2021届天津市红桥区高三下学期数学一模试卷及答案
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高三下学期数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔 〕
A. B. C. D. {2}
2.“ 成立〞是“ 成立〞的〔 〕
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数y= 的图象大致是〔 〕
A. B. C. D.
4.某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照 ， ， ， ， ， ，
分组，整理得到如下频率分布直方图，那么成绩在 内的学生人数为〔 〕
A. 200 B. 240 C. 360 D. 280
5.〔2021新课标全国I理科〕?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?〞其意思为:“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有〔 〕
A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛
6.函数 在区间 内单调递增，且 ，假设 ， ，
，那么 、 、 的大小关系为〔 〕
A. B. C. D.
7.抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线 的左顶点为
，假设双曲线的一条渐近线与直线 平行，那么实数 的值是〔 〕
A. B. C. D.
8.函数 ， ，给出以下四个命题：①函数 的最小正周期为 ；②函数 的最大值为1；③函数 在 上单调递增；④将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 ．其中正确命题的个数是〔 〕
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.函数 ， ，假设关于x的方程 恰有三个不相等的实数解，那么m的取值范围是〔 〕
A. B.
C. D.
二、填空题
10.i是虚数单位，那么复数 ________. 11.的展开式中， 项的系数为________.
12.直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，且 为等边三角形，那么实数 ________．
A ， B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为 ，B队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否互不影响，假设事件M表示“A队得2分〞，事件N表示“B队得1分〞，那么 ________.
14. ， ，且 ，那么 最小值为________．
15.在等腰梯形 中, ,动点 和 分别在线段 和
上,且, 那么 的最小值为________.
三、解答题
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
〔1〕求角B的大小；
〔2〕假设 ，求 的值；
〔3〕假设 ， ，求边a的值.
17.如下列图，直角梯形 中， ， ， ，四边形EDCF为矩形， ，平面 平面 .
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18.如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .
(I)求椭圆 的方程；
(II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 〔均异于点 〕， 问：直线 与 的斜率之和是否为定值？假设是，求出此定值；假设否，说明理由．
19.数列 的前n项和 满足： ， .
〔1〕求数列 的前3项 ， ， ；
〔2〕求证：数列 是等比数列：
〔3〕求数列 的前n项和 .
20.函数 ， .
〔1〕假设 ，求曲线 在点 处的切线方程；
〔2〕当 时，求函数 的单调区间和极值；
〔3〕假设对于任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】据题意 ，所以 。
故答案为：C
【分析】利用条件结合交集和补集的运算法那么，进而求出集合。
2.【解析】【解答】由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x〔x-3〕＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立〞是“x〔x-3〕＜0成立〞的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】先由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x〔x-3〕＜0得0＜x＜3，再利用充分必要条件的概念进行判断，即可得结论.
3.【解析】【解答】解：设f〔x〕= ，那么函数的定义域为R ∵f〔﹣x〕= =﹣ =﹣f〔x〕
∴函数为奇函数
∵ ，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增
应选C．
【分析】确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．
4.【解析】【解答】从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析, 那么从成绩在 [120,130) 内的学生中抽取的人数为：
800 。
故答案为： B
【分析】利用条件结合分层抽样的方法，再结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1和频数等于频率乘以样本容量，进而求出成绩在 内的学生人数。
5.【解析】【解答】设圆锥底面半径为r，
那么 ，所以 ，
所以米堆的体积为 = ，
故堆放的米约为 ÷1.62≈22，
故答案为：B. 【分析】利用实际问题的条件转化为立体几何的问题，再利用圆锥的体积公式和条件估算出堆放的米约有的斛数。
6.【解析】【解答】 ，那么函数 为偶函数，
函数 在区间 内单调递增，在该函数在区间 上为减函数，
，由换底公式得 ，由函数的性质可得 ，
对数函数 在 上为增函数，那么 ，
指数函数 为增函数，那么 ，即 ，
，因此， .
【分析】由偶函数的性质可得出函数 在区间 上为减函数，由对数的性质可得出
，由偶函数的性质得出 ，比较出 、 、 的大小关系，再利用函数
在区间 上的单调性可得出 、 、 的大小关系.
7.【解析】【解答】因为抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，结合抛物线的定义，进而求出p的值，再利用代入法求出m的值，从而结合双曲线 的左顶点为 ， 进而求出点A的坐标为，再利用两点求斜率公式结合两直线平行斜率相等，进而求出a的值。
8.【解析】【解答】
最小正周期 ，可知①错误；
，即 的最大值为 ，可知②正确；
当 时， ，此时 不单调，可知③错误；
向左平移 个单位，即 ，可知④正确.
故正确命题个数为 个
故答案为：B 【分析】利用三角恒等变换公式将 整理为 ，根据 的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.
9.【解析】【解答】设 ，
作出函数 和 的图象如图
当 时， 〔2〕 ， 〔2〕 ，
要使方程 恰有三个不相等的实数解，
那么等价为 与 的图象有三个不同的交点，
那么满足 ，
即 得 ，
即 ，
即实数 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】设 ，作出函数 和 的图象。再利用两函数图象结合两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，再结合条件关于x的方程 恰有三个不相等的实数解，从而求出实数m的取值范围。
二、填空题
10.【解析】【解答】 。
【分析】利用复数的乘除法运算法那么，进而求出复数。
11.【解析】【解答】 的展开式的通项为
令 ，解得
即 项的系数为
故答案为-4
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的系数。 12.【解析】【解答】由于 为等边三角形，故弦长 ，根据直线与圆相交，所得弦长公式为 ，可建立方程， ， ，即 ，解得
。
【分析】利用直线与圆相交的位置关系结合等边三角形的性质，再结合弦长公式，从而用点到直线的距离公式建立关于圆的半径和圆心到直线的距离以及弦长的关系式，进而建立关于a的方程，从而解方程求出实数a的值。
13.【解析】【解答】每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分，
队中每人答对的概率均为 ， 队中3人答对的概率分别为 ， ， ，
且各答题人答题正确与否之间互不影响，
事件 表示“ 队得2分〞，事件 表示“ 队得1分〞，
，
，
。
故答案为： 。
【分析】利用条件结合二项分布求概率公式独立事件乘法求概率公式，进而求出的值。
14.【解析】【解答】 ，
结合 可知原式 ，
且
，
当且仅当 时等号成立.
即 最小值为 .
【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
15.【解析】【解答】因为 ，
， ， ，
，
当且仅当 即 时 的最小值为 。
【分析】利用条件结合三角形法那么和共线定理，再利用平面向量根本定理，得出和， 再利用数量积的运算法那么结合数量积的定义，再结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值 。
三、解答题
16.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理，从而推出 ， 再利用同角三角函数根本关系式，从而求出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，从而求出角B的值。
