一类奇异边值问题解的存在性

第２６卷第９期　２０１０年９月　赤峰学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．２６　Ｎｏ．９　Ｓｅｐ．２０１０　一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性　杨静宇　（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰０２４０００）　摘要：本文利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值　问题的正解存在性，并将相关文献中的部分条件做了推广．　关键词：奇异脉冲微分方程；正解；锥　中图分类号：０１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２６０Ｘ（２０１０）０９－００１１－０３　１预备知识及引理　非线性脉冲微分方程是微分方程的一个重要分支，文献　【１】，【２】及［６】，【９】，［１０１针对不同的方程类型，在不同的空间中分　别利用上下解方法及不动点定理等理论讨论了方程解、正　解以及多个正解的存在性．抽象空间中带脉冲的奇异边值问　题是脉冲微分方程领域比较新的分支，文献［７］．【８］分别讨论　了两类奇异脉冲微分方程解及正解的存在性．文献【１】在Ｒ　空间中利用Ｓｈａｕｄｅｒ不动点定理考察了方程　一ｘ”－－－ｆ０，ｘ，ｘ。）　ｔ≠ｔｋ　Ａｘｌ　＝Ｉｔ（ｘ（ｔｋ），Ｘ’（ｔａ）　ｋ＝ｌ，２，…ｍ　Ａｘ”１　＝Ｉ　ｋ（ｘ（ｔＯ，ｘ’（ｔＯ）ｋ＝ｌ，２，…ｉｎ　ｘ（０）＝０　ｘ（１）＝ｏ￣ｘ（ＴＩ）　解的存在性，文【２】在Ｂａｎａｃｈ空间中利用严格集压缩算子范　数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论了方程（１）的一种特　殊情况即　∈（Ｉ肼１］时方程正解的存在性．本文则在文【２】的基　础上减弱部分条件仍利用严格集压缩算子范数形式的锥拉　伸与锥压缩不动点定理针对ｆｉｔ，】【’ｘ’）在ｔ＝Ｏ．ｔ＝ｌ奇异的情况讨　论第三点　∈（ｆ　１】时方程（１）正解的存在性．　这里Ｅ是Ｂａｎａｃｈ空ＰＴＪ＝［Ｏ，１】，０＜ｔ。＜ｌ２＜…＜ｔ巾＜１＇Ｊ．＝Ｊｑｔｌ，ｔ２，　…，ｔ　｝，ｆ∈Ｃ［（０，１）×Ｅ　ＸＥ，Ｅ】，Ｉｋ∈Ｃ【Ｅ，Ｅ】，ｉｋＥＣ［Ｅ　ＸＥ，Ｅ】．并且　０＜ｏｒｑ＜ｌ，ｏｔ＞１．由　∈　１】知存在ａ’，ｂ’使１１＜ａ’＜ｂ’＜ｌ且ｄ≥　，记Ｉ。＝　ｂ’】．　ＩＩ　ＰＣ［Ｊ，Ｅ］＝｛ｘ：Ｊ－－－－￣Ｅ，ｘ（Ｉ）在ｔ　ｔｋ连续，在ｔ＝ｔＩ【左连续右极限　存在１　ＰＣ［Ｊ，ＥＩ＝｛ｘ：Ｊ－－－￣Ｅ，ｘ’（Ｉ）在ｔ＃ｔ　连续，在ｔ＝ｔｋ左连续右极限　存在１　分别在范数Ｉｔｘｌｌｒｃ＝ｓｕｐ　Ｉｌｘ（１）和　Ｉ　下完备．设Ｐ是Ｅ中　的一个锥，它引入了Ｅ的一个偏序关系ｓ，ｘ≤ｙ当且仅当　ｙ－ｘ∈Ｐ．Ｉｋ∈Ｃ［Ｐ，Ｐ】，Ｉｋ∈ｃ［Ｐ　Ｘ　Ｅ，Ｐ］，Ｑ＝｛ｘ∈ＰＣ　［Ｊ，Ｅ］Ｘｘ（１）ｔ＞０　ｔ∈　Ｊ）是ＰＣ‘［Ｊ，Ｅ】中的一个锥，且有ｆ在ｔ＝０，ｔ＝ｌ奇异＇ｆ∈【（０，１）Ｘ　Ｐ　Ｘ　Ｅ，Ｐ］，ｘＥＰＣ　【Ｊ，Ｅ］ｎＣ　’，Ｅ】是方程（１）的正解当且仅当它满　足方程（１）且属于Ｑ，ｘ（１）≠Ｏ．　引理１翻设Ｑ。，Ｑ２是Ｅ中以０为中心的开球，且０∈　Ｑ。，　Ｃ　，Ａ映Ｐｎ（￣ｃｎ　）到Ｐ是严格集压缩算子，如果　满足条件：　（１）ＩＩ／ｂｄｌ≤Ｉｌｘｌｌ，ＶｘＥＰｎａＱｌ；１１￣１１≥Ｉｌｘｌｌ，ＶｘＥＰｎａ　．　（２）ＩＡｘｌｌ≥Ｉｌｘｌｌ，ＶｘＥＰｎａＱＪ；ＩＩＡ￣ＩＩ≤Ｉｌｘｌｌ，ＶｘＥＰｎａｎ２．　则Ａ在Ｐｎ（　ｃｎ。）中至少有一个不动点．　考察算子方程Ａｘ（Ｉ）＝ｘ（１）其中　Ａｘ（ｔ）：　Ｇ（ｔ，ｓ）ｆ（ｓ，ｘ（ｓ），ｘ・（ｓ））ｄｓ＋∑［Ｉｋ（ｘ（ｔｋ））＋（ｔ—ｔＯｉｋ（ｘ（ｔｋ），ｘ’㈨）］　＋　（　一　ｋ∑　（１－ｔ０Ｉｋ（ｘ（ｔ０，ｘ’（Ｉｋ））】　Ｇ（ｔ，ｓ１＝　０≤ａ≤ｔ≤　０≤ｓ≤　≤ｔ　－一Ｌ【Ｉｌ　Ｉ二　０≤ｔ≤ｓ≤　１一‘ＪＩｌ　ｓ（１－ｔ）＋ｃｃｑ（ｔ－７￣Ｔｌ≤ｓ≤ｔ≤１　１－ｅｃｑ　０≤ｔ≤１≤ｓ≤１　０≤　≤ｔ≤ｓ≤１　ｌ一０【ｍ　引理２【剖ｘＥＰＣ　【Ｊ，Ｅ］ｎｃ。［Ｊ’，Ｅ】是方程（１）的正解当且仅　当ｘＥＰＣ　［Ｊ，Ｅ］是方程（２）正的不动点．　２主要结果　为方便起见将条件归列如下：　（１ｌ１）ｌｌｆ（ｔ，ｘ，ｙ）ｌｌ￣＜ｇ（ｔ）ｌｌｈ（ｘ，ｙ）ｔｌ，ｔｅ（Ｏ，１），ｘ，Ｙ∈Ｅ．其中ｇ：（０，１）—　（０，　基金项目：内蒙古高等学校科学研究项目，ＮＪｚｒ０８１５０，ＮＪｚｃ０８１６０　—

第２５卷第２期　工　程　数　学　学　报　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．２　２０¨Ｄ８年０４月　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ａｐｒ．２００８　

文￣－：１００５—３０８５（２００８）０２—０２８１—０７　

一类奇异二阶边值问题正解存在的充分必要条件木　

杨风华　

（曲阜师范大学数学科学学院，曲阜２７３１６５）　

摘要：本文利用锥拉伸与压缩不动点定理，在非线性项为超线性或次线性及非线性项可分解为超线性与　次线性的情况下，给出一类二阶边值问题有一阶可导正解的充分必要条件，推广并改进了一些已　

知的结果。　

关键词：奇异边值问题；正解；充分必要条件；超线性　

分类号：ＡＭＳ（２０００）３４Ｂ１５；３４Ｂ２５　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　

１　引言　

奇异边值问题有着较为深刻的实际背景，人们最早在研究大气对流，天体演变及一些流体　

力学问题中提出。近年来，人们开始对更为一般的奇异边值问题（ＢＶＰ）　

（其中ａ，　，　，　０，Ｐ＝　＋　＋　＞０，ｆ在ｔ＝０或ｔ＝１处可具有奇性）进行了研　究，得到了一些较为深刻的结果。但目前这类文章大多集中在次线性的情况，如文ｆ１—５１，而由　

于对超线性奇异边值问题的研究有许多困难，结果是比较少的。最近文ｆ６一ｌＯ］对超线性的情况　

作了研究，得到了很好的结果。但对超线性的情况目前几乎所有的文献都要求非线性项厂是可　变量分离的，而且在证明过程中．厂可分离起着至关重要的作用，如文［７－１０１。　本文致力于对非线性项不要求分离的情况下，分别在．厂为超线性（次线性）或．厂可分解为一　

个超线性与一个次线性之和时研究ＢＶＰ（１．１），得到了其正解存在的充分必要条件，在本质上　改进了文ｆ９１的结果，并推广了文ｆ３，５，７，８１的一些结果，且本文所用方法也与已有论文的方法有　较大不同。　

２　预备知识及引理　

设Ｇ（ｔ，８）是ＢＶＰ（１．１）当札　＝０时满足（１）中边界条件的Ｇｒｅｅｎ函数，即　

第３６卷第１期　２０１０年１月　曲阜师范大学　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｕｆｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｖ０１．３６　Ｎｏ．１　Ｊａｎ．２０１０　一类奇异二阶微分方程对称正解的存在性　李成飞，　赵增勤　（曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，山东省曲阜市）　摘要：利用锥拉伸与压缩不动点定理得到了一类奇异二阶两点边值问题对称正解的存在性结果，非线　性项＿厂可以在ｔ＝０，１和　＝０奇异。　关键词：不动点定理，奇异边值问题，对称正解．　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—５３３７（２０１０）０１－０００６－０７　１　引　言　考虑如下一般形式的边值问题　１（ｐ（ｆ）ｕ　））　＋　￡，“（ｆ））＝０，０＜　＜１，　ｕ（０）一　ｌｉＨｌｐ（ｔ）　，（ｔ）：０，　１・１　ｕ（１）＋　ｌｉｍｐ（ｔ）“　（ｔ）＝０，　其中Ｏｔ＞Ｏ，　≥０为常数，Ｐ∈Ｃ（［０，１］，［０，＋∞）），Ｐ（ｔ）＞０，ｔ∈（０，１）且Ｐ（ｔ）＝ｐ（１一ｔ），ｔ∈［０，１］．　近三十年来，由于常微分方程奇异边值问题在自然科学和工程技术中的广泛应用，引起了对相关问题　的广泛研究，尤其对二阶奇异两点边值问题的研究倍受各国学者的关注，出现了大量的优秀成果（参见文　献［１－６，１１］及相应参考文献）．文献　５］在Ｐ（ｔ）；１，　＝０，ｆ关于两变量非奇异的情况下，利用Ｌｅｇｇｅｔｔ和　Ｗｉｌｌｉａｍｓ的一个推广定理研究了边值问题（１．１）对称正解的存在性，文献［６］在Ｐ（ｔ）一１　关于第二个变量　非奇异的情况下，采用单调迭代方法研究了边值问题（１．１）对称正解的存在性，两者都获得了较好的结果，　相应还有文献［７－９］及参考文献．受文献［１，５，６］的启发，本文在假定非线性项，关于两变量都可以是奇异　的情况下，利用锥拉伸与压缩不动点定理进一步研究边值问题（１．１），并得到了对称正解存在的新结果．　函数　（ｔ）∈Ｃ［０，１］称为问题（１．１）的对称正解是指Ｉｔ（ｔ）满足（１．１）式且对ｔ∈（０，１），ｕ（ｔ）＞０和对ｔ　∈［０，１］，Ｕ（ｔ）／＞０，Ｉｔ（ｔ）＝Ｍ（１一ｔ）．　记Ｅ＝ｃ［ｏ，１］，对ｕ∈Ｅ定义范数Ｉｌ　ｕ　ｌ１＝ｍ…ａｘ　Ｉ　ｕ（ｔ）Ｉ，则（Ｅ，ｌ１．１Ｉ）成为一个Ｂａｎａｃｈ空间．　我们作如下假定：　ｒ１　１　（Ｈ１）Ｐ（ｆ）∈Ｃ（［０，１］，［０，＋∞）），且ｆ，　ｄｔ＜＋∞，Ｐ（￡）＝Ｐ（１一ｔ），ｔ∈［０，１］，ｆ∈Ｃ（（０，１）　０　Ｐ　，　×（０，＋∞），［０，＋∞）），对任意（ｔ，　）∈（０，１）×（０，＋∞）　１一ｔ，ｕ）＝　ｔ，ｕ）；　（Ｈ２）　对任意（￡，Ｍ）∈（０，１）ｘ（０，＋∞）　ｔ，　）≤｜ｉ｝。（ｔ）ｇ（Ｉｔ）＋Ｊｉ｝２（ｔ），其中　，　２∈ｃ（ｏ，１），ｇ∈　Ｃ（（０，＋∞），［０，＋００）），且ｇ（“）在（０，＋∞）上单调非增，存在Ｍ＞０，使得对任意ｕ＞０，ｇ（“）≥Ｍ，　１　ｋ　（ｔ）在÷附近不恒为０，并满足　收稿日期：２００９－０６－０２　基金项目：国家自然科学基金（１０８７１１１６），山东省自然科学基金（Ｙ２００６Ａ０４）．　作者简介：李成飞，男，１９８４一，硕士；研究方向：非线性分析．邮箱地址：ｌｉｃｈｅｎｇｆｅｉ０２＠１２６．ｔｏｍ．　赵增勤，男，１９５５一，教授；研究方向：非线性分析．邮箱地址：ｚｑｚｈａｏ＠ｍａｉｌ．ｑｆ

第２１卷第５期　２０１０年９月　陇东学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２１　Ｎｏ．５　Ｓｅｐ．２０１０　

一类高阶奇异ｔ乍线性微分方程组边值ｌ闭题　

正解存在性和多重性　

李万军　

（陇东学院数学系，甘肃庆阳７４５０００）　

摘要：利用锥上的不动点定理，研究了带有独立参数的非线性２ｐ一２ｇ阶奇异常微分方程组正解的存在性　和多重性．　关键词：高阶奇异微分方程组；正解；锥；不动点定理　中图分类号：０１７５．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—１７３０（２０１０）０５－０００１－０５　

Ｔｈｅ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　

ｆ０ｒ　Ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　

ＬＩ　Ｗａｎ－ｊｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ，Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ　７４５０００，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　

０ｆ　２ｐ一２ｑ　ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｗｅ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｈａｓ　

ｏｎｅ　ｏｒ　ｔｗｏ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｈｅｎ　ａｎｄ　ｂｅｌｏｎｇ　ｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｏｐｅｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ；Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｃｏｎｅ；Ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ