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机密★启用前2016年5月16日2016年普通高等学校招生模拟考试卷理科数学测试试卷注意事项：1、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上·2、作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·3、考试结束后，将本试卷和答题卡哦一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．复数2+i12i-的共轭复数是()A．－3i5B．3i5C．－i D．i2．已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩C I M＝∅，则M∪N＝() A．M B．N C．I D．∅3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8 B．7 C．6 D．54．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则() A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r16．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A ．B ．C ．4D ．7．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．2A B为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数8．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )．A ．14B ．13C ．4D ．39．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．30+B ．28+C ．56+D ．60+10．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2，1. 若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是( )． A ．[1，3] B ．[2，5] C ．[3，5] D ．[4，6]11．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )．A ．⎛-∞ ⎝ B ．(-∞ C ．⎛ ⎝D ．⎛ ⎝12．设a <b ，f(t)=⎰-baxdx t e|| (t ∈[e a ，e b ])，则( )A ．当t =2b a +时f(t)取得最大值 B ．当t =2ba +时f(t)取得最小值 C ．当t =2b a e +时f(t)取得最大值 D ．当t =2b a e+时f(t)取得最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB的中点为M，则M的轨迹的标准方程为.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，对任意正整数m，n，都有S m+n=S m S n，则{a n}的通项公式为a n = .16．高为的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C.18．如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的平面角的余弦值．19．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率．20．设椭圆1222=+y x上两个不同的点A 、B 关于直线y=kx +21对称(1)求k 的取值范围(2)求三角形OAB 的面积的最大值21．设函数f(x)=(x +a )ln(x +1)－ax .(1)若a ≤1，求f(x)的单调区间；(2)若总存在x 0>0，使得f (x 0)<0，求a 的取值范围； (3) 设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2322n a n n <≤++22．选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．选修4—5：不等式选讲设函数()1||(0)f x x x a a a++>＝－． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．2016全国新课标卷 (理科答案)1 C2 A3 D 4B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B 11 B 12 D 13、 －6 14、 (x －1)2＋(y －3)2＝2 15、⎩⎨⎧≥=-2,2121n n n ， 16、117、解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.18、(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =，AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯.因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB|＝2，则A (0,0)，D (0，0)，C (0)，P (0,0．PC ＝(，PD＝(0，．AP ＝ 0，AD ＝0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC＝(x ，y ，z )·(，＝0，n 1·PD＝(x ，y ，z )·(0，＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面P AD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP＝(m ，p ，q0＝0，n 2·AD＝(m ，p ，q0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n ，即为所求 19(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝()()P A P B ＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝()()()+()P A P B P A P B ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为123123123()+()+()P C C C P C C C P C C C ＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 20(1)设l ：y=kx +21依题意，直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在l 上 设AB ：x =－ky +m ，代入椭圆方程：(k 2+2)y 2－2kmx +m 2－2=0判别式Δ＝8(k 2－m 2+2)AB 中点y 0=221y y +=22+k km ，x 0=－ky 0+m =222+k m代入直线l 方程中化简得22+k km =－21所以m =)0(222≠+-k k k由Δ>0，解得k <－36或k36>(2) |AB |=2)2(81||12222112+-++=-+k m k k y y k ， d O-AB =21||k m + S =21|AB |d =2)2(2||222+-+k m k m =42422228443||2)4)2(2(2k k k k k k k -+=+-+=21)211(2122+--k 当k 2=2时，S max =2221、(1)f’(x)=ln(x+1) +1)1(+-x xa (x >－1)，因为a ≤1， 故当－1<x <0时，ln(x+1)<0，1)1(+-x xa ≤0，所以f’(x)<0，f(x)为减函数 当x >0时，ln(x+1)>0，1)1(+-x xa >0，所以f’(x)>0， f(x)为增函数 (2) 由(1)知，当a ≤1时, f(x)为(0，+∞)上的增函数 对任意x >0都有f(x)>f (0)=0，不符题意；故a >1 f(x)=(x +a )ln(x +1)－ax =(x +a )[ln(x +1)－ax ax+] 令g(x)=ln(x +1)－ax ax+(x >0，a >1)，则原命题等价于：存在x 0>0，使得g (x 0)<0，而g’(x)= 22))(1()]2([a x x a a x x ++-- 当1<a ≤2时，g’(x)>0，g(x)在(0，+∞)上为增函数对任意x >0都有g(x)>g (0)=0，不符题意；当a >2时，若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； g(a 2－2a )<g(0)=0，满足题设．所以，所求范围为a >2(3)由(3)可知，当a =2时，对任意x >0都有g(x)>g (0)=0，即2ln(1)2x x x +>+ 当a =3时，f (x )在(0，3)是减函数，故当0<x <3时，g(x)<g(0)=0，即3ln(1)3x x x +<+ 于是：当0＜x ＜3时，总有23ln(1)23x x x x x <+<++ 下面用数学归纳法证明2322n a n n <≤++. ①当n ＝1时，由已知1213a <=，故结论成立； ②设当n ＝k 时结论成立，即2322k a k k <≤++. 当n ＝k ＋1时，122222ln(1)ln 122322k k k a a k k k +⨯⎛⎫+=+>+>= ⎪++⎝⎭++， 133332ln(1)ln 132332k k k a a k k k ⨯⎛⎫+≤+<= ⎪++⎝⎭+++=+， 即当n ＝k ＋1时有12333k a k k +<≤++，结论成立． 根据①，②知对任何n ∈N *结论都成立．22、(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF23、(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)． 直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为5.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为5.24、(1)由a ＞0，有()111||+2f x x x a x x a a a a a ++≥+-(-)=≥＝－. 所以f (x )≥2.(2) ()133|3|f a a+＝+－.当a ＞3时，()13f a a +＝，由f (3)＜5得32a <<.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜53a <≤.综上，a 的取值范围是1522⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭。
2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设，是两个非零向量，若命题p：•＞0，命题q：，夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A．1﹣B．C． D．1﹣10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a﹣bt）6展开式中t4的系数为（）A．200 B．240 C．﹣60 D．6011．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．212．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=______．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于______．15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值范围是______．16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若•=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：若0＜x1＜x2，则＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）；由B中的不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），则A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由题意，程序的功能是输出两数中的较大数，从而可得结论．【解答】解：由题意，程序的作用是输出两数中的较大数，所以当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是3．故选：C．4．设，是两个非零向量，若命题p：•＞0，命题q：，夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可判断出结论．【解答】解：设，夹角是θ，命题p：•＞0，则cosθ＞0，∴θ是锐角或0，则命题p是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．5．若tanα=2，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可利用已知条件计算求值．【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α﹣cos2α===．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A ．4B ．4C ．6D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a ，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a 的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4，∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4． 故选：A ．8．等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，则b b b =（ ） A ．64 B ．32 C ．256 D ．4096【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1．求得b b b =b 1•b 5•b 9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，可得a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =1•2n ﹣1=2n ﹣1．可得b b b =b 1•b 5•b 9=1•24•28=212=4096．故选：D ．9．如图，若在矩阵OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）A ．1﹣B ．C ．D ．1﹣【考点】几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积．即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．【解答】解：S 矩形=π， sinxdx=﹣cosx |=﹣（cos π﹣cos0）=2，∴S 阴影=π﹣2，故豆子落在图中阴影部分的概率为=1﹣，故选：A ．10．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则（a﹣bt）6展开式中t4的系数为（）A．200 B．240 C．﹣60 D．60【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a、b的值，代入（a﹣bt）6，写出展开式的通项，由x的指数等于4求得r值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），B（0，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1．则（a﹣bt）6即为（2+t）6．由，取r=4，可得展开式中t4的系数为．故选：D．11．双曲线的一个焦点F与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c，将x=c代入双曲线的方程，可得=2p=4c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f （x），a=e3f（2），b=e2f（3），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造新函数，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=f（x）•e5﹣x则，=对任意的x≥0，f′（x）＞f（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在定义域上是增函数，∴g（2）＜g（3）故答案选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机向量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），则c=．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于c 程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∵P（X＞2c﹣1）=P（X＜c+3），∴2c﹣1+c+3=6，∴c=，故答案为：．14．P是棱长为2的正四面体内任意一点，则它到该正四面体各个面的距离之和等于．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离．【解答】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为a，b，c，d，由于棱长为1的正四面体，故四个面的面积都是×2×2×sin60°=．又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为2×sin60°=，故底面中心到底面顶点的距离都是：．由此知顶点到底面的距离是=．此正四面体的体积是××=××（a+b+c+d）．所以：a+b+c+d=．故答案为：．15．函数f（x）=，对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则实数a的取值范围是[0，2] ．【考点】函数恒成立问题．【分析】讨论可得a≥0，故恒成立问题可化为x++a≥a2恒成立，从而解得．【解答】解：若a＜0，则f（a）=0＜f（0），故不成立；故a≥0，而f（0）=a2，故若对任意x∈R恒有f（x）≥f（0），则x++a≥a2恒成立，故a2﹣a﹣2≤0，故0≤a≤2，故答案为：[0，2]．16．在△ABC中，O是外接圆的圆心，若•=﹣，∠A=60°，则△ABC周长的最大值3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可得外接圆的半径为r=1，BC=，再利用余弦定理、基本不等式求得△ABC周长的最大值．【解答】解：△ABC中，∵O是外接圆的圆心，设外接圆的半径为r，∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，由•=﹣，可得r•r•cos120°=﹣•r2=﹣，∴r=1，∴BC==．△ABC中，由余弦定理可得BC2=3=CA2+AB2﹣2CA•AB•cos60°=AC2+AB2﹣CA•CB=（AB+AC）2﹣3AB•AC≥（AB+AC）2﹣3，求得（AB+AC）2≤12，∴AB+AC≤2，∴△ABC周长AB+AC+BC≤3，故△ABC周长的最大值为，故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2．当n=1时，a1=2a1﹣2，得a1=2；当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，可得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2），可知：数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n=2n．（2）na n=n•2n，由已知得：T n=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．18．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，由此能证明AC∥平面BEF．法2：以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AC∥平面BEF．（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面ABCD 的一个法向量，利用向量法能求出平面BEF 和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法1：如图，记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由题设知，CE，MO，即CE MO，∴四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BFE，EM⊂平面BFE，∴AC∥平面BEF．…证法2：由题设知，DA，DA，DC两两相互垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F（0，0，2）．设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，又，∴，取x=1，得=（1，1，2），又=（﹣2，2，0），∴=0，即，又AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BEF的法向量=（1，1，2），平面ABCD 的一个法向量为=（0，0，1），则cos＜＞===，平面BEF和平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．…19．某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女20（2）根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”？【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率，求出对应的概率；（Ⅱ）填写列联表，计算K2的值，对照数表得出概率结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，喜欢这项活动的男生有8人，女生有15人，从中选一人有23种选法，其中选到男生有8种，所求概率为．…K2=中，得K2=≈5.013＞3.841，所以，有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有关”．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1﹣y2|===，∴==，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f（x）=x﹣a﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：若0＜x1＜x2，则＜．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）解法1、求出f（x）的导数，求得单调区间，可得极小值且为最小值，解得a的范围；解法2、运用参数分离，求得右边韩寒说的最小值，即可得到a的范围；（II）取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，ln＜﹣1（0＜x1＜x2）可得lnx2﹣lnx1＜，即有＜，再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）解法1：f（x）=x﹣a﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知f（x）min=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1．解法2：f（x）≥0，即a≤x﹣lnx（x＞0），令g（x）=x﹣lnx（x＞0），则g′（x）=1﹣=（x＞0），令g′（x）＞0，得x＞1；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知g（x）min=g（1）=1，可得a≤1．（II）证明：取a=1，知f（x）=x﹣1﹣lnx，由（Ⅰ）知lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1，ln＜﹣1（0＜x1＜x2）可得lnx2﹣lnx1＜，即有＜，则==﹣1＜﹣1＜==＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB，CD是圆O的两条互相垂直的直径，E是圆O上的点，过E点作圆O的切线交AB的延长线于F，连结CE交AB于G点．（1）求证：FG2=FA•FB；（2）若圆O的半径为2，OB=OG，求EG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D，证明FG=FE，由切割线定理得FE2=FA•FB，即可证明：FG2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG的长．【解答】（1）证明：连接OE，DE，由弦切角定理知∠FEG=∠D．∵∠C+∠D=90°，∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE∴∠C+∠FGE=90°，∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE2=FA•FB，所以FG2=FA•FB；（Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt△OCG中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即（2+2）（2﹣2）=4EG，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C2参数方程是（t为参数）消去参数化为直角坐标方程．（II）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出．【解答】解：（I）曲线ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化为直角坐标方程为：x2+3y2=3，即=1；曲线C2参数方程是（t为参数）化为直角坐标方程为：x=﹣（y﹣1），即x+y﹣=0．（II），解得，即A（0，1），B（，0），线段AB的中点为M，则以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]．（1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a﹣4|=2，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到﹣2≤m ﹣m2，解出即可．【解答】解：（1）对于任意x∈R，f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|∈[﹣|a﹣4|，|a﹣4|]，可知|a﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．2016年9月20日。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1。
集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<，则AB =（ )A ．()1,3B ．[)1,3C ．[)1,+∞D ．[),3e 【答案】B 【解析】试题分析:因}33|{},1|{<<-=≥=x x B x x A ，故}31{<≤=x B A ,应选B. 考点:集合的交集运算。
2.若复数()21(ai i -为虚数单位，a R ∈） 是纯虚数， 则a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1± 【答案】D 【解析】考点:复数的有关概念及运用.3.如图所示， 当输入,a b 分别为2,3时, 最后输出的M 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由算法的伪代码程序语言可知输出的是两数3,,2==b a 中最大的数，故应输出3,故应选C.考点：伪代码语言程序的理解和识读.4.设,a b 是两个非零向量， 若命题:0p a b >,命题q ：,a b 夹角是锐角, 则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条 【答案】B 【解析】考点:充分必要条件的判定。
5.若tan 2α=，则2sin 2cos αα-的值为（ ）A ．45B ．45-C ．35 D ．35-【答案】C 【解析】试题分析：因53tan 11tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=+-=+-=-ααααααααα,故应选C. 考点：同角三角函数的关系及运用.6。
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)。
已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为（ ）A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,8 【答案】C 【解析】试题分析：由中位数的定义可知5=x ,因8.16524930)85(⨯=+++++y ,故8=y ,应选C 。
【说明】： 【参考版答案】非官方版正式答案，答案和解析为学科网解析团队教师与学而思培优名师团队制作，有可能存在少量错误，仅供参考使用。
2016年新课标I 高考数学（理科）答案与解析1． {}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． 故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．2． 由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y=⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 故选B ．3． 由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=． 故选C ．4． 如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ．5． 222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 故选A ．6． 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 故选A ．7． ()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B 0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C故选D ．8． 对A ： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ： 由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确 对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误故选C ．9．输出32x =，6y =，满足4y x = 故选C ．10． 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：。
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)iz m m=++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（A）(31)-，（B）(13)-，（C）(1,)∞+（D）(3)∞--，（2）已知集合{1,}A=2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x=+-<∈Z，则A B =（A）{1}（B）{12}，（C）{0123}，，，（D）{10123}-，，，，（3）已知向量(1,)(3,2)m=-，=a b，且()⊥a+b b，则m=（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8（4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（A）43-（B）34-（C ）3（D）2（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =– (k ∈Z ) （B ）x =+ (k ∈Z ) （C ）x =– (k ∈Z ) （D ）x =+ (k ∈Z )（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(–α)= ，则sin 2α=（A ） （B ） （C ）– （D ）–（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .(14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. 学科.网（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =I（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2【答案】D考点：集合运算（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,i x yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=所以故故选B. 考点：复数运算（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+= 故选C.考点：等差数列及其运算（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B考点：几何概型（5）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 考点：双曲线的性质（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质（8）若101a b c >><<，，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C 【解析】试题分析：当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥；2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C. 考点：程序框图与算法案例（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B. 考点：抛物线的性质（11）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，ααI αI322313ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-()f x π4x =()y f x =()f x π5π()1836，ω(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（13）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ，得⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算（14）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10 【解析】 试题分析：5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2)()2C r r rr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 考点:二项式定理（15）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃?a n 的最大值为 . 【答案】64考点：等比数列及其应用（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料 kg ，乙材料 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩„„„……目标函数2100900z x y =+.约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?„„……①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，作直线：73y x =-并平移，当直线73900zy x =-+经过点M 时，z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标为(60,100).所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若7,c ABC △=33ABC △的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II ）57【解析】试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=，所以C 3π=．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 （18）（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【答案】（I ）见解析（II ）219【解析】试题分析：（I ）证明F A ⊥平面FDC E ，结合F A ⊂平面F ABE ，可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系，利用向量求解.试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ，故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF u u u r 的方向为x 轴正方向，GF u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =o，则DF 2=，DG 3=，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，()D 0,0,3．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =考点：概率与统计、随机变量的分布列（20）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =I （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞U （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞U 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥I 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量13(,)2BA =uu v ，31(,)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 11BA BC ABC BA BC⨯+⨯⋅∠===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a r 与b r 的数量积为·cos a b a b θr r r r＝，其中θ是a r 与b r 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·r r r ，·cos a ba b θ=r rr r ，·0a b a b ⇔⊥r r r r ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222210cos 2225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OBE ∆CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考模拟数学试题(全国新课标卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．i 为虚数单位,复数ii++13= A ．i +2 B ．i -2 C ．2-i D ．2--i2．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于 A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 3．已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ，}8121|{≥⎪⎭⎫⎝⎛∈=+yN y B ，记A card 为集合A 的元素个数，则下列说法不正确．．．的是 A ．5card =A B ．3card =B C ．2)card(=B A D ．5)card(=B A 4．一个体积为12错误!的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图的面积为A ．6 3B ．8C ．8错误!D ．125．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为A ．5B ．4C ．3D ．2 6．下列说法正确的是A ．互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值8．若(9x －错误!）n （n ∈N ＊）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为输入开始01230,,,,a a a a x 33,k S a ==输出S 结束k >0k S a S x =+*1k k =-否是A ．252B ．－252C ．84D ．－849．若S 1＝错误!错误!d x ，S 2＝错误!(ln x ＋1）d x ，S 3＝错误!x d x ,则S 1，S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 3＜S 1＜S 210．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点.若△F AB 的面识为,则直线l 的斜率为 A ．13132 B ．21 C ．41 D ．7711．已知三个正数a ，b ，c 满足a c b a 3≤+≤,225)(3b c a a b ≤+≤，则以下四个命题正确的是p 1：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有b ≤c ； p 2：存在一组实数a 、b 、c ,使得b >c ; p 3：对任意满足条件的a 、b 、c ,均有6b ≤4a +c ； p 4：存在一组实数a 、b 、c ,使得6b >4a +c 。
