数学_2014年上海市金山区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)

2014年上海市金山区高考数学二模试卷（文科）

一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥−2𝑥+5<0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−3≥0, 𝑥∈𝑅}，则𝐴∩𝐵=________．

2. 直线𝑥+√3𝑦+1＝0的倾斜角的大小为________．

3. 函数𝑦=cos(2𝑥+𝜋4)的单调递减区间是________．

4. 函数𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥(𝑥>0)的值域________．

5. 设复数𝑧满足𝑖(𝑧+1)=−3+2𝑖，则𝑧¯=________．

6. 某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取________名学生．

7. 函数𝑓(𝑥)=|sin𝑥+cos𝑥cos(𝜋−𝑥)2sin𝑥cos𝑥−sin𝑥|的最小正周期𝑇=________．

8. 已知函数𝑓(𝑥)=arcsin(2𝑥+1)，则𝑓−1(𝜋6)=________．

9. 如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐴1=2，𝐴𝐶=𝐵𝐶=1，则异面直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶所成角的余弦值是________．

10. 已知实数𝑥、𝑦满足不等式组{𝑥+𝑦≤52𝑥+𝑦≤6𝑥≥0𝑦≥0，则𝑧=3𝑥+4𝑦的最大值是________．

11. 若(1−1𝑥2)𝑛(𝑛∈𝑁∗, 𝑛>1)的展开式中𝑥−4的系数为𝑎𝑛，则lim𝑛→∞(1𝑎2+1𝑎3+⋯+1𝑎𝑛)＝________．

12. 如图，三行三列的方阵中有9个数𝑎𝑖𝑗(𝑖=1, 2, 3；𝑗=1, 2, 3)，从中任取三个数，则这三个数位于不同行不同列的概率是________． （结果用分数表示）

13. 对于集合𝐴={𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎10}，定义集合𝑆={𝑥|𝑥=𝑎𝑖+𝑎𝑗, 1≤𝑖<𝑗≤10}，记集合𝑆中的元素个数为𝑆(𝐴)．若𝑎1，𝑎2，…，𝑎10是公差大于零的等差数列，则𝑆(𝐴)=________．

14. 如图所示，在边长为2的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，动圆𝑄的半径为1，圆心在线段𝐶𝐷（含端点）上运动，𝑃是圆𝑄上及内部的动点，设向量𝐴𝑃→=𝑚𝐴𝐵→+𝑛𝐴𝐹→（𝑚、𝑛为实数），则𝑚+𝑛的最大值为________．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15. 命题𝑝:𝑎≥1；命题𝑞：关于𝑥的实系数方程𝑥2−2√2𝑥+𝑎=0有虚数解，则𝑝是𝑞的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

16. 已知直线𝑙⊥平面𝛼，直线𝑚⊂平面𝛽，有下面四个命题，其中正确命题是( )

①𝛼 // 𝛽⇒𝑙⊥𝑚

②𝛼⊥𝛽⇒𝑙 // 𝑚

③𝑙 // 𝑚⇒𝛼⊥𝛽

④𝑙⊥𝑚⇒𝛼 // 𝛽

A ①与② B ①与③ C ②与④ D ③与④

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别是𝑎、𝑏、𝑐，且∠𝐴=2∠𝐵，则sin𝐵sin3𝐵等于（ ）

A 𝑏𝑐 B 𝑐𝑏 C 𝑏𝑎 D 𝑎𝑐

18. 函数𝑦=√1−(𝑥+2)2图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是 （ ）

A 32 B 12 C √33 D √3

三．解答题：（本大题共5题，满分74分）

19. 如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．

20. 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路𝐵𝐶和一条索道𝐴𝐶，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠𝐴𝐵𝐶=120∘，∠𝐴𝐷𝐶=150∘，𝐵𝐷=1（千米），𝐴𝐶=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从𝐵点出发到达𝐶点）

21. 已知椭圆𝑥2+2𝑦2=𝑎2(𝑎>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆𝐶的方程；

（2）已知直线𝑦=𝑘(𝑥−1)与椭圆𝐶交于𝐴、𝐵两点，若点𝑀(114, 0)，求证𝑀𝐴→⋅𝑀𝐵→为定值．

22. 定义：对于函数𝑓(𝑥)，若存在非零常数𝑀，𝑇，使函数𝑓(𝑥)对于定义域内的任意实数𝑥，都有𝑓(𝑥+𝑇)−𝑓(𝑥)=𝑀，则称函数𝑓(𝑥)是广义周期函数，其中称𝑇为函数𝑓(𝑥)的广义周期，𝑀称为周距．

（1）证明函数𝑓(𝑥)=𝑥+(−1)𝑥(𝑥∈𝑍)是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距𝑀的值；

（2）试求一个函数𝑦=𝑔(𝑥)，使𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)+𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝑥∈𝑅)(𝐴、𝜔、𝜑为常数，𝐴>0，𝜔>0)为广义周期函数，并求出它的一个广义周期𝑇和周距𝑀；

（3）设函数𝑦=𝑔(𝑥)是周期𝑇=2的周期函数，当函数𝑓(𝑥)=−2𝑥+𝑔(𝑥)在[1, 3]上的值域为[−3, 3]时，求𝑓(𝑥)在[−9, 9]上的最大值和最小值．

23. 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数𝑛≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：𝑓(2, 1)=𝑓(1, 1)+𝑓(1, 2)；𝑓(𝑖, 𝑗)为数表中第𝑖行的第𝑗个数．

（1）求第2行和第3行的通项公式𝑓(2, 𝑗)和𝑓(3, 𝑗)；

（2）证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；

（3）求𝑓(𝑖, 1)关于𝑖(𝑖=1, 2,…,𝑛)的表达式．

2014年上海市金山区高考数学二模试卷（文科）答案

1. {𝑥|−5<𝑥≤−1}

2. 5𝜋6

3. [𝑘𝜋−𝜋8，𝑘𝜋+3𝜋8𝑏𝑟𝑎𝑐𝑘(𝑘∈𝑍)

4. [2√2，+∞)

5. 1−3𝑖

6. 40

7. 𝜋

8. −14

9. √66

10. 20

11. 2

12. 114

13. 17 14. 5

15. B

16. B

17. A

18. B

19. 解：根据几何体的三视图知，

原几何体是以半径为1的圆为底面，母线长为2的圆锥

则圆锥的高为√3的圆锥．…3分

则它的侧面积𝑆侧=𝜋𝑟𝑙=2𝜋，…7分

体积𝑉=13𝜋𝑟2ℎ=√33𝜋．…11分

20. 解：由∠𝐴𝐷𝐶=150∘知∠𝐴𝐷𝐵=30∘，

由正弦定理得1sin300=𝐴𝐷sin1200，所以，𝐴𝐷=√3．---------------------------------------

在△𝐴𝐷𝐶中，由余弦定理得：|𝐴𝐶|2=|𝐴𝐷|2+|𝐷𝐶|2−2|𝐴𝐷|⋅|𝐷𝐶|cos150∘，

即32=(√3)2+𝐷𝐶2−2⋅√3⋅𝐷𝐶cos1500，即𝐷𝐶2+3⋅𝐷𝐶−6=0，

解得𝐷𝐶=−3+√332≈1.372（千米），----------------------------------------

所以|𝐵𝐶|≈2.372（千米），--------------------------------------------------------

由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---

21. （本题满分；第（1）小题，第

（2）小题8分）

解：（1）设椭圆的短半轴为𝑏，半焦距为𝑐，

则𝑏2=𝑎22，由𝑐2=𝑎2−𝑏2，得𝑐2=𝑎2−𝑎22=𝑎22，

由12×𝑏×2𝑐=4，解得𝑎2=8，𝑏2=4，

∴ 椭圆方程为𝑥28+𝑦24=1．

（2）由{𝑦=𝑘(𝑥−1)𝑥2+2𝑦2=8，得(2𝑘2+1)𝑥2−4𝑘2𝑥+2𝑘2−8=0，

设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，

由韦达定理得：𝑥1+𝑥2=4𝑘22𝑘2+1，𝑥1𝑥2=2𝑘2−82𝑘2+1，

∴ 𝑀𝐴→⋅𝑀𝐵→=(𝑥1−114，𝑦1)⋅(𝑥2−114,𝑦2)，

=𝑥1𝑥2−114(𝑥1+𝑥2)+12116+𝑘2(𝑥1−1)(𝑥2−1)

=(𝑘2+1)𝑥1𝑥2−(114+𝑘2)(𝑥1+𝑥2)+𝑘2+12116

=(𝑘2+1)2𝑘2−82𝑘2+1−(114+𝑘2)4𝑘22𝑘2+1+𝑘2+12116

=−16𝑘2−82𝑘2+1+12116=−716， ∴ 𝑀𝐴→⋅𝑀𝐵→为定值−716．

22. （本题满分；第（1）小题，第

（2）小题，第

（3）小题7分）

（1）证明：∵ 𝑓(𝑥)=𝑥+(−1)𝑥(𝑥∈𝑍)，

∴ 𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=[(𝑥+2)+(−1)𝑥+2]−[𝑥+(−1)𝑥]=2，（非零常数）

∴ 函数𝑓(𝑥)=𝑥+(−1)𝑥(𝑥∈𝑍)是广义周期函数，

它的周距为2．

（2）解：设𝑔(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，

则𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏+𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)

∵ 𝑓(𝑥+2𝜋𝜔)−𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥+2𝜋𝜔)+𝑏+𝐴sin[𝜔(𝑥+2𝜋𝜔)+𝜑]−[𝑘𝑥+𝑏+𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)]=2𝑘𝜋𝜔（非零常数）

∴ 𝑓(𝑥)是广义周期函数，且𝑇=2𝜋𝜔，𝑀=2𝑘𝜋𝜔．（ 9分）

（3）解：∵ 𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=−2(𝑥+2)+𝑔(𝑥+2)+2𝑥−𝑔(𝑥)=−4，

∴ 𝑓(𝑥)是广义周期函数，且𝑇=2，𝑀=−4．

设𝑥1，𝑥2∈[1, 3]满足𝑓(𝑥1)=−3，𝑓(𝑥2)=3，

由𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)−4得：

𝑓(𝑥1+6)=𝑓(𝑥1+4)−4=𝑓(𝑥1+2)−4−4

=𝑓(𝑥1)−4−4−4=−3−12=−15，

又∵ 𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)−4<𝑓(𝑥)，

∴ 𝑓(𝑥)在区间[−9, 9]上的最小值是𝑥在[7, 9]上获得的，

而𝑥1+6∈[7, 9]，∴ 𝑓(𝑥)在[−9, 9]上的最小值为−15．（ 13分）