大学物理A2-静电场中的导体和电介质习题解答

 1 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 

1. 半径分别为R

和r

的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分

别为

1s

和

2s。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证

明：

Rr

=

21

ss

 。 

证明：因为两球相距甚远，半径为R

的导体球在半径为r

的导体球上产生的电势忽略不计，半

径为r

的导体球在半径为R

的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以

半径为R

的导体球的电势为的导体球的电势为

RR

V

02

1

1

π4eps

=

01

4esR

=

半径为r

的导体球的电势为的导体球的电势为

rr

V

02

2

2

π4eps

=

02

4esr

=

用细导线连接两球，有

21VV

=，所以，所以

Rr

=

21

ss

2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是

大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A

、B

的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1

s，2

s，3

s

，4s

（1）取与平面垂直且底面分别在A

、B

内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得

SSdE

SD+==×ò)(1

0

32

0ss

e

故 +

2s0

3=s

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A

内部任取一点P

，则其场强为零，并且它是由四个均匀带

电平面产生的场强叠加而成的，即电平面产生的场强叠加而成的，即

0

2222

04

03

02

01=---

es

es

es

es

又 +

2s0

3=s

故

1s

4s= 

3. 半径为R

的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为Rd

1 第十二章 静电场中的导体和电介质

12-1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将如何变化.

答：电场中通常以无穷远处的电势为零电势参考点。导体B离A很远时，其电势为零。A带正电，所以其电场中各点的电势均为正值。因此B靠近A后，处于带电体A的电场中时，B的电势为正，因而B处的电势升高。

12-2 如附图所示，一导体球半径为R1，外罩一半径为R2的同心薄球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为U0，求此系统的电势和电场分布。

解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．设内球壳带电量为q 取同心球面为高斯面，由高斯定理02/π4dεqrErrESE，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为

r ＜R１时， 01rE

R１＜r＜R2 时，202π4rεqrE

r＞R2 时， 202π4rεqQrE

由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．

r ＜R１时，

20103211π4π4dddd2211RQRqURRRRrrlElElElE

R１＜r＜R2 时，

200322π4π4ddd22RQrqURRrrlElElE

r＞R2 时，

rQqUr03π4dlE3 2 由题意得

201001π4π4RQRqUU

代入电场、电势的分布得

r ＜R１时，

01E；01UU

R１＜r＜R2 时，

22012012π4rRQRrURE；rRQRrrURU201012π4)(

r＞R2 时，

220122013π4)(rRQRRrURE；rRQRRrURU2012013π4)(

12-3证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1) 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2) 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等且符号相同。

第十章 静电场中的导体和电介质

一 选择题

1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 (

)

20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(aqaRaqaqRaqo

解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q分布在导体球表面上，且0)(qq，它们在球心处的电势

qqqRRqV0dπ41π4d00

点电荷q在球心处的电势为 aqV0π4

据电势叠加原理，球心处的电势aqVVV00π4。

所以选（A）

2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 (

)

00002 . D . C 2 . B 2 .A εdE=εE=EE

解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2，可得

0E。

所以选（C）

3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为 d处(d

(

)

)Rd(qRdq11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000

解：球壳内表面上的感应电荷为-q，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000RqdqV。

所以选（ D ）

4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R /r为 ( )

101 第十章 静电场中的导体和电介质

10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S，两板分别带正电Qa和Qb，每板表面电荷面密度1= ，2= ，3= ，4= 。

解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为1，2，3，4。由电荷守恒定律得

12aSSQ （1）

34bSSQ （2）

设P，Q是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P，Q位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即

3124000002222PE （3）

3124000002222QE （4）

由方程（1）~（4）式得

142abQQS （5）

232abQQS （6）

由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面1，4），带等量同号电荷。

10–2 如图10-3所示，在半径为R的金属球外距球心为a的D处放置点电荷+Q，球内一点P到球心的距离为r，OP与OD夹角为，感应电荷在P点产生的场强大小为 ，方向 ；P点的电势为 。

解：（1）由于点电荷+Q的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q的近端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。P点的场强是点电荷+Q在P点产生的场强E1，与感应电荷在P点产生的场强E2的叠加，即EP=E1+E2，当静电平衡时，EP=E1+E2=0，由此可得