2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟试卷数学试卷
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高三数学
、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共
分，共45分.
5•某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了 200分到450分之
间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图， 如图所
6. 已知函数f(x) 3sin x cos x( 0) , y f (x)的图象与直线 y 2的两个相邻交点A. {x|0 x 1} B. {x|0 x, 1} C
. {x| xT} D . {x |x 0}
2.下列函数中，在区间 (0,)上单调递减的是 ( )
1
A. y x2 B . y 2x C
. y log! x D . y 1
2 x
3.已知 a In , b 1
log 1 5, c e 2，则(
2 )
A. a b c B . b a c C
. c b a D . a c b 1设集合U R(R为实数集),A {x|x 0}, B {x | xT}，则 A| eu B ( )
4.设 x R，则 “x 2 是’X2 x ”的( 9题，每小题5
A .充分而不必要条件
C •充要条件 B •必要而不充分条件
D .既不充分也不必条件
A . 800 B . 1000 C. 1200 D. 1600
示，则成绩在［250 , 350］内的学生人数为( ) 的距离等于 ，则f(x)的一条对称轴是( )
A. x 一 B. x 一 C. x — D. x —
12 12 3 3
2 2
7 .设F为双曲线C:笃 y2 1(a 0,b 0)的右焦点，0为坐标原点，以OF为直径的圆
a b
与圆x2 y2 a2交于P，Q两点.若| PQ | | OF |，则C的离心率为( )
A . 2 B. 3 C. 2 D. 5
&已知数列 ｛an｝满足 a1 3，且 an 1 4ar .3(n N*)，则数列 ｛an｝的通项公式为( )
A . 22n 1 1 B . 22n 1 1
C. 22n 1 D. 22n 1
x,x 0,
9.设 a , b R，函数 f(x) 1 3 1 2 若函数 y f (x) ax b恰有3个零
x -(a 1)x ax, x…0g
3 2
点，则( )
A. a 1, b 0 B. a 1 ,b 0 C. a 1 , b 0 D. a 1 , b 0
二、填空题： 本大题共 6个小题，每小题 5分， 共30分.
10.已知复数z (a 2i)(1 i)，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数a的值是
12. 一个袋中装着标有数字 1 , 2, 3, 4, 5的小球各2个，从中任意摸取 3个小球，每个
小球被取出的可能性相等，则取出的 3个小球中数字最大的为 4的概率是
13. __________________________________________ 曲线y (x2 1)ex在点(0,1)处的切线方程为
__________________________________________________ .
14. 已知x 0 , y 0 , x 3y 5xy，则x 2y的最小值是 ________________ .
15. 已知向量a ,b满足|舌| 2 ,|b|3，且已知向量a ,b的夹角为60 , (a C)g；b c) 0 , 则|C|的最小值是_ .
三、解答题：本大题共 5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 •
16. (15 分)在 ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c , bsin A 3csin B , a 3 ,
2 cosB 3
(I)求b的值；
(「求cos(2B 6)的值. x的系数等于 的展开式中, 的距离等于 ，则f(x)的一条对称轴是( )
17. (15分)已知数列｛an｝是各项均为正数的等比数列 (n N*) , a1 2，且2a1 , a3, 3a2、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共 9题，每小题5
9
成等差数列.
(I)求数列｛an｝的通项公式；
111 1
(I)设bn log 2 an , Sn为数列｛bn｝的前n项和，记Tn -—- —，证明： S1 § S3 Sn
1, Tn 2 .
18. (15分)已知椭圆C:冷 爲 l(a b 0)的离心率为 —，且过点(1,-6) •
a2 b2 2 2
(I)求椭圆C的方程；
(I)设Q是椭圆C上且不在x轴上的一个动点，0为坐标原点，过右焦点 F作0Q的平行 线交椭圆于M、N两个不同的点，求 世卑 的值.
|OQ|
19. (15分)已知数列｛an｝的前n项和为&，且满足5 2寺1(n N*).
(I)求数列｛an｝的通项公式;
20. (15分)已知 函数f(x) lnx a(x 1) , a为实数，且a 0 .
(I)当a 1时，求f (x)的单调区间和极值；
(I)求函数f (x)在区间［1 , e］上的值域(其中e为自然对数的底数)(I)证明: 2
k 1 ak
分，共45分.
1.A
2. C
3. D
4B
5.B 学_科_网］
6. D
7. A
8. D
9. C
二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共30分.
三、解答题：本大题共 5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (I)因为 bsinA
3csin B ,
由正弦定理可得， sinBsinA 3sinCsinB ,「来源学科® 因为sin B 0 , 故 si nA 3s inC，即 a 3c 3,
2 由余弦定理可得，-9 I b
3 6
解可得，b 6 .
2
所以 sin B — , cos2 B 2cos2 B 1
3 10.2.
11 7.
7 12. 40
13. x y 1
14. 2 6 ‘
1 . 5
15. .荷.7
2 0 . 、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共 9题，每小题5
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(II )因为 cosB - 31
,sin2B 2sin BcosB
解得q 2 (负值舍去)，则an a^n 1 2n, n N* ;
(I)证明: bn ! log2an log2 2 n n ,
1 1 2 J 1
S _n(n 1), 2( -)
2 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则Tn 2(1 )2(1 ) S S? S3 Sn 2 2 3 n n 1 n 1
由数列｛1 1 ｝在N *递增，可得 f (n)・ ••f (1) 1 ,
n 1 2
且 f(n) 1，可得 1, Tn 2 .
18( I)由题可得 e C —，即 C — a , b — a ,»«-■«
a 2 2 2
将点(1,-6)代入方程得2 1，即—2
32 1，解得a 4 ,
2 a 2b a a
2 2
所以椭圆C的方程为：—1 ；
4 2 II
II 由 ( I)知，F(.、2 , 0) 则 cos(2B -) i
9) 1 4J 4 一5 /3
2 9 18
17 (I)数列｛aj是各项均为正数的等比数列 (n N *) , a 2，设公比为q , q 0 ,碎学科#网］
2ai , a3 , 3a2成等差数列，可得2a3 2
2a9 3a2，即 2g2q 4 3cgq ,
设直线OQ : x my ，则直线 MN : x my
联立 my
2 y_
2 整理得 2
XQ 4 m2
m2 2 2 yQ
所以 |OQ|2 XQ 4m2
m2 2 4
m2 2 4m2 4 m2 2
联立 my . 2
2 y_
2 ，整理得(m2
1 2)y2 2 • 2my 2
设M (捲, y1), N(X2 , y2)，则 y1 y2 2 2m ~2 - m 2 [来源:Z|xx|]
2
y1 y2) 4yy 1 m2 2 2m 2 8
(m2 2) m2 2 2 4(m 1) 2 ~ , m 2 2
0]；
4(m 1)
所以 J-MNJ m2 2 1.
|OQ| 4m 4
2 m 2
19 ( I)解：由题意，当 n 1时，a1 S 2a1 1，解得印1 .
当 n--2 时，％ Sn 0 1 2an 1 2a. 1 1 ,
整理，得an 2an 1 .
故得证.
故当x 1时，函数取得极大值 f (1) 0,没有极小值;
函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,),
[0 , 1 a ae];
当aT时，f(x), 0,f(x)在［1 , e］上单调递减，f( e)剟f (x) f (1)即函数的值 域［1 a ae ,
当1 a 1时，易得x ［1 , 1)时，f(x) 0 , f(x)在［1 , e］上单调递增，x (-,e］时, e a a (ll)f(x)- x 1 ax
x
f(x)在［1 , e］上单调递增, (1)剟f(x) f (e)即函数的值域 数列｛an｝是以 为首项，2为公比的等比数列.
an 1g2n 1 2n ,nN*
(I)证明：由 I) 知，A
an 1
(2n 1)2
丄
1 ak 1
ai 1
a2 1
an
(4)1 (4) (4)n1 4
20.(1)当 1时, f (x) Inx x 1 , f (x)
1时，f (x) 0，函数单调递增，当 1 x
,
x
1时，f (x) 0，函数单调递减,
