同济大学大学物理B上第6章静电场中的导体和电介质答案

第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案

1. 半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1和2。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明：Rr21

。

证明：因为两球相距甚远，半径为R的导体球在半径为r的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r的导体球在半径为R的导体球上产生的电势忽略不计，所以

半径为R的导体球的电势为

RRV0211π4014R

半径为r的导体球的电势为

rrV0222π4024r

用细导线连接两球，有21VV，所以

Rr21

2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1，2，3，4

（1）取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得

SSdES)(10320

故 203

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

0222204030201

又 203

故 14

3. 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为Rd3处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量。

解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q，金属球接地时电势0V

由电势叠加原理，球心电势为

OVRqdqR3π4π4100

03π4π400RqRq

故 q3q

4．半径为1R的导体球，带有电量q，球外有内外半径分别为2R、3R的同心导体球壳，球壳带有电量Q。

计算题

10-1 如题图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无限远处为电势零点。试求：

(1) 球壳内外表面上的电荷；

(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；

(3) 球心O点处的总电势。

习题10-1图

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q。

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的

距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

0d4qqUaaq04

(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和

qQqqOUUUU

04qr04qa04Qqb

01114()qrab04Qb

10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷，如题图(a)所示。试求：

(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))；

(2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。

习题10-2图

解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O为原点，取平面上任意点P，P点距离原点为r，设P点的感生电荷面密度为．

在P点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，

2200cos024PqErb

∴ 2/3222/brqbπ

(2) 以O点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为

3222ddd//QSqbrrrb

q Q a

b O r

总电荷为

qbrrrqbSQS02322dd/

10-3 如题图所示，中性金属球A，半径为R，它离地球很远．在与球心O相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为Aq和Bq的点电荷，达到静电平衡后，问：

第6章 静电场中的导体和电介质

上一章已经讨论了真空中的静电场.在实际中,电场中总有导体或电介质(即绝缘体)存在.本章将讨论静电场与导体、电介质的相互作用和影响.对于导体本章只限于讨论各向同性的均匀金属导体.

§6.1 静电场中的导体

一、导体的静电平衡

金属导体的电结构特征是在它的内部有可以自由移动的电荷——自由电子,将金属导体放在静电场中，它内部的自由电子将受静电场的作用而产生定向运动，并在导体侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷,这就是静电感应现象.由静电感应现象所产生的电荷,称为感应电荷.感应电荷同样在空间激发电场,将这部分电场称为附加电场,而空间任一点的电场强度是外加电场和附加电场的矢量和.在导体内部附加电场与外电场方向相反,随着感应电荷的增加,附加电场也随之增加,直至附加电场与外电场完全抵消,使导体内部的场强为零,这时自由电子的定向运动也就停止了.在金属导体中,自由电子没有定向运动的状态,称为静电平衡.所以有如下的静电平衡条件：

(1)导体内部的场强处处为零(否则自由电子的定向运动不会停止)；

(2)导体表面上的场强处处垂直于导体表面(否则自由电子将会在沿表面分量的电场力的作用下作定向运动).

由导体的静电平衡条件容易推出处于静电平衡状态的金属导体必具有下列性质：

(1) 整个导体是等势体,导体表面是等势面(这是由于导体上的任意两点 a

和 b 因导体内各处电场强度为零而使其电势差为零)；

(2) 导体内部不存在净电荷,电荷都分布在导体的表面上(这是由于导体内各处电场强度为零,使得在导体内任意一闭面的电通量为零).

二、导体表面的电荷和电场

处于静电平衡的金属导体,电荷只分布在导体的表面上,在导体表面上电荷的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关.对于孤立导体,实验表明,导体曲率愈大处(例如尖端部分),表面电荷面密度也愈大；导体曲率较小处,表面电荷面密度也较小；在表面凹进去的地方(曲率为负),电荷密度更小.另外由高斯定理可以求出导体表面附近的场强与该表面处电荷面密度的关系.

d +q O R 电势、导体与※电介质中的静电场 （参考答案）

班级： 学号： 姓名： 成绩：

一 选择题

1．真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处有一带电量为q的点电荷，如图所示，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O距离为r的P点处的电势为：

（A）rq04； （B）)(041RQrq；

（C）rQq04； （D）)(041RqQrq；

参考：电势叠加原理。 [ B ]

2．在带电量为-Q的点电荷A的静电场中，将另一

带电量为q的点电荷B从a点移动到b，a、b两点距离点电荷A的距离分别为r1和r2，如图，则移动过程中电场力做功为：

（A）)(210114rrQ； （B）)(210114rrqQ；

（C）)(210114rrqQ； （D）)(4120rrqQ。

参考：电场力做功＝势能的减小量。A=Wa-Wb＝q(Ua-Ub) 。 [ C ]

3．某电场的电力线分布情况如图所示，一负电荷从M点移到N点，有人根据这个图做出以下几点结论，其中哪点是正确的？

（A）电场强度EM＜EN； （B）电势UM＜UN；

（C）电势能WM＜WN； （D）电场力的功A＞0。

[ C ]

4．一个未带电的空腔导体球壳内半径为R，在腔内离球心距离为d（d＜R）处，固定一电量为+q的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O处的点势为：

（A）0； （B）dq04；

（C）-Rq04； （D）)(1140Rdq。

参考：如图，先用高斯定理可知导体内表面电荷为-q ，导体