数学_2014年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 若复数𝑍=3+𝑖1−𝑖（𝑖为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于________象限．

2. 已知函数𝑓(𝑥)=|1−113𝑥|，则𝑓−1(4)________．

3. 如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的________倍．

4. 二项式(𝑥+𝑦)5的展开式中，含𝑥3𝑦2的项的系数是________．（用数字作答）

5. 函数𝑦＝sin2𝑥+2√3sin2𝑥最小正周期𝑇为________．

6. 已知双曲线𝑘2𝑥2−𝑦2=1(𝑘>0)的一条渐近线的法向量是(1, 2)，那么𝑘=________．

7. （如图）已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=30∘，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，则𝐵𝐷→⋅𝐵𝐴→=________．

8. 已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥，那么不等式𝑓(𝑥+1)<3的解集是________．

9. 在半径为𝑟的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设𝑆𝑛为前𝑛个圆的面积之和，则lim𝑛→∞𝑠𝑛=________．

10. 掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为________．

11. 若函数𝑓(𝑥)=2sin𝜔𝑥(𝜔>0)在[0, 𝜋4]上单调递增，则𝜔=________．

12. 设𝑖→、𝑗→分别表示平面直角坐标系𝑥、𝑦轴上的单位向量，且|𝑎→−𝑖→|+|𝑎→−2𝑗→|=√5，则|𝑎→+2𝑖→|的取值范围是________．

13. 已知𝑓(𝑥)={|log3𝑥|，0<𝑥≤3，13𝑥2−103𝑥+8，𝑥>3，𝑎，𝑏，𝑐，𝑑是互不相同的正数，且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)=𝑓(𝑑)，则𝑎⋅ 𝑏⋅𝑐⋅𝑑的取值范围是（ ） A (18,28) B (18,25) C (20,25) D (21,24)

14. 𝐴𝑘={𝑥|𝑥=𝑘𝑡+1𝑘𝑡, 1𝑘2≤𝑡≤1}，其中𝑘=2，3，…，2014，则所有𝐴𝑘的交集为________．

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. 𝑙1，𝑙2，𝑙3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )

A 𝑙1⊥𝑙2，𝑙2⊥𝑙3⇒𝑙1 // 𝑙3 B 𝑙1⊥𝑙2，𝑙2 // 𝑙3⇒𝑙1⊥𝑙3 C 𝑙1 // 𝑙2 // 𝑙3⇒𝑙1，𝑙2，𝑙3共面 D 𝑙1，𝑙2，𝑙3共点⇒𝑙1，𝑙2，𝑙3共面

16. 测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（ ）

A 37 B 5 C 16 D 21

17. 如果函数𝑦＝𝑓(𝑥)图象上任意一点的坐标(𝑥, 𝑦)都满足方程 lg(𝑥+𝑦)＝lg𝑥+lg𝑦，那么正确的选项是（ ）

A 𝑦＝𝑓(𝑥)是区间(0, +∞)上的减函数，且𝑥+𝑦≤4 B 𝑦＝𝑓(𝑥)是区间(1, +∞)上的增函数，且𝑥+𝑦≥4 C 𝑦＝𝑓(𝑥)是区间(1, +∞)上的减函数，且𝑥+𝑦≥4 D 𝑦＝𝑓(𝑥)是区间(1, +∞)上的减函数，且𝑥+𝑦≤4

18. 若数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，有下列命题：

(1)若数列{𝑎𝑛}的极限存在但不为零，则数列{𝑆𝑛}的极限一定不存在；

(2)无穷数列{𝑆2𝑛}、{𝑆2𝑛−1}的极限均存在，则数列{𝑆𝑛}的极限一定存在；

(3)若{𝑎𝑛}是等差数列（公差𝑑≠0），则𝑆1⋅𝑆2•…•𝑆𝑘=𝑂的充要条件是𝑎1⋅𝑎2•…•𝑎𝑘=𝑂；

(4)若{𝑎𝑛}是等比数列，则𝑆1⋅𝑆2•…•𝑆𝑘=𝑂(𝑘≥2)的充要条件是𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=0．

其中，错误命题的序号是（ ）

A (1)(2) B (2)(3) C (3)(4) D (1)(4)

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19. 记关于𝑥的不等式𝑥−𝑎𝑥+1<0的解集为𝑃，不等式|𝑥−1|≤1的解集为𝑄．

(1)若𝑎=3，求𝑃；

(2)若𝑄⊆𝑃，求正数𝑎的取值范围．

20. 已知椭圆Γ：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1( 𝑎>𝑏>0)的焦距为2√3，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线𝑙:𝑦=2𝑥+𝑏(𝑏∈𝑅)与椭圆Γ相交于𝐴、𝐵两点，且∠𝐴𝑂𝐵为钝角．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）求𝑏的取值范围．

21. 设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）

22. 已知非零数列{𝑎𝑛}的递推公式为𝑎1=1，𝑎𝑛=𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1+2𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)

（1）求证：数列{1+1𝑎𝑛}是等比数列；

（2）若关于𝑛的不等式1𝑛+log2(1+1𝑎1)+1𝑛+log2(1+1𝑎2)+...+1𝑛+log2(1+1𝑎𝑛)<𝑚−52有解，求整数𝑚的最小值．

（3）在数列{1𝑎𝑛+1−(−1)𝑛}(1≤𝑛≤11)中，是否一定存在首项、第𝑟项、第𝑠项(1<𝑟<𝑠≤11)，使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出𝑟、𝑠所满足的条件；若不存在，请说明理由．

23. 已知𝑓(𝑥)=𝑥+1|𝑥|．

（1）指出的𝑓(𝑥)值域；

（2）求函数𝑓(𝑥)对任意𝑥∈[−2, −1]，不等式𝑓(𝑚𝑥)+𝑚𝑓(𝑥)<0恒成立，求实数𝑚的取值范围．

（3）若对任意正数𝑎，在区间[1, 𝑎+2014𝑎]内存在𝑘+1个实数𝑎1，𝑎2，…，𝑎𝑘+1使得不等式𝑓(𝑎1)+𝑓(𝑎2)+...+𝑓(𝑎𝑘)<𝑓(𝑎𝑘+1)成立，求𝑘的最大值．

2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）答案

1. 四

2. 1

3. 3

4. 10

5. 𝜋

6. 12

7. 3

8. (−4, 2)

9. 4𝜋𝑟2

10. 56

11. (0, 2]

12. [6√55，3]

13. D

14. [2, 52]

15. B

16. D

17. C 18. B

19. 解：(1)由𝑥−3𝑥+1<0，得𝑃={𝑥|−1<𝑥<3}．

(2)∵ 𝑄={𝑥||𝑥−1|≤1}={𝑥|0≤𝑥≤2}．

由𝑎>0，得𝑃={𝑥|−1<𝑥<𝑎}，

又𝑄⊆𝑃，再结合图形，

∴ 𝑎>2，即𝑎的取值范围是(2, +∞)．

20. 解：（1）由已知{𝑎2−𝑏2=3𝑎=2𝑏，

解得𝑎=2，𝑏=1，

∴ 椭圆Γ的方程为𝑥24+𝑦2=1；

（2）设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，则

直线𝑙:𝑦=2𝑥+𝑏(𝑏∈𝑅)代入椭圆Γ，可得17𝑥2+16𝑏𝑥+4𝑏2−4=0，

∴ △=256𝑏2−16×17(𝑏2−1)>0，即𝑏2<17，且𝑥1+𝑥2=−16𝑏17，𝑥1𝑥2=4𝑏2−417

∴ 𝑦1𝑦2=4𝑥1𝑥2+2𝑏(𝑥1+𝑥2)+𝑏2=𝑏2−1617．

∵ ∠𝐴𝑂𝐵为钝角，

∴ 𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=5𝑏2−2017<0，

∴ −2<𝑏<2，

∵ 𝑏=0时，∠𝐴𝑂𝐵为平角，

∴ 𝑏的取值范围为(−2, 0)∪(0, 2)．

21. 解：如图

设∠𝐴𝑀𝐵=𝛼，∠𝐴𝑀𝐶=𝛽，𝑀𝐶=𝑥

则 tan𝛽=29𝑥，tan(𝛼+𝛽)=36𝑥，

tan𝛼=tan[(𝛼+𝛽)−𝛽]=tan(𝛼+𝛽)−tan𝛽1+tan(𝛼+𝛽)tan𝛽

=36𝑥−29𝑥⋅=7𝑥𝑥2+36×29=7𝑥+36×29𝑥≤712√29

当且仅当𝑥=36×29𝑥，即𝑥=6√29≈32.31时，tan𝛼最大，

因为𝛼是锐角，所以此时𝛼最大，即对球门的张角最大．

22. （1）证明：∵ 非零数列{𝑎𝑛}的递推公式为𝑎1=1，𝑎𝑛=𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1+2𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，

∴ 1𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=1，

∴ 1𝑎𝑛+1+1=2(1𝑎𝑛+1)， ∴ {1+1𝑎𝑛}是首项为2，公比为2的等比数列．

（2）解：∵ {1+1𝑎𝑛}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴ 1+1𝑎𝑛=2𝑛，

∵ 1𝑛+log2(1+1𝑎1)+1𝑛+log2(1+1𝑎2)+...+1𝑛+log2(1+1𝑎𝑛)<𝑚−52，

∴ 1𝑛+log2(1+1𝑎1)+1𝑛+log2(1+1𝑎2)+...+1𝑛+log2(1+1𝑎𝑛)

=1𝑛+1+1𝑛+2+⋯+1𝑛+𝑛<𝑚−52，

令𝑓(𝑛)=1𝑛+1+1𝑛+2+⋯+1𝑛+𝑛，

则𝑓(𝑛+1)−𝑓(𝑛)=12𝑛+1+12𝑛+2−1𝑛+1=12𝑛+1−12𝑛+2>0，

∴ 𝑓(𝑛)是增函数，

∴ 𝑓(𝑛)min=𝑓(1)=12，

∴ 12<𝑚−52．解得𝑚>3，

∴ 整数𝑚的最小值为4．

（3）∵ 1+1𝑎𝑛=2𝑛，

∴ 𝑎𝑛=12𝑛−1，

∴ 1𝑎𝑛+1+(−1)𝑛=2𝑛+(−1)𝑛=𝑏𝑛，

要使𝑏1，𝑏𝑟，𝑏𝑠成等差数列，只需𝑏1+𝑏𝑠=2𝑏𝑟，

即2𝑠−2𝑟+1=(−1)𝑠−2(−1)𝑟−3，

∵ 𝑠≥𝑟+1，∴ 2𝑠−2𝑟+1≥0，

∵ (−1)𝑠−2(−1)𝑟−3≤0，

∴ 当且仅当𝑠=𝑟+1，且𝑠为不小于的偶数时，

存在首项、第𝑟项、第𝑠项(1<𝑟<𝑠≤11)，使得这三项依次成等差数列．