上海闸北区高三数学二模(理)答案
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闸北区2010学年度第二学期高三数学(理科)期中练习卷 2011.4
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚
3. 本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、 填空题(本题满分55分)本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分.
1. 已知z和三'都是纯虚数，那么Z二 .
1 -i
2. _________________________________________________________ 函数y =sin x—cos(二-x) (x ：二R)的单调递增区间为 ___________________________________ .
3. 某高中共有在读学生 430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的 2倍.为了解学
生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查， 在抽取的样本中有高二学生 32人，则该样
本中的高三学生人数为 _________ .
4. 在极坐标系中，圆 ___________________ -2 si nr的圆心的极坐标为
.(写出一个即可)
5. 下列三个命题：①若|a • b|=|a -b |，则a b = 0 ；②若a = 0, a b二a c，则b = c ；
③若| a b | =| a || b |，则a 〃b .其中真命题有 ________ .(写出所有真命题的序号)
6. _____________________ 有一公园的形状为 厶ABC，测得AC二3千米，AB =1千米，/ B=60〔则该公园 的占地面积为 平方千米.
7. 设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为 12二的球面上，则该正方体的体积为 .
&设f(x)是R上的奇函数，g (x)是R上的偶函数，若函数 f(x) • g (x)的值域为［1,3), 则f (x) - g (x)的值域为 _________________________ .
9. 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲
袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随 机抽取1个球，记抽取到红球的个数为 ，则随机变量 的数学期望E = __________ .
10. ______________________________________________________________ 若函数f(x)=2|x_J3 —logax+1无零点，则a的取值范围为 _________________________ .
11 .设 loga x = logb y = -2, a，b=2，则 x y 的取值范围为 _______________ .
二、 选择题(本题满分 20分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结
论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑， 选对得5分，否则一律得零分.
12. 设 a,b •
R，则 “ a b ” 是“ a3 b3” 的 【 】
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .不充分也不必要条件
13. 以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的 母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角
形.其中，真命题的个数为 【 】
A . 4 B. 3 C . 2 D . 1
14 . 一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的 10%，然后再种植2500棵树.经
过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在 【 】
A . 22000 颗 B . 23500 颗 C . 25000 颗 D . 26500 颗 6
2 / 5
15 .已知A(2, -1) , B(-1,1) , O为坐标原点，动点 P满足OP二mOA • nOB，其中
m、n • R，且2m2 - n2 =2，则动点P的轨迹是 【 】
A.焦距为 3 的椭圆 B .焦距为2后的椭圆
C.焦距为 3的双曲线 D .焦距为2 3的双曲线6
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三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域 （对
应的题号）内写出必要的步骤 .
16. （满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分.
设函数 f（x） =log2（2x 1）, x R.
（1） 求 f （x）的反函数 f J（x）；
（2） 解不等式 2f （x）乞 f J（x log25）.
17. （满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 2元，并且每件产品需向总公司交 a元
（2 ma乞6）的管理费，预计当每件产品的销售价为 x元（7乞x^9）时，一年的销售量
为（12 — x）万件.
（1） 求该分公司一年的利润 L （万元）与每件产品的售价 x的函数关系式；
（2） 当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润 L最大，并求L的最大值Q（a）.
18. （满分15分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题6分.
如图，平面:-上定点F到定直线l的距离FA =2，曲线C是平面上到定点F和到
定直线l的距离相等的动点 P的轨迹.
设 FB _ :,且 FB =2.
（1） 若曲线C上存在点F0，使得P0B _ AB , 试求直线P0B与平面壽所成角的大小；
（2） 对（1）中F0，求点F到平面ABPo的距离
19. （满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分.
在数列｛aj 中，a1 = 5 , a* 1 =3an -4n • 2，其中 n • N* .
（1） 设0二a. - 2n，求数列｛0｝的通项公式；
2
（2） 记数列｛an｝的前n项和为Sn，试比较Sn与n 2011n的大小.
20. （满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分.
在二ABC中，A、B为定点，C为动点，记一 A、一 B、一 C的对边分别为a、b、c ,
C
已知c = 2，且存在常数■ （•：；. 0），使得ab cos2 —二，.
2
（1） 求动点—的轨迹，并求其标准方程；
（2） 设点O为坐标原点，过点B作直线l与（1）中的曲线交于 M , N两点，若OM_ON , 试确定'的范围.
高三数学（理科）期中练习卷评分标准与参考答案（2011.4）
3 二 二
一、1. 2i ； 2. ［2k兀 -- 2k兀十一］,Z - 3. 18 ；
4 4 6
4 / 5
3兀、， 兀、 43
4. (1,3 )或(1,: ）或（T,；）等； 5①③； 6.
2 2 2 2
7. 8； 8. (一3,-1］； 5
9. 10. ( .3,：：)； 11. (2,二).
5 / 5
二、 12. C; 13. B; 14. C; 15. D.
三、 16.解：(1) f」(X)=log2(2x 一1) , X (0, ：：) . .......................... 5 分
(2)由 2f(xHi f J(x log25)，得
x log2 5 0，且 2log2(2X 1)叮og2(2X log25-1),
.(2X)2 -3 22 2 ^0, ......................................................................................... 5 分
.1 < 2^12，二 0 _ x _1
综上，得0乞X乞1 . ......................................................................................... 2分
17•解：(1)该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x的函数关系式为：
L (x —a —2)(12 —x)，x [7,9]. ........................................................................... 6 分
(2)当2乞a ：：：4时，此时，8 -丄上:：:9 ,
2
所以，当 x = ? 14 时，L的最大值 Q(a)二(―- a^ , ............................................ 3分
2 4
当4岂a乞6时，此时，9 < <10 ,
2
所以，当x =9时，L的最大值Q(a)=3(7_a) . .......................................................................... 3分
答：若2乞a ：：：4，则当每件产品售价为 4元时，该分公司一年的利润 L最大，最大值
2
(10 -a)
Q(a) ；若4乞a乞6，则当每件产品售价为 9元时，该分公司一年的利润 L最 4
大，最大值Q(a) = 3(7 - a) . ............................................................................... 2分
2
由 F0B _ AB，得 2(1 —匕)4 =0二 y =2、.3，二 P(3,2. 3,0) ............................... 2 分
4
1 J3
所以，直线F0 B与平面口所成角的大小为arctan —(或arcsin — ). .......... 2分
2 3
【解法二】如图，以点 A为原点O,以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系
O - xyz . .............................................................
所以，A(0,0,0) , B(2,0,2) , F(2,0,0)，并设 P(x, y,0),
f 2 2 2 PB2 +AB2 = AP2, .............................................................................................................................................................................................................................................
PF = PE. 18•解：(1)【解法一】如图，以线段 FA的中点为原点O ,
建立空间直角坐标系 O「xyz . ............................... 1分
