数学_2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 集合𝐴={𝑥|(𝑥−1)(𝑥+2)≤0}，𝐵={𝑥|𝑥<0}，则𝐴∪𝐵=( )

A (−∞, 0] B (−∞, 1] C [1, 2] D [1, +∞)

2. 已知数列{𝑎𝑛}是公比为𝑞的等比数列，且𝑎1⋅𝑎3=4，𝑎4=8，则𝑎1+𝑞的值为（ ）

A 3 B 2 C 3或−2 D 3或−3

3. 如图，在边长为𝑎的正方形内有不规则图形𝛺．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形𝛺内和正方形内的豆子数分别为𝑚，𝑛，则图形𝛺面积的估计值为（ ）

A 𝑚𝑎𝑛 B 𝑛𝑎𝑚 C 𝑚𝑎2𝑛 D 𝑛𝑎2𝑚

4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A 180 B 120 C 276 D 300

5. 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，“∃𝜆∈𝑅，使得𝐴𝐵→=𝜆𝐷𝐶→，𝐴𝐷→=𝜆𝐵𝐶→”是“四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形”的（ ）

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

6. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）

A 32 B 36 C 42 D 48

7. 双曲线𝐶的左右焦点分别为𝐹1，𝐹2，且𝐹2恰为抛物线𝑦2＝4𝑥的焦点，设双曲线𝐶与该抛物线的一个交点为𝐴，若△𝐴𝐹1𝐹2是以𝐴𝐹1为底边的等腰三角形，则双曲线𝐶的离心率为（ ）

A √2 B 1+√2 C 1+√3 D 2+√3

8. 若数列{𝑎𝑛}满足：存在正整数𝑇，对于任意正整数𝑛都有𝑎𝑛+𝑇=𝑎𝑛成立，则称数列{𝑎𝑛}为周期数列，周期为𝑇．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=𝑚(𝑚>0)，𝑎𝑛+1={𝑎𝑛−1，𝑎𝑛>1，1𝑎𝑛，0<𝑎𝑛≤1，则下列结论中错误的是( )

A 若𝑎3=4，则𝑚可以取3个不同的值 B 若𝑚=√2，则数列{𝑎𝑛}是周期为3的数列 C ∀𝑇∈N∗且𝑇≥2，存在𝑚>1，使得{𝑎𝑛}是周期为𝑇的数列 D ∃𝑚∈Q且𝑚≥2，使得数列{𝑎𝑛}是周期数列

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 在极坐标系中，极点到直线𝜌cos𝜃=2的距离为________．

10. 已知𝑎=ln12，𝑏=sin12，𝑐=2−12，则𝑎，𝑏，𝑐按照从大到小排列为________．

11. 直线𝑙1过点(−2, 0)且倾斜角为30∘，直线𝑙2过点(2, 0)且与直线𝑙1垂直，则直线𝑙1与直线𝑙2的交点坐标为________．

12. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30∘，∠𝐵=45∘，𝑎=√2，则𝑏=________；𝑆△𝐴𝐵𝐶=________．

13. 正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，若动点𝑃在线段𝐵𝐷1上运动，则𝐷𝐶→⋅𝐴𝑃→的取值范围是________．

14. 在平面直角坐标系中，动点𝑃(𝑥, 𝑦)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离，记点𝑃的轨迹为曲线为𝑊．

(𝐼)给出下列三个结论：

①曲线𝑊关于原点对称；

②曲线𝑊关于直线𝑦=𝑥对称；

③曲线𝑊与𝑥轴非负半轴，𝑦轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；

其中，所有正确结论的序号是________；

(𝐼𝐼)曲线𝑊上的点到原点距离的最小值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15. 已知函数𝑓(𝑥)=1−cos2𝑥√2sin(𝑥−𝜋4)．

（1）求函数𝑓(𝑥)的定义域；

（2）求函数𝑓(𝑥)的单调增区间．

16. 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为𝑝，获得50元奖金的概率为2%．

（1）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；

（2）为了能够筹得资金资助福利事业，求𝑝的取值范围．

17. 如图1，在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=90∘，∠𝐶𝐴𝐵=30∘，𝐵𝐶=2，𝐴𝐷=4．把△𝐷𝐴𝐶沿对角线𝐴𝐶折起到△𝑃𝐴𝐶的位置，如图2所示，使得点𝑃在平面𝐴𝐵𝐶上的正投影𝐻恰好落在线段𝐴𝐶上，连接𝑃𝐵，点𝐸，𝐹分别为线段𝑃𝐴，𝑃𝐵的中点．

（1）求证：平面𝐸𝐹𝐻 // 平面𝑃𝐵𝐶； （2）求直线𝐻𝐸与平面𝑃𝐻𝐵所成角的正弦值；

（3）在棱𝑃𝐴上是否存在一点𝑀，使得𝑀到𝑃，𝐻，𝐴，𝐹四点的距离相等？请说明理由．

18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥，𝐴(𝑎, 0)为一定点，直线𝑥=𝑡(𝑡≠0)分别与函数𝑓(𝑥)的图象和𝑥轴交于点𝑀，𝑁，记△𝐴𝑀𝑁的面积为𝑆(𝑡)．

（1）当𝑎=0时，求函数𝑆(𝑡)的单调区间；

（2）当𝑎>2时，若∃𝑡0∈[0, 2]，使得𝑆(𝑡0)≥𝑒，求𝑎的取值范围．

19. 已知椭圆𝑀:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．

（1）求椭圆𝑀的方程；

（2）直线𝑙与椭圆𝑀交于𝐴，𝐵两点，且线段𝐴𝐵的垂直平分线经过点(0,−12)，求△𝐴𝑂𝐵（𝑂为原点）面积的最大值．

20. 设𝐴是由𝑚×𝑛个实数组成的𝑚行𝑛列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

（1） 数表𝐴如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

1 2 3 −7

−2 1 0 1

表1

（2） 数表𝐴如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数𝑎的所有可能值；

𝑎 𝑎2−1 −𝑎 −𝑎2

2−𝑎 1−𝑎2 𝑎−2 𝑎2

表2

（3）对由𝑚×𝑛个实数组成的𝑚行𝑛列的任意一个数表𝐴，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案

1. B

2. D

3. C

4. B

5. C

6. A

7. B

8. D

9. 2

10. 𝑐>𝑏>𝑎

11. (1,√3)

12. 2,√3+12 13. [0, 1]

14. ②③,2−√2

15. 解：（1）∵ sin(𝑥−𝜋4)≠0，

∴ 𝑥−𝜋4≠𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，

则函数的定义域为{𝑥|𝑥≠𝑘𝜋+𝜋4, 𝑘∈𝑍}；

（2）∵ 𝑓(𝑥)=1−cos2𝑥−sin2𝑥sin𝑥−cos𝑥=1+(cos𝑥+sin𝑥)=1+sin𝑥+cos𝑥=1+√2sin(𝑥+𝜋4)，

又∵ 𝑦=sin𝑥的单调递增区间为(2𝑘𝜋−𝜋2, 2𝑘𝜋+𝜋2)，𝑘∈𝑍，

令2𝑘𝜋−𝜋2<𝑥+𝜋4<2𝑘𝜋+𝜋2，

解得：2𝑘𝜋−3𝜋4<𝑥<2𝑘𝜋+𝜋4，

又注意到𝑥≠𝑘𝜋+𝜋4，

则𝑓(𝑥)的单调递增区间为(2𝑘𝜋−3𝜋4, 2𝑘𝜋+𝜋4)，𝑘∈𝑍．

16. 解：（1）设至少一张中奖为事件𝐴，则𝑃(𝐴)=1−0.52=0.75…

（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为𝜉，则𝜉可以取5，0，−45，−145…

故𝜉的分布列为

𝜉 5 0 −45 −145

𝑃 50% 50%−2%−𝑝 2% 𝑝

…

所以𝜉的期望为𝐸𝜉=5×50%+0×(50%−2%−𝑝)+(−45)×2%+(−145)×𝑝=2.5−90%−145𝑝…

所以当1.6−145𝑝>0时，即𝑝<8725…

所以当0<𝑝<8725时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…

17. 解：（1）∵ 点𝑃在平面𝐴𝐵𝐶上的正投影𝐻恰好落在线段𝐴𝐶上，

所以𝑃𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶，所以𝑃𝐻⊥𝐴𝐶，

∵ 在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=90∘，∠𝐶𝐴𝐵=30∘，𝐵𝐶=2，𝐴𝐷=4，

∴ 𝐴𝐶=4，∠𝐶𝐴𝐵=60∘，

∴ △𝐴𝐷𝐶是等边三角形，故𝐻是𝐴𝐶的中点，

∴ 𝐻𝐸 // 𝑃𝐶

同理可证𝐸𝐹 // 𝑃𝐵，

又𝐻𝐸∩𝐸𝐹=𝐸，𝐶𝑃∩𝑃𝐵=𝑃，

∴ 平面𝐸𝐹𝐻 // 平面𝑃𝐵𝐶；

（2）在平面𝐴𝐵𝐶内过𝐻作𝐴𝐶的垂线，如图建立空间直角坐标系，则𝐴(0, −2, 0)，𝑃(0, 0, 2√3)，𝐵(√3, 1, 0) 因为𝐸(0, −1, √3)，𝐻𝐸→=(0, −1, √3)，设平面𝑃𝐻𝐵的法向量𝑛→=(𝑥, 𝑦, 𝑧)，

∵ 𝐻𝐵→=(√3, 1, 0)，𝐻𝑃→=(0, 0, 2√3)，

∴ {𝐻𝑃→⋅𝑛→=0˙，即{√3𝑥+𝑦=0𝑧=0，

令𝑥=√3，则𝑦=−3，

∴ 𝑛→=(√3, −3, 0)…8分

cos<𝑛→，𝐻𝐸→>=|𝑛→|⋅|𝐻𝐸→|˙=32×2√3=√34

∴ 直线𝐻𝐸与平面𝑃𝐻𝐵所成角的正弦值为√34

（3）存在，事实上记点𝐸为𝑀即可

因为在直角三角形𝑃𝐻𝐴中，𝐸𝐻=𝑃𝐸=𝐸𝐴=12𝑃𝐴=2

在直角△𝑃𝐻𝐵中，𝑃𝐵=4，𝐸𝐹=12𝑃𝐵=2，

所以点𝐸到𝑃，𝐻，𝐴，𝐹四点的距离相等

18. 解：（1） 因为𝑆(𝑡)=12|𝑡−𝑎|𝑒𝑡，其中𝑡≠𝑎…