数学_2013年上海市闸北区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．

1. 设为虚数单位，集合𝐴={1, −1, 𝑖, −𝑖}，集合𝐵={𝑖10，1−𝑖4，(1+𝑖)(1−𝑖)，1+𝑖1−𝑖}，则𝐴∩𝐵=________．

2. 函数𝑦=sin2𝑥(−𝜋2<𝑥<0)的反函数为________．

3. (1+2𝑥)3(1−𝑥)4展开式中𝑥2的系数为________．

4. 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为𝜉，则随机变量𝜉的数学期望𝐸𝜉=________．

5. 半径为𝑟的球的内接圆柱的最大侧面积为________．

6. 设𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)为空间直角坐标系内一点，点𝑀在𝑥𝑂𝑦平面上的射影𝑃的极坐标为(𝜌, 𝜃)（极坐标系以𝑂为极点，以𝑥轴为极轴），则我们称三元数组(𝜌, 𝜃, 𝑧)为点𝑀的柱面坐标．已知𝑀点的柱面坐标为(6,𝜋3，−1)，则直线𝑂𝑀与𝑥𝑂𝑧平面所成的角为________．

7. 设𝑦=𝑓(𝑥)为𝑅上的奇函数，𝑦=𝑔(𝑥)为𝑅上的偶函数，且𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+1)，𝑔(0)=2．则𝑓(𝑥)=________．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）

8. 某商场在节日期间举行促销活动，规定：

(1)若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；

(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；

(3)若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．

某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为________．

9. 设𝑂𝐴→=(𝑥,𝑎−𝑥)，𝑂𝐵→=(𝑥,2)，𝑥∈[1, 2)，且𝑂𝐴→⊥𝑂𝐵→，则函数𝑓(𝑥)=log𝑎|1𝑎𝑥−1|的最大值为________．

二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分．

10. 命题“对任意的𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)>0”的否定是（ ）

A 对任意的𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)≤0 B 对任意的𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)<0 C 存在𝑥0∈𝑅，𝑓(𝑥0)>0 D 存在𝑥0∈𝑅，𝑓(𝑥0)≤0

11. 设函数𝑓(𝑥)=lg(𝑎𝑥−𝑏𝑥)(𝑎>1>𝑏>0)，若𝑓(𝑥)取正值的充要条件是𝑥∈[1, +∞)，则𝑎，𝑏满足（ ）

A 𝑎𝑏>1 B 𝑎−𝑏>1 C 𝑎𝑏>10 D 𝑎−𝑏>10

12. 在𝑥𝑂𝑦平面上有一系列的点𝑃1(𝑥1, 𝑦1)，𝑃2(𝑥2, 𝑦2)，…，𝑃𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)，…，对于所有正整数𝑛，点𝑃𝑛位于函数𝑦=𝑥2(𝑥≥0)的图象上，以点𝑃𝑛为圆心的⊙𝑃𝑛与𝑥轴相切，且⊙𝑃𝑛与⊙𝑃𝑛+1又彼此外切，若𝑥1=1，且𝑥𝑛+1<𝑥𝑛．则lim𝑛→∞𝑛𝑥𝑛=( ) A 0 B 0.2 C 0.5 D 1

三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

13. 已知向量𝑚→=(cos𝜃,sin𝜃)和𝑛→=(√2−sin𝜃,cos𝜃)，𝜃∈(𝜋, 2𝜋)，且|𝑚→+𝑛→|=8√25，求sin𝜃和cos(𝜃2+𝜋8)的值．

14. 某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，𝐴𝐵=16米，𝐴𝐷=4米，腰梁𝐴𝐸、𝐵𝐹、𝐶𝐹、𝐷𝐸分别与相交的底梁所成角均为60∘．

（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；

（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？

15. 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中，空间曲面的方程是一个三元方程𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)=0．

设𝐹1、𝐹2为空间中的两个定点，|𝐹1𝐹2|=2𝑐>0，我们将曲面Γ定义为满足|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎(𝑎>𝑐)的动点𝑃的轨迹．

（1）试建立一个适当的空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧，求曲面Γ的方程；

（2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图．

16. 设数列{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}满足：对任意𝑛∈𝑁∗，都有𝑏𝑎𝑛−2𝑛=(𝑏−1)𝑆𝑛，𝑏𝑛=𝑎𝑛−𝑛⋅2𝑛−1．其中𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和．

（1）当𝑏=2时，求数列{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}的通项公式；

（2）当𝑏≠2时，求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．

17. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知曲线𝐶1为到定点𝐹(√32，12)的距离与到定直线𝑙1：√3𝑥+𝑦+2=0的距离相等的动点𝑃的轨迹，曲线𝐶2是由曲线𝐶1绕坐标原点𝑂按顺时针方向旋转30∘形成的．

（1）求曲线𝐶1与坐标轴的交点坐标，以及曲线𝐶2的方程；

（2）过定点𝑀0(𝑚, 0)(𝑚>2)的直线𝑙2交曲线𝐶2于𝐴、𝐵两点，已知曲线𝐶2上存在不同的两点𝐶、𝐷关于直线𝑙2对称．问：弦长|𝐶𝐷|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）答案

1. {−1, 𝑖}

2. 𝑦=arcsin(−√𝑥)，(0<𝑥<1)

3. −6

4. 1

5. 2𝜋𝑟2 6. arcsin3√11137

7. 2sin𝜋2𝑥

8. 2000

9. 0

10. D

11. B

12. C

13. 解：𝑚→+𝑛→=(cos𝜃−sin𝜃+√2,cos𝜃+sin𝜃)，

|𝑚→+𝑛→|=√(cos𝜃−sin𝜃+√2)2+(cos𝜃+sin𝜃)2

=√4+2√2(cos𝜃−sin𝜃)

=√4+4cos(𝜃+𝜋4)．

=2√1+cos(𝜃+𝜋4)

由已知|𝑚→+𝑛→|=8√25，得cos(𝜃+𝜋4)=725，

∴ sin(𝜃+𝜋4)=√1−(725)2=2425，

∴ sin𝜃=sin[(𝜃+𝜋4)−𝜋4]=√22×(2425−725)=17√250；

又cos(𝜃+𝜋4)=2cos2(𝜃2+𝜋8)−1，

所以cos2(𝜃2+𝜋8)=1625．

∵ 𝜋<𝜃<2𝜋，∴ 5𝜋8<𝜃2+𝜋8<9𝜋8，

∴ cos(𝜃2+𝜋8)<0．

∴ cos(𝜃2+𝜋8)=−45．

14. 该粮仓可储存176√23立方米的粮食．

15. 解：（1）以两个定点𝐹1，𝐹2的中点为坐标原点𝑂，以𝐹1，𝐹2所在的直线为𝑦轴，以线段𝐹1𝐹2的垂直平分线为𝑥轴，

以与𝑥𝑜𝑦平面垂直的直线为𝑧轴，建立空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧，如图所示

则𝐹1(0, 𝑐, 0)，𝐹2(0, −𝑐, 0)，设𝑃的坐标为(𝑥, 𝑦, 𝑧)，可得

|𝐹1𝐹2|=2𝑐>0，|𝑃𝐹1→|+|𝑃𝐹2→|=2𝑎(𝑎>𝑐)，

∴ √𝑥2+(𝑦+𝑐)2+𝑧2+√𝑥2+(𝑦−𝑐)2+𝑧2=2𝑎，

移项得√𝑥2+(𝑦+𝑐)2+𝑧2=2𝑎−√𝑥2+(𝑦−𝑐)2+𝑧2

两边平方，得∴ 𝑎√𝑥2+(𝑦−𝑐)2+𝑧2=𝑎2−𝑐𝑦，

两边平方，整理得𝑥2𝑎2−𝑐2+𝑦2𝑎2+𝑧2𝑎2−𝑐2=1

令√𝑎2−𝑐2=𝑏，得𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2+𝑧2𝑏2=1．①

因此，可得曲面Γ的方程为𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2+𝑧2𝑏2=1．

（2）对称性：

由于点(𝑥, 𝑦, 𝑧)关于坐标原点𝑂的对称点(−𝑥, −𝑦, −𝑧)也满足方程①，

说明曲面Γ关于坐标原点𝑂对称；

由于点(𝑥, 𝑦, 𝑧)关于𝑥轴的对称点(𝑥, −𝑦, −𝑧)也满足方程①，

说明曲面Γ关于𝑥轴对称；同理，曲面Γ关于𝑦轴对称；关于𝑧轴对称．

由于点(𝑥, 𝑦, 𝑧)关于𝑥𝑂𝑦平面的对称点(𝑥, 𝑦, −𝑧)也满足方程①，

说明曲面Γ关于𝑥𝑂𝑦平面对称；同理，曲面Γ关于𝑥𝑂𝑧平面对称；关于𝑦𝑂𝑧平面对称．

由以上的讨论，可得曲面Γ的直观图如右图所示．

16. 解：由题意知𝑎1=2，且𝑏𝑎𝑛−2𝑛=(𝑏−1)𝑆𝑛，𝑏𝑎𝑛+1−2𝑛+1=(𝑏−1)𝑆𝑛+1

两式相减得𝑏(𝑎𝑛+1−𝑎𝑛)−2𝑛=(𝑏−1)𝑎𝑛+1

即𝑎𝑛+1=𝑏𝑎𝑛+2𝑛①（1）当𝑏=2时，由①知𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+2𝑛

于是𝑎𝑛+1−(𝑛+1)⋅2𝑛=2𝑎𝑛+2𝑛−(𝑛+1)⋅2𝑛=2(𝑎𝑛−𝑛⋅2𝑛−1)

又𝑎1−1⋅2𝑛−1=1≠0，所以{𝑎𝑛−𝑛⋅2𝑛−1}是首项为1，公比为2的等比数列．

故知，𝑏𝑛=2𝑛−1，

再由𝑏𝑛=𝑎𝑛−𝑛⋅2𝑛−1，得𝑎𝑛=(𝑛+1)2𝑛−1．

（2）当𝑏≠2时，由①得𝑎𝑛+1−12−𝑏⋅2𝑛+1=𝑏𝑎𝑛+2𝑛−12−𝑏⋅2𝑛+1=𝑏(𝑎𝑛−12−𝑏⋅2𝑛)

若𝑏=0，𝑆𝑛=2𝑛

若𝑏=1，𝑎𝑛=2𝑛，𝑆𝑛=2𝑛+1−2

若𝑏≠0、1，数列{𝑎𝑛−12−𝑏⋅2𝑛}是以2(1−𝑏)2−𝑏为首项，以𝑏为公比的等比数列，

故𝑎𝑛−12−𝑏⋅2𝑛=2(1−𝑏)2−𝑏⋅𝑏𝑛−1，𝑎𝑛=12−𝑏[2𝑛+(2−2𝑏)𝑏𝑛−1]𝑆𝑛=12−𝑏(2+22+23+⋯+2𝑛)+2(1−𝑏)2−𝑏(1+𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛−1)，