人教版初三数学下册28.2.1 解直角三角形.2-解直角三角形-同步作业

28.2.1 解直角三角形知识点 1 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( ) A.3sin40° B ．3sin50°C.3tan40° D ．3tan50°3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．4.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝8 3，∠A ＝60°，则a ＝________，b ＝________.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形.(1)已知∠A ＝60°，b ＝4； (2)已知a ＝13，c ＝23；(3)已知c ＝28 2，∠B ＝30°.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，AB ＝6，求BC 的长．知识点 2 解直角三角形的应用7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点15米的C 处(AC ⊥AB )测得∠ACB ＝50°，则A ，B 间的距离应为( )A.15sin50° 米 B ．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D ．15cos50° 米 8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米 9.如图，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E .若sin B ＝23，AD ＝6，则菱形ABCD 的面积为( )A.12 B ．12 5 C ．24 D ．5410.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E .设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD的长为( )A.3B.163C.203D.22311.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．能力提升12.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是( )A.R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin36°C.a ＝2r tan36° D ．r ＝R cos36°13.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D .已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A.1B.203 C ．3 D.16314.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.hsin α B.h cos α C.h tan αD ．h ·cos α 15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos ∠ABC ＝45，点D 在BC 边上，BD ＝6，CD ＝AB ，则AD的长为__________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB 上的高CD ＝3，BD ＝1，解这个直角三角形．17.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 3，求△ABC 的面积．18.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，并且CD ＝2.(1)求BD 的长； (2)求cos ∠DAC 的值．参考答案1．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝BC AB ＝35，BC ＝6，∴AB ＝BC sin A ＝635＝10.2.D [解析] 已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝50°.∵tan B ＝ACBC，即tan50°＝AC3，∴AC ＝3tan50°.故选D.3.30° [解析] ∵tan B ＝b a ，b ＝2 3，a ＝6，∴tan B ＝2 36＝33，∴∠B ＝30°.4.12 4 3 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A ＝ac，得a ＝c ·sin A ＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b ＝4 3. 5.解：(1)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝30°. ∵tan A ＝a b，∴a ＝b tan A ＝4tan60°＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.即∠B ＝30°，a ＝4 3，c ＝8.(2)由勾股定理，知b ＝c 2－a 2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b ， ∴∠A ＝∠B ＝45°. 即∠A ＝∠B ＝45°，b ＝13.(3)∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，b ＝12c ＝12×28 2＝14 2.又∵cos B ＝a c，∴a ＝c ·cos B ＝28 2×cos30°＝14 6. 即∠A ＝60°，a ＝14 6，b ＝14 2.6.解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝BCAB. ∵AB ＝6，sin A ＝23，∴BC 6＝23，∴BC ＝4.7.B [解析] 由tan ∠ACB ＝ABAC知AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝15tan50°.故选B. 8.D9.C [解析]∵四边形ABCD 是菱形，AD ＝6，∴AB ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB. ∵sin B ＝23，∴AE 6＝23，解得AE ＝4，∴菱形ABCD 的面积是6×4＝24.故选C.10.B [解析] 由已知可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt △DEC 中，cos α＝CE CD＝35，即CE 4＝35，∴CE ＝125.根据勾股定理，得DE ＝165.在Rt △AED 中，cos α＝DE AD ＝35，即165AD ＝35，∴AD ＝163.故选B.11.解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BCtan A＝2 3，则EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.12.A[解析]∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BOC ＝15×360°＝72°.∵OB ＝OC ，OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝12∠BOC ＝36°，BH ＝12BC ＝12a .在Rt △BOH 中，OB 2－OH 2＝BH 2，∴R 2－r 2＝(12a )2＝14a 2，则选项A 错误．∵sin36°＝BH OB ，∴BH ＝OB ·sin36°，即12a ＝R sin36°，∴a ＝2R sin36°，则选项B 正确．∵tan36°＝BH OH ，∴BH ＝OH ·tan36°，即12a ＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，则选项C 正确．∵cos36°＝OH OB，∴OH ＝OB ·cos36°，∴r ＝R cos36°，则选项D 正确．故选A.13. D [解析]∵AB 是半圆O的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos ∠ACD ＝BC AB ＝35，BC ＝4，∴AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（203）2－42＝163.故选D. 14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCD ，由cos ∠BCD ＝CDBC，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α.故选B.15.2 10 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .设DE ＝x ，则BE ＝6＋x ，CD ＝6＋2x .∵cos ∠ABC ＝45，AB ＝CD ＝6＋2x ，∴BE AB ＝6＋x 6＋2x ＝45，解得x ＝2.∴AB＝10，BE ＝8，∴AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝210.16.解：在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝12＋（3）2＝2，∴sin B ＝CDBC ＝32， ∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.在Rt △ABC 中，AB ＝BCcos B ＝2cos60°＝212＝4， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝42－22＝16－4＝12＝2 3.即∠A ＝30°，∠B ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝2 3. 17.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝12－3＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3，∴△ABC 的面积为12CD ·AB ＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32.18.解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.∵AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4. (2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝82＋22＝217，∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.。

28.2.1解直角三角形同步习题一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD＝16，则BC长为（）A．6B．8C．8D．122．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．23．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，则AB边的长是（）A．7sin40°B．7cos40°C．D．4．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．46．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），则坐标原点O到线段AB的中点M的距离为（）A．B．C．D．18．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC⋅AC，tanα＝2，则点C的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（﹣3，6）C．（﹣，）D．（﹣，）9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．10．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan ∠ACD的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，△ABC中，AC＝BC，AB＝8，点E、F分别在BC、AC边上，BE＝CF，连接EF，若tan（∠A﹣∠CEF）＝，则线段EF的长为．12．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝2，∠B＝60°，则△ABC的面积＝．13．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，tan B＝，则BC的长为．14．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是．三．解答题16．根据下列条件，解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记＜x，y＞为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为＜60，120＞．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）18．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是．（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）参考答案一．选择题1．解：如图，∵cos A＝，∴∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝30°，∴DB＝DA＝16，∴BC＝BD•cos30°＝16×＝8，故选：C．2．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，∵tan C＝2＝，sin B＝＝，∴AD＝2DC，AB＝3AD，∵AB＝3，∴AD＝1，DC＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，故选：B．3．解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，∴sin A＝，∴AB＝＝．故选：C．4．解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tan A＝＝＝，故选：A．5．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．6．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，∴tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．7．解：∵在平面直角坐标系中，点A（cos70°，sin70°），B（cos10°，sin10°），M为线段AB的中点，∴M（，），∵O（0，0），∴OM＝＝＝＝＝．故选：C．8．解：∵∠C＝∠C，∵OC2＝BC•AC，即，∴△OBC∽△OAC，∴∠A＝∠COB，∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α，∵tanα＝2，∴tan∠ABO＝，∴OA＝2OB，∵AB＝3，由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，即，解得：OB＝3，∴OA＝6．∴tan∠A＝＝．如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵tanα＝2，∴设C（﹣m，2m），m＞0，∴AD＝6+m，∵tan∠A＝，∴＝，∴＝，解得：m＝2，经检验，m＝2是原方程的解．∴点C坐标为：（﹣2，4）．故选：A．9．解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，∵CE∥BM，∴∠AFE＝∠M，∵EA＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∴∠BAM＝∠M，∴AB＝BM＝9，∵AE＝4，∴BE＝5，∵∠EBC＝90°，∴BC＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：D．10．解：如图作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，∴∠ABH＝45°，∵∠AHB＝90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH＝BH，设AH＝BH＝a，则AB＝a，BD＝a，BC＝CD＝a，CH＝a+a，∵∠AHB＝∠DCB＝90°，∴AH∥DC，∴∠ACD＝∠CAH，∴tan∠ACD＝tan∠CAH＝＝+1，故选：B．二．填空题11．解：过F点作FM∥BC，过点B作BM∥EF，BM，FM相交于点M，连接AM，如图，∴四边形BMFE是平行四边形，∴EF＝BM，∵FM∥BC，∴∠AFM＝∠C，∵AC＝BC，BE＝CF，∴AF＝CE，在△MAF和△FEC中，，∴△MAF≌△FEC（SAS），∴∠MAF＝∠FEC，∵BM∥EF，∴∠MBC＝∠FEC＝∠MAF，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠MAB＝∠MBA，∵，∴tan∠MAB＝tan∠MBA＝，过点M作MN⊥AB于点N，则有，BN＝AB＝×8＝4，又，∴MN＝3，由勾股定理得，BM＝5，∴EF＝BM＝5故答案为：5．12．解：作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BH＝3，AH＝3，在Rt△ACH中，∵AC＝2，∴CH＝＝＝5，∴BC＝8，∴S△ABC＝•BC•AH＝×8×3＝12．13．解：当∠ACB为锐角时，如下图所示，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，tan B＝，设AD＝x，则BD＝2x，则AB＝＝x＝4，解得x＝4，故AD＝4，BD＝8，在Rt△ACD中，CD＝＝＝2，故BC＝BD+CD＝8+2＝10；当∠ACB为钝角时，同理可得BC＝8﹣2＝6，故答案为10或6．14．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．15．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，∵AE⊥AC，BC⊥AC，∴AE∥BC，∴∠E＝∠ECB＝α，∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，∴∠NCB＝∠NDC＝α，在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AE sinα＝a sinα，GE＝a cosα，则GH＝＝＝AG＝a sinα，则EH＝GE+GH＝a cosα+a sinα，在Rt△AEC中，EC＝＝，则HC＝EC﹣EH＝﹣（a cosα+a sinα）；在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（a cosα+a sinα），同理可得：BC＝×，在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，则＝，故答案为．三．解答题16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，∴c＝＝4，∴sin A＝＝，sin B＝＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，∴sin A＝＝，sin B＝＝，∴a＝3，b＝3．17．解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，∵tan58°＝，∴BC＝，在Rt△P AC中，∠P AC＝26.6°，∵tan26.6°＝，∴AC＝，∵AB＝AC﹣BC，∴﹣＝22，解得PC≈16（cm），∴S△P AB＝22×16＝176cm2；（2）如图3，点P即为所求．18．解：（1）∵图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动，∴图①不能求出其余未知元素；∵图②已知三个角，则三个边可以任意变动，∴图②求出其余未知元素；∵图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长，∴图③、图④可以求出其余未知元素；故答案为：③④；（2）过点C作CD⊥AB于点D，如图⑤所示：在Rt△ADC中，∠A＝37°，∴CD＝AC•sin A＝10×sin37°≈10×0.60＝6，AD＝AC•cos A＝10×cos37°≈10×0.80＝8，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，∴在Rt△CDB中，BC＝＝＝2，即BC的长度为2．。

【九年级】九年级数学下28.2解直角三角形及其应用(二)同步练习（人教版附答28.2解直角三角形及其应用同步练习(二)一、单选题（本大题共15个子题，每个子题得3分，共计45分）一、一人乘雪撬沿坡度为的斜坡滑下距离（米）与时间（秒）之间的关系为．若滑动时间为秒，则他下降的垂直高度为（）.a、仪表b.米c、仪表d.米2.如图所示，有人站在楼顶观察对面的直旗杆。

已知观测点到旗杆的距离（长度），测量旗杆顶部的仰角，测量旗杆底部的俯角，则旗杆高度为（）a.(b(c.(d(3、如图，在处测得旗杆的顶端的仰角为，向旗杆前进米到达处，在处测得的仰角为，则旗杆的高为（）米A.b.Cd.4.在中学升国旗时，同学a站在旗杆底部以引起注意。

当国旗升到旗杆顶端时，同学视线的仰角为。

如果他的眼睛离开地面，旗杆的高度是（）a.米b、仪表c.米d、仪表5、如图，一渔船在海岛南偏东方向的处遇险，测得海岛与的距离为海里，渔船将遇险情况报告给位于处的救援船后，沿北偏西方向向海岛靠近，同时，从处出发的救援船沿南偏西方向匀速航行，分钟后，救援船在海岛处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）海里/小时.A.b.Cd.6.如图所示，为了测量一棵树垂直于地面的高度，在距树底m处测量的树顶仰角为，则树高为（）a.米b、仪表c.米d、仪表7、如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离长是（）a、大海b.海里c、大海d.海里8.如图所示，该船沿正南方向以每小时海里的匀速航行。

据观察，灯塔位于该地点的西偏南方向。

航行数小时后，它到达了北。

据观察，灯塔的方向是西偏南。

如果船继续向南航行到离灯塔最近的位置，船与灯塔之间的距离约为（通过科学计算器，，）获得）9、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，则树的高度为（）a、仪表b.米c、仪表d.米10.为了如图所示测量上坡坡道的坡度，小明测量了如图所示的数据，则坡度角的正切值为（）a.Bc.D11、如图，长的楼梯的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯的长为（）12.如图所示，在，，，中，点是边的中点。

解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a tan A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D ) A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5. 3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B )A ．m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米 D.m tan α米图28－2－14．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝23＝33，得∠B ＝30°. 7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝__43__．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝383＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3. 8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__．【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角．9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形．(1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ；(2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ； (4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b . 解：(1)∵tan A ＝a b ， ∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c ，∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6. 又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2.10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c .(3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033； (3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6. 解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝a cos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83； (2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A ＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)．解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°.在Rt △ABC 中，∵cos B ＝ABBC ，sin B ＝AC BC， ∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4， ∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23，∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.15．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD ，所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD＝CD＝ 3.由勾股定理得：AD＝AC2－CD2＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．。

解直角三角形及其应用同步练习一、选择题1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，则sinA的值是（）A．B． C． D．2、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（）A． km2 B． km2 C． km2 D． km23、在△ABC 中，若|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C 的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°4、如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米 B．28米 C．30米 D．46米5、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里,6、底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米7、如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若，则AD的长为（）A. B.2 C.1 D.8、如图，为了测量小河的宽度，小明先在河岸边任意取一点A，再在河岸另一边取两点B、C，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，量得BC为20米，根据以上数据，请帮小明算出河的宽度为结果保留根号（）A 10B 20C D9、如图，路灯距地面8米，身高1．6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1．5米B．减小1．5米C．增大3．5米D．减小3．5米10、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm11、如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．千米； B．千米；C．千米； D．千米.12、如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm二、填空题13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin A＝，则DE＝．14、如图，PA与⊙O相切于点A，PC经过⊙O的圆心且与该圆相交于两点B、C，若PA=4，PB=2，则sinP= ．15、如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．16、如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED= ．17、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D 在直线AC上）？请你计算KC的长为步．18、如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C＝（用含n的代数式表示）．三、简答题19、某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度（结果精确到1米，参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，≈1.41）20、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）21、如图，山脚下有一棵大树AB，小华从点A沿着山坡向上走25米到达小树CD处，在D点测得大树AB的仰角为6°，已知山坡的坡角为15°，小树CD高1.8米，小树的顶端C和大树的顶端B，哪个位置更高？请通过计算加以说明。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图某河堤迎水坡AB坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB长是（）A．5 m B．10m C．5m D．8 m2．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．4sinα米C．米D．4cosα米4．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（）A．B．C．m•cos∠1D．m•sin∠15．如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（）A．l•sinθB．C．l•cosθD．6．如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（）A．米B．米C．sinα米D．cosα米7．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．24海里/时B．8海里/时C．24海里/时D．8海里/时二．填空题9．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．10．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．11．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）12．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为m．13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）14．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．15．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81】16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．三．解答题17．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．18．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD ＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠P AD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．19．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）20．如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB＝．（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？21．某综合实验小组利用大厦AC测量楼前一棵树EF的高，小明在大厦的B点能透过树梢F看到小强同学在G点，小明上升到达C点透过F点看到小文同学在D点，已知G，D，E，A在同一直线上，AC⊥AG，EF⊥AG测得GD＝6米，∠C＝27°，∠G＝38.5°，则树的高度约为多少米？（参考数据：tan27°＝0.50，tan38.5°＝0.80）．22．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）参考答案一．选择题1．解：∵tan∠CAB＝＝＝，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．2．解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．3．解：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，故选：B．4．解：在Rt△ABC中，sin∠1＝，∴AB＝，故选：A．5．解：∵sinθ＝，∴h＝l•sinθ，故选：A．6．解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AB＝2.8m，∠ACD＝α，∴AD＝AC•sin∠ACD＝2.8sinα＝sinα米，故选：C．7．解：如图所示，在Rt△ABD中，tan B＝＝．故选：A．8．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AB＝48海里，∴AC＝AB＝24海里，则这艘船航行的速度为24÷3＝8（海里/小时），故选：D．二．填空题9．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．10．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．11．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），故答案为：7.5m．12．解：∵tan∠ADB＝，∴BD＝＝AB（m），∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝AB（m），∵CD＝BD﹣BC，∴6＝AB﹣AB（m），∴AB＝9（m），故答案为9．13．解：在直角三角形中，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701（m），∴CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m），故答案为：1.1．14．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．15．解：过点A作AM⊥CD于点M，则∠DAM＝∠ADE＝39°，如图所示．在Rt△ADM中，AM＝16，∠DAM＝39°，∴DM＝AM•tan∠DAM＝16×0.81＝12.96，∴AB＝CM＝CD﹣DM＝31﹣12.96＝18.04≈18.0．故答案为：18.0．16．解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝4（千米），∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．答：A、B两点间的距离约为11千米．18．解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，∴PC2+CD2＝PD2，∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，∴∠PCB＝90°，在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD＝，∴PB＝＝＝16≈27.7（米），∵∠P AD＝30°，∴∠APB＝∠PBD﹣∠P AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠APB＝∠P AD，∴AB＝PB≈27.7米，∵27.7＞25，∴此车超过了每秒25米的限制速度．19．解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．20．解：（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB＝，∴∴设BC＝3x，DC＝5x，∴BD＝，∵BD＝4m，∴4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5米；（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．∴灯的顶端E距离地面6.8米．21．解：∵AC⊥AG，EF⊥AG，∴∠A＝∠FED＝90°，∴AC∥EF，∴∠DFE＝∠C＝27°，在Rt△GEF和Rt△DEF中，tan∠G＝＝，即＝0.80，tan∠DFE＝＝0.5，即DE＝0.5EF，∴＝0.8，解得EF＝8（米）．答：树的高度约为8米．22．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（）A．B．C．D．3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．2D．34．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+200sinα）米B．（1.5+200cosα）米C．（1.5+200tanα）米D．（1.5+）米5．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i＝1：2（坡度i＝坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A 的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是（）（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）A．27.1米B．30.8米C．32.8米D．49.2米6．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 7．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（）A．200米B．米C．米D．米8．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．24二．填空题9．在△ABC中，sin B＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为．10．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则（1）AD＝；（2）sin∠BAD＝．11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为米．12．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF＝m（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，）13．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）14．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为km．15．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C 的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为千米．（≈1.732，结果保留一位小数）16．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，BC可分别绕点A，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，点C到AD的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）三．解答题17．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）18．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上运动，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．①若tan∠ABC＝2，AB＝3，AE＝2，求BD长？②若直线DE与直线BC所夹锐角的正切值是，cos∠BAC＝，BC＝4，求BD的长．22．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？23．如图，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器，先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，要求AD与水平线的夹角α为48°，且两支架之间的水平距离为150cm．现测量出屋顶斜面BC与水平面的夹角β为30°，支架AB的高度为20cm，求支架CD的高度．（结果精确到1cm．参考数值：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）24．西山公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米．（1）为保证斜坡的坡度为1：3，斜面AD的长度应为多少米？（2）如果给该地下停车场送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：）参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．2．解：如图，过B、D分别作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，则∠BEO＝∠DFO＝90°．在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOD＝60°，∴BE＝OB•sin∠BOE＝OB•sin60°＝OB，在Rt△DOF中，∠AOD＝60°，∴DF＝OD•sin∠BOE＝OD•sin60°＝OD．∵AC＝BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AC•BE+AC•DF＝×2×OB+×2×OD＝OB+OD＝（OB+OD）＝BD＝×2＝．故选：C．3．解：由网格以及勾股定理可得，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝8+2＝10＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴tan∠BAC＝＝，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则CE＝AD＝1.5米，AE＝CD＝200米，在Rt△ABE中，∠BAE＝α，∴BE＝AE•tanα＝200tanα（米），∴BC＝BE+EC＝（1.5+200tanα）米，∴铁塔的高BC为（1.5+200tanα）米，故选：C．5．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝8米，DE＝40米，BF＝CG＝2米，在Rt△CDG中，i＝1：2，∴DG＝4米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝52米，∠E＝43°，∴AF＝FE•tan34°≈52×0.67＝34.84（米），∴AB＝AF﹣BF＝34.84﹣2≈32.8（米）；即建筑物AB的高度约为32.8米．故选：C．6．解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．7．解：作BE⊥MD于点E，如图所示，由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，AM＝BE，∴＝2，解得AM＝200米，∴BE＝200米，∵tan∠BDE＝，∴tan30°＝，解得DE＝200米，∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）米，故选：C．8．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．二．填空题9．解：当点D在线段BC的延长线上时，∵AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sin B＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若点D在线段BC上时，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案为：2或6．10．解：如图，连接AC，根据题意得：，而，∵AD⊥BC，∴，解得：，∴，设AD＝4x，则AB＝5x，∴，∴．故答案为：，．11．解：设他下降的高度AC为x米，∵斜坡的坡度为i＝1：2，∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：x＝±6（负值舍去），∴他下降的高度为6米，故答案为：6．12．解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°，设CH＝xm，在Rt△CGH中，∠CGH＝∠EGD＝45°，∴GH＝CH＝xm，在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝0.53，解得：x≈45.1，∴灯塔的高CF＝45.1+10＝55.1≈55（m）．答：灯塔的高为55米．13．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EP A＝60°，∠CAB＝30°，P A＝30海里，∴∠P AB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△P AB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此时与灯塔P的距离约为50海里．故答案为：50．14．解：∵太阳射来的光线可以看作平行线，∴∠AOB＝∠1≈7.2°．设地球的半径为R千米，由题意得＝800，解得R＝，∴地球的周长约为2π×＝40000（千米）．故答案为：40000．15．解：如图，过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，∴∠ADB＝45°，∵AB＝12×＝8（千米），∴AE＝4（千米）．BE＝4（千米），∴DE＝BE＝4（千米），∴AD＝（4+4）（千米），∵∠C＝90，∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝2+2≈5.5（千米）．故答案为：5.5．16．解：当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，如图：在Rt△ABC中，BC＝AB＝×18＝9（cm），当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，如图：过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，则FG＝CE，∠BGC＝90°，在Rt△ABF中，AB＝18cm，∠BAD＝60°，∴BF＝AB•sin60°＝18×＝9（cm），∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，在Rt△BCG中，BC＝9cm，∴BG＝BC•sin70°≈9×0.94＝8.46（cm），∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.1（cm），∴点C到AD的距离为7.1cm，故答案为：7.1．三．解答题17．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．18．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．21．解：①如图1中，作DF⊥AB于F．∵tan∠B＝2＝，设BF＝k，DF＝2k，则AF＝3﹣k，在Rt△ADF中，AD＝AE＝2，∴（2）2＝（2k）2+（3﹣k）2，∴k＝或，∵BD＝k，∴BD＝1或5．②如图②中，作DF⊥AB于F，BH⊥AC于H，∵∠AED＝∠ACD，∴∠EDC＝∠CAE＝∠BAD，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH＝＝，设AH＝m，AB＝3m，则CH＝2m，BH＝2m，在Rt△BCH中，（2m）2+（2m）2＝16，解得m＝，∴AB＝2，∵tan∠BAD＝＝，设DF＝n，AF＝3n，易知tan B＝＝，∴BF＝n，∵AF+BF＝AB＝2，∴4n＝2，∴n＝，∴BD＝n＝．22．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．23．解：过点A作AF⊥DC于点F，过点B作BE⊥DC于点E，∵矩形ABEF中，AF＝BE＝150cm，AB＝EF＝20cm．Rt△DAF中，∠DAF＝48°，DF＝AF•tan48°≈150×1.11≈166.5（cm），Rt△CBE中，∠CBE＝30°，CE＝BE°tan30°＝150×≈86.5（cm），∴DE＝DF+EF＝166.5+20＝186.5（cm），DC＝DE﹣CE＝186.5﹣86.5＝100（cm），答：支架CD的高约为100cm．24．解：（1）∵斜坡的坡度为1：3，∴＝，∵BD＝CD﹣CB＝2.2（米），在Rt△ABD中，AB＝3BD＝6.6（米），故AD＝＝≈7.04（米），答：斜面AD的长度应约为7.04米．（2）过C作CE⊥AD，垂足为E，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∴tan∠BAD＝tan∠DCE＝＝，设DE＝x米，则EC＝3x米，在Rt△CDE中，3.22＝x2+（3x）2，解得：x≈1.012，则3x＝3.036，∵3.036＞2.8，∴货车能进入地下停车场．。

2018-2019学年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业(十九）[28。

2。

1 解直角三角形］一、选择题1．在△ABC中,a，b，c分别是∠A，∠B,∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是（)A．csinA＝a B．bcosB＝cC．atanA＝b D．ctanB＝b2．如图K－19－1，在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝4，tanA＝错误!,则BC的长是( )图K－19－1A．2 B．3 C．4 D．83．如图K－19－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°,AB＝8，则BC的长是（)图K－19－2A.错误! B．4 C．8 错误! D．4 错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝错误!，AC＝错误!，则∠A的度数为错误!（)A．90° B．60° C．45° D．30°5．如图K－19－3，在△ABC中，cosB＝错误!，sinC＝错误!,AC＝5，则△ABC的面积是( )图K－19－3A.错误! B．12 C．14 D．216.如图K－19－4，在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD＝8，则△ABC的三边长分别是（）图K－19－4A．6，6错误!，12 B．2错误!，6,4错误!C．4，43，8 D．4错误!，12，8错误!7．如图K－19－5，⊙O的直径AB＝4,BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( ）图K－19－5A。

2021年人教版九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》同步练习一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，若BC＝m，则AB的长为（）A．B．m•cos36°C．m•sin36°D．m•tan36°2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A的值为（）A．B．C．3 D．3．如图，已知在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为（）A．100米B．110米C．120米D．130米6．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A．B．C．D．7．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A．6m B．3m C．9m D．6m9．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）A．（480+300）米B．（960+300）米C．780米D．1260米10．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．150m B．150m C．150m D．100m 11．如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．28km B．14km C．7km D．14km12．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为（）A．（36+100sin26°）米B．（36+100tan26°）米C．（36+100cos26°）米D．（36+）米二．填空题13．在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．14．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．15．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．16．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为m．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为米．18．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．19．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC 边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．20．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为．三．解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．22．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】23．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]24．汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．（1）求气球的高度；（2）求气球飘移的平均速度．（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75，≈1.7．）25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）[参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90]26．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，∠B＝36°，BC＝m，∴cos B＝，∴AB＝＝，故选：A．2．解：延长AB到D，连接CD，如右图所示，由题意可得，AC＝＝，CD＝1，∴sin∠A＝＝，故选：A．3．解：由题意可得，AC＝＝＝2，BC＝＝，AB＝＝5，∵（2）2+（）2＝52，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝＝，故选：B．4．解：过点P作PE⊥x轴于E，如图所示：∵P（a，3），∴OE＝a，PE＝3，∵tan∠α＝＝，∴a＝OE＝4，∴OP＝＝＝5，∴sinα＝＝，故选：A．5．解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，∴＝，则＝，解得：AC＝120米，故AB＝＝＝130（米）．故选：D．6．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．7．解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，∴BC＝＝≈x，由BC+CD＝BD得x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．8．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，∴＝，即＝，解得，AC＝3，由勾股定理得，AB＝＝6（m），故选：A．9．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960（米）．在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，∴CE＝BC•sin60°＝960×＝480（米）．∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，故选：A．10．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝300m，∴AB＝OA＝150（m），故选：C．11．解：根据题意可知：∠MAB＝90°﹣55°＝35°，∠ABM＝90°+20°＝110°，∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，∴∠MAB＝∠AMB，∴BM＝AB＝28×＝14（km）．所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．故选：B．12．解：由题意知：AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，∴BC＝AC tan∠BAC＝100tan26°（米），则BD＝CD+BC＝（36+100tan26°）米，即乙楼的高度为（36+100tan26°）米，故选：B．二．填空题13．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：．14．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，在Rt△ACH中，cos A＝＝＝，故答案为：．15．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．16．解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，∴BC＝m，故答案为：6．17．解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，∴＝＝，∴BC＝6（米），∴AB＝＝＝6（米）．故答案为：6．18．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．19．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．20．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，故答案为：14°．三．解答题21．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，∵∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝，又∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAD，∴sin∠BPC＝．22．解：由题意得，BE⊥CD于E，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），答：旗杆的高CD约为15.1米．23．解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC约为237米．24．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝37°，∴CE＝AE×tan37°＝0.75AE，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AB＝AE﹣BE＝CE﹣CE＝CE＝100，∴CE＝300（米），答：气球的高度为300米；（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DFEC是矩形，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°，∴AF＝DF＝CE＝100≈170（米），∴AE＝CE＝400（米），∴CD＝EF＝400﹣170＝230（米），∴速度为：230÷100＝2.3．答：气球飘移的平均速度每分钟为2.3米．25．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠A＝42°，∴tan42°＝，∴AB＝≈133（米）答：A、B两地之间的距离约为133米．26．解：（1）∵∠MAC＝60°，数学∴∠BAC＝30°，又∵BP⊥AC，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝60°，又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，∴∠ABC＝119°，∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；（2）不会受到影响．理由如下：由（1）可知，∠PBC＝59°，∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，又∵tan31°＝0.60，∴，设BP为x海里，则AP＝海里，CP＝海里，∴，解得：x≈57，∵57＞50，∴沿海城市B不会受到台风影响．。