个正解的条件，文献［２］中讨论了一类高阶方　程正解的存在唯一性问题．在奇异的情形下，文献［３—５］中研究了不同类型的二阶与四阶奇异边值问题的　正解，得到了所讨论问题存在正解的条件，文献［６］中研究了具有奇性的多点边值问题正解的存在性，而文　献［７３中重点利用混合单调迭代法对奇异二阶常微分方程解的存在性和唯一性进行讨论，文献Ｅ８３提出和　采用初值问题过渡到边值问题的方法，给出了Ｇｒｅｅｎ函数积分表达式并建立了先验估计，进一步改进　Ａｇａｒｗａｌ给出的条件，重新建立了正解存在性结果，但未考虑具有奇性的情形．笔者借鉴文献［８］，得到了　偶数阶非线性微分方程边值问题的Ｇｒｅｅｎ函数的表达式，在允许是奇异的情况下，通过扰动技巧、比较原　理和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理建立了该问题正解的存在唯一性结果．　

１　问题的提出　讨论偶数阶非线性微分方程奇异边值问题　ｒ（一１）　Ｙ　’（ｚ）一ｆ（ｘ，　（　）），ｌｚ　Ｅ（Ｏ，１）；　“　（０）一　“　（１）一０，０≤ｉ≤ｍ～１；　（１）　【Ｙ　（　）Ｅ　ｃＥｏ，１３，Ｙ　（ｚ）Ｅ　ＬＩ。　（０，１）．　正解的存在唯一性，其中ｆ（ｘ，Ｙ（　））可以在　一０，ｚ一１或Ｙ：０处具有奇性，例如：ｆ（ｘ，　）一３７　（１一　ｚ）－。．　假设：（Ｈ１）厂（　，　）于（０，１）×（０，＋ｃｘ３）有定义，对每个固定的ＹＥ（０，＋。。），ｆ（ｘ，　）在（Ｏ，１）内非负　ｒ１　可测，并且ｌ　ｚ一　（１一ｚ）一　ｆ（ｘ，　（ｚ））ｄｘ＜＋。。成立；（Ｈ２）对几乎所有的ｘＥ（ｏ，１），ｆ（ｘ，　）关于　连续　Ｊ　０　不增．　定义　称　（　）是边值问题（１）的正解，如果　（ｚ）满足　（１）ｙＥ　Ｃ一　［０，１］，　（　）＞０，ｚ∈（Ｏ，１），并且　‘　（Ｏ）：　‘　（１）：＝：０，Ｏ≤　≤ｍ～１；　（２）　∈Ｅｌ。　（０，１），并且（一１）　（ｚ）一ｆ（ｘ，　（　）），ａ．ｅ．ｘＥ（０，１）．　

第２８卷第４期　工　程　数　学　学　报　ｖ０１．２８　Ｎｏ．４　２０１１年０８月　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ａｕｇ．２０１１　

文章编￣－：１００５—３０８５（２０１１）０４—０４８９—０９　

二阶奇异脉冲微分方程周期边值问题的正解牢　

蔡静静　

（同济大学数学系，上海２０００９２１　

摘要：二阶微分方程边值问题可描述两端支撑弹性梁的形变等一些问题，其广泛的应用引起很多学者的　关注．本文研究二阶周期边值问题，其中非线性项在端点处具有奇异性（非线性项可有不同的超　次线性１．通过构造一个特殊的锥，利用不动点指数定理得到了该问题的正解．最后给出一个例　子说明主要结果．　

关键词：二阶微分方程；正解；全连续；不动点指数　

分类号：ＡＭＳ（２０００１　３４Ｂ１５　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　

１　引言　

二阶奇异脉冲微分方程在应用数学、工程学和物理化学等领域中有着广泛的应用．脉冲微　分方程描述了可以在某点或者某个时刻突然改变状态的一类模型．由于这类微分方程有着深刻　

的背景，目前很多作者已经对此有所研究［　一引．本文研究如下周期边值问题（ＢＶＰ）　

ｔ∈Ｊ　．　

ｋ＝１，２，…，仇，　（１）　

正解的存在性，其中０＝ｔｏ＜ｔｌ＜ｔ２＜…＜ｔ　＜ｔｍ＋ｌ＝１，Ｊ　＝［０，２７ｒ］＼｛￡１，ｔ２，…，　｝，Ｍ＞　０，＾∈Ｃ（Ｊ×Ｒ＋，Ｒ＋），Ｊ＝【０，２７ｒ］，厶，％∈Ｃ（ｉｔ＋，Ｒ＋），ｉ＝１，２．令ｍ＝、／／丽且有　

一　１　，　（　）＜Ｉｉ，ｋ（　）＜　，　（　），　∈Ｒ＋　

Ａｘ（ｔｋ）：　（ｔ　）一　（　），Ａｘ　（ｔｋ）＝　（ｔ去）一Ｘ／（ｔ　），ｈｉ（ｔ）：Ｊ—Ｒ＋在ｔ＝０和ｔ＝２７ｒ处奇异．　文献［４］利用不动点指数定理研究了带有Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件的微分方程　

ｔ≠ｔｋ，ｔ∈［０，１】　

ｋ＝１，２，…，ｍ，　

正解的存在性，得到了ＢＶＰ（２）一个正解和两个正解的存在性结果．