高中数学必修二8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (2)

8.3 简单几何体的表面积与体积

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

基础过关练

题组一 棱柱、棱锥、棱台的面积

1.(2020湖南怀化高一上期末)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3√5 cm,则这个正四棱柱的表面积为( )

A.90 cm2 B.36√5 cm2 C.72 cm2 D.54 cm2

2.(2019江苏南京六校联合体高一下期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为( )

A.80 B.240 C.350 D.640

3.(2020安徽马鞍山二中高二上期末)正三棱锥的底面边长为a,高为√66a,则此棱锥的侧面积等于 .

4.(2019福建三明三地三校高一下联考)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为

cm2.

5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰好等于两底面面积之和,则该正四棱台的高为 . 6.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.

(1)求这个四棱锥的侧棱长;

(2)求这个四棱锥的表面积.

题组二 棱柱、棱锥、棱台的体积

7.(2019北京高二学业考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为( )

A.2 B.3 C.4 D.6

8.(2020辽宁丹东高二上期末)一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为√3,那么这个四棱锥的体积为( ) A.43 B.4√23 C.83 D.8√23

9.(2020江西景德镇高一上期末)已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为( )

A.√3 B.3√3 C.√34 D.3√34

10.(2020江苏徐州高三上期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,P为棱AA1的中点,若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为9,则三棱锥C1-PBC的体积为 .

11.(2020豫南九校高一上联考)一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为4√23,则它的侧面积为 .

12.已知点P为直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点,若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 .

13.正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=√3,AB=2√3.

(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;

(2)求正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积.

14.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,这个几何体的体积为403,求几何体ABCD-A1C1D1的表面积.

能力提升练

题组一 棱柱、棱锥、棱台的面积

1.(2020河南省实验中学高一上月考,)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )

A.24 B.28 C.20+4√5 D.20+4√6

2.()若正四棱锥的斜高是高的2√33倍,则该正四棱锥的侧面积与底面积之比为 .

3.(2020陕西榆林高一上期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=a,D是BC边上的一点,且AD为∠BAC的平分线,若在三棱柱ABC-A1B1C1中去掉三棱锥C1-ACD后得到的几何体的表面积为3√3+√15+18,求a的值.

题组二 棱柱、棱锥、棱台的体积 4.(2020黑龙江哈尔滨第九中学高三上期末,)我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥,下广二丈,高三丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈,高为三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台,且正四棱台的上底面边长为六尺,则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积,则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺)( )

A.1 946立方尺 B.3 892立方尺

C.7 784立方尺 D.11 676立方尺

5.(2019辽宁葫芦岛高一上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1B和B1C1的中点,则三棱锥A1-MNC与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为( )

A.1∶4 B.1∶5 C.1∶6 D.1∶7

6.(2020浙江宁波效实中学高二期中,)如图所示,已知三棱台ABC-A1B1C1的体积为V,AB=2A1B1,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分的体积为( )

A.14V B.23V C.37V D.35V

7.(多选)(2020广东高三一模,)在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是( )

A.√23 B.√212

C.√312 D.√33

8.(多选)(2020福建厦门高一下期中,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是( )

A.直三棱柱的侧面积是4+2√2

B.直三棱柱的体积是13

C.三棱锥E-AA1O的体积为定值

D.AE+EC1的最小值为2√2 9.(2020安徽合肥一中期末,)正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD体积的比值是

.

10.(2020天津静海一中高一下线上检测,)如图,求一个棱长为√2的正四面体的体积时,可以将正四面体看成是一个棱长为1的正方体截去四个角后得到的,类比这种方法,一个三对棱长相等的四面体A-BCD,其三对棱长分别为AB=CD=√5,AD=BC=√13,AC=BD=√10,则此四面体的体积为 .

答案全解全析

基础过关练

1.A 由题意得,侧棱长为√(3√5)2-32=6(cm),所以正四棱柱的表面积为4×3×6+2×32=90(cm2).故选A.

2.B 由题意可知,该棱台的侧面为上、下底分别为4和16,腰长为10的等腰梯形,

∴等腰梯形的高为√102-(16−42)2=8, ∴等腰梯形的面积为12×(4+16)×8=80,

∴该棱台的侧面积为3×80=240.

3.答案 34a2

解析 如图所示,在正三角形ABC中,OB=23×√32a=√33a.

所以在直角三角形POB中,PB=√𝑃𝑂2+B𝑂2=√𝑎26+𝑎23=√22a,

所以在等腰三角形PAB中,底边AB上的高为√𝑎22-𝑎24=𝑎2,所以正三棱锥的侧面积为3×12×a×𝑎2=34a2.

4.答案 60

解析 棱柱的侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积,

∴棱柱的侧面积为3×5×4=60(cm2).

5.答案 23

解析 设正四棱台的高、斜高分别为h、h'.

由题意得,4×12×(1+2)×h'=12+22,解得h'=56.

根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形,可得h2+(1−12)2=(56)2,解得h=23.

6.解析 (1)在Rt△SOM中,OM=√𝑆𝑀2-S𝑂2=√121−64=√57.

在Rt△SBM中,SM=11,BM=OM=√57, ∴侧棱长SB=√𝑆𝑀2+B𝑀2=√121+57=√178.

(2)结合(1)得,S侧=4×12×BC×SM=4×12×2√57×11=44√57,S底=BC2=(2√57)2=228,

∴S表=44√57+228.

7.B 因为AB⊥AC,所以S△ABC=𝐴𝐵·𝐴𝐶2=32,所以𝑉𝐴𝐵𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1=S△ABC×AA1=32×2=3.故选B.

8.B 由题意设正四棱锥的棱长为a,

则其斜高为√𝑎2-(𝑎2)2=√3a2=√3,因此a=2,所以正四棱锥的高为√3−(𝑎2)2=√2,所以这个四棱锥的体积为13×√2×22=4√23.故选B.

9.A 因为O'B'=O'C'=1,所以B'C'=2.根据斜二测画法的知识可知,正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,其面积为√34×22=√3,所以正三棱锥的体积为13×√3×3=√3.故选A.

10.答案 3

解析 如图所示.

𝑉𝐶1-PBC=𝑉𝑃-𝐶1CB=𝑉𝐴-𝐶1CB=𝑉𝐶1-ABC=13C1C·S△ABC=13𝑉𝐴𝐵𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1=13×9=3,故答案为3.

11.答案 4√3

解析 设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为2a,则底面面积为4a2,斜高为√3a,高为√2a,所以13×4√2a3=4√23,解得a=1.

所以S侧=12×2a×√3a×4=4√3. 12.答案 3𝑉2

解析 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1.

在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P在侧棱AA1上,所以𝑉𝑃-𝐵𝐶𝐶1𝐵1=𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐶1𝐵1.

又V1=𝑉𝐴-𝐴1𝐵1𝐶1+𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐶1𝐵1=13V1+V,

所以V1=3𝑉2,故答案为3𝑉2.

13.解析 (1)由题意得,正三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为√34×(√3)2=3√34,下底面面积为√34×(2√3)2=3√3,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积为

13×(3√34+√3√34×3√3+3√3)×√3=214.

(2)设A1B1,AB的中点分别为M1,M,

则O1M1=12,OM=1,

所以正三棱台ABC-A1B1C1的斜高M1M=√(√3)2+(12)2=√132,

所以正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积为

3×[12×(√3+2√3)×√132]=9√394.

14.解析 由题意得,𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐶1𝐷1=𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1-𝑉𝐵-𝐴1𝐵1𝐶1=2×2×AA1-13×12×2×2×AA1=103AA1=403,∴AA1=4.

∴A1B=C1B=2√5,A1C1=2√2.

设A1C1的中点为H,则BH=3√2,